元 李冶 撰
底勾一十七问
或问乙出南门东行不知步数而立甲出北门东行二百步见之就乙斜行二百七十二步与乙相防问答同前
法曰二行差数乘甲东行又四之为平方实得全径草曰识别得二行相减余即乙出南门东行数也以甲东行减于就乙斜行余七十二步以乘甲东行歩得一万四千四百步又四之得五万七千六百步为实以平方开之得二百四十步即城径也合问
或问乙从坤隅南行三百六十步甲出北门东行二百步见之问答同前
法曰二行步相乘倍之为实乙南行为从一步常法得城径
草曰立天元一为城径以减于二之甲东行步得【□】□为两个小差以乙南行步乘之得□□为城径幂【寄左】然后以天元幂丨□与左相消得丨□□以平方开之得二百四十步即城径也合问
又法半之乙南行步乘甲东行为实半乙南行为从一步常法得半径
草曰立天元一为半城径减甲东行得□□为小差半乙南行步得一百八十步以乘小差得□□为半径幂【寄左】然后以天元幂丨□与左相消得下式丨□□以平方开之得一百二十步倍之即城径也合问
或问乙从坤隅东行一百九十二歩而止甲出北门东行二百步见乙问答同前
法曰两行步相乘为实甲东行为从乙为隅得半径草曰立天元一为半径减于乙东行得□□以甲行步乘之得□□为半径幂【寄左】然后以天元幂丨□与左相消得丨□□以平方开之得一百二十步倍之即城径也合问
或问乙出南门直行一百三十五步甲出北门东行二百步见乙问答同前
法曰以乙南行步乘甲东行幂又四之为实从空乙行为亷一步常法得城径
草曰立天元一为城径加乙南行得□□为股率其甲东行即勾率也其乙南行□为小股以勾率乘之得□合以股率除今不除受便以此为小勾【寄股率为母】乃以甲东行步乘之得□ 又四之得□为一段城径幂【寄左】然后以天元城径自之又以股率分母通之得丨□□为同数与左相消得下式丨□□□以立方开之得二百四十步即城径也合问
又法二行相乘又以自乘为实以二行相乘倍之为益方南行幂为亷八步益隅立方开得小勾七十二草曰立天元一为小勾以南行为小股以东行二百步为大勾也置大勾内减天元得□□为中勾也以小股乗之得□□以天元小勾除之得□□为中股即城径也以自之得□□□为城径幂也【寄左】又以天元小勾乘通勾二百步得□又四之得□为同数与左相消得□□□□开立方得七十二步即小勾也以乘通勾二百步为实平方开得一百二十步倍之即城径也合问
又法求半径以南行步乘东行幂为实从空东行步为亷二步常法得半径
草曰立天元一为半径以二之加南行步得□□为股率以东行□为勾率以南行为小股也置小股以勾率乘之得□以股率除之不受除只寄股率分母便以此为小勾也又以勾率乘之得下式□为半径幂【寄左】再立天元半径以自之又以分母股率乘之得□□□为同数与左相消得□□□□开立方得一百二十步倍之即城径也合问
或问乙出东门南行三十步而止甲出北门东行二百步望乙与城防相直问答同前
法曰以甲东行步乗乙南行幂为实以乙南行幂为从甲东行内减二之乙南行为益亷一步隅得半径草曰立天元一为半城径减于甲东行步得□□为小勾以天元加于乙南行步得□□为小股乃以天元加东行步得□□为大勾置大勾以小股乗之得丨□□合以小勾除之今不受除便以此为大股【内带小勾分母】又置天元半径以分母小勾乘之得□□减于大股余□□□以乙南行步乗之得□□□为半径幂【内有小勾分母】寄左然后以天元为幂又以小勾通之得□□□为同数与左相消得下式□□□□以立方开之得一百二十步倍之即城径也合问【翻法在记】
又法乙南行乘甲东行为平实二数相减为法一隅翻开得半径
