钦定四库全书
几何论约卷末
柘城杜知耕撰
増题【利氏曰丁先生言欧几里得六卷中多研察有比例之线竟不及有比例之面故因其义类増益数题补其未备窦复増一题窃弁于首仍以题防从先生旧题随类附演以广其用俱称今者以别于先生旧増也】
今増题圜与圜为其径与径再加之比例
解曰甲乙丙丁戊己两圜其径甲丙丁己题言两圜为甲丙丁己再加之
比例
一糸全圜与全圜半圜与半圜圜分与相当圜分相为比例皆等皆两径再加之比例故也
二糸三邉直角形对直角边为径所作圜与余两邉为径所作圜并等半圜与两半圜并等圜分与相似两圜分并等
三糸三线为连比例以为径所作三圜亦为连比例推此可求各圜之相与为比例者又可以圜求各圜之相与为比例者
一増题直线形求减所命分其所减所存各作形与所设形相似而体势等
法曰甲形求减三分之一所减所存各作形与乙相似先作丙丁形与甲等与乙相似次依丙戊邉作丙己戊半圜次截丙戊三分之一为戊庚次作己庚为丙戊之垂线次作己丙己戊两线末于己丙己戊
上作己辛己壬两形各与丙丁相似为所求耕曰丙丁己辛己壬三形既相似其比例必若其底与底再加之比例三底线负半圜为三邉直角形其己庚丙己庚戊两分形又与全形相似则丙戊与己丙必若己丙与丙庚是丙戊与丙庚为再加之比例而丙丁己辛两形必若丙戊丙庚两线矣夫丙庚既为丙戊三分之二则辛己亦必丙丁三分之二依显己壬为丙戊三分之一
若所存所减不论何形其法更易如甲形求减三分之一先作乙丙形与甲等
次截乙丁三分之一为丁戊末作己戊即戊丙形为甲三分之一
今附有大圜求减小圜则以圜径当形邉余同前又附依此法可作一方形与初月形等如甲乙丙丁圜有初月戊形附圜界四分之一先作甲乙丙丁内切方形而四平分之其一分即与初月形等何者甲乙丙半圜与甲乙乙丙上两半圜等即戊己半圜为半大圜之半而己庚分圜形亦为半大圜之半是己庚分圜形与戊己半圜等矣此两
率各减一同用之己形所存戊庚两形不亦等乎庚为甲乙丙丁方形四之一故甲乙丙丁方形四分之一之方形与初月形等
二増题两直线形求别作一直线形为连比例法曰甲与乙丙丁两形求别作一形为连比例先作戊己庚形与甲等与乙丙丁相似次以戊己为前率乙丙为中率而求连比例之末率为辛壬【本卷十一】末于辛壬上作辛壬癸形与两形相似为所求
论曰三线既为连比例即其上相似三形亦为连比例【本卷二二】
今附有两圜求别作一圜为连比例即以圜径当形邉法同前
三増题三直线形求别作一直线形为断比例
法曰一甲二乙丁三己庚辛求别
作一形为断比例先作壬子形与
甲等与乙丁相似次以壬癸乙丙
己庚为三率求断比例之末率为
寅卯【本卷十二】末于寅卯上作寅卯辰形与己庚辛相似为所求
论曰四线既为断比例其线上相似形亦为断比例【本卷二三】
今附有三圜求别作一圜为断比例法同前
四増题两直线形求别作一形为连比例之中率法曰甲与乙丙丁两形求别作一形为连比例之中率先作戊己庚形与甲等与乙丙丁相似次求戊己乙丙两线连
比例之中率为辛壬于辛壬上作辛壬癸形与乙丙丁相似为所求
又法曰甲乙两形求别作一形为连比例之中率先作丁巳形与甲等次作庚壬形与乙等与丁巳相似令两形戊角相聨而丁
壬巳庚各成直线末引各邉作子癸直角形其子戊戊癸两余方皆为甲乙之中率
论曰丁己与戊癸若子戊与庚壬何者两比例皆若丁戊与戊壬也故两余方皆为等甲乙两角线形之中率今附两圜求别作一圜为连比例之中率法同前
五増题一直线形求分作两直线形俱与所设形相似而体势等其比例若所设两几何之比例
法曰一甲形求分为两形俱与丁相似与乙丙比例等先作戊庚形与甲等与丁相似次分戊辛邉于壬令戊壬与壬辛若乙与丙次于戊辛上作
戊癸辛半圜次从壬作癸壬为戊辛之垂线次作戊癸癸辛两线末于戊癸癸辛上作戊子癸寅两形俱与戊庚形相似为所求
