元 李 冶 撰
明 顾应祥 释术
通勾与别测望一
圆城南门之南有树甲从城外西北干隅东行三百二十步乙出西门南行望树及甲与城相叅直乃斜行二百五十五步至树下问城径
释曰此以通勾上高立法测望甲东行通勾也乙斜行乃天之日上高也乙从西门南行四百八十步为边股树在南门外一百三十五步为明股术曰二行相乘又以半甲东行乘之得一千三百○五万六千为立方实 二行相乘得八万一千六百半甲东行乘甲东行得五万一千二百相并得一十三万二千八百为益从甲东行三百二十为减从廉减从开立方法除之得半径
带从以廉减从开立方曰布实于左从于右别置减从廉 约初商得一百 置一于左上为法置一乘从廉得三万二千 以减从方余一十○○八百置一自之得一万并余从共一十一万○八百为下法与上法相乘除实一千一百○八万余一百九十七万六千 倍减廉得六万四千三因隅法得三万为方法 三因初商得三百为廉法 约次商得二十 置一于左次为上法置一乘减廉得六千四百并倍廉共七万○四百以减原从余六万二千四百 置一乘廉法得六千置一自之得四百为隅法并方廉隅共三万六千四百带余从共九万八千八百为下法与上法相乘除实尽得半径一百二十
后凡言带从以廉减从开立方法者仿此
甲从城外西北干隅东行三百二十步而立乙出南门直行不知步数望见甲与城相叅直遂斜行四百二十五步与乙相防问城径
释曰此以通勾底立法测望甲东行通勾也乙自南门外斜行就甲为底乃日之地也
术曰二行相减余一百○五为通勾底差以乘通勾得三万三千六百 又以半通勾乘之得五百三十七万六千为立方实 半通勾乘通勾得五万一千二百与差乘通勾之数相减余一万七千六百为从方 倍东行得六百四十步为益廉作带从减益廉开立方法除之
带从减益廉开立方法见三卷【明勾边股下】
圆城南门外有槐树一株东门外有栁树一株两树斜相距二百八十九步甲从城外西北隅向东行三百二十步望槐栁与城相叅直问城径
释曰此以通勾皇极立法测望甲东行通勾也两树斜相距皇极也原法先求出皇极勾即栁至城心步后以勾求股以皇极勾股求容圆即是术曰通勾与皇极相乘得九万二千四百八十自之得八十五亿五千二百五十五万○四百为三乘方实 皇极自乗得八万三千五百二十一为皇极筭以通勾乘之得二千六百七十二万六千七百二十倍之得五千三百四十五万三千四百四十为从方 倍通勾皇极相乘之数得一十八万四千九百六十为第一从廉 倍皇极得五百七十八为第二益廉 以二为隅筭作带从廉负隅以廉隅添积开三乘方法除之得一百三十六为皇极勾求城径以皇极勾求皇极股二百五十五 勾股相乘倍为实以除之即得容圆全径【勾求股见一卷】带从廉负隅以廉隅添积开三乘方曰置所得三乘方积为实 列从方从一廉从二益廉约商首一位得一百置一于左上为法 置一自之以乘益廉得五百七十八万 置一自乘再乘以隅筭因之得二百万为隅法益廉共七百七十八万与上法相乘得七亿七千八百万为益实添入积内共九十三亿三千○五十五万○四百为通实置一乘从一廉得一千八百四十九万六千为益从并入从方共七千一百九十四万九千四百四十为下法与上法相乘除实七十一亿九千四百九十四万四千余实二十一亿三千五百六十○万六千四百为次商之实 四因隅法得八百万为方法 初商自之六因又以隅筭因之得一十二万为上廉 初商四之隅因得八百为下廉次商三十置一于左次为上法 倍初商加次商得二百三十并初次商为一百三十相乘得二万九千九百又加初商自之一万共三万九千九百以乘从二益廉得二千三百○六万二千二百为益廉之实 置一乘上廉得三百六十万 置一自之得九百以乘下廉得七十二万 置一自乘再乘得二万七千隅因得五万四千为隅法并方廉隅共一千二百三十七万四千为益隅之实与益廉之实相并得三千五百四十三万六千二百为益积之法与上次法相乘得一十○亿六千三百○八万六千为益积之实添入余实共三十一亿九千八百六十九万二千四百为通实 