钦定四库全书
数度衍卷一
桐城 方中通 撰
珠算
加法【一曰上法】
一上一 一下五去四 一退九进一十【进一位上一子非専指一十数也】二上二 二下五去三 二退八进一十
三上三 三下五去二 三退七进一十
四上四 四下五去一 四退六进一十
五上五 五退五进一十
六上六 六上一去五进一十 六退四进一十七上七 七上二去五进一十 七退三进一十八上八 八上三去五进一十 八退二进一十九上九 九上四去五进一十 九退一进一十式有物一十二又五十四问共若干曰六十六术一上一二上二此即一十二也大在左前小居右后故一十在左而二在右也五上五与一十同位四下五去一与二同位此加五十四在一十二之上也合为六十六矣
减法【一曰退法】
一退一 一退十还九【左位退一子本位上九】一上四退五二退二 二退十还八 二上三退五
三退三 三退十还七 三上二退五
四退四 四退十还六 四上一退五
五退五 五退十还五
六退六 六退十还四
七退七 七退十还三
八退八 八退十还二
九退九 九退十还一
式有物六十六内欲减去五十四尚余若干曰一十二术置六十六于盘中五退五在六十位上四上一退五在六位上六十退去五十存一十六退去四存二所余为一十二矣
因乘法
一一如一
一二如二 二二如四
一三如三 二三如六 三三如九
一四如四 二四如八 三四一十二 四四一十六一五如五 二五一十 三五一十五 四五二十五五二十五
一六如六 二六一十二 三六一十八 四六二十四 五六三十 六六三十六
一七如七 二七一十四 三七二十一 四七二十八 五七三十五 六七四十二 七七四十九
一八如八 二八一十六 三八二十四 四八三十二 五八四十 六八四十八 七八五十六 八八六十四
一九如九 二九一十八 三九二十七 四九三十六 五九四十五 六九五十四 七九六十三八九七十二 九九八十一
术曰一位曰因二位曰乘有法有实以法乘实为所求数也然法实亦可互用故曰相乘一位法者相因得数而己法二位以至多位者自左向右用第二位法起诸位法毕然后乘法首位也以法乘实先乘实右末位向左逐位遍乘乘毕而实数即变为所求数矣有防尾乘破头乘皆不适用故不录
因式有三百六十五人毎人八两问共若干曰二千九百二十两术以三百六十五人为实列盘左以八两为法列盘右先以八乘实末寅位五曰五八得四十变寅位五为四次以八乘丑实六曰六八四十八变丑位六为四加八于寅位四上曰八退二进一十则寅位之四又变为二丑位之四曰一下五去四又变为五次以八乘子实三曰三八二十四变子位三为二加四于丑位五上为九乘毕得二千九百二十两也
通曰凡左右相乘必有二位数曰防十防今如一位法者十当在本位零当在下位也本位者所乘实数之位也下位者仅下所乘实数一位也如八乘五则五为本位得四十则四当在五位上也八乘六则六为本位得四十八则四当在六位上八当在下位也八乘三则三又为本位矣
因乘式有三百六十五人毎人一十二两问共若干曰四千三百八十两术以三百六十五人为实一十二两为法先以第二位乙法二乘寅实五曰二五一十一在夘位然后以法首一乘寅实五曰一五如五五加在夘位一上为六次以乙法二乘丑实六曰二六一十二一在寅位二加在夘位六上为八以甲法一乘丑实六曰一六如六六加在寅位一上为七次以乙法二乘子实三曰二三如六六加在寅位七上七变为三而
丑位上一矣以甲法一乘子实三曰一三如三三加在丑位一上为四得四千三百八十两也
通曰凡因乘多位先用第二位法乘起者曰防十防十当在本位之下位零又在下位之下也挨次退右留本位以待法首变之耳如乙法二乘寅实五得一十则一当在夘位也甲法一乘寅实五得五五乃零数当在下位之下故亦在夘位上也盖以寅为本位之时则夘为下位辰为下位之下也以丑为本位之时寅为下位夘为下位之下也
因乘定位法
式三百六十五人毎人一十二两共得四三八问四为何数曰千数术通曰以法首齐实首布列甲子同位乙丑同位从丑下一位呼实首百是寅位为百矣向左推
去丑为千位遇变后得数之始而止
今变后之首在丑即知四为千也但
法末必单数乃可如今一十二两是