今附一圜求分作两圜与所设比例等法同前
六増题一直线形求分作两直线形俱与所设形相似而体势等其两分形两相似邉之比例若所设两几何之比例
法曰一甲形求分作两形俱与丁相
似其两分形两相似邉之比例若乙
与丙先以乙丙两线求连比例之末
率为戊次作己庚辛形与甲等与丁
相似次分己辛于壬令己壬与壬辛若乙与戊次于己辛线上作巳癸辛半圜次从壬作壬癸为巳辛之垂线次作巳癸癸辛两线末于己癸癸辛上作己子癸癸丑辛俱与丁相似为所求
今附一圜求分作两圜两径若所设之比例法同前
七増题两直线形求并作一直线形与所设形相似而体势等
法曰甲乙两形求并作一形与丙相似先作戊丁己形与甲等作己庚辛形与乙等次以两形相似邉聨为直角次以戊辛聨之末于戊辛线作戊辛壬形与丙相似为所求
又法曰先作一方形与甲乙两形并等次作角形与方形等与丙相似
今附两圜求并作一圜法同前
八增题圜丙两合线交而相分其分线彼此互相视解曰甲乙丙丁圜内有甲丙乙丁两线交而相分于戊题言甲戊与戊丁若乙戊与戊丙又甲戊与乙戊若戊丁与戊丙也
论曰甲戊偕戊丙与乙戊偕戊丁两矩内形等【三卷三五】即等角旁之两邉为互相视之邉【本卷十四】
九増题圜外任取一防从防出两直线皆割圜至规内其两全线与两规外线彼此互相视若从防作一切圜线则切圜线为各割圜全线与其规外线之各中率
解曰甲乙丙丁圜外任取戊防作戊丙戊丁两线割圜界于甲于乙题言戊丙与戊丁若戊甲与戊乙又戊丙与戊甲若戊丁与戊乙也又言己戊切线为各割圜全线与规外线之各中率谓丙戊与己戊若己戊与戊
乙又丁戊与己戊亦若己戊与甲戊也
论曰丙戊偕乙戊矩内形与己戊上方形等【三卷三六】又丁戊偕甲戊矩内形与己戊上方形亦等即两矩内形自相等而等角旁之两邉为互相视之邉【本卷十四】又两矩内形各与戊己上方形等即戊丙戊己戊乙三线戊丁戊己戊甲三线俱为连比例而己戊为各中率
十増题两直线相遇作角从两线之各一界互下垂线而毎方为两线一自界至相遇处一自界至垂线则各相对之两线皆彼此互相视
解曰甲乙丙乙两线相遇于乙作甲乙丙角从甲作丙乙之垂线从丙作甲乙之垂线若甲乙丙为钝角如上圗两垂线当
至甲乙丙乙之各引出线上为甲丁为丙戊其甲戊丙丁交而相分于乙也若甲乙丙为鋭角如下圗甲丁丙戊两垂线当在甲乙丙乙之内交而相分于己也题言甲乙与乙丙若丁乙与乙戊又甲乙与丁乙若乙丙与乙戊也
论曰甲乙丁形之甲乙丁甲丁乙两角与丙乙戊形之丙乙戊丙戊乙两角皆等【两为直角两于上圗为交角于下圗为同角故】即两形为等角形故各相对之两线为彼此互相视
十一増题平行线形内两直线与两邉平行分元形为四平行线形此四形任相与为比例皆等
解曰甲丙形内作戊己庚辛两线与甲丁丙丁平行而交于壬题言所分之戊庚庚己乙
壬壬丙四形任相与为比例皆等
论曰戊壬与壬己两线之比例既若戊庚与庚己两形又若乙壬与壬丙两形即戊庚与庚己亦若乙壬与壬丙也依显乙壬与戊庚亦若壬丙与庚己也
十二増题凡四邉形之对角两线交而相分其所分四三角形任相与为比例皆等
解曰甲乙丙丁四邉形有甲丙乙丁两对角线交而相分于戊题言所分甲戊丁乙戊丙
甲戊乙丁戊丙四三角形任相与为比例皆等论曰甲戊与戊丙两线之比例若甲戊丁与丁戊丙两形又若甲戊乙与乙戊丙两形即甲戊丁与丁戊丙两形亦若甲戊乙与乙戊丙也依显甲戊乙与甲戊丁亦若乙戊丙与丁戊丙也
十三増题三角形任于一邉任取一防从防求作一线分本形为两形其两形之比例若所设两几何
法曰甲乙丙角形任于乙丙
邉任取丁防求从丁作一线
分本形为两形其两形之比
