明 李之藻 撰
竒零约法第六
凡数除之不尽者以法命之曰几分之几除数为母【法】列上竒数为子【实】列下
假如列实四十六以七为法除之尚余四是谓七之四余仿此
列位式
若竒零有二项辨其孰多孰寡以子母二数互参母数相同则但据子数
若子数相等母数不等者其母数小子数反大母数大
若子母数俱不等别其多寡者并列以彼此母子互乘得数各注其子数下
有差逺者 有稍差者
有相同者
四之三与八之六同则八之六即四之三
假如欲知何以皆为四分之三但将子母两数立通数乘之且如【八四】之【六三】有六数可以通乘六八四十八六六三十六母系六八子系六六便知【八四】之【六三】即是八之六此系有见成乘法可用者
其积数已多而既难折半又无通数可乘则须另立纽数归除其法以小减大减尽而止以最后减尽数为用以除子母二数其所除得数即是约数
假如四十八之三十二即三之二
于【八四】内减【二三】余【六一】即以【六一】再减【二三】二次尽乃以一十六为纽数以除【八四】得三是母约数以除【二三】得二是子约数
假如六百七十六之四百六十八即一十三之九子减母余二百八以二百八减子数用二转余五十二以五十二减二百八恰尽即以五十二为纽数以除六百七十六得一十三是母约数以除四百六十八得九是子约数【凡以小减大者即系除法数相近名减若大小相逺减几徧者名除】
其以寡减多终不能尽者不复可约只就见数为则以【七四】减【九五】余【二一】 以【二一】减【七四】余【一一】 以【一一】减【二一】余一不尽
以【○二】减【三六】余三 以三减【○二】余二 以二减三余一不尽 以上不尽无纽
竒零并母子法第七
凡两子母数不等须先并母较之以两母相乘得共母数次以两母互乘两子各得子数
又有三四母子不同并较多寡者亦以各母次第徧乘归并作一共母【为实】乃以各母之数【为法】除之即以各子乘之得各子数
先并母数二乘三得六又
以六乘四得二十四又以
二十四乘五得一百二十
为共母
乃以首母二除得六十以首子
一乘仍六十为其子数
以次位母三除得四十以子数
二乗得八十为其子数
以三位母四除得三十以子数
三乘得九十为其子数
以四位母五除得二十四子一
乘仍二十四为其子数
若每数相乗遇有纽数可用【一数两分是为纽数即前法】即用纽数除之以其所得相乘以省约法
右用一纽数而前之乘得一百二十者约为六 ○十所省多矣次乃如法以各母除以各子乘 六乃以首母二除得三十子一乘亦三十
以次母三除得二十子二乘得四十
以第三母四除得一十五子三乘得四十五
以第四母五除得一十二子一乘仍一十二
凡两数母子俱殊但有纽数可用皆可以此推之
二三为六故注二于六下
四三一十二故注四于【二一】下
乃即以二十四为共母数而母除子乘如前法以第一母六除此二十四得四以其子数五乘得二十为二十四之二十
以第二母一十二除此二十四得二以其子数七乘得一十四为二十四之一十四
竒零絫析约法第八
竒数有析之又析者如母七子四是为七之四又析其四作五以为母而五中余三是为五分四之三子中出子相联而成则名七之四又五分四之三也
又有母二子一是二之一又以子一 【此三即进位之三】
析为六而六中余一【母六子一】又以子一析 【此四即进位一所化】
为四而四中余三【母四子三】又即以子三为 【此六即进位一所化】母而三中余二连析四次总名二之一
又六分一之一又四分一之三三之二
右法须取捷归并以便查算俱以母乘母子乘子依位列之如七之四又五分四之三者乃三十五之一十二
母数五七得三十五
子数三四得一十二
如前二之一又六分一之一又四分一之三三之二者乃是一百四十四之六
母数三乘四得一十二又一十二乘六得七十二又七十二乘二得一百四十四为共母数子数二乘三得六又一六只六又一六只六为共子数
右一百四十四之六依约法乃即二十四之一
以六除一百四十四得二十四恰尽故六为纽数二十四为母约数以六除六得一尽故一为子约数
假如连析三次者五之三又三之二又四分二之三并之乃六十之一十八
母数四乘三得一十二又一十二乘五得六十为共母数 子数三乘二得六又六乗三得一十八为共子数
右六十之一十八约之即一十之三
用子数一十八除母数六十余六
即以六除一十八恰尽是六为纽数以六除六十得一十故一十为母约数以
六除一十八得三故三为子约数
右絫析乃厯家所常用者粟米方田诸家鲜用然亦可以近譬假如右式五之三又三之二又四分二之三者今有金一两析之为五【每析二钱】五之三乃六钱也又析为三之二则四钱矣又析为四分之三则三钱矣总是一十分之三
化法第九
凡整数后带竒零难于归除须将整数尽依母数化之其法以母数乗整数以乗得数并入子数却以母数除之
假如有整六数零五分一之三者列六于左列五之三于右
每数皆剖为五分五乗六得三十并
入子数三是为五之三十三列下
假如有整七数零五分一之四者列七于左列五之四于右
每数皆剖为五分五七三十五并
