测圆海镜卷十

元　李冶　撰

三事和八问

或问甲乙同立于干隅乙向东行不知步数而立甲向南直行多于乙步望见乙复就东北斜行与乙相防二人共行了一千六百步又云甲南行不及斜行八十步问答同前

法曰共步内减四之小差复以自之于上以十八个小差幂减于上为实四之共步内减十六个小差于上却以十八小差加上为益从四步常法开平方得中差

草曰别得共步为三事和也不及步即小差也立天元一为中差加二之小差得□□为大小差并以加入三事和得□□为三也倍三事得三千二百内去大小差并得□□为三和也内减三余□□为三个黄方以自之得□□□为九段黄方幂【寄左】再置天元中差加小差得□□为大差以小差□乘之得□□为半个黄方幂就一十八之得□□为同数与左相消得□□□开平方得二百八十步即中差也其余各依法求之合问

或问以前三事和又云大差三百六十步问答同前法曰倍云数以云数乘之又九之于上倍云数加三事和为前数倍云数减二之三事和为后数二数又相减余一百六十为泛率以自乘减上位为平实十八之云数内又加四之泛率为从四常法得中差草曰立天元一为中差置云步倍之内减天元得□□为大小差共数加于三事和得□□为三也倍三事内减大小差共数得下式□□为三和也内减三得□□为三个黄方靣也以自之得□【□□】□为九段黄方幂【寄左】再以天元减大差得下式□□为小差又倍之得□□以云数乘之得下式□□又就分九之得下式□□与左相消得下式□□□开平方得二百八十步即中差也合问

或问依前见三事和又云中差二百八十步问答同前法曰和步加差步以自乘于上又和步内减差步以自乘加上位为平实四之和步为从二步益隅得大

草曰立天元一为大减共步得□□为和副置之上位减差步得□□为二勾以自之得丨□□为四段勾幂也下位加差步得□□为二股以自之得丨□□为四段股幂也二位相并得□□□为四段幂【寄左】然后以天元自之又四之得□□为同数与左相消得□□□开平方得六百八十步即大也倍之以减于三事和余即城径也合问

或问依前见三事和又云小差大差并四百四十步问答同前

法曰并前后二数三而一为反以减共步得数又以减得城径

草曰二数相并得□三而一得□即也以减三事和得□即和也和又相减余二百四十步即城径也合问

或问依前见三事和又云小差中差大差共七百二十问答同前

法曰半云数自之又三之于上以三事减上位为平实【按以三事减上位有误此系偶合三事之数耳当云加半段三事幂又倍三事和加大差复以大差乘之减上位为平实】倍三事于上半云数而五之加上位为益从二常法得小差

草曰别得三差共为二大差也立天元一为小差并大差加入三事和得□□为三也以自之得丨□□为十八积九较幂【寄起】又以共三事步自之得□方于上又以天元小差乘大差倍之得□加于上得□□为十二积四较幂又加五【按即三因二归】得□□为十八个直积六个较幂以减寄起余得丨□□为三个较幂【寄左】然后以天元小差减大差得□□为中差以自之得丨□□又三之得下式川□□为同数与寄左相消得□□□平方而一得八十步即小差也余各依数求之合问

或问依前见三事和又云明黄方叀黄方共六十六问答同前

法曰二事内加二之共步复以二之共步乘之于上位三事内减二之共步复以二之共步乘之得数减上位为平实三事内加二之共步又倍之于上又三【按三当作六】之共步加上位为泛寄三事内减二之共步又四之于上又三【按三亦当作六】之共步减上位得数以减泛寄为从作十八段虚平方开之得虚黄方

草曰别得共步即虚大小差也立天元一为虚黄方以三之加入倍之共步得□□为圆径也以圆径加三事得□□为二通和以圆径减三事得□□为二通又副置圆径上加天元得□□为二虚和下减天元得□□为二虚乃置二大和以二小乘之得下□□□【寄左】然后置二大以二小和乘之得下式□□□与左相消得□□□平方开之得三十六步即虚黄方也其余各依法求之合问

或问依前见三事和又云皇极二百八十九步问答同前

法曰二数相乘为实从空一益隅得大

草曰立天元一为通内减皇余□□为皇极勾股和以自之得丨□□于上以皇极幂减上位得丨□为二直积合于皇极除之不除寄为母便以此为城径【寄左】乃以二之天元减共步得□□为黄方面以皇通之得□□与左相消得丨□□开平方得六百八十步即大也合问

或问依前见三事和又云见太虚一百二步问答同前

法曰半虚乘三事为实三事为从四虚隅翻开之得半大

草曰识别得以虚减大半之为皇极以虚加大半之为皇极勾股共也立天元一为半大以二之内减虚得□□折半得□□为皇极也又以虚加大而半之得□□为皇极和也和自之得丨□□于上又以自之得丨□□减上位余得下□为二直积合以皇极除之不除寄为分母便以此为城径【寄左】然后以四之天元减三事共余□□又以皇极分母通之得□□□为同数与左相消得□□□倒积开得三百四十步倍之即大也合问

测圆海镜卷十

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