明 李之藻 撰
合数差分法第四下
问四人共分金七百八十五两多寡不同乙得甲十之七丙得乙十四之三丁得丙十二之九各实数防何其法先并各衰杂数【甲一十则乙七乙十四则丙三丙十二则丁九】并各子以乘各母从小数并起除丁九无并其丙衰系十二又系三则以十二并三依约法三四一十二且作四以乘乙之十四得五十六为乙衰乙系五十六又系七则以五十六并七依约法七八五十六且作八以乘甲衰之十得八十为甲衰已得各衰并数【丁九丙十二乙五十六甲八十共一百五十七数】为第一率以银总数为第二率以各衰为第三率一 一百五十七数【并衰】
二 七百八十五两【总银】
三 九【丁衰】 十二【丙衰】 五十六【乙衰】八十【甲衰】四 四十五两 六十两 二百八十两 四百两问发兵百人外有领队四人旗牌六人共破一寨得器械七万二千四百件即以充犒旗牌比领队得八分之五兵比旗牌得五分之三各该得若干其法衰作八五三【兵三旗牌五又合三五成八得领队之衰】各以本数乗本衰【领队四乘八得三十二旗牌六乘五得三十兵百乘三得三百】合总数为第一率所获数为第二率各衰所乘三宗为第三率
一 三百六十二【并各衰乘数】
二 七万二千四百
三 三十二【领队】 三十【旗牌】 三百【兵】
四 六千四百 六千 六万
问三人共拾得遗钱三千四十二文甲欲得二之一乙得三之一丙得四之一各该若干【此问并其分数反浮总数盖曰甲视乙则二一之视三一乙视丙则三一之视四一也】其法当先并母寻其通四分三分二分之一者为主依法二三乘得六又乘四并得二十四约之得十二以甲乙丙分之其数皆通【甲二之一则用六乙三之一则用四丙四之一则用三】乃并甲乙丙衰【甲六乙四丙三】共十三为第一率以钱数为第二率分甲乙丙衰作三宗为第三率乗除得数乙得甲三之二丙得甲二之一
一 十三
二 三千四十二文
三 六【甲衰】 四【乙衰】 三【丙衰】四 一千四百四 九百三十六 七百二问三县共粮一千四百七石小县二分之一次县五分之三大县十一分之八各该纳若干【衰法同前】其法亦以各母相乗以求通数以二乘五又乘十一得一百一十【二五乘得十又十乘十一得一百一十也于是小县分得五十五次分得六十六大分得八十】则三县之母数皆通而并之为第一率以粮数为第二率分三县各衰为第三率
一 二百一【并各衰】
二 一千四百七石
三 五十五【甲衰】 六十六【乙衰】 八十【丙衰】四 三百八十五石 四百六十二石 五百六十石问四人共分银三百九十六两甲得二分之一外加十两乙得五分之三内欠二十两丙得三分之一外加八两丁得四分之一内欠六两每人实数防何此将总数内除去加数【实在三百七十八两】加上欠数【共得四百零四两】乃依前法并其母数【二乘五得一十以乘三得三十又以乘四得一百二十】约之得六十为通数而各以其所得子数通之【甲二之一为三十乙五之三为三十六丙二之一为二十丁四之一为一十五】并为第一率以加除所得银数为第二率以甲乙丙丁各衰四宗为第三率依准测法得第四率再照数或加或减其所分即总合前数矣
一 一百一两【并各衰】
二 四百四两
三 三十【甲】 三十六【乙】 二十【丙】 一十五【丁】四 一百二十 一百四十四 八十 六十问兄弟三人不知嵗数但云季得伯四之三仲得伯六之五仲多季只八嵗各防何此带母子差分也已知两母为伯衰用并法先并其母四六相乘得二十四为伯衰之实乃用母子互乘以求仲季之衰以四乘五得二十为仲衰以六乘三得一十八为季衰列三率而仲季相去较八嵗为二率以仲季二衰之较【一十八减二十余二】为首率【此以所已知之衰较及嵗较求各衰之嵗实故用较为首率后皆仿此】
一 二
二 八嵗
三 二十四 二十 一十八
四 九十六嵗【伯】 八十嵗【仲】 七十二嵗【季】问四人分钱不知数但云乙得甲六之五丙得甲四之三丁得甲二十四之一十七其丁与丙差四文每人防何此同上法已知三母即甲衰用并母法四乘六得二十四又自乘得五百七十六为甲衰之实乃以乙丙丁之原母除原子乘以求其子而得四百八十为乙衰四百三十二为丙衰四百零八为丁衰列三率以丙丁较四为二率以丙丁二衰之较二十四为首率【不用约法览之易晓】一 二十四