倍初商加次商得二百三十 以乘从一廉得四千二百五十四万○八百为益从并入从方共九千五百九十九万四千二百四十为下法 与上次法相乘除实二十八亿七千九百八十二万七千二百尚余三亿一千八百八十六万五千二百为三商之实 二因上廉得七百二十万 三因下廉得二百一十六万 四因隅法得二十一万六千并入方法共一千七百五十七万六千为方法 并初次商自之 又六因得一十○万一千四百以隅筭因之得二十○万二千八百为上廉 并初次商四之得五百二十以隅因得一千○四十为下廉 三商得六 置一于左上为法 倍初次商加三商得二百六十六 并初次商加三商得一百三十六 相乘得三万六千一百七十六又以初次商并自之得一万六千九百加之共五万三千○七十六以乘从二益廉得三千○六十七万七千九百二十八为益廉之实 置一乘上廉得一百二十一万六千八百 置一自之以乘下廉得三万七千四百四十相并得一百二十五万四千二百四十为廉法 置一自乘再乘得二百一十六 以隅因之得四百三十二为隅法并方法廉法隅法共一千八百八十三万○六百七十二为益隅之实 并益廉之实共四千九百五十○万八千六百为益积之法 与上法相乘得二亿九千七百○五万一千六百为益积 添入余实共六亿一千五百九十一万六千八百为通实 倍初次商加三商得二百六十六 以乘从一廉四千九百一十九万九千三百六十为益从 并从方共一亿○二百六十五万二千八百为下法与上法六相乘除实尽得一百三十六为皇极勾此法以二廉与隅添积以第一廉益从为法
又为带从负隅以廉隅减从开三乘方法
其法曰以八十五亿五千二百五十五万○四百为正实 以五千三百四十五万三千四百四十为从方 以一十八万四千九百六十为从一廉以五百七十八为从二减廉 二为隅算 约
初商得一百 置一于左上为法 置一自之得一万以乘从二廉得五百七十八万为减廉置一自乘再乘 又以隅因得二百万为隅法 并减廉隅法得七百七十八万为减从 置一乘从一廉得一千八百四十九万六千为益从 以益从加入原从得七千一百九十四万九千四百四十以减从减之余六千四百一十六万九千四百
四十为下法 与上法相乘除实六十四亿一千六百九十四万四千 余实二十一亿三千五百六十○万六千四百为次商之实 四因隅法得八百万为方法 初商自之六因又以隅因之得一十二万为上廉 初商四之隅因得八百为下廉 约次商得三十置一于左上为法 倍初商加次商得二百三十 并初次商得一百三十相因得二万九千九百又加初商自乘一万共三万九千九百以乘从二廉得二千三百○六万二千二百为减廉 置一乘上廉得三百六十万 置一自之以乘下廉得七十二万 置一自乘再乘隅因得五万四千为隅法 并方廉隅共一千二百三十七万四千为减隅 并减廉减隅共三千五百四十三万六千二百为减从 倍初加次商得二百三十以乘从一廉得四千二百五十四万○八百为益从以加原从得九千五百九十九万四千二百四十以减从减之余六千○五十五万八千○四十为下法 与上法相乘除实一十八亿一千六百七十四万一千二百 余实三亿一千八百八十六万五千二百为三商之实 二因上廉得七百二十万三因下廉得二百一十六万四因隅法得二十一万六千并入方法共一千
七百五十七万六千为方法 初次商并自之六因又以隅筭因之得二十○万二千八百为上廉 初次商并四之隅因得一千○四十为下廉约三商得六置一于左次为上法 倍初次商
加三商得二百六十六 并初次三商共一百三十六相因得三万六千一百七十六又加初次商相并自之一万六千九百共五万三千○七十六以乘从二廉得三千○六十七万七千九百二十八为减廉 置一乘上廉得一百二十一万六千八百 置一自之以乘下廉得三万七千四百四十置一自乘再乘以隅因得四百三十二为隅法并方廉隅共一千八百八十三万○六百七十
