[子部,天文算法类,算书之属,数度衍
钦定四库全书
数度术卷三
桐城 方中通 撰
笔算下
奇零列位法
术曰奇零者不尽数也加减乗除皆有奇零惟除为多耳以法命之曰几分之几除数为母列上零数为子列下
式有实四十六法七用数六除四十二尚余实四命之
曰七之四七列上四列下
通曰以母分子故以法为母子随母分故以实
为子
奇零别多寡法
术曰母同子异别在子子同母异别在母俱异者别在子母也
母同式奇零有二一曰七之三一曰七之四辨其孰多孰寡今母数等矣但据子数别之子多者为多子少者为少耳
子同式若子数相等母数不等者其母数小子数反大母数大子数反小如二分十之一得五三分十之一止得三三耳当以母数少
者为多
子母俱异式子数母数俱不等以彼此子母互乗得数各注其下较之其较有三一曰差逺一曰稍差一曰相同法皆一也
奇零约法
术曰约多者为少其法有三一用折半一用通数一用纽数纽数不得则不可复约矣只就见数较多寡用彼此互乘之法
折半式十六之八约之为少折母数十六为八折子数八为四
约为八之四再折半又约为四之
二
通数式四十八之三十六欲约之视子母两数有何数相乗而得其数即通数也今以六为通数
以六乘八得四十八母可约为八以六乘六得三十六子可约为六
纽数式以小减大减尽而止以最后减尽数为纽数以除子母二数得约数也四十八内减三十二余十六又于三十二内减十六两次减尽是十六为
纽数矣以十六除四十八得三约母为三以十六除三十二得二约子为二
通曰纽即通也但通可见而纽不见耳今以十六为通数以三乗之得四十八以二乗之得三十二亦合
奇零并母子法
术曰凡两子母数先并母较之使两母数等以两母相乘得共母数次以两母互乘两子得各子数或三四母子不同并较多寡者亦以各母次第叠乗并一共母为实乃以各母数为各法除之即以各子数乗各所除数得各子数也
两母子相并式甲三之二乙四之三欲并一共母以两母乘得十二为共母数以甲子二乘乙母四得八为甲并子以乙子三乘甲母
三得九为乙并子
四母子相并式甲二之一乙三之二丙四之三丁五之一欲并一共母以甲母二乘乙母三得六又以六乘丙母四得二十四又以二十四乗丁母五得一百二十为共母以甲母二除共母得六十以甲子一乗之得六十为甲并子以乙母三除共母得四十以乙子二
乗之得八十为乙并子以丙母四除共母得三十以丙子三乗之得九十为丙并子以丁母五除共母得二十四以丁子一乗之得二十四为丁并子
倂母子用纽数式若母数相乗过有纽数可用即用纽数如甲母乗乙母得六嗣当与丙母四相乗有二为纽数可用【二与三乗得六二与二乗得四】则约甲乙相乗之六为三约丙母四为二乃复以甲乙相乗之六乗丙母所约之二得十二以丙母四乘甲乙所约之三得十二是甲乙丙母俱得十二数而止也至丁母无纽数即以十二
乘丁母五得六十则前式共母之一百二十今约为六十矣如法逐位母除子乗所得并子俱减前式之半
奇零累析约法
术曰奇零有析之又析者或三四析欲知其总用母乗母子乗子法三四位者母子俱湏叠乗也
二位析求总式七之四又五分四之三列自左向右七之四在左五之三在右两母乗得三十五两子乗得十二是总得三十五之一十二
也
四位析求总式二之一又六分一之一又四分一之三又三分三之二列自左向右算仍自右向左以丁母三乗丙母四得十二又以十二乗乙母六得七十二又以七十二乗甲母二得一百四十四为总母以丁
子二乗丙子三得六以六乗乙子一得六以六乗甲子一得六为总子是总为一百四十四之六也
化法
术曰凡整数后带奇零欲将整数尽依母数化之以母数乘整数以乗得数入子数却以母数除之有零无零两化俱合
化整为零式有整六又零五分一之三列六于左列五之三于右以母五乗整六得三十并子数三为三十三是化为五之三十三也
零数归整无零式七之五十六欲归为整以母数除子
数用八除尽知是八为整数也
零数归整有零式九之四十七欲归为整以母除子用五除于子四十七内除五九四十五尚余二知是整五又零九之二也
奇零加法
术曰两零数以至多零数及整与零数欲并为一者同母则一母可代众母异母则湏叠乗为共母也子不拘同异皆并为一遇有纽数者用纽数求其共母两位者子母互乘以求并子位多者母除子乘以求并子同母之子惟并而已异母之子湏求并子而并也其整与零并先并整次并零合为一曰积
同母式曰七之五曰七之六欲并为一同母七即用为
共母两子并得十一为共子积为
七之一十一归得一零七之四
异母式两母不同乘得十二为共母甲子乘乙母得八
为甲并子乙子乘甲母得九为
乙并子再以两并子并得十七
积为一十二之一十七
异母位多式以甲母七乘乙母十三得九十一再乘丙