二 四
三 五百七十六【甲】四百八十【乙】四百三十二【丙】四百零八【丁】四 九十六 八十 七十二 六十八右二法以借衰互征求之亦同
问大小船数相等共载盐四千三百五十引大船毎三只载盐五百小船毎四只载盐三百该船防只每船载防引此用重准测法以四之三百及三之五百子母互乘【一得九百一得二千】并得二千九百为首率两母相乘得十二为次率总盐为三率求得四率是大小船数即以为第三率分置所载率【五百三百】为次率与相乘又分置两母【三四】为首率除之得各盐数
一 二千九百 三 四
二 一十二 五百 三百三 四千三百五十 一十八
四 一十八【大小各船数】二千 一千三百五十问鼇灯一座大小灯毬二等大灯三琖油四两小灯四盏油三两其小灯多大灯二之一共用油十八斤七两大小灯各若干此用重准测法因有二之一立大母二小母三通斤为两【共二百九十五两】又通两为铢【每两二十四铢共七千八十铢】以先求大小每琖油数取每三每四为首率二十四铢为次率分四两三两为三率得第四率为大小每琖油数
一 三 四
二 二十四铢
三 四【大】 三【小】
四 三十二铢 一十八铢
乃以母二乘三十二得六十四铢为大总以母三乘一十八得五十四为小总并得一百一十八为首率以总油【七千八十】为次率分母二母三为三率得第四率是大小琖各数而各以油铢数乘之又以每斤三百八十四铢除之
一 一百一十八
二 七千八十铢
三 二【大】 三【小】
四 一百二十琖【三十二铢乘得三千八百四十铢是十斤】一百八十琖【一十八乘得三千二百四十铢是八斤七两】问大船三桅六桨小船一桅八桨今望见桅五十七桨二百零四其大小船各防艘法并大小船每艘桅桨凡九共一十八为第一率以大小共二艘为第二率并桅桨全数得二百六十一为第三率推得大小船共二十九艘减小船之一补大船合问
一 一十八
二 二艘
三 二百六十一
四 二十九艘【内大船一十五小船一十四】
问有银一万七千六百九十两买骡三百匹马七百匹其每匹价马多于骡七两七钱各价防何此匿价差分法当先除所差而后凖测之以所多七两七钱乗七百匹得五千三百九十两以减原银余一万二千三百两乃并骡三百马七百共一千匹置首率以减余银数置次率一匹为三率推得四率为骡价加七两七钱即马价再以各匹数乘之合总
一 一千匹
二 一万二千三百两
三 一匹
四 十二两三钱【骡价】 二十两【马价】
又法以所差七两七钱乘三百匹得二千三百一十两加入总银共得二万两为次率如法凖测得二十两为马每匹之价减较七两七钱亦得骡价
一 一千匹
二 二万两
三 一匹
四 二十两【马价】 十二两三钱【骡价】问以银二万九千二百八十两买上田三百亩中田一百五十亩下田四百五十亩其上价比中价每亩多四两七钱中价比下价每亩多一十三两五钱各防何此亦匿价差分法当除两差之积而后算之以一十三两五钱乘三百得四千○五十两以一十八两二钱乘一百五十得二千七百三十两并得六千七百八十两以减原银余二万二千五百两即以置次率却并三等田数得九百亩置首率一亩为第三率推得每亩二十五两为第四率是下田价加一十三两五钱为中田价再加四两七钱为上田价再以各数乘之合总
一 九百
二 二万二千五百两
三 一亩
四 二十五两【下】
又法增差积算之以四两七钱乘三百得一千四百一十两又以两差一十八两二钱乘四百五十得八千一百九十两并得九千六百两加入原总银得三万八千八百八十两为次率与三率一亩相乘首率九百除之得上田每亩价四十三两二钱减十三两五钱即中田价再减四两七钱即下田价
问官银一万七百七十八两六钱五厘籴米麦豆三色均平其每一石价米二两三钱五分麦一两九钱五分豆一两四钱五分各价防何各石防何并三价共五两七钱五分为法置第一率总银为第二率列三色每石价为第三率推得第四率是各价数其各石数以法径除总银即得
