◎律历三
○应天 乾元 仪天历
步五星
岁星总：七十九万七千九百三十一、秒五。
平合：三百九十八日、八千八百五十七、秒二十八。
变差：空、秒一十六。
荧惑总：一百五十六万一百五十二、秒三。
平合：七百七十九日、九千二百二、秒一十八。
变差：三、秒空。
镇星总：七十五万六千三百一十一、秒八十五。
平合：三百七十八日、八百六、秒五十一。
变差：五、秒七十九。
太白总：一百一十六万八千二十二、秒四十二。
平合：五百八十三日、八千九百九十六、秒一十。
再合：二百九十一日、九千四百九十九、秒五。
变差：二、秒三十六。
辰星总：二十三万一千八百六、秒四十二、八十。
平合：一百一十五日，八千八百二、秒三十。
再合：五十七日、九千四百二、秒一十五。
变差：三、秒七十八。
求五星天正冬至后加时平合日度分秒：各以星总除元积为总数，不尽者，返减星总，余，半而进位；又置总数，木、火三之，土如其数，皆百而从之，以元法收之，为天正冬至后平合日度及分。
求平合入历分：各以其星变差展所求积年，满三百六十五万三千二百九十三、秒一十九，去之不尽，以元法收为度，不满为分，以减平合日，为入历度分。
求入阴阳变分：在阳末变分以下为入阳历；以上去之，余为入阴历。置入阴、阳历分，以阴、阳变数去之，不尽，为入阴、阳数及变分。
《乾元》五星辰星阴、阳差分并阴、阳差度并同初、末。入阴阳定分：以入变分各减初变分，余却以其变下损益率展之，百而一为分；损益次变下阴、阳积为定分。
定合积日：日除阴、阳定分，为二；阳加阴减平合日，为定积日及分。
入气盈缩度分：置定积，以常数去之，不尽者，为入气日分；置入气日分，如求朔望盈缩术入之，即得入气盈缩度分。
定合日辰：以其大、小余加入气日，命从甲子，算外，即得所求。
求入月日数：置定合日辰大余，以定朔大余减之，余命算外，即得所求。
定合定星：各以其星入气盈缩度分盈加缩减之，又以百除阴、阳定分，为度分；阳加阴减，皆加减平合，为定星；用加天正黄道日度，满宿去之，不满宿，即得所求。
岁星入段
荧惑入段镇星入段太白入段辰星入段
诸段平日平度：置平合日度，以诸段下平日平度加之，即得所求。
诸段入历：置平合入阴阳历分，各以逐段阴阳历分加之，为诸段入历分。
诸段入变分：置入历分，各以变分去之，余为入变分。求阴阳定分，依平合术入之。
五星诸段定积曰：置其入阴阳定分，百除，为日分；阳减阴减诸段平日。其金水夕见、晨疾返为之定积。其金星晨次、晨迟，更用盈缩度缩加盈减定积为定。求其入气月日，如平合术入之。又荧惑前迟定积，置平合入阴阳历分，加二万一千六百七十五，盈三万六千五百二十五半去之。余与见求入阴阳历同者，更不求之，如不同历者，即依平合术入，所得，用加前迟留退、后退留平日为定积，入气月日如前。又五星定用盈缩差及阴阳定分：岁荧惑镇星晨见、夕疾、定合，太白定合、夕见、夕退、再合、晨见及后、晨疾，皆用盈缩定差，太白定合晨、夕见及后疾，皆用盈缩定差。内岁星后疾不用盈缩定差，辰星诸段总用盈缩定差盈加缩减。荧惑晨见阴阳定分身外加一，前疾阳定分再析，各为定分。
