慕容延钊是太原人。其父慕容章，任襄州马步军都校、兼任开州刺史。延钊年轻时以勇敢闻名。汉祖起兵时，周祖辅助他，把延钊收用在军中。后周广顺初年，补官任西头供奉官，历任尚食副使、铁骑都虞候。
周世宗即位，任命他为殿前散指挥使都校、兼溪州刺史。高平战役，任左先锋，因功授任虎捷左厢都指挥使、兼任本州团练使；升任殿前都虞候、兼任睦州防御使。跟从周世宗征伐淮南，改任龙捷左厢都校、沿江马军都部署。回到京师，仍任殿前都虞候，出京任镇淮军都部署。显德五年(957)，世宗在迎銮江口，听说吴人有数百只船停泊在东氵布洲，立即下令延钊与右神武统军宋延渥讨伐他们。延钊带领骁骑由陆路挺进，延渥督率水师沿江继进，大败敌人。淮南平定后，升任殿前副都指挥使、兼任淮南节度。恭帝即位，改任镇宁军节度，充任殿前副都点检，又任北面行营马步军都虞候。
宋太祖即位，延钊正掌握重兵驻在真定，太祖派遣使者宣谕圣旨，允许他随机处理事务。延钊与韩令坤率领部队巡治边境，以镇静闻名。太祖深为高兴，加任他为殿前都点检、同中书门下二品，不称平章是为了避讳其父名。李筠叛乱，开始命他与王全斌由东路会兵进讨，不久任行营都部署，知潞州行府事；事态平定后，加兼侍中，诏令回到澶州。
建隆二年(961)，长春节来朝见，赐给他住宅一栋。上表请求解除军中职务，迁任山南东道节度、西南面兵马都部署。这个冬天非常寒冷，太祖派遣中使赐给他貂裘、百毡帐。建隆四年春天，太祖命令部队南征，任命延钊为湖南道行营前军都部署。当时延钊染病，诏令用轿抬着他指挥军事。贼将汪端率部队数千人侵扰朗州，延钊擒俘了他，在市中斩首。荆、湘平定后，加官检校太尉。这年冬天，去世，终年五十一岁。
当初，延钊与太祖友善，显德末年，太祖任殿前都点检，延钊任副都点检；太祖常以兄礼待延钊；即位后，每次派遣使者慰问，还以兄称呼他。自从延钊有病，御封药物赐给他，听说他去世，太祖痛哭了很久。追赠中书令，追封为河南郡王，录用他的子弟授予官职的有四人。
他的儿子分别叫德业、德丰、德钧。德业官至卫州刺史，德钧官至尚食副使。延钊弟弟延忠，历任内殿直、供奉西头官都知，官至磁州刺史；延卿官至虎捷军都指挥使。延卿的儿子名德琛。