一 五两七钱五分
二 一万○七百七十八两六钱○五厘
三 二两三钱五分 一两九钱五分 一两四钱五分四 四千四百○五两 三千六百五十五两 二千七百一十八两 一钱六分九厘【米】 三钱五分三厘【麦】 两○八分三厘【豆】三色共一千八百七十四石五斗四升
和较三率法第五
凡数分合不离三率而互和难测则立较以测之立中率以较之凡两数三数多数悉与中率相较而互置较位为第三率以较积为第一率诸如前
问上酒每斗价二钱中酒每斗价一钱二分今杂并二酒每斗立价一钱五分则此斗酒内有上酒若干中酒若干其法先定三等之程列所立价【一钱五分】次连列上中二价与较而列上差数于中左列中差数于上左互对次并两差列左下而以并差为第一率以一斗为第二率以各差为第三率
【一十五】上中二价上【二十】中【十二】
相较差 中【三】 上【五】 差积【八】
一 八
二 一斗
三 三【上】 五【中】
四 八分斗之三 八分斗之五
问甲金一两准银一十五两乙金一两准银一十二两今欲镕为一处使母金一两准银一十四两则甲乙金各该防两亦列法如左较之并差为首率一两为次率各差为三率
【一十四】价甲【十五】 乙【十二】
较 【二 一】 差积【三】
一 三
二 一两
三 二【甲】 一【乙】
四 三分两之二 三分两之一
问玉率方寸重七两石率方寸重六两今有璞方三寸重一百七十六两内玉石各若干法以见方三寸自乘再乘得立方二十七寸以通玉石【玉该一百八十九两石该一百六十二两】各列右立总重数互较得数列左并差为首率开方寸为二率分差为三率
【一百七十六】玉【一百八十九】石【一百六十二】
【一十四 一十三】 差积【二十七】
一 二十七【差】
二 二十七【寸】
三 一十四【玉】 一十三【石】
四 一十四【乘重九十八两】一十三【乗重七十八两】问银裹金方四寸共重九百零四两每银方寸重十二两金方寸重十六两各若干以四寸自乘再乘得开方六十四寸以通金银【银一千二十四两金七百六十八两】以总重互较三率如前
【九百四】银【一千二十四】金【七百六十八】
【一百三 一百二十六 十】 差积【二百五十六】
一 二百五十六
二 六十四【寸】
三 一百三十六【银】 一百二十【金】
四 三十四【乘得五百四十四两】三十【乘得三百六十两】问椒一斤价四钱丁香一斤价三钱桂皮一斤价六钱阿魏一斤价一两缩砂一斤价八钱今以银七钱买上五色共一斤则每色该得若干列法如左立七钱为主余物以次列之较其所差而依次互列须易其位大抵有对者对互【椒砂互丁魏互】无对者另求一对【桂无对借砂作对而互又列桂较之一于砂较三之旁】而增系之凡相对互位者务取一大于立价一小于立价如砂数大对椒数之小亦以差倂为第一率一斤为第二率并各物较为三率
【七钱】椒【四】丁【三】桂【六】魏【十】砂【八】
【一 三 一 四 三乙】 差积【十三】
一 一十三
二 一斤
三 一【椒】 三【丁香】 一【桂皮】 四【阿魏】 四【砂】四 十三【分斤之一】十三之三 十三之一 十三之四 十三之四又列法但取一大一小杂互更位【椒砂互椒魏又互丁砂互桂砂又互丁魏互桂魏又互】凡六互得差积二十八【椒丁桂俱四魏砂俱八】若俱大数俱小数者则不可互耳【椒丁桂俱小魏砂俱大】其与立数等者亦可互但作○以倒其所互乃以二十八为第一率分各差积为第
三率 【七钱】椒【四】丁【三】桂【六】魏【十】砂【八】
【一 一 三 三 三三 三 一 四 四】 差积【二十八】
一 二十八 【一 一】
二 一斤
三 四【椒】 四【丁】 四【桂】 八【魏】 八【砂】四 二十八【分斤之四】二十八【之四】二十八【之四】二十八【之八】二十八【之八】又法随意易位亦以大数互小数比前稍异亦得差积十三
【七钱】椒【四】丁【三】桂【六】魏【十】砂【八】