定星：以合用盈缩定差加减平度分，又以阴阳定分阳加阴减。其金水夕见、晨疾返用为定星，求宿度，加平合入之。荧惑前迟、后退差度以二百三十六度加前迟定星，二百五十七度加后退定星，如半周天以下为阳度；以上者去之，余为阴度；前迟阴阳度在一百一十度以上者，返减半周天，余以五因之，后退入阴阳度在七十四度以下者，亦五因之，皆满百为度分，阳减阴加定星，为前迟、后退定星；求宿度，加平合入之。
日率度率：以本段定积减后段定积，为泛日率；以本段定星减后段定星，为定度率。又置后段甲子，以前段甲子减之，余为距后实日率。《乾元》以前段定积减后段定积为日率，以其段定星减后段定星为度率。《仪天》各置其段定日定度，以前段定日定度减之，余者为其段日率、度率。其退行段，置前段定度减之，余为退行度率。
平行分：以距后日率除度率，为平行分。
初末行分：置其段平行分，与后段平行分相减，为合差；半之，加减平行分，为初、末行分；后多者减平行分为初，加平行分为末；后少者加平行分为初，减平行分为末。
求日差：以距后日除合差为日差。
求每日行分：以日差后多者益、后少者损初日行分，为每日行分。
求每日星所在：以每日行分顺加逆减其星，命如前，即得所求。其木火土水前、后迟段平行分倍之，前为初，后为末分，各以距后日除，为日差；前迟日损、后迟日益，为每日行分。
漏刻，《周礼》，挈壶氏主挈壶水以为漏，以水火守之，分以日夜，所以视漏刻之盈缩，辨昏旦之短长。自秦、汉至五代，典其事者，虽立法不同，而皆本于《周礼》。惟后汉、隋、五代着于史志，其法甚详，而历载既久，传用渐差。国朝复挈壶之职，专司辰刻，署置于文德殿门内之东偏，设鼓楼、钟楼于殿庭之左右。其制有铜壶、水称、渴乌、漏箭、时牌、契之属：壶以贮水，乌以引注，称以平其漏，箭以识其刻，牌以告时于昼，契以发鼓于夜，常以卯正后一刻为禁门开钥之节，盈八刻后以为辰时，每时皆然，以至于酉。每一时，直官进牌奏时正，鸡人引唱，击鼓一十五声，至昏夜鸡唱，放鼓契出，发鼓、击钟一百声，然后下漏。每夜分为五更，更分为五点，更以击鼓为节，点以击钟为节。每更初皆鸡唱，转点即移水称，以至五更二点，止鼓契出，五点击钟一百声。鸡唱、击鼓，是谓攒点，至八刻后为卯时正，四时皆用此法。禁钟又别有更点在长春殿门之外，玉清昭应宫、景灵宫、会灵观、祥源观及宗庙陵寝亦皆置焉，而更以鼓为节，点以钲为节。大中祥符三年，春官正韩显符上《铜浑仪法要》，其中有二十四气昼夜进退、日出没刻数立成之法，合于宋朝历象，今取其气节之初，载之于左：
殿前报时鸡唱，唐朝旧有词，朱梁以来，因而废弃，止唱和音。景德四年，司天监请复用旧词，遂诏两制详定，付之习唱。每大礼、御殿、登楼、入阁、内宴、昼改时、夜改更则用之，常时改刻、改点则不用。
五更五点后发鼓曰：
朝光发，万户开，群臣谒。平旦寅，朝辨色，泰时昕。日出卯，瑞露晞，祥光绕。食时辰，登六乐，荐八珍。禺中巳，少阳时，大绳纪。日南午，天下明，万物睹。日昳未，飞夕阳，清晚气。晡时申，听朝暇，湛凝神。日入酉，群动息，严扃守。
初夜发鼓曰：
日欲暮，鱼钥下，龙韬布。甲夜己，设钩陈，备兰锜。乙夜庚，杓位易，太阶平。丙夜辛，清鹤唳，梦良臣。丁夜壬，丹禁静，漏更深。戊夜癸，晓奏闻，求衣始。