二为减隅 减廉减隅相和得四千九百五十○万八千六百为减从倍初次加三商得二百六十六以乘从一廉得四千九百一十九万九千三百六十为益从 以加原从得一亿○二百六十五万二千八百 以减从减之余五千三百一十四万四千二百为下法 与上法相乘除实尽此法以第一廉为益从第二廉与隅为减从以从为法
后凡如此类者俱仿此
圆城南门外往东有树甲从城外西北隅东行三百二十步望树与城叅直复斜行二百七十二步至树下问城径
释曰此以通勾黄长立法测望南门外往东七十二步有树明勾也甲东行通勾也斜行至树下地之月黄长也
术曰二行相减余四十八为差 倍差倍东行相乘得六万一千四百四十为实 倍差倍东行步相并得七百三十六为益从 二为隅法 作负隅减从翻法开平方法除之得全径
负隅减从翻法开平方法见三卷通勾□股条下前以半径此以全径推广即是
丙出南门东行乙出东门南行各不知步数而立甲从城外西北干隅东行三百二十步望乙丙俱与城相叅直既而乙欲就丙乃斜行一百○二步相防问城径
释曰此以通勾太虚立法测望丙出南门东行七十二为明勾乙出东门南行三十步为□股甲东行通勾也乙斜行太虚也以此勾立法
术曰甲东行自之得一十○万二千四百为东行筭倍斜行乘之得二千○八十八万九千六百为立
方实 倍斜行乘东行得数又加倍东行筭得二十七万○○八十为从方四之东行得一千二百八十为益廉 四为隅法 作带从负隅以廉添积开立方法除之得半径
带从负隅以廉添积开立方曰置所得立方实于左 以从方益廉隅筭约之 初商一百 置一于左上为法 置一乘益廉得一十二万八千与上法相乘得一千二百八十万为益实 添入积内得三千三百六十八万九千六百为通实 置一自之又以隅筭因之得四万为隅法 并从方共三十一万○○八十为下法与上法相乘除实三千一百○○万八千余实二百六十八万一千六百为次实 二因乘过益廉得二十五万六千为益廉 三因隅法得一十二万为方法 三因初商得三百为廉法 次商二十 置一于左上为法 置一乘原益廉得二万五千六百并入乘过益廉得二十八万一千六百与上法相乘得五百六十三万二千为益实 添入次实共八百三十一万三千六百为通实 置一乘廉法得六千隅因得二万四千 置一自之隅因得一千六百为隅法 并方廉隅共一十四万五千六百带从方共四十一万五千六百八十为下法与上法相乘除实尽
后凡言带从负隅以廉添积开立方法俱仿此
又为带从廉半翻法减从负隅开立方法
法曰初商一百 置一于左上为法 置一乘从廉得一十二万八千以减从方余一十四万二千○八十 置一自之隅因得四万为隅法并减余从方共一十八万二千○八十为下法与上法相乘除实一千八百二十○万八千余实二百六十八万一千六百为次商之实 二因从廉得二十五万六千 三因隅法得一十二万为方法 三因初商得三百为廉法 约次商得二十 置一于左次为上法 置一乘从廉得二万五千六百并入前二因从廉得二十八万一千六百 以减从方不及反减从方二十七万○○八十余一万一千五百二十为负从 置一乘廉法以隅因得二万四千 置一自之隅因得一千六百为隅法并方廉隅共一十四万五千六百反减负从余一十三万四千○八十为下法与上法相乘除实尽后凡如此类者俱仿此
又术曰斜行乘东行筭半之得五百二十二万二千四百为实 斜行乘东行如东行筭半之得六万七千五百二十为从方 东行三百二十为从廉如前法求之得半径
不用隅算 添积减从随意
又曰四之斜行以乘东行筭得四千一百七十七万九千二百为正实 倍斜行乘东行加二之东行筭得二十七万○○八十为从方 倍东行得六百四十为从廉 如前法开之得全径二百四十 添积减从俱同
乙出城东门上南不知步数而立甲从城外西北干隅东行三百二十步望乙与城相叅直复斜行一百七十步与乙相防问城径
释曰此以通勾小差立法测望甲东行通勾也斜行小差也