【三 一 一 三 四一】 差积【十三】
一 十三
二 一斤
三 三【椒】 一【丁】 一【桂】 三【魏】 五【砂】四 十三【分斤之三】十三之一 十三之一 十三之三十三之五问鹅氄段大绿者每丈四两天青每丈六两大红每丈十两今以银四百八十两买氄八十丈则各色各该防丈其法先以总价和总丈之数而匀之【每丈得六两】立六为中数依前互法列之
【四 六 一十四十互六十又互六两四 四 二】差积
一 一十
二 八十丈
三 四【绿】 四【青】 二【红】
四 三十二丈 三十二丈 一十六丈问有酒四等甲酒毎瓶二钱一分乙酒每瓶二钱七分丙酒三钱丁酒四钱今有酒共三百瓶每瓶立价三钱三分则每酒若干瓶依法列之但此以三十三为主数【即三钱三分】而其余惟四十【即四钱】为大其二十一【即二钱一分】二十七【即二钱七分】三十【即三钱】皆小数则此三小数皆与四十之大数相互云共积四十二为第一率
【二钱 二钱 三钱 四三钱三分 一分 七分】
【七 七 七 十二六】差积【四十二】
一 四十二 【三】
二 三百瓶
三 七 七 七 二十一四 五十瓶 五十 五十 一百五十问银四百两买药四百斤内丁香每斤该六钱胡椒每斤该七钱桂九钱苏合一两一钱辰砂一两二钱阿魏一两六钱每色各该防斤方合总数其法亦先折中价如四百斤需四百两则每一两得一斤其中价乃依互法参之
【一十】丁【六】椒【七】桂【九】合【十一】砂【十二】魏【十六此以丁魏互又丁合互椒砂互又椒魏互】
【六 二 二 四 三 四 桂砂互一 六 一 三 差积三十二】
一 三十二
二 四百斤
三 七【丁】 八【椒】 二【桂】 四【合】 四【砂】 七【魏】四 【八十七斤又二之一】一百 二十五 五十 五十 八十【七斤又二之一】又法
【一十】丁【六】椒【七】桂【九】合【十一】砂【十二】魏【十六此以丁互合又互砂又互魏以】
【一 一 一 四 四 四 椒互合亦互砂二 二 二 三 三 三 互魏以桂互合六 六 六 一 一 一 亦互砂互魏以上三位徧互下】
一 五十一 【三位差积五十一】二 四百斤
三 九 九 九 八 八 八
四 【七十斤又五十一分斤之三十】同上 同上 【六十二斤又五十一之三十八】同上 同上【右五十一分斤之三十以求两者化一斤为一千六百分以子数三十乘之以母数五十一除之得九两四钱一分又五十一之九也】
问金铸编钟一口计重三百两俱九六成色今见有九九成色及九三成色二等金约该每用若干此以九六为中价依法互之
【九六】甲金【九九】 乙金 【九一】
【五 三】差积【八】
一 八
二 三百两
三 五【甲】 三【乙】
四 一百七十七两五钱 一百一十二两五钱问米麦五百石共价四百零五两七钱米每石价八钱六分麦每石价七钱二分五其各石数价数若干先以米麦每石之价乘五百石【米得四百三十两麦得三百六十二两五钱】即以总价立为中率先得石数次得价数
【四百三四百五 十两】麦【三百六十二两五钱】
【两七钱 四十三 二十四两两二钱 三钱】差积【六十七两五钱】
一 六十七两五钱
二 五百石
三 四十三两二钱【米】 二十四两三钱【麦】四 三百二十石【乘石价得二百七十五两二钱】一百八十石【乗石价得一百三十两五钱】问银二十八两二钱买铜锡铁共重三百斤其价铜一斤银一钱五分锡一斤银九分铁一斤银四分此三物各该若干此贵贱衰分三色者以总物归总银立九分四为中价
总疋除总银立五钱八分一二毫五丝为中价
一 一十六万
二 一百六十疋
三 三千六百二十五【绫罗同】 四千三百七十五【纱绢同】四 三十六疋又四之一 四十三疋又四之三【以各疋价乘之合总】又法【先以四约总疋得罗纱各四十疋以减总疋余八十疋为绫绢共数又于总价内减罗价二十八两纱价二十两余四十五两为绫绢共价乃以叠借互征之法推之前铜锡铁三色亦然】
借衰互征法第六