也若一两二钱或一百二十两则不
同矣总以单数为率下则顺推上则逆推可耳又术通曰视得数之首在实之何位上今在实之十位上又视法有防位今有二位当以十升二位曰百曰千亦知为千也
定身因乘法
式有三百六十五人毎人一十二两问共若干曰四千三百八十两术置实数以法一十二除首一不用以乙二为法先以法二乘寅五曰二五一十加一于寅为六不在下位矣次以法二乘丑六曰二六一十二加一于丑六为七加二于寅六为八次以法二乘子三曰二三如
六加六于丑七变七为三变子三为四合问
通曰凡法首遇一者用之其在位实数即作甲法之乘数矣多位法者以乙法为首从丙法乘起粟布章斤求两用身加六
归除法
一
二一添作五 逢二进一十
三一三余一 三二六余二 逢三进一十
四一二余二 四二添作五 四三七余二 逢四进一十
五一倍作二 五二倍作四 五三倍作六 五四倍作八 逢五进一十
六一下加四 六二三余二 六三添作五 六四六余四 六五八余二 逢六进一十
七一下加三 七二下加六 七三四余二 七四五余五 七五七余一 七六八余四 逢七进一十八一下加二 八二下加四 八三下加六 八四添作五 八五六余二 八六七余四 八七八余六逢八进一十
九一下加一 九二下加二 九三下加三 九四下加四 九五下加五 九六下加六 九七下加七九八下加八 逢九进一十
术曰一位曰归二位曰除【一曰混归】有法有实以法除实得所求数也一位法者止用归法多位法者法首归得某数次法乘其数而除实自左向右以逐位法除实实亦自左向右挨次除之除毕一遍又以法首归之次法除之以实尽为度变后数即所求数也又有无除撞归二法诀曰惟有归除法最奇将身归了次除之有归若是无除数起一还将原数施若遇本归归不得撞归之法不须迟俱详后
通曰二与五四与二十五因归皆可互用又三与六可当一十八四与六可当二十四凡数之相通者甚多亦在乎熟之而已
归式有银二千九百二十两八人分之问各若干曰三百六十五两术以二千九百二十两为实八人为法以法八归子实二曰八二下加四将子实二不同丑九加四曰四下五去一此用梁上之上一子也丑九变为十三盖不用四退六进一十者归后数上止可加归得数不可加余实也次以法八归丑十三曰逢八进一十于子位归后二
上加一为三丑实存五又以法八归丑五曰八五六余二丑五变为六寅二加二为四乃以法八归寅四曰八四添作五寅四变为五而实尽矣得三百六十五两也通曰凡曰下加曰余防皆归后而有余实也如今八人分二千两各得二百共去实一千六百存实四百故曰八二下加四也又如今之八五六余二乃八人分五百各得六十共去四百八十而存实二十也凡曰添作防乃归实无余者也如今八四添作五乃八人分四十两各得五两而实尽也凡曰进防十者乃实内满防归之数也满一遍进一十满二遍进二十如今八归曰逢八进一十乃一千三百之内有一回八百各得一百故曰进一也进在实前余在实后归变本实切勿错位归除式有银四千三百八十两三百六十五人分之问各若干曰一十二两术以四千三百八十为实三百六十五为法先以法首三归实首四曰逢三进一十于子位上一丑减三存一乃以乙法六乘归后子一曰一六如六于寅位除六曰六退十还四抹去丑一寅三加四为七又以丙法五乘归后子一曰一五如五于夘八除五存三而法位毕矣第二遍再以法首三归寅位存实七曰逢六进二十于丑上二寅减六存一乃以乙法六乘第二遍归后丑二曰二六一十二于寅除一夘除二又以丙法五乘第二遍归后丑二曰
二五一十于卯除一而法位又毕矣实未尽则又用前法今实巳尽得一十二两也
通曰凡归数即变实之本位除数当除实之下位本位者归后数所在之位也除实之下位者即本位之下一位也此与本实不同本实有时即本位有时乃本位之下位也除之十数在下位而零数又在下位之下也如法三归实四曰逢三进一十四为本实进在实前故所归之一当在四前子位也而本实之四变为一矣一在子上则子为本位也乙法六乘归数除实曰一六如六此零数也故于寅除六此子为本位而寅为下位之下耳若第二遍乙法除实曰二六一十二则于寅除一夘除二矣此丑为本位也
无除法