母十一得一千零一为共母依
法各母除各子乘得各并子又
并得共子积为一千零一之二
千六百九十二
一整一零并式零曰五之三整曰八倂为一仍以整为整零为零即为八又零五之三也
二整一零并式零曰三之二整曰四曰八并为一先倂两整得一十二零数止一位无倂积为一十二又零三之二也
整与同母二零倂式零曰七之二曰七之六整曰八曰四先倂两整得十二次并两子得八同母七即为共母积为一十二又零七之八也
整与异母二零并式零曰三之二曰四之三整曰八整数无并两母乘得十二为共母左右母子互乘右子得八左子得九为倂子再并得十七积为八又零十二之十七也
试加差法
通曰加用减试用加试皆有同母异母之分
试同母式以右子五减积子十一余六合左子数以左子六减积子十一余五合右子数合则无差
试异母式先试母以右母三除共母十二得四合左母
数以左母四除共母十二得三
合右母数无差次试子以右并
子八减积子十七余九合左并子数以左并子九减积子十七余八合右并子数又以左母四除右并子八得二合右子数以右母三除左并子九得三合左子数无差
奇零减法
术曰先审多寡多为原数少为减数同母止就子数相减异母先求共母又母除子乘求各子乃以相减也通曰多中减少即右内减左也但并母子数有时似少中减多者而化整之后仍是多中减少也
同母式曰十七之八曰十七之五相减此当于十七之
八内减十七之五也同母止于右子
八内减左子五余三得十七之三
异母式曰九之八曰三之二相减先以两母乘得二十
七为共母乃母除子乘得各
子审多寡然后相减余二十
七之六
整数内减零数式整一十内减零一十一之六先于整内抽出一数依零母数化为一十一作化子整止存九是化为一十一之一十一也于化内减十一之六余十
一之五是减余为九零十一之
五
整内减整及零式两整先减十内减四余六乃于六中
抽一依零母化五为子是化为
五之五也于化内减五之三余
五之二其余整六既抽一止存五是减余为五零五之二
整及零内减整及零式整数多者为原数先以两整相
减十内减六余四此乃
异母以两母乘得八为
共母乃子母互乘为子以右子一乘左母四得四为右并子以左子三乘右母二得六为左并子当于八之四内减八之六然四少六多不能减湏于既减之余整四内抽出一数以共母化为八又并右并子四为十二化为八之十二于此内减去八之六余八之六整数止存三是减余为三零八之六
整及零内减零式整数不动乃并母子以两母乘得三百六十三为共母母子互乘右得十一为并子左得一百三十二为并子当于右内减左而右并子少乃于整九内抽出一数依共母化为三百六十三并入右并子十一为三百七十四乃于此内减右并母子余三百六
十三之二百四十二整
九止存八是减余为八
零三百六十三之二百
四十二【可约为八零三之二】
通曰乘除内用加减加减内亦用乘除故四法通而一法通也
试减差法
试同母式以减余子三并入左子五为八合右子即以减余子三于右子八内
减之余五亦合左子无差
试异母式以减余二十七之六与左三之二相加合右九之八此两母乘得八十一为共母以减余子乘左母得十八乘右母得五十
四再并为七十二得八十一之七十二约之为九之八
奇零乘法
术曰两零相乘当以母乘母子乘子零与整乘则置整数与零并列而整数上立一数为母与零母并列依母乘母子乘子之法也其不止一整者或俱有带零者法详后
零与零乘式四之三与三之二相乘以两母乘得十二为乘母两子乘得六为乘子是乘为一十二之六
零与整乘式五之四与整八相乘乃以八上立一为母
作一之八与五之四并列依法乘
得五之三十二通曰但以整数乘
零数之子为乘子可也
整带零与整乘式整三零六之五与整八相乘先以右
整三与母六乘得十八并子五
得二十三为子化为六之二十
三以左整八上立一为母并列依法乘得六之一百八十四
整带零与零乘式四零三之二与二之一相乘依法右
位整乘母得十二并子二得十
四为三之十四与左零数并列
乘得六之十四
整带零与整带零乘式四零二之一与三零五之一相
乘依法整三与母五乘得十五
并子一得十六左为五之十六
整四与母二乘得八并子一得九右为二之九并列乘得一十之一百四十四
通曰奇零与常法不同常法皆乘少为多今或乘多为少葢借用虚数实非乘多为少也
试乘差法
通曰乘用除试除用乘试葢奇零试差皆彼此还原也式以前零与零乘式试之以乘得十二之六为原数以
其两相乘之数皆为
除数但湏倒位前曰
三之二今曰二之三前曰四之三今曰三之四乃以除数右母二乘原母十二得二十四以除数右子三乘原子六得十八是为二十四之十八约为四之三而合上左其左位依法还原为三十六之二十四约为三之二亦合上右
奇零除法