端拱中，翰林天文郑昭晏上言："唐贞观二年三月朔，日有食之，前志不书分数、宿度、分野、亏初复末时刻。臣以《乾元历》法推之，得其岁戊子，其朔戊申，日所食五分，一分在未出时前，四分出后，其时出在寅六刻，亏在三刻，食甚在八刻，复在卯四刻，当降娄九度。"又言："按历书云，凡欲取验将来，必在考之既往。谨按《春秋》交食及汉氏以来五星守犯，以新历及唐《麟德》、《开元》二历覆验三十事，以究其疏密。"
日食：
《春秋》，鲁僖公十二年春三月庚午朔，日有食之。其年五月庚午朔，去交入食限误为三也。文公元年春二月癸亥朔，日有食之。其年三月癸巳朔，去交入食限误为二也。文公十五年夏六月辛丑朔，日有食之。是月泛交分入食限前。汉元光元年七月癸未晦，日有食之。今按历法，当以癸未为八月朔，盖日食朔、月食望，自为常理，今云晦日食者，盖司历之失也。征和四年八月辛酉晦，日有食之。辛酉亦当为九月朔，又失之。
五星守犯：
后汉永元五年七月壬午，岁星犯轩辕大星。
元初三年七月甲寅，岁星入舆鬼。
后魏大延二年八月丁亥，岁星入鬼。
正始二年六月己未，岁星犯昴。
宋大明三年五月戊辰，岁星犯东井钺。
后汉永和四年七月壬午，荧惑入南斗，犯第三星。
魏嘉平三年十月癸未，荧惑犯亢南星。
晋永和七年五月乙未，荧惑犯轩辕大星。
后魏太常二年五月癸巳，荧惑犯右执法。
陈天嘉四年八月甲午，荧惑犯轩辕大星。
后汉延光三年九月壬寅，镇星犯左执法。
晋永和十年正月癸酉，镇星掩钺星。
后魏神瑞二年三月己卯，镇星再犯舆鬼积尸。
齐永明九年七月庚戌，镇星逆在泣星东北。
陈永定三年六月庚子，镇星入参。
后汉永初四年六月癸酉，太白入鬼。
延光三年二月辛未，太白入昴。
魏黄初三年闰六月丁丑，太白晨伏。
晋咸康七年四月己丑，太白入舆鬼。
晋永和十一年九月己未，太白犯天江。
汉太始二年七月辛亥，辰星夕见。
后汉元初五年五月庚午，辰星犯舆鬼。
汉安二年五月丁亥，辰星犯舆鬼。
晋隆安三年五月辛未，辰星犯轩辕大星。
后魏太和十五年六月丙子，辰星随太白于西方。
端拱二年四月己未，翰林祗候张玭夜直禁中，太宗手诏曰："览《乾元历》细行，此夕荧惑当退轸宿乃顺行，今止到角宿即顺行，得非历差否？"奏曰："今夕一鼓，占荧惑在轸末、角初，顺行也。据历法，今月甲寅至轸十六度，乙卯顺行，验天差二度。臣占荧惑明润轨道，兼前岁逆出太微垣，按历法差疾者八日，此皆上天祐德之应，非历法之可测也。"至道元年，昭晏又上言："承诏考验司天监丞王睿雍熙四年所上历，以十八事按验，所得者六，所失者十二。"太宗嘉之，谓宰相曰："昭晏历术用功，考验否臧，昭然无隐。"由是赐昭晏金紫，令兼知历算。二年，屯田员外郎吕奉天上言：
"按经史年历，自汉、魏以降，虽有编联，周、秦以前，多无甲子。太史公司马迁虽言岁次，详求朔闰，则与经传都不符合，乃言周武王元年岁在乙酉。唐兵部尚书王起撰《五位图》，言周桓王十年，岁在甲子，四月八日佛生，常星不见；又言孔子生于周灵王庚戌之岁，卒于周悼王四十一年壬戌之岁，皆非是也。马迁乃古之良史，王起又近世名儒，后人因循，莫敢改易。臣窃以史氏凡编一年，则有一十二月，月有晦朔、气闰，则须与岁次合同，苟不合同，何名岁次？本朝文教聿兴，礼乐咸备，惟此一事，久未刊详。臣探索百家，用心十载，乃知唐尧即位之年，岁在丙子，迄太平兴国元年，亦在丙子，凡三千三百一年矣。