一归起一还一 二归起一还二【至九归起一还九】式有银一百零八两二十七人分之问各若干曰四两术置银为实人为法以法首二归实首一曰二一添作五变子为五乙法七当乘归数五为三十五于丑寅内除之而丑位无实可除今乃二归曰起一还二起子位归数五内之一改五为四而还丑位二为存实肰后以乙法七乘归数四曰四七二十八于丑除二十寅除八实尽得四两也
通曰凡起防还防者归后之一子即当其防归之数也如今二归曰二一添作五是五内一字当二子也故起一即还二矣夫起一者如毎人不可得五止可得四耳
撞归法
见一无除作九一 见二无除作九二【至见九无除作九九】式有银二百一十六两二十四人分之问各若干曰九两术置银为实人为法以法首二归实首二若用逢二进一十则乙法之一四如四丑一数不足除矣此乃二归曰见二无除作九二变子二为九加二于丑一为三然后以乙法四乘归数九曰四九三十六于丑除
三十寅除六实尽得九两也
通曰凡撞归者皆不可得十止可得
九也法实首数同而次实少于次法
者用之盘梁上有三子始便
除归定位法
式三百六十五人分四千三百八十两得一二问一为
何数曰十数术通曰以法布列实左
法末仅在实首四之上位从列法首
之子位呼实首千数顺右而下丑为
百寅为十遇变后得数之首位而止
今变数首一在寅即知一为十数也但法末必单数乃可如五个半人则须除去半人不列位矣如三百六十人又须列○作一位矣又术通曰视得数之首在实之何位今在实之千前一位乃万位也又视法有防位今有三位当以万降三位曰千曰百曰十亦知一为十也
定身归除法
式有银九十一两一十三人分之问各若干曰七两置银为实人为法以法首一除去不用止用乙法三于实首九内存身减之当存七乃以法三乘七曰三七二十一于子实内存七外减二十又减丑一实尽合问
通曰凡存数有定非可随意而存也如今式
子九内存八则下无二十四可减存六则减一十八外余实又多故定于七也法首遇一用此粟布章两求斤用减六存身
商除法
式有银三千零一十五两六十七人分之问各若干曰四十五两术置银为实人为法以法首六十于实首三千内商有防回今商四十是有四十回六十也即以法首六乘所商四为二十四于子除二丑除四曰四退十还六共除二
千四百以乙法七乘所商四为二十八于丑除二寅除八曰八退十还二又除二百八十余实三百三十五次以法六十于三百内商有防回今商五是有五回六十也以法首六乘次商五为三十于丑除三又除三百以乙法七乘次商五为三十五于寅除三夘除五又除三十五实尽合问
通曰凡商数有定如今初商五十则实不足除次法商三十则实余太多故定当四十耳若论盘中变位得数法首多于实首者列商数于实左一位法首少于实首者列商数于实左隔一位挨次商列即得变数
折半法
式有银六十四两八人分之问各若干曰八两术置法实以法八折半为四实六十四折半为三十二又以法折半为二实折半为一十六再以法折半为一实折半为八法折至一数而止即存实八为各得数也凡法遇偶数者可用此
乘除防法【即金蝉蜕殻】
因乘诀曰起双下加倍见一只还原倍一挨身上余皆隔位迁归除诀曰加双下除倍加一下除原陪一挨身除余皆隔位迁
乘式有米三石五斗毎斗价银七分问共银若干曰二两四钱五分术置米为实以价七分为原数倍得一钱四分为倍数先于实末五斗上呼起双下加倍起去二斗挨身上一钱次位上四分再起二斗挨身上一钱四分却呼见一只还原起去一斗隔位上七分次于三石上呼起双下加陪起二石挨身上一两四钱却呼见一只还原起一石隔位上七钱合问
又式有布五十七疋毎疋价银二钱五分问共银若干曰一十四两二钱五分术置布为实以价二钱五分为原数倍得五钱为倍数先于实末七疋内起三个二疋挨身上三个五钱又起一疋挨身上二钱五分次于五十疋内起两个二十疋挨身上两个五两又起一十疋挨身上二两五钱合问
通曰前式价是分倍是钱则倍数挨身上原数隔位上后式价是钱倍亦是钱故倍数原数俱挨身上
除式有钱二千二百五十文给九十人问毎人若干曰二十五文术置钱为实以九十人为原数倍得一百八十人为倍数先于实首二千前挨身呼加双下除倍除实一千八百余实四百五十次于四百前挨身呼加双下除倍除实一百八十又呼加双下除倍除实一百八十再呼加一下除原隔位除九十合问