例若戊与己先分乙丙于庚令乙庚与庚丙若戊与己如庚丁同防【一圗】即作丁甲线为所求如庚在丁丙之内【二圗】亦作丁甲线从庚作辛庚线与丁甲平行末作丁辛线即分乙丁辛甲无法四邉形与丁丙辛角形其比例若戊与己也如庚在乙丁之内【三圗】亦作丁甲线次从庚作庚辛线与丁甲平行末作辛丁线即分乙丁辛角形与丁丙辛甲无法四邉形其比例若戊与己也【详一卷三十八题第二増】
十四増题一直线形求别作一直线形相似而体势等其比例若所设两几何
法曰甲直线形求别作一形与甲相似令甲与所作形之比例若乙与丙先以乙丙及丁戊三线求断比例之末率为己次求
丁戊及己之中率为庚辛【本卷十二十三】末于庚辛上作壬形与甲相似为所求若先设大甲求作小壬若丙与乙仿此
论曰丁戊庚辛己三线为连比例即一丁戊与三己之比例若一丁戊上之甲与二庚辛上之壬有用法作各形之相加相减者如乙丁方形求别作五倍大方形先引长甲乙至戊令乙戊五倍于乙甲次平分甲戊于己即
以己为心甲为界作甲庚戊半圜次引长乙丙抵圜界于庚即依乙庚线作乙辛方形为所求耕曰甲乙偕戊乙矩内形与乙庚上方形等【三卷三五】矩内形既五倍于乙丁则乙辛方形亦必五倍于乙丁
又丁乙直线形求别作二倍大相似形先引长甲乙至戊令乙戊二倍于甲乙次平分甲戊于己即以己为心甲为界作甲庚戊半圜次引长丙乙抵圜界于庚次于甲戊线截取甲辛与乙庚等从辛作辛壬与乙丙平
行次作甲丙对角线引长之遇辛壬于壬次自壬作壬癸与丙丁平行末引甲丁线聨之成癸辛形即二倍于丁乙而相似
用此法不论何形但两形相似其在庚乙上形皆二倍于在甲乙上形
今附若用前法作圜则乙庚径上圜亦二倍大于甲乙径上圜相加相减仿此
十五増题诸三角形求作内切直角方形
法曰甲乙丙角形求作内切方形先从甲角作甲丁为乙丙之垂线次分甲丁于戊
令甲戊与戊丁若甲丁与乙丙【本卷十増】次从戊作己庚与乙丙平行末自庚自己作庚壬己辛两线各与甲丁平行即得己壬形为所求【若直角钝角则从直角钝角作垂线】
耕曰己庚既与底线平行则甲丁与乙丙若甲戊与己庚今又若甲戊与戊丁是戊丁与己庚等矣而庚壬己辛又各与戊丁等即庚辛为方形又甲乙丙直角三邉形求依乙角作内切方形先分甲乙于丁令甲丁与丁乙若甲
乙与乙丙末从丁作丁戊与乙丙平行从戊作戊己与甲乙平行即得丁己形为所求
耕曰丁戊既与底线平行则甲乙与乙丙若甲丁与丁戊今又若甲丁与丁乙是丁乙与丁戊等矣即乙戊为方形
今附如上三邉直角形依乙角作内切方形其方邉必为甲丁己丙两分余邉之中率何者甲丁与丁戊若戊己与己丙故也【本卷四之糸】
后附【耕自为圗论附之卷末其法似为本书所无其理实函各题之内非能于本书之外别生新义也称后附者以别于丁氏利氏之増题也计十条】
一附直角三邉形以直角旁两邉求对直角邉一卷四十七题第四増言直角三邉形先得两邉可求余一邉皆用筭数相求然亦可比量得之按直角三邉形即算家所谓
勾股也乙丙即?甲乙即勾甲丙即股乙丙之大于甲丙为丁丙曰股?较乙丙之大于甲乙为乙戊曰勾?较甲丙之大于甲乙为丙己曰勾股较凡六线先得两线皆可求余线今先得甲乙甲丙两邉求乙丙先作庚辛壬直角令辛壬与甲乙等辛庚与甲丙等末作庚壬即得乙丙邉之度
二附以对直角邉及直角旁一邉求余邉
先得甲乙乙丙两邉求甲丙先作庚壬与乙丙等平分于癸即以癸为心庚为界作半圜次以壬为心甲乙为
度向圜作短界为辛末作庚辛线为所求【若先得甲丙乙丙两邉求甲乙法同上】
三附以对直角邉与一邉之较及一邉求全邉
先得甲乙邉及甲丙乙
丙之较丙丁求余邉先
作庚辛与丙丁等次作
辛壬垂线与甲乙等次作庚壬次引长庚辛至癸次作庚壬子直角而壬子截庚癸于子末平分庚子于丑即庚丑线与乙丙等辛丑线与甲丙等何也庚癸线既以庚壬子直角线截之则庚辛偕辛子矩内形必与辛壬上方形等【三卷三五】按勾股法依股?较为濶作直形而与勾羃等其长必一?一股之度故加辛庚折半得乙丙?【若先得甲丙及甲乙乙丙之较乙戊求乙丙法同上】