虞、夏之间，未有甲子可证，成汤既没，太甲元年始有二月乙丑朔旦冬至，伊尹祀于先王，至武王伐商之年正月辛卯朔，二十有八日戊午，二月五日甲子昧爽。又康王十二年六月戊辰朔，三日庚午朏，王命作册毕。自尧即位年，距春秋鲁隐公元年，凡一千六百七年；从隐公元年，距今至道二年，凡一千七百一十五年；从太甲元年，距今至道二年，凡二千七百三十二年；从鲁庄公七年四月辛卯夜常星不见，距今至道二年，凡一千六百八十一年，从周灵王二十年孔子生，其年九月庚戌、十月庚辰两朔频食，距今至道二年，凡一千五百四十五年；从鲁哀公十六年四月乙丑孔子卒，距今至道二年，凡一千四百七十二年。以上并据经传正文，用古历推校，无不符合，乃知《史记》及《五位图》所编之年，殊为阔略。诸如此事，触类甚多，若尽披陈，恐烦圣览。臣耽研既久，引证尤明，起商王小甲七年二月甲申朔旦冬至，自此之后，每七十六年一得朔旦冬至，此乃古历一蔀）；每蔀积月九百四十、积日二万七千七百五十九，率以为常，直至《春秋》鲁僖公五年正月辛亥朔旦冬至，了无差爽。用此为法，以推经传，纵小有增减，抑又经传之误，皆可以发明也。古历到齐、梁以来，或差一日，更有近历校课，亦得符合。伏望圣慈，许臣撰集，不出百日，其书必成。傥有可观，愿藏秘府。"
诏许之。书终不就。
又司天冬官正杨文镒上言："新历甲子，请以百二十年。"事下有司，以其无所依据，议寝不行。太宗曰："支干相承，虽止于六十，傥再周甲子，成上寿之数，使期颐之人得见所生之年，不亦善乎？"遂诏新历甲子所纪百二十岁。
国初，有司上言："国家受周禅，周木德，木生火，则本朝运膺火德，色当尚赤。腊以戌日。"诏从之。
雍熙元年四月，布衣赵垂庆上书言："本朝当越五代而上承唐统为金德，若梁继唐，传后唐，至本朝亦合为金德。矧自国初符瑞色白者不可胜纪，皆金德之应也。望改正朔，易车旗服色，以承天统。"事下尚书省集议，常侍徐铉与百官奏议曰："五运相承，国家大事，着于前载，具有明文。顷以唐末丧乱，朱梁篡弑，庄宗早编属籍，亲雪国仇，中兴唐祚，重新土运，以梁室比羿、浞、王莽，不为正统。自后数姓相传，晋以金，汉以水，周以木，天造有宋，运膺火德。况国初祀赤帝为感生帝，于今二十五年，岂可轻议改易？"又云："梁至周不合迭居五运，欲国家继唐统为金德，且五运迭迁，亲承历数，质文相次，间不容发，岂可越数姓之上，继百年之运？此不可之甚也。按《唐书》天宝九载，崔昌献议自魏、晋至周、隋，皆不得为正统，欲唐远继汉统，立周、汉子孙为王者后，备三恪之礼。是时，朝议是非相半，集贤院学士卫包上言符同，李林甫遂行其事。至十二载，林甫卒，复以魏、周、隋之后为三恪，崔昌、卫包由是远贬，此又前载之甚明也。伏请祗守旧章，以承天祐。"从之。
大中祥符三年，开封府功曹参军张君房上言："自唐室下衰，土德隤圮，朱氏强称金统，而庄宗旋复旧邦，则朱梁氏不入正统明矣。晋氏又复称金，盖谓乘于唐氏，殊不知李昪建国于江南耳。汉家二主，共止三年，绍晋而兴，是为水德。洎广顺革命，二主九年，终于显德。以上三朝七主，共止二十四年，行运之间，阴隐而难赜。伏自太祖承周木德而王，当于火行，上系于商，开国在宋，自是三朝迄今以为然矣。愚臣详而辨之，若可疑者。太祖禅周之岁，岁在庚申。夫庚者，金也，申亦金位，纳音是木，盖周氏称木，为二金所胜之象也。太宗登极之后，诏开金明池于金方之上，此谁启之？乃天之灵符也。陛下履极当强圉之岁，握符在作噩之春，适宋道之隆兴，得金天之正气。臣试以瑞应言之，则当年丹徒贡白鹿，姑苏进白龟，条支之雀来，颍川之雉至。臣又闻当封禅之时，鲁郊贡白兔，郓上得金龟，皆金符之至验也。愿以臣章下三事大臣，参定其事。"疏奏，不报。