术曰二行相减余一百五十为差自之得二万二千五百以乘东行得七百二十万为实 倍差以乘东行得九万六千为从方 倍差得三百为隅算 作负隅减从开平方法除之得半径
负隅减从开平方法见二卷【通勾□勾条】
又术倍东行筭得二十三万四千八百 倍二行相乘数得一十○万八千八百 相减余九万六千为实 倍东行得六百四十为从作减从开平方法除之得全径二百四十
减从开平方法曰列实于左从于右 约初商得二百置一于左上为法 置一为隅法以减从方余四百四十为下法与上法相乘除实八万八千余八千为次商之实余从内再减二百余二百四十为从 次商四十 置一于左上为法 置一为隅法以减从方余二百为下法与上法相乘除实尽
法见二卷底勾□勾条下因从有重位故重出
圆城南门外直南不知步数有槐树一株南门外东行不知步数有栁树一株槐栁斜相距一百五十三步甲从城外西北隅东行三百二十步望槐栁与城相叅直问城径
释曰此以通勾明立法测望二树斜相距明也甲东行通勾也
术曰通勾自之得一十○万二千四百为通勾筭二行相乘得四万八千九百六十 又以二数相乘得五十○亿一千三百五十○万四千为三乘方实明乘通勾筭三之得四千七百○○万一千六百为从方 倍二行相乘数以减通勾筭余四千四百八十为第一廉 倍通勾得六百四十为第二益廉二步为隅法 作带从负隅以二廉减从方开三乘方法除之得半径
带上廉负隅以下廉减从开三乘方法曰置所得三乘方实以防隅从方约之初商一百 置一于左上为法 置一自之以乘从二廉得六百四十万为减廉以减从方 余四千○六十○万一千六百为从方 置一乘第一廉得四十四万八千为益廉 置一自乘再乘得一百万又以隅因之得二百万为隅法 并从方益廉隅法共四千三百○四万九千六百为下法与上法相乘除实四十三亿○四百九十六万 余实七亿○八百五十四万四千为次商之实 四因隅法得八百万为方法 初商自之六因又以隅法因之得一十二万为上廉 初商四之隅因得八百为下廉 约次商得二十 置一于左上为法 倍初商加次商得二百二十以乘从二廉得一十四万○八百并初次商得一百二十因之得一千六百八十九万六千为减廉 以减余从余二千三百七十○万五千六百为从方 倍初商加次商得二百二十以乘第一廉得九十八万五千六百为益廉置一乘上廉得二百四十万 置一自之以乘下廉得三十二万 置一自乘再乘又以隅因之得一万六千为隅法 并方法从方廉益上下廉隅法共三千五百四十二万七千二百为下法与上法相乘除实尽
丙出东门南行乙出东门直行各不知步数而立甲从城外西北干隅东行三百二十步回望乙丙与城相叅直既而乙欲就丙乃斜行三十四步相防问城径释曰此以通勾□立法测望甲东行通勾也乙斜行三十四步就丙□也
术曰通勾自之得一十○万二千四百为通勾筭又以通勾増乘得三千二百七十六万八千 倍□乘通勾筭得六百九十六万三千二百 二数相减余二千五百八十○万四千八百为立方实 □乘通勾得一万○八百八十以减二之通勾筭得一十九万三千九百二十为从方 通勾加五得四百八十为益廉 五分为隅法 作带从负隅以廉添积开立方法除之得全径
带从负隅以廉添积开立方曰置所得立方实及从方益廉 约初商得二百 置一于左上为法置一乘益廉得九万六千与上法相乘得一千
九百二十万为益实添入积内得四千五百○○万四千八百为实 置一自之得四万 以隅算五分因之得二万为隅法 并从方共二十一万三千九百二十为下法与上法相乘除实四千二百七十八万四千余实二百二十二万○八百倍益廉得一十九万二千○三因隅法得六万为方法 三因初商得六百以隅因得三百为廉法约商次位得四十 置一于左上为法 置一
乘原益廉得一万九千二百 并入倍廉得二十一万一千二百与上法四十相乘得八百四十四万八千为益实加入余实得一千○六十六万八千八百为实 置一乘廉法得一万二千 置一自之隅因得八百为隅法 并方法从方廉隅共二十六万六千七百二十为下法与上法相乘除实尽