四附以直角旁两邉之较及对直角邉求全邉
先得乙丙及甲乙甲丙之较
己丙先作庚辛与乙丙等次
平分于寅即以寅为心庚为
界向上作短界线次以庚为心己丙为度向上作短界线相交处为丑自丑作辛丑线次作庚辛壬直角令辛壬与辛丑等次作庚壬线末截庚壬于癸令壬癸与丙己等余庚癸平分于子即庚子与甲乙等子壬与甲丙等按勾股法一勾一股并作方形当?上方形二而朒一勾股较上方形今庚辛上方形即?羃等辛丑之辛壬上方形当一?羃而朒一勾股较上方形又庚壬上方形与庚辛辛壬上两方形并等则庚壬一线必为一勾一股之度
五附以直角旁两邉与对直角邉之两较线求各邉先得甲丙乙丙之较丁丙及甲乙乙丙之较乙戊先倍乙戊加丁丙为庚辛壬癸线平分于子即以子为心庚为界作庚丑癸半圜次自壬作垂线抵圜界于丑
即壬丑线加壬癸即与甲乙等加辛壬即与甲丙等加辛癸即与乙丙等按勾股法丁丙偕乙戊矩内形二与戊丁上方形等夫庚壬偕壬癸矩内形即两较矩内形二也而又与壬丑上方形等则壬
丑垂线不与戊丁亦等乎故逓加之得勾股?也【若倍丙丁加乙戊所求亦同】
六附又法以方邉角线之较求方邉
先得方邉角线之较甲乙三倍
之为甲乙丙丁线平分于戊即
以戊为心甲为界作甲己丁半
圜自丙作垂线抵圜界于己即己丙线加丙丁为方邉加甲丙为角线试作庚辛为角线上方形次作庚癸壬辛皆为元方形【详二卷十四之増】其子丑与丑壬两线之比例若丑壬与子丑寅卯两线并则丑壬为子丑及子丑寅卯两线并之中率今甲丙倍丙丁而己丙为中率其丙丁与己丙若己丙与甲丙也则己丙丑壬两线必等故加等子丑之丙丁得方邉加等子丑寅卯两线并之甲丙得角线
七附等角两平行方形【不同理】不必借象即以相结如甲丙丙己两平行方形两丙角等即以两角相聨令乙丙丙庚丁丙丙戊各成直线【六卷二三】次引丙庚至壬令丙庚与
丙壬若丁丙与丙戊旋依丁丙丙壬作丁壬形即甲丙与丙己两形之比例若乙丙与丙壬何者丙庚丙壬丁丙丙戊四线既为断比例前后两率矩内形与中两率矩内形必等【六卷十六】即丙己与丁壬等又丁壬与甲丙同丁丙邉即两形等高两形之比例必若两底乙丙之与丙壬也故甲丙与丙己亦若乙丙与丙壬此以丁丙丙庚为前率之后复为后率之前化二为一作首尾两率之枢纽不必假借他象即以相结若以乙丙与丙戊偕丁丙与丙庚相结仿此
八附又法求理分中末线
设甲乙线求理分中末【详六卷三十】即以甲乙当股次作乙丙勾令勾半于股次以甲丙?聨之次截甲丙于丁令丙丁与乙丙等末截甲乙于戊令甲戊
与甲丁等即甲戊乙为理分中末
也何者勾股上两方形并与?上
方形等【一卷四七】于?方内减去等勾
方之己形所余庚辛壬磬折形必与股方等又甲丁甲戊两线等即辛癸两形亦等再减辛癸两形所余庚壬两形与子丑寅磬折形必亦等又甲乙既倍于内乙即甲卯亦倍于甲辰甲丁甲戊又等则癸子两形并【当甲戊偕丙乙矩内形二】与庚壬两形并【即甲丁偕丙乙矩内形二】亦等矣即癸子两形并与子丑寅磬折形亦等此二率毎减一同用之子形则所余癸与丑寅并安得不等夫癸即甲戊上方形也丑寅即甲乙偕乙戊矩内形也故甲戊乙为理分中末也
九附求于三角形内作一线抵两腰与底线平行又与所设线等
甲乙丙三角形求作一线抵两腰与乙丙平行而与丁线等先作甲戊线次分
于己令甲戊与甲己若乙丙底与丁线末从己作庚辛线与乙丙平行为所求【若设线大于乙丙即不可作】
十附有多线求理分中末
设甲乙丙丁戊己庚辛多线各求理分中末先依前法【八附】分甲乙于壬次
任作甲癸乙角形次从壬作癸壬线次作丙丁戊己庚辛多线令两界各抵腰线而与底线平行【九附】末依癸壬线分丙丁于子分戊己于丑分庚辛于寅各为理分中末也
几何论约卷末