入子数四是为五之三十九
于是乃化零数为整数其法以母除子
此为一剖七之五十六以母数
除子数用八除尽知是整八数
此为一剖九之四十七以母除子用
五余二知是整五数又零九之二
竒零加法第十
数有竒零或两零数或三四零数以至百千零数加并为一法具后
若母数异则先并母数但有纽数者依纽数求其共母无纽数者以互乗求其共母而各以其原母除之又以原子乗之得子数乃视其子数多寡总而积之又以共母除积子以归本数
又法求其子数径用母子互乘亦得【三三是九二四是八】但积数多者未便须用母除子乘之法
<子部,天文算法类,算书之属,同文算指__前编,卷下>若既有整数又有零数则先加积整数次乃加积零数其零数同母者只并子数其零数异母者依前法且并母数而位少者子母互乗位多者各以原母除原子乗
以上系不同母数者
若欲试加法之有差则用竒零减法
竒零减法第十一
凡以竒数减竒数者审其多寡而于多中减寡其母数同者第就子数相减若母数异则先以其母相乗并为一母而依母除子乘求各得子乃以相减
以上系不同母者
若于整数内减零数者以零母化原整数就以作子相减次合全数总计
假如整数一十内减一十一之六者【此一十一之六未满整一数】就将一数拈出依竒母化为一十一以作子数
于内减六【一十一之六】余一十一 之五总为九零一十一之五
以上是只减零数者
假如整数一十内减四零五之三者一十减四余六又动一数以零母化之作子于内减去三【五分之三】尚余五之二是为五零五之二
以上是既减整又减零者
又有原数以整带零减数亦以整带零者先以整数相减次将各零母依法并合为一次乃子母互乘为子各系本子位下相减
于整九内借一数以化母为三百六十三并入一十一则三百六十三之一十一为三百六十三之三百七十四
以上是零整杂减者若原数减数不止二位相并有三四零数以上者照前逐并母数互乘减之
若欲试减法之当否则用加法
补前章以减法试加法
假如不同母加积者试之两母相除得母数将所互乘之数互减之其减余者除以本母得子数
竒零乘法第十二
凡两零相乘者皆以母乘母子乘子
凡零数与整数相乘者置整数与零子数并列其上立一数为母与零母并列照前母乘母子乘子
凡整数带零数与整数相乘或与零数相乘者先以整数与所带零数之母相乘得若干并入零子列子位【化法】乃以整数照前法列于子位其上立一为母而母子相对乘之
右系整兼零与零数相乘者
若两数俱以整数兼零数者照前先化整数
或问乘法乘少为多今或乘多为少何也曰立法如此乃是借虚驭实与除法相防为用非整乘也
若欲试乘法之有差则用竒零除法
竒零除法第十三
凡竒零数又以竒零数归除者列原数于右列除数于左却将除数倒列子母【原数母上子下除数子上母下】两平对乘其乘出数即归得数
假如以竒零除竒零者
右法假如一年十二个月今曰二之一则六个月也六之一则二个月也以二剖六各得三个月
假如以零数除整数者以整数作子上立一为母
假如以整带零而除整数者原数只借一为母不动若除数则以所带零母化其整数并子数
假如以整数除零数者
假如以整带零而除零数者原零数不动其除数之整
假如以整兼零而除整兼零者俱以本零母化其整数
若欲试零除之差否则用零乗法以乗出之数为主以对除数相乗仍合原数则不差
重零除尽法第十四
归除不尽曰竒零然有原数之内本来先带竒零者【如原数系二十零四分之一之类】是大竒零数内又有小竒零也若欲除之使尽当先归之使一列小竒零于右列大竒零于左两母相乘为总母又以小竒母乗大竒子并入小子为共子数即是除尽之数若数繁者约之
假如四人剖一十五零三之二其不尽者整三数零三之二也三之二为小竒列右四之三为大竒列左如法乘之即得四母除尽之数
若小竒零之内复有小竒零剖而又剖零而又零至三至四者先以大者二位相并得母数及子数次乃递互并完假如七除不尽而余四数是为七之四矣而又以此四中之一剖为五停内得二又以此二中之一剖为四停内得三又剖此三中之一为三停内得二此乃大竒数内又带三小竒数愈析愈繁最易淆乱者法具后
以上用七除尽者每分得八十四之五十五
假如以一十二人剖二十整数零四之一者每人得整一尚有整八零四之一不尽以一十二之八列左以四
右系捷法若依前章竒零加除二法者从小竒数除起以一十二除之借一为母倒列对乘先得小竒乘数次以大竒数与对乘又依加法互乘求总子数约之得除尽数
通问第十五
前算法一十四章总归加减乘除四术临时制用存乎其人今设一十四问由浅入深由易入难精之躔度厯术麤之米盐凌杂皆可类见
问减二十三余四十七原是几数又问减一十一之四余八零三之二原是几数答曰此用加法以二十三加四十八原是七十数也以一十一之四加八零三之二原是九零三十三之一也
问八十七内减几何该余二十六又问一十三之八内减几何该余七之二答曰即用减法就八十七内且减二十六余六十一得余数就一十三之八内且除七之二余九十一之三十得余数