此法已见前通勾太虚条下因隅不同故又重出
又为带从以廉减从负隅开立方法
其法曰初商二百 置一于左上为法 置一乘从廉得九万六千以减从方余九万七千九百二十为从 置一自之隅因得二万为隅法 并从方共一十一万七千九百二十为下法与上法相乘除实二千三百五十八万四千 余实二百二十二万○八百 从方内再减从廉九万六千余一千九百二十为从方 三因隅法得六万为方法 三因初商隅因得三百为廉法 次商四十 置一于左上为法 置一乘从廉得一万九千二百 以减余从不及减于从廉内反减余从一千九百二十余一万七千二百八十为负从置一乘廉法得一万二千 置一自之隅因得八百为隅法并方廉隅共七万二千八百反减负从余五万五千五百二十为下法与上法相乘除实尽
又术斜步乘东行筭得三百四十八万一千六百为立方实斜步乘东行以减半东行筭得四万○三百二十为从方 半步为隅法 作负隅带从开立方法除之得勾圆差八十步以减通勾即半径
负隅带从开立方法见三卷【通勾明股条】
东门外不知步数有树甲从城外西北干隅东行三百二十步见之复斜行一百三十六步至树下问城径释曰此以通勾下平立法测望甲东行通勾也斜行至树下乃川之地下平也
术曰二行相减余一百八十四为差 倍差减东行以其余乘东行得一万五千三百六十为实 倍差得三百六十八为从方 二为隅法作减从负隅翻法开平方法除之得半径
减从负隅翻法开平方见三卷【通勾□股条下】
底勾与别测望二
乙从城外西北干隅南行不知步数而立甲出北门东行二百步见之复斜行六百八十步与乙防
释曰此以底勾通测望甲出北门东行二百步底勾也斜行六百八十步通也
术曰二行相减余四百八十曰差 相并得八百八十曰和 差和相乘得四十二万二千四百减去差筭余一十九万二千为实 差和相并得一千三百六十为从 二为隅 作带从负隅开平方除之得半径
带从负隅开平方法曰置实于左从于右约初商得一百 置一于左上为法 置一乘隅算得二百为隅法 并从方共一千五百六十为下法与上法相乘除实一十五万六千余实三万六千倍隅法得四百为廉法 约次商二十 置一于左上为法置一乘隅算得四十为隅法 并从方廉隅共一千八百为下法与上法相乘除实尽后凡言带从负隅开平方法者俱仿此
又术以差筭二十三万○四百为实以东行步减差余二百八十为从方 作带从开平方法除之得三百六十为通勾较以较减即通勾以通勾求容圆法求之得城径
此法以半勾全求股以求和较
勾求容圆见一卷
南门外不知步数有塔一座东门外往南不知步数有树甲出北门东行二百步望树与塔俱与城相叅直及量树斜距塔二百五十五步
释曰此以底勾下高立法测望出北门东行二百底勾也塔距树即日之山下高也
术曰底勾筭与下高相乘得一千○二十万为立方实 以底勾筭四万为从方 高为从廉 作带从方廉开立方法除之得半径
带从方廉开立方曰置实于左以从方从廉约之初商一百 置一于左上为法 置一乘从廉
得二万五千五百 置一自之得一万为隅法并从方从廉隅共七万五千五百为下法与上法相乘除实七百五十五万 余实二百六十五万二因从廉得五万一千 三因隅法得三万
相并得八万一千为方法 三因初商得三百带从廉得五百五十五为廉法 次商二十 置一于左上为法 置一乘廉法得一万一千一百置一自之得四百为隅法 并方法从方廉隅共一十三万二千五百为下法与上法相乘除实尽后凡言带从方廉开立方法者俱仿此
南门外不知步数有树乙从南门东行亦不知步数而立甲出北门东行二百步望树与乙与城相叅乙复斜行一百五十三步至树下与甲相望问城径释曰此以底勾明立法测望甲出北门东行底勾也乙斜行至树下明也
术曰半底勾乘明得一万五千三百为实二行相并半之得一百七十六步半为从方半为隅算 作带从负隅开平方法除之得七十二为明勾
带从负隅开平方法见前底勾通股条