又式有油四百二十斤毎油七斤半换豆一斗问共换豆若干曰五石六斗术置油为实以七斤半为原数倍得一十五斤为倍数先于实首四百前加两个双除两个一百五十斤又加一除七十五斤次于余实四十五斤前加三个双除三个一十五斤合问
通曰又有二句除诀曰有除隔位进无除挨身进止用原数从实前隔一位起毎上一子除一遍原数乘法则毎抺去实尾一子挨身上一遍原数不足为法姑附于此
流法
乘式有田九百八十一畆毎畆一分八厘九毫问共若干曰一十八两五钱四分零九厘术先以法一分八厘九毫衍定遇一曰一八九遇二曰三七八遇三曰五六七遇四曰七五六遇五曰九四五遇六曰一十一三四遇七曰一十三二三遇八曰一十五一二遇九曰一十七零一乃从实末因之遇某数即用某诀有十字者破本身起余皆挨身一位起也
除式有银一十八两五钱四分零九毫派在九百八十一畆问毎畆若干曰一分八厘八毫九丝九不尽术先以法九百八十一畆衍定遇一曰一零一九三六七遇二曰二零三八七三五遇三曰三零五八一零三遇四曰四零七七四七一遇五曰五零九六八三九遇六曰六一一六二零七遇七曰七一三五五七五遇八曰八一五四九四三遇九曰九一七四三一 一亦从实末因之遇某数用某诀挨身一位起也
通曰法数有定者方可用此然止乘可用除则不尽也
乘除新法
归除诀曰进一空除原【实首多等于原数及少于半数者用此】进二空除倍【实首多等于倍数及少于半数者用此】进二随除倍【实首少于半数而倍数首一者用此】进五空除半【实首有余而原数首一者用此】进五随除半【实首多等于半数者用此】因乘诀曰除一空加原【实尾正一数者用此有时隔一位加原数】除二空加倍【实尾二三四数者用此有时隔一位加倍数】除二随加倍【实尾二三四数而倍数首一者用此】除五空加半【实尾五六七八数而原数首一者用此】除五随加半【实尾五六七八数者用此】
除式通曰有银八十七两二钱四分二厘四人分之以银八七二四二为实数以人四为原数加倍得八为倍数以人四折半得二为半数列定从左除起视实数左首多于倍数或等于倍数当用进二空除倍乃于实左空一位上二于实首除倍数八再视余实左首少于倍数或多等于原数当用进一空除原乃于实左空一位上一于余实首除原数四再视余实左首少于原数或多等于半数当用进五随除半乃于实左位上五不须空位于余实首除半数二再视余实左首少于半数亦当用进一空除原乃于实左位上一不须空位但于余实左首向右退一位除原数四再视余实首等于倍数当用进二空除倍再视余实首等于原数当用进一空除原再视余实等于半数当用进五随除半实数除尽毎人分得二十一两八钱一分零五毫此式先用进二空除倍次用进一空除原次用进五随除半余实首一二作一十二亦可用进二空除倍乃于余实左位上二不须空位但于余实左首向右退一位除倍数八次用进一空除原次又用进一空除原次用进五随除半亦合
乘还原式通曰以毎人分得银二一八一零五为实数其倍数原数半数俱如前不动从右乘起视实右尾过五以上当用除五随加半乃于实尾去五随下位加半数二不须空位再视余实尾止一数当用除一空加原乃于余实尾去一空一位加原数四再视余实尾过五当用除五随加半乃于余实尾去五随下位加半数二再视余实尾过二当用除二空加倍乃于余实尾去二空一位加倍数八再视余实尾止一数当用除一空加原乃于余实尾去一空一位加原数四再视余实尾止一数当用除一空加原乃于余实尾去一空一位加原数四再视余实满二当用除二空加倍乃于余实尾去二空一位加倍数八共得八十七两二钱四分二厘原首一数除式通曰有银四十五两六钱为实数一十二人分之为原数倍数二四半数六视实首多于倍数用进二空除倍再视余实多于原数用进一空除原再视余实多于倍数两倍以上而原首系一数此为实数有余当用进五空除半须空一位除之再视余实多于倍数当用进二空除倍再视余实等于原数当用进一空除原毎人分得三两八钱
乘还原式通曰以三八为实倍原半如前实尾过五系原首遇一者当用除五空加半余实尾过二用除二空加倍余实尾止一数用除一空加原余实尾过二用除二空加倍余实止一数用除一空加原共得四十五两六钱