草曰别得二数相并为大勾内少一虚股其二数相减为小差也 立天元一为半径副置之上位减于二百步得□□为勾圆差【即小差勾也】下位加三十步得□□为小差股勾股相乘得□□□为一段小差积【寄左】再以小差勾减小差股余□□为一较也又以此较减于小差得下式□□为一个较较以天元一乘之得下式□□为同数与左相消得□□□开平方得一百二十步即半城径也合问【翻法在记】再立此法者盖从简也
按此乃以小差勾为平上较较半径为平股故以小差上较较与半径相乘等于平上较较与小差股相乘为一段小差积也
或问乙出东门南行不知步数而立甲出北门东行二百步望乙与城防相直复就乙斜行一百七十步与乙相防问答同前
法曰以二行差乘甲东行为实甲就乙斜行为方一步常法得半径
草曰识别得二行相减余三十步即乙出东门南行步也【更不湏用】立天元一以为半城径加乙南行得□□为小股副置甲东行步上位减天元得下式□□为小勾下位加天元得□□为大勾也乃置大勾以小股乘之得下式丨□□合以小勾除不受除便以此为大股【内小勾分母】又倍天元以小勾乘之得□□以减于大股得□□□又倍之得下□□□为两个股圆差合以勾圆差乘之縁为其中已带小勾分母更不须乘便以此为黄方幂【更无分母】寄左然后倍天元以自之得□□为同数与左相消得□□□上下俱半之【俱半之者盖从简也】得□□□以平方开之得一百二十步倍之即半径也合问
或问乙出南门直行不知步数而止甲出北门东行二百步见之复就乙斜行四百二十五步与乙相防问答同前
法曰倍两行差以乘二之甲东行为实从空四之甲东行于上倍两行差加上位为隅得半径
草曰识别得二行差二百二十五步即半径为勾之股也立天元一以为半径便是小勾其二行差便是小股乃置甲东行步加天元得□□为大勾以小股乗之得下式□□又以小勾除之得□□为大股又倍天元以减之得□□□为股圆差又倍之得□□□为两个股圆差于上乃以天元减甲东行得□□为勾圆差以乘上位得下式□□○□为城径幂【寄左】然后倍天元一以自之得□□为同数与左相消得□□□开平方得一百二十步倍之即城径也合问【按此系得数各升一位然后开平方】
又法并二数以二数差乗之开方得底股复以甲东行二百步乘之为实并二数而半之以为法如法得二百四十步即城径也合问【此用股上容圆求之比前法极为简易】
或问乙从干隅南行不知步数而止甲出北门东行二百步望见之复就乙斜行六百八十步与乙相会问答同前
法曰并二行以二行差乘之内减二行差幂为实并二行步及二行相减数【按即倍乙斜行】为从二步常法得半径
草曰识别得斜行六百八十步即大也其二行相减余四百八十步即乙南行步内减半径也立天元一为半城径副置之上位加二行相减数得□□为大股也下位加甲东行步得□□为大勾也乃以大股自增乘得丨□□为大股幂【寄左】乃并大勾大得□□于上又以大勾减大得□□为大差以乘上位得□□□为同数与左相消得□□□开平方得一百二十步倍之即城径也合问
又法求大差
法曰二行差自乘为实置二之二行差于上乃以甲东行步减二行差又半之以减于上为益方【按三因斜行步二因东行步相减折半亦同】半步常法
草曰立天元一为大差减于二行差得□□为半城径以自之得丨□□为半径幂【寄左】乃以半城径减于甲东行得下式丨□为小差又以天元乘之得丨□又以半之得□□为同数与左相消得下式□□□以平方开之得三百六十步即大差也合问
或问乙出东门不知步数而立甲出北门东行二百步望乙与城叅相直复就乙斜行一百三十六步与乙相防问答同前
法曰甲东行步内减二之二行差【按倍斜行步内减东行步亦同】余以乘甲东行为实一步常法得半径