求城径以明勾乘底勾平方开之得半径
又曰勾求股以明勾股求容圆法求之得全径
东门外往南有树乙出东门直行不知步数而立甲出北门东行二百步望乙与树俱与城相叅直乙遂斜行三十四步至树下
释曰此以底勾□立法测望甲出北门东行底勾也乙斜行至树下□也
术曰底勾减二□余一百三十二以底勾乘之得二万六千四百 又以□筭一千一百五十六乘之得三千○五十一万八千四百为三乘方实 倍底勾以□筭乘之得四十六万二千四百为从方底勾减□ 余自之得二万七千五百五十六
为从一廉底勾减□余倍之得三百三十二为从二廉 作带从方上廉以下廉减从开三乘方法除之得□股三十求城径以□勾股求容圆法求之带从方廉以下廉减从开三乘方曰约初商得三十 置一于左上为法 置一自之得九百以乘从二廉得二十九万八千八百为减廉以减从方余一十六万三千六百为从方 置一乘第一廉得八十二万六千六百八十为益廉 置一自乘再乘得二万七千为隅法 并从方益廉隅法共一百○一万七千二百八十为下法与上法相乘除实尽得三十为□股
后凡如此类者俱仿此
乙出南门东行不知步数而立甲出北门东行二百步见之乃斜行二百七十二步与乙相防
释曰此以底勾黄长立法测望东行底勾也斜行黄长也
术曰二行相减余七十二为差以乘甲东行得半径筭四之即全径筭各以平方开之
乙出东门南行不知步数而立甲出北门东行二百步见之斜行一百七十步与乙防
释曰此以底勾小差立法测望乙出东门行三十步乃东之山甲出北门东行底勾也斜行与乙防乃山之地小差也
术曰以二行差三十乘甲东行得六千为平实以斜行一百七十为从方 作减从翻法开平方法除之得半径
减从翻法开平方法见二卷及三卷底勾□股条
乙出东门东行不知步数而立甲出北门东行二百步望乙与城相叅直乃斜行一百三十六步与乙防释曰此以底勾下平立法测望甲东行底勾也斜行与乙防下平也
术曰倍二行差以减东行步余七十二以乘东行得半径筭倍平减底勾以底勾乘之亦同
大差勾与别测望三
乙从城外东北艮隅东行不知步数而立甲从城外西南坤隅东行一百九十二步望乙与城角相叅直复斜行二百七十二步与乙防
释曰此以大差勾黄长立法测望甲从坤隅东行为坤之月大差勾也斜行与乙防乃月之地黄长也
术曰倍大差勾减黄长余一百一十二为倍勾减差自之得一万二千五百四十四 黄长自之得七万三千九百八十四 相减余六万一千四百四十为平实 以倍勾减差四之得四百四十八为从 八为益隅 作负隅减法开平方法除之得半径
负隅以从减法开平方曰置实于左以从约之初商一百 置一于左上为法 置一乘隅法得八百以减去从方四百四十八余三百五十二为下法与上法相乘除实三万五千二百 余实二万六千二百四十 倍隅法得一千六百为廉法次商二十 置一于左上为法 置一乘隅法得一百六十 并入廉法共一千七百六十减去从方四百四十八余一千三百一十二为下法与上法相乘除实尽
后凡言负隅以从减法开平方法者仿此
又为以从添积负隅开平方法详见八卷皇极和和与太虚勾股较条下
明勾与别测望四
乙出东门不知步数而立甲出南门东行七十二步见之又斜行一百三十六步就乙
释曰此以明勾平测望甲出南门东行七十二步明勾也斜行就乙乃月之川下平也
术曰斜行自之得一万八千四百九十六为平筭二行相减余六十四自之得四千○九十六为差筭即平勾筭以减筭余为平股筭开之得股平股即圆半径也
乙出东门南行不知步数而立甲出南门往东七十二步见乃斜行一百○二步与乙防问城径
释曰此以明勾太虚立法测望甲出南门东行明勾也斜行就乙太虚也
术曰二行相减余三十为差斜行自之为斜筭 倍差乘东行又倍之为八千六百四十以减斜筭余一千七百六十四平方开之得四十二为较 倍差乘东行得四千三百二十为实 较为从方 平方开之得四十八为虚勾 加较为股 并为和和即城径
测圆海镜分类释术卷四
钦定四库全书