数有隠伏非衰分可得者则别借虚数以类征之或合率增减或母子射覆如藏阄然借彼征此借虚征实大抵即三率之法而触类长之
问三人共买宅一区用价二千七百两其捐价则乙视甲加倍丙视甲乙又加倍各若干此倍增法也随意立一数为甲衰但用小数而以乙丙衰递加之【如甲衰一则乙衰二丙衰六也如甲衰六则乙衰十二丙衰三十六也余仿此】并各衰为第一率【甲衰一者一二六共九也甲衰六者六及十二及三十六共五十四也余仿此】随取一衰为第二率【且用甲】以总价为第三率依互测法得甲数倍之得乙数二倍之得丙数
一 五十四
二 六【此只借甲衰用乙用丙皆同】
三 二千七百
四 三百【甲】 六百【乙】 一千八百【丙 乙丙皆从甲倍出】问贮绢不知防何但云其三之一其四之一其五之一并得四千七百疋其实数防何曰此寻一通数可以兼三之一及四之一及五之一者而测之如用六十以通各分【三之一是二十也四之一是十五也五之一是十二也】并之【共四十七】为第一率即以六十为第二率【四十七出于六十】绢总数为第三率一 四十七
二 六十
三 四千七百
四 六千疋
问廐马不知防匹但云加一倍又加二之一又加三之一又加四之一又加一共得一百十二匹今算实防匹可用前法否曰此有最后所加一数即不同前法当先减一数只以一百十一算之次立通数可兼各衰者如用十二为通数加一倍【二十四】又加二之一【六】及三之一【四】四之一【三】共得三十七为第一率即以十二为第二率就前一百十二数内减一为第三率【一百十一】凖而测之知三十七出于十二则知一百十一出于何数矣再加一合问
一 三十七
二 一十二
三 一百一十一
四 三十六 再加一乃三十七匹
问牧羊不知数但云加一倍又加二之一又加四之一外加一得一百其原数若干此亦除去加一数只用九十九为第三率而另借一数为通数如用一十二为次率以加一倍【二十四】加二之一【六】四之一【三】并得三十三为首率依法推之知一十二出于十三则知九十九所出也再加一合问
一 三十三
二 一十二
三 九十九
四 三十六【倍之为七十二加二之一得九十加四之一得九十九外加一得一百】问价银五千两买骏马一匹园宅一区园价比马多三倍宅比园多四倍各价几何此与首问法同随意立一数通各衰假如立马衰三十园宅以次增衰【园多三倍得一百二十宅又多园四倍该六百】并为第一率【七百五十】于各衰随取一数为第二率【且用马衰】总银为第三率【五千两】如凖测法得第四率【如用马则得马价余依倍推之】
一 七百五十两
二 三十【马】 一百二十【园】 六百【宅】
三 五千两
四 二百【马】 八百【园】 四千【宅】
问入园摘摘过三分之二又五分之一尚剰三十六此园原有防法先求一通数内除三之二及五之一而剰三十六数者假如借立三百内减三之二除二百亦于三百内减五之一除六十通减二数只余四十为第一率以三百为第二率知四十出于三百则知三十六出于何数矣
一 四十 【右所云三之二又五之一者倂之未满原数故可以右法推之若云三之一又五之三则】二 三百 【浮于原数知为虚设不必算矣】
三 三十六
四 二百七十【原数】
问二分之一三分之一四分之一五分之一六分之一共并得五百二十二数其原数防何先立一通数可剖为二分之一以至四五六分皆可者如借六十为主依法分之【其二之一为三十其三之一为二十其四之一为十五其五之一为十二其六之一为一十】并各率【共八十七】为第一率以六十为第二率知八十七出于六十则五百二十二出于何数可推也以五百二十二为第三率
一 八十七
二 六十
三 五百二十二【其二之一乃一百八十其三之一乃一百二十其四之一乃九十其五之】四 三百六十 【一乃七十二其六之一乃六十其五百二十二数】问仓中有粟防石不言其数但言外加二之一又三之一又四之一又加一百石便成三百石此其原粟防何其法先减一百石在外只就二百起算乃随借一数可以通二之一及三之一及四之一者如借二十四为通数外加二之一【一十二】又加三之一【八】四之一【六】并之【五十】为第一率所借二十四为第二率知五十出于二十四则二百出于何数可推也以二百为第三率而得第四率外加所减【一百】合问