草曰别得二行相减余六十四步即半径为股之勾立天元一为半城径就以为股率其二行差即勾率也乃置甲东行步加天元得□□为大勾以天元股率乘之得丨□合以勾率除之不受便以此为大股【内勾率分母】乃倍天元以勾率乘之得□以减大股得丨□为一个大差于上【内勾率分母】乃以天元减甲东行得□□为小差以乘上位□□□为半段黄方幂【内寄勾率为母】寄左然后以天元自之又以勾率乘之又倍之得□□为同数与左相消得下式丨□□以平方开之得一百二十步倍之即城径也合问
或问乙出东门直行一十六步而止甲出北门东行二百步望见乙与城叅相直问答同前
法曰二行步相减余以自乘内减乙东行幂为实二之甲东行为益从一步隅法得半径
草曰立天元一以为半城径加乙行步并以减于甲行步得□□为平勾率其天元半径即平股率也乃置乙东行一十六步为小勾以股率乘之得□合以勾率除之今不受除便以此为小股【内带勾率分母】又置乙东行加二天元得□□为大勾以股率乘之得□□合以勾率除之今不受除便以此为大股【内寄勾率为母】以此小股大股相乘得□□□为半径幂【内寄勾率幂为母】寄左然后以勾率幂乘天元幂得丨□□□为相同数相消得□□□□开平方得一百二十步倍之即城径也合问【按此系得数各降二位然后开平方】
或问甲乙二人同出北门向东行至东北十字道口分路乙折南行一百五十步而立甲又向东行甲前后通行了二百步廻望乙恰与城相直问答同前法曰以二行步相乘于上又以南行步乗之为实二行步相乘于上又以乙南行减于甲东行得数复以乙南行乘之加上位共为法得半径
草曰立天元一为半城径副之上位加甲行步得□□为大勾也下位减于甲行步余□□为小勾也其乙折南行即小股也置大勾以小股乘之得□□内寄小勾□□为母便以为大股也再置天元以母乘之得□□减于大股余丨□□为半个矮梯底于上【内寄小勾为母】再置乙折行步内减天元得□□为半个矮梯头以乘上位得□□□□为半径幂【寄左】乃以小勾分母乘天元幂得下式□□□为同数与左相消得□□上法下实如法而一得一百二十步即城之半径也合问
又法 法曰二行步相乘为实倍甲东行内减乙南行为法
草曰立天元一为半圆径副之上位加甲东行得□□为大勾下位减甲东行得□□为小勾此小勾便是勾圆差也其乙南行即小股也置大勾以小股乘之得下式□□内寄小勾□□为母便以为大股也再置天元以二之又以分母乘之得□□为全径以减于大股余得□□□为股圆差也合以勾圆差乘之縁内已有小勾分母故不湏再乘便以此为两段之半径幂也更无分母【寄左】再置天元以自之又二之得□□为同数与左相消得□□上法下实一百二十步即半城径也合问
或问见底勾二百步明一百五十三步问答同前法曰半底勾乘明为平实并二云数而半之为从五分常法得明勾
草曰立天元一为明勾加明得□□为髙股也又以天元减底勾而半之得下式□□为平勾也勾股相乘得□□□为半径幂【寄左】然后以天元乘底勾得下式□为同数与左相消得□□□开平方得七十二步即明也以明乗底勾为平方实如法开之得一百二十步倍之即城径也合问
或问见底勾二百步□三十四步问答同前
法曰底勾□相减余倍之内减去底勾【按倍□减底勾亦同】复以底勾乗之于上又以□幂乘上位为三乗方实倍底勾以□幂乗之为从二云数相减余以自之为第一亷二云数相减余又倍之为第二益亷一步隅法得□股
草曰立天元一为□股加□得□□为平勾以平勾减底勾余□□为平以倍之得□□为黄长也此内却减底勾余得下式□□为明勾也复以底勾乘之得□□于上又□自乘得一千一百五十六为分母以乗上位得□□为带分半径幂【寄左】然后置黄长以天元乗之得□□合以□除之不除寄为母便以此为全径也以半之得□□为半径【内带□分母】以自之得丨□□□为同数与左相消得丨□□□□开三乗方得三十步即□股也余各依数求之合问