问加三十八得八十三原是若干又问加四零九之八得二十零二之一原是若干曰亦用减法于八十三内减三十八尚余四十五其原数也于二十零二之一内减四零九之八尚余一十五零一十八之一十一其原数也
问一百与三百四十九差几何又问六零二之一与二十零四之三差几何曰此即减法于三百四十九内减一百是为二百四十九于二十零四之三内减六零二之一是为一十四零四之一
问何数除之以九而各得三十四又问何数除之以四零三之一而各得三之二曰此用乘法九乘三十四得三百零六其实数也三之二乘四零三之一得整二零九之八其实数也
问有三十于此其五之三是何数又问有四零七之五于此其二之一是何数曰亦用乘法以五之三乘三十得一十八是其五之三也【依法以子数三乗三十得九十以母数五除之得一十八合问】以二之一乘四零七之五得二零一十四之五是其二之一也【依法化四并五为七之三十三以与二之一对乘得一十四之三十三约之为二零一十四之五合问】
问除四十八各得一十其除数若干又问除七之三各得三之二其除数若干曰此于除法求之只以一十除四十八该得四零五之四是其除数【以四零五之四为除数者依法化整及倒位对乘之子数五乘四十八得二百四十母数二十四除之得一十合问】只以三之二而除七之三该得一十四之九是其除数【以一十四之九为除数者以九对七以三对一十四乘得六十三之四十二约之三之二也】
问一十七与何数相乘而得一百又问三零二之一与何数相乘而得四之一曰此用除法以一十七而除一百当各得五零一十七之一十五以得数乘除数还原一百矣以整三零二之一而除四之一当各得一十四之一以得数乘除数还原四之一矣【一十四之一乘三零二之一得二十八之七约之四之一也】
问两数相乘得四十八是何数又问两零数相乘得二之一又或得六零四之三者各是何数曰熟于除法则随变用之其除四十八者随意立一数如以六数除则各得其八乗之则六八四十八也如以一十除则各得其四零五之四乘之乃五之二百四十还原四十八也【母五乘整四并子得二十四以一十乘得二百四十数以母五归整是四十八】其除二之一者亦随立一数如以三之二为除则各得四之三以四之三乘三之二得一十二之六约之则二之一矣其六零四之三者亦随立一数如用三零二之一为除则各得一零一十四之一十三乘之则六零二十八之二十一约之六零四之三也如用二零四之三为除则各得四十四之一百零八乘之则一百七十六之一千一百八十八约之亦六零四之三也
问两数除之得二十八又问两零数除之得六之五其数几何曰此用乘法亦随意立一数乗之如二十八数以六数乘之得一百六十八即以六除之仍归二十八矣如六之五者以二之一乘之得一十二之五即以二之一为除仍归六之五矣
问何数以七为乘而所乘出之数归之以八而得三又问何数以五之二为乘而所乘出之数除以四之三而得四之一曰此兼乘除二法翻用之先以除数乗除得之数而以所云乘数除之其所除得数即所求数也假如三与八相乘得二十四乃以七除之各得三零七之三其所求矣假如四之三与四之一相乘得一十六之三乃以五之二除之各得三十二之一十五其所求矣
问六在五十四之内约是几分之几又问五之三在一十之九内约是几分之几曰此用约分零除法以小除大其所除得数即是也以六除五十四各得九则六于五十四乃九之一也【假如以五十四除六者依零除法各立一数为母倒位对乘乃五十四分之六即以六数而除五十四于此可明零除倒位之义】以一十之九而除五之三者倒位互乘得四十五之三十约之则五之三于一十之九乃三之二也
问六数是何数中九之一又问五之三是何数中三之二曰同前仍用零除之法但以九之一除六数依法倒位乘得五十四是六乃五十四中九分之一也但以五之三除此三之二依法倒位乘得一十之九是五之三乃一十分之九中三之二也
问化法假如一化为八今七数共化几分又问以一化四见有四分之三设以一化一十二此四之三者得一十二中之几又问以一化七见有七之三设以一化八则此七之三者是八中之几曰此用乘法以前后数相乘得之问化八者以七乗八得五十六是所求其化数矣问以化四较化一十二者以前子四中之三与后母一十二倒位相乘得数【三十六】以前母除归本数【四个九】即后母之子数也【一十二之九】问以化七较化八者亦然以前子七中之三与后母八倒位相乘得数【二十四】以前母除归本数【三七二十一得整三数余三不尽是零七之三】即后母之子数也【后母八此前母七中之三即后母八中之三零七之一也】譬如大斛七斗抵小斛八斗今大斛三斗以小斛斗量之得三斗零七分斗之三又如中国计日以百刻西洋以九十六刻今问西洋之三十一刻当中国之三十几刻即以西洋九十六为母三十一为子却以中国之母倒下作子与之对乘得三千一百是为九十六之三千一百即以九十六而除之得三十二刻零九十六之二十八再寻纽数四约之乃是二十四分刻之七也
同文算指前编卷下
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