西洋利玛窦译
界说三十六则
凡造论先当分别解说论中所用名目故曰界说凡厯法地理乐律算章技艺工巧诸事有度有数者皆依頼十府中几何府属凡论几何先从一防始自防引之为线线展为靣靣积为体是名三度第一界
防者无分
无长短广狭厚薄 如下图【凡图十干为识干尽用十二支支尽用八卦八音】
【甲】
第二界
线有长无广
试如一平靣光照之有光无光之间不容一物是线也真平真圆相遇其相遇处止有一防行则止有一线
线有直有曲
第三界
线之界是防【凡线有界者两界必是防】
第四界
直线止有两端两端之间上下更无一防
两防之间至径者直线也稍曲则绕而长矣
直线之中防能遮两界
凡量逺近皆用直线
甲乙丙是直线甲丁丙甲戊丙甲己丙皆是曲线
第五界
靣者止有长有广
体所见为靣
凡体之影极似于靣【无厚之极】
想一线横行所留之迹即成靣也
第六界
靣之界是线
第七界
平靣一靣平在界之内
平靣中间线能遮两界
平靣者诸方皆作直线
试如一方靣用一直绳施于 角绕靣运转不碍于空是平靣也
若曲靣者则中间线不遮两界
第八界
平角者两直线于平靣纵横相遇交接处
凡言甲乙丙角皆指平角
如上甲乙乙丙二线平行相遇不能作角
如上甲乙乙丙二线虽相遇不作平角为是曲线
所谓角止是两线相遇不以线之大小较论
第九界
直线相遇作角为直线角
平地两直线相遇为直线角本书中所论止是直线角但作角有三等今附着于此一直线角二曲线角三杂线角 如下六图
第十界
直线垂于横直线之上若两角等必两成直角而直线下垂者谓之横线之垂线
量法常用两直角及垂线垂线加于横线之上必不作锐角及钝角
若甲乙线至丙丁上则乙之左右作两角相等为直角而甲乙为垂线
若甲乙为横线则丙丁又为甲乙之垂线何者丙乙与甲乙相遇虽止一直角然甲线若垂下过乙则丙线上下定成两直角所以丙乙亦为甲乙之垂线【如今用短尺一纵一横互相为直线互相为垂线】
凡直线上有两角相连是相等者定俱直角中间线为垂线
反用之若是直角则两线定俱是垂线
第十一界
凡角大于直角为钝角
如甲乙丙角与甲乙丁角不等而甲乙丙大于甲乙丁则甲乙丙为钝角
第十二界
凡角小于直角为锐角
如前图甲乙丁是
通上三界论之直角一而己钝角锐角其大小不等乃至无数
是后凡指言角者俱用三字为识其第二字即所指角也 如前图甲乙丙三字第二乙字即所指钝角若言甲乙丁即第二乙字是所指锐角
第十三界
界者一物之终始
今所论有三界防为线之界线为靣之界靣为体之界体不可为界
第十四界
或在一界或在多界之间为形
一界之形如平圆立圆等物多界之形如平方立方及平立三角六八角等物 图见后卷
第十五界
圜者一形于平地居一界之间自界至中心作直线俱等
若甲乙丙为圜丁为中心则自甲至丁与乙至丁丙至丁其线俱等
外圆线为圜之界内形为圜
一说圜是一形乃一线屈转一周复于元处所作如上图甲丁线转至乙丁乙丁转至丙丁丙丁又至甲丁复元处其中形即成圜
第十六界
圜之中处为圜心
第十七界
自圜之一界作一直线过中心至他界为圜径径分圜两平分
甲丁乙戊圜自甲至乙过丙心作一直线为圜径
第十八界
径线与半圜之界所作形为半圜
第十九界
在直线界中之形为直线形
第二十界
在三直线界中之形为三邉形
第二十一界
在四直线界中之形为四邉形
第二十二界
在多直线界中之形为多边形【五邉以上俱是】
第二十三界
三边形三边线等为平边三角形
第二十四界
三边形有两边线等为两边等三角形【或锐或钝】
第二十五界
三边形三边线俱不等为三不等三角形
第二十六界
三边形有一直角为三边直角形
第二十七界
三边形有一钝角为三边钝角形
第二十八界
三邉形有三锐角为三邉各锐角形
凡三边形恒以在下者为底在上二边为腰
第二十九界
四边形四边线等而角直为直角方形
第三十界
直角形其角俱是直角其边两两相等
如上甲乙丙丁形甲乙边与丙丁边自相等甲丙与乙丁自相等
第三十一界
斜方形四边等俱非直角
第三十二界
长斜方形其边两两相等俱非直角
第三十三界