又法底勾内减二□复以底勾乘之复以□幂乘之为三乗方实余亷从并与前同
草曰识别得二数相减余一百六十六为平勾虚共又为平□股共于此余数内又去半径即□和也□和□相并即勾圆差也相减则□黄方也又倍□加□黄亦得勾圆差也底勾内减□股余即小差也 立天元一为□股减于云数相减数得□□为平以平减底勾得□□即平勾以平勾减于云数相减数得□□即虚以天元又减虚得□□即明勾也乃置平以天元乘之得□□合□除不除寄为母便以此为平股也【即半径】平股自之得丨□□□○为半径幂【内带□幂分母】寄左然后置底勾以明勾乗之得□□又以□幂一千一百五十六通之得下式□□为同数与左相消得丨□□□□亷从一一如上
或问见底勾二百步平一百三十六步问答同前法曰倍平内减底勾复以底勾乗之开平方得半径
草曰立天元为半径先倍平内减底勾余□为明勾复以底勾乗之得□为半径幂【寄左】然后以天元幂为同数与左相消得丨□□开平方得一百二十步又倍之即城径也合问
或问底勾二百步髙二百五十五步问答同前法曰底勾幂乗髙为立实底勾幂为从髙为亷一为隅得半径
草曰识别得髙即皇极股也立天元一为半径副之上位加髙得□□即底股也下位减于髙得□□即明股也置明股以底勾乗之得□□合以底股除不除寄为母便以此为明勾又以底勾乗之得□□为半径幂【内带底股分母】寄左然后以天元幂乗底股得丨□□与左相消得丨□□□开立方得一百二十步倍之即城径也合问
或问底勾二百步□勾□和五十步问答同前法曰以二云数相减余加底勾复以减余乗之半之于上以减余自之减上位为实并云数半之为法得□股
草曰别得二数相减余为小差股立天元一为□股减于小差股得□□即半径也又以天元减半径得□□为虚股于上又以半径加底勾得□□为通勾于下上下相乗得□□□折半得丨□□为半径幂【寄左】然后以半径自之得下式丨□□为同数与左相消得□□上法下实得三十步即□股也合问
或问见底勾二百步明股明和二百八十八步问答同前
法曰二数相减又半之得数又减于底勾余为泛率以泛率自之又倍之于上位又二数相减而半之以乗和步所得减于上倍为实倍泛率于上位又半底勾减和步加上位为法得明勾
草曰别得和步得明勾为大差也大差得底勾为二中差 立天元一为明勾加和步得□□为股圆差也【即大差】内又加底勾得□折半得□□即通勾通股差也【此即中差】置大差减中差得下□□即小差也大小差相乘得□□□为半段圆径幂【寄左】乃置底勾内减小差得□□为半径以自之得□□□倍之得下式□□□为同数与左相消得□□上法下实得七十二步即明勾也合问
按此条法草与三卷末以小差边股共为二中差者同误依问另设于后
法曰以底勾乘明股和幂为实倍底勾以明股和乗之加入明股和幂为从倍明股和内减底勾为亷一为隅开带纵立方得明勾
草曰别得明得明勾为髙股髙勾即半径也底勾为平勾和明勾为平勾较平股即半径也立天元一为明勾自之得丨□应以明股和除之不除便以为明股较【内寄明股和分母】明股和自之得□为股和以加股较得丨□□为倍明以分母乗倍天元得□为倍明勾与倍明相加得丨□□为倍髙股置底勾减天元得□□为倍平勾与倍髙股相乘得□□□□为城径幂【内寄明股和分母】寄左又倍天元与倍底勾相乘得□以寄分母乘之得□为相同数与左相消得丨□□□开立方得明勾合问
测圆海镜卷四
钦定四库全书