天禧四年，光禄寺丞谢绛上书曰：
臣按古志，凡帝王之兴，必推五行之盛德，所以配天地而符阴阳也。故神农氏以火德，圣祖以土德，夏以木德，商以金德，周以火德。自汉之兴，王火德者，以谓承尧之后。且汉，尧之裔也。五帝之大，莫大于尧，汉能因之，是不坠其绪而善继其盛德也。国家膺开光之庆，执敦厚之德，宜以土瑞而王天下，然其推终始传，承周之木德而火当其次。且朱梁不预正统者，谓庄宗复兴于后。自石晋、汉氏以及于周，则李昪）建国于江左而唐祚未绝，是三代者亦不得正其统矣。昔者，秦祚促而德暴，不入正统，考诸五代之际，亦是类矣。国家诚能下黜五代，绍唐之土德，以继圣祖，亦犹汉之黜秦，兴周之火德以继尧者也。
夫五行定位，土德居中，国家飞运于宋，作京于汴，诚万国之中区矣。《传》曰："土为群物主，故曰后土。"《洪范》曰"土爰稼穑，稼穑作甘。"方今四海给足，嘉生蕃衍，迩年京师甘露下，泰山醴泉涌，作甘之兆，斯亦见矣。矧灵木异卉，资生于土，千品万类，不可胜道，非土德之验乎？
臣又闻之，太祖生于洛邑，而胞络惟黄；鸿图既建，五纬聚于奎躔，而镇星是主。及陛下升中之次，日抱黄珥；朝祀于太清宫，有星曰含舆，其色黄而润泽。斯皆凝命有表，微德攸属，天意人事响效之大者，则土德之符在矣。是故天心之在兹，陛下拒而罔受；民意之若是，陛下谦而弗答。气壅未宣，河决遂溃，岂不神哉！然则天渊之勃流，水德之浸患，考六府之厌镇，验五行之胜剋，亦宜兴土之运，御时之灾。伏望顺考符应，详习法度，惟陛下时而行之。
大理寺丞董行父又上言曰："在昔泰皇以万物生于东，至仁体乎木，故德始于木。木以生火，神农受之为火德；火以生土，黄帝受之为土德；土以生金，少昊受之为金德；金以生水，颛顼受之为水德；水以生木，高辛受之为木德；木以生火，唐尧受之为火德；火以生土，虞舜传之为土德。土以生金，夏为金德；金以生水，商为水德；水以生木，周为木德；木以生火，汉应图谶为火德；火以生土，唐受历运为土德。陛下绍天之统，受天之命，固当上继唐祚，以金为德，显黄帝之嫡绪，彰圣祖之丕烈。臣又按圣祖先降于癸酉，太祖受禅于庚申，陛下即位于丁酉，天书下降于戊申。庚，金也，申、酉皆金也，天之体也。陛下绍唐、汉之运，继黄帝之后，三世变道，应天之统，正金之德，斯又顺也。"诏两制详议。既而献议曰："窃详谢绛所述，以圣祖得瑞，宜承土德，且引汉承尧绪为火德之比，虽班彪叙汉祖之兴有五，其一曰帝尧之苗裔。及序承正统，乃越秦而继周，非用尧之行。今国家或用土德，即当越唐上，承于隋，弥以非顺，失其五德传袭之序。又据董行父请越五代绍唐为金德，若其度越累世，上承百代之统，则晋、汉洎周，咸帝中夏，太祖实受终于周室而陟于元后，岂可弗遵传继之序，续于遐邈之统？三圣临御六十余载，登封告成，昭姓纪号，率循火行之运，以辉炎灵之曜。兹事体大，非容轻议，矧雍熙中徐铉等议之详矣。其谢绛、董行父等所请，难以施行。"诏可。
《宋史》 元·脱脱等