以上方形四种谓之有法四边形四种之外他方形皆谓之无法四边形
第三十四界
两直线于同靣行至无穷不相离亦不相逺而不得相遇为平行线
第三十五界
一形每两边有平行线为平行线方形
第三十六界
凡平行线方形若于两对角作一直线其直线为对角线又于两边纵横各作一平行线其两平行线与对角线交罗相遇即此形分为四平行线方形其两形有对角线者为角线方形其两形无对角线者为余方形
甲乙丁丙方形于丙乙两角作一线为对角线又依乙丁平行作戊己线依甲乙平行作庚辛线其对角线与戊己庚辛两线
交罗相遇于壬即作大小四平行线方形矣则庚壬己丙及戊壬辛乙两方形谓之角线方形而甲庚壬戊及壬己丁辛谓之余方形
求作四则
求作者不得言不可作
第一求
自此防至彼防求作一直线
此求亦出上篇葢自此防直行至彼防即是直线
自甲至乙或至丙至丁俱可作直线
第二求
一有界直线求从彼界直行引长之
如甲乙线从乙引至丙或引至丁俱一直行
第三求
不论大小以防爲心求作一圜
第四求
设一度于此求作彼度较此度或大或小【凡言度者或线或面或体皆是】或言较小作大可作较大作小不可作何者小之至极数穷尽故也此说非是凡度与数不同数者可以长不可以短长数无穷短数有限如百数减半成五十减之又减至一而止一以下不可损矣自百以上增之可至无穷故曰可长不可短也度者可以长亦可以短长者增之可至无穷短者减之亦复无尽尝见庄子称一尺之棰日取其半万世不竭亦此理也何者自有而分不免爲有若减之可尽是有化爲无也有化爲无犹可言也令巳分者更复合之合之又合仍爲尺棰是始合之初两无能并爲一有也两无能并爲一有不可言也公论十九则
公论者不可疑
第一论
设有多度彼此俱与他等则彼与此自相等
第二论
有多度等若所加之度等则合并之度亦等
第三论
有多度等若所减之度等则所存之度亦等
第四论
有多度不等若所加之度等则合并之度不等
第五论
有多度不等若所减之度等则所存之度不等
第六论
有多度俱倍于此度则彼多度俱等
第七论
有多度俱半于此度则彼多度亦等
第八论
有二度自相合则二度必等【以一度加一度之上】
第九论
全大于其分【如一尺大于一寸寸者全尺中十分中之一分也】
第十论
直角俱相等【见界说十】
第十一论
有二横直线或正或偏任加一纵线若三线之间同方两角小于两直角则此二横直线愈长愈相近必至相遇甲乙丙丁二横直线任意作一戊己纵线或正或偏若戊己线同方两角俱小于直角或并之小于两直角则甲乙丙丁线愈长
愈相近必有相遇之处
欲明此理宜察平行线不得相遇者【界说卅四】加一垂线即三线之间定为直角便知此论两角小于直角者其行不得不相遇矣
第十二论
两直线不能为有界之形
第十三论
两直线止能于一防相遇
如云线长界近相交不止一防试于丙乙二界各出直线交于丁假令其交不止一防当引至甲则甲丁乙宜为甲丙乙圜之径而甲丁
丙亦如之【界说十七】夫甲丁乙圜之右半也而甲丁丙亦右半也【界说十七】甲丁乙为全甲丁丙为其分而俱称右半是全与其分等也【本篇九】
第十四论
有几何度等若所加之度各不等则合并之差与所加之差等
甲乙丙丁线等于甲乙加乙戊于丙丁加丁己则甲戊大于丙己者庚戊线也而乙戊大
于丁己亦如之
第十五论
有几何度不等若所加之度等则合并所赢之度与元所赢之度等
如上图反说之戊乙己丁线不等于戊乙加乙甲于己丁加丁丙则戊甲大于己丙者戊庚线也而戊乙大于己丁亦如之
第十六论
有几何度等若所减之度不等则余度所赢之度与减去所赢之度等
甲乙丙丁线等于甲乙减戊乙于丙丁减己丁则乙戊大于丁己者庚戊也而丙己大于甲戊亦如之
第十七论
有几何度不等若所减之度等则余度所赢之度与元所赢之度等
如十四论反说之甲戊丙己线不等于甲戊减甲乙于丙己减丙丁则乙戊长于丁己者亦庚戊也与甲戊长于丙己者等矣
第十八论
全与诸分之并等
第十九论
有二全度此全倍于彼全若此全所减之度倍于彼全所减之度则此较亦倍于彼较【相减之余曰较】
如此度二十彼度十于二十减六于十减三则此较十四彼较七
几何原本卷一之首
钦定四库全书