倍首一数除式通曰有银四十一万三千三百二十六两二钱八分四厘为实数七千三百五十六人分之为原数倍数一四七一二半数三六七八实首多于半数用进五随除半余实首多于半数用进五随除半余实首多于原数用进一空除原余实首少于半数用进一空除原余实首多于半数用进五随除半余实首多于倍数系倍首遇一者当用进二随除倍不空位余实首少于半数用进一空除原余实首多于半数用进五随除半余实首多于倍数用进二随除倍余实等于倍数亦用进二随除倍毎人分得五十六两一钱八分九厘乘还原式通曰以五六一八九为实倍原半如前实尾过五用除五随加半余实尾过二系倍首遇一者当用除二随加倍不空位余实尾满二亦用除二随加倍余实尾过五用除五随加半余实尾过二用除二随加倍余实尾止一数用除一空加原余实尾又止一数用除一空加原余实尾过五用除五随加半余实尾止一数用除一空加原余实满五用除五随加半共得四十一万三千三百二十六两二钱八分四厘
附正珠乘除新法
以减代乘法
男正珠曰不用因乘而以减法代之数亦天然符合其术须变法数如一位法者作单数于十内减之余者为变数二位法者作防十防数于百内减之余者为变数三位法者作防百防十防数于千内减之余者为变数法既变后乃将变法与实呼减之呼实则自右向左呼法则自左向右逐位呼减减毕余实即为所求数也
因式
有一百二十人毎人二两问共若干曰二百四十两术珠曰先将法二于十内减之余八即八为变法也以变法八呼丑实二曰二八除十六乃于丑二内除一又当于寅位除六曰六退十还四丑空位寅存四再以变法
八呼子实一曰一八除八当于丑位除八曰八退十还二子位空丑存二逐位减毕即丑余之二寅余之四为所求二百四十两也
因乘式
有一百二十人毎人二两一钱问共若干曰二百五十二两术珠曰此二位法也将法二两一钱作二十一于百内减之余七十九为变法先以甲法七呼丑实二曰二七除一十四乙法九呼丑实二曰二九除一十八皆于丑实二内除之此如以丑二作二百先除一百四十后除一十八止存四十二也
故丑位空寅存四夘存二再以甲法七呼子实一曰一七除七乙法九呼子实一曰一九除九此如以子一作一百先除七十后除九也曰七退十还三子位空丑上三曰九退十还一丑存二上一于寅存四上为五夘仍存二逐位减毕即丑余之二寅余之五夘余之二为所求二百五十二两也
以加代除法
珠曰归除之法有可以加法代者更为易简其术亦须变法数与前因乘相同法既变后乃将归实暗数与变法呼加之暗数者视原法数在实内有防回也即用其防回之数为暗数耳以变法与暗数相呼加于实数之上逐位呼加加毕则其得数与归除无异也
归式
式一有银一百二十两二人分之问各若干曰六十两术珠曰先将法二于十内减之余八即八为变法也五一两数是为子丑两暗数子实一作一十内有五回原法二也丑
实二内有一回原法二也先以变法八呼子暗数五曰五八得四十乃于子实一上
加四为五再以变法八呼丑暗数一曰一八如八当于丑实二上加八数巳满十曰八退二进一十乃退去丑位二而于子位五进一为六逐位加毕视子位逓加之六即所求之分数为毎人各得六十两也式二有银一百二十两三人分之问各若干曰四十两术珠曰先将法三于十内减之余七即七为变法也三一两数是为子丑两暗数盖子实一十内有三回原法三余合丑实二为三内有一回原法三也先以变法七呼子暗数三曰三七二十一乃于子实一
上加二为三丑实二上加一为三再以变法七呼丑暗数一曰一七如七当于丑位三上加七数巳满十曰七退三进一十乃退去丑位三而于子位三进一为四逐位加毕视子位逓加之四即所求之分数为毎人各得四十两也
归除式
有银一百二十两二十四人分之问各若干曰五两术珠曰先将法二十四人作二十四于百内减之余七十六为变法五为暗数盖子实一作一百内有五回原甲法二十丑实二作二十内有五回原乙法四也此二位法先以变法甲七呼暗数五曰五七三十五乃于子一上加三为四丑二上加五为
七此法之首位加毕矣再以变法乙六呼暗数五曰五六得三十当于丑位七上加三数巳满十曰三退七进一十乃退去丑位七而于子位四上加一为五此法之次位加毕矣如是加毕则子位之五即所求之分数为毎人各得五两也
数度衍卷一