术曰两零相除右列原数左列除数却将除数倒列子母而与原数并列亦用母乘母子乘子之法乘出数即除出数也
零除零式二之一为实列右六之一为法列左倒为一
之六乃与二之一并列母乘母
子乘子即得除出数为二之六
也
零除整式整六为实三之二为法法倒为二之三实立
一为母作一之六乃并列相乘得
除出数
通曰乘除本互用于此可见
整带零除整式六为实四零三之二为法以母三乘整
四为十二并子二为十四
化为三之十四再用零除
整法得除数
整除零式三之二为实整六为法以六上立一为母又
倒为六之一与三之二并列乘得
除数
整除整带零式六零二之一为实三为法以整六乘母
二得十二并子一得十三化为二
之十三整三立母倒位并列乘之
整带零除零式三之二为实六零二之一为法以整六
乘母二得十二并子一得
十三化为二之十三倒位
乘之
零除整带零式六零二之一为实四之三为法以整六
乘母二并子一得十三化为二之
十三倒法位乘之
整带零除整带零式六零二之一为实三零五之二为
法依法实化为二之十三
法化为五之十七倒法位
乘之
试除差法
式以前零除零式试之以乘得二之六列右除数六之
一列左母乘母子乘子
得十二之六约为二之
一合右原数无差
重零除尽法
术曰归除不尽曰奇零然有原数内本来先带奇零者是大奇数内又有小奇数也若欲除之使尽当先归之使一列小奇于右列大奇于左两母相乘为总母又以小奇母乘大奇子并入小奇子为共子此即是除尽之数
大奇内有小奇式四人分一十五零三之二其不尽者整三零三之二也三之二为小奇四之三为大奇两母乘得十二为共母小奇
母乘大奇子得九并小奇子二为十一作共子是一十二之一十一为除尽数也
大奇内小奇有小奇式若小奇内复有小奇至三至四
者如
七除
不尽
而余
四数为七之四而又以此四中之一剖为五停之二又以二中之一剖为四停之三又以三中之一剖为三停之二此乃大奇内带三小奇也先并大次两母五七乘得三十五为母以次母五乘大奇子四得二十并入次子二得二十二为子是为三十五之二十二再并三奇以母三十五乘三奇母四得一百四十为母以三奇母四乘大次并子二十二得八十八并三奇子三得九十一为子是为一百四十之九十一再并四奇以母一百四十乘四奇母三得四百二十为母以四奇母三乘大次三并子九十一得二百七十三并四奇子二得二百七十五为子是为四百二十之二百七十五此即通并即除尽数也可约为八十四之五十五
大奇内有小奇用加除二法式凡大奇一位小奇止一
位者当用加除二法而前式葢防法也如第一式大奇四之三小奇三之二先用除法以小奇三之二列右止以大奇母四列左立一为母倒位并列乘得十二之二【此用整除零法】后用加法以除出之十二之二列右以大奇四之三列左两母相乘得四十八为共母或母除子乘求子或母子互乘求子右子得八左子得三十六并得四十四是积为四十八之四十四也【此用异母加法】约得一十二之一十一而合除尽数矣
附铺地锦
乘式有物二十三件每件价银五钱六分五厘问共若
干曰一十二两九钱九分五厘术
物数为实列上价数为法列旁相
呼填数于格内呼毕斜格成总也
先呼三五一十五次呼三六一十
八次呼三五一十五填三下之格内后呼二五得一十二六一十二二五得一十填二下之格内乃斜取总数一为一十一一为二两五一二一为九钱八一为九分五为五厘也
除式有银九十四两五钱买物七十斤问每斤若干曰
一两三钱五分术先画图置银数于内为实以物数为法自下左旋而上而右止用珠算归除诀先除九十起曰逄七进一十填在左图右格为一两又曰七二下加六次除四两因加六作十曰逄七进一十将此一并九十图内存二作三填在九十图左格为三钱又曰七三四余二次除五分因加二作七曰逄七进一十将此一并四两图内作四又作五填在四两图右格为五分共得一两三钱五分也
洛书算
通曰洛书用九八卦旋中加升减降法异理同九内易位越十移宫过去未来用之无穷
加式有四钱五分又三钱四分又三两五钱问共若干曰四两二钱九分术每图用棋子一枚先呼四钱五分将钱图棋子置四上分图棋子置五上又呼三钱四分将钱图四上棋子移置七上【四加三】分图五上棋子移置九上【五加四】又呼三两五钱将两图棋子置三上却以钱图七上棋子加五成一十二移置本图二上而两图三上棋子加一成四移置四上乃视各图棋子所在为总数也
减式先将总数棋子照图安置逐呼逐减即得
通曰又有一笔锦之法似笔算而叠改不同又有一掌金之法五指每指九位分三行自下而上曰一二三又自上而下曰四五六又自下而上曰七八九临算暗记殊觉可笑即铺地锦乘尚似筹而除则不可用矣惟洛书算为便并列图数而求之虽乘除亦可得也
数度衍卷三