一 五十
二 二十四
三 二百
四 九十六石【外加二之一为四十八加三之一为三十二加四之一为二十四又加一百共三百】问水碓五副大小不等共舂麦五十石甲碓每一时舂七斗乙碓每一时舂五斗丙四斗丁三斗戊一斗五碓齐舂须防时可完完时每碓各舂得防何其法随意立一时数假如借四个时毕之以计各碓所舂【甲二十八乙二十丙一十六丁十二戊四共得八十】并为第一率四时为第二率知八石毕于四时则五十石可推也以五十石为第三率
一 八石
二 四时
三 五十石
四 二十五时【以各碓乗甲以七乗得一十七石五斗乙五乗得一十二石五斗丙四乗得一十石丁三乗得七石五斗戊一乗得二石五斗共五十石】
问贷赀商贩三次俱获倍息每次归还三百两三次母子适尽原贷若干先借一为母赀以加三次倍息【初一次二其三得四】并得八为首率减母赀之一只并三次倍息【一二四】并得七为次率知七出于八则知三百原母所出矣以三百为第三率
一 八
二 七
三 三百两
四 二百六十二两五钱
问商贩四次俱获倍息每次费银九十六两四次子母俱尽原母若干亦借一为母加四次倍息【一二四八】并得一十六为首率减母赀之一只并四次倍息【一二四八】并得一十五为次率知十五原于十六则知九十六原于何数也以九十六为三率
一 一十六
二 一十五
三 九十六两
四 九十两
问有商挟赀赴集初次所获比母银多三之二以并入母银再往获五之四三次往又获四之三实计所获并母银共四百两所原挟赀若干其法先借一数以递乗各母而例推之假如借一十为通数以乘各母【乗三得三十以三十乘五得一百五十以一百五十乘四得六百】并之为第一率以所借一十为第二率知六百出于一十而四百之所从出可知也以四百为第三率【按此条法误置子数不用只以母数逓乗与题问不合】
一 六百
二 一十两
三 四百
四 六两又三分两之二【此系初贩原赀三乗得二十两又五乗得一百两又四乗得四百两】问携酒郊游三入肆中俱饮酒一斗九升每饮添酒辄倍余酒至三次酒尽原携若于法借一为原酒加三次倍率【一二四】并得八为首率减原酒之一只三次倍率七为次率以所饮一斗九升为三率知七出于八则知一斗九升所自出矣
一 八
二 七
三 一斗九升
四 一斗六升八之五【即六合二勺五抄】
又法并三次倍率七以乗所饮【一斗九升】得一石三斗三升减半三次得原携数同前
问载米赈济不言其数每次散米一千五百石亦每次籴增俱倍余米之数五赈恰尽无余原米若干法立一为原数加五次倍率【一二四八十六】并得三十二为首率减原数一只并五倍率三十一为次率知三十一之原于三十二即知一千五百之原
一 三十二
二 三十一 【二三相乘得四万六千五百石以减半五次亦同四率】三 一千五百石
四 一千四百五十三石三十二之四【即一斗二升五合】问立一虚数以乘四得数又以乘三得数又以乘六得数外加一十共八百前所立虚数防何其法先除所加一十只以七百九十起算亦借一通数假如借一十为主以递乘得数【乗四得四十又乗三得一百二十又乗六得七百二十】并之为第一率【七百二十】以所借为第二率【一十】知七百二十之出于一十而七百九十之所从出可知也以七百九十为第三率而得第四率乃以一十加之【按此条内并之二字衍末六字应删】一 七百二十
二 一十
三 七百九十
四 一十又三十六之三十五【以乘四得四十三又九之八再以乗三得一百三十
一又三之二又乗六得七百九十加一十合问】
问老人不知其年但云加二之一又减四之一得九十九嵗实年防何其法借一虚数外加二之一又减四之一而例之假如借八十为算依法加减【加二之一得一百二十又减四之一得九十】得数为第一率八十为第二率知九十之出于八十而九十九之所从出可凖也以九十九为第三率一 九十
二 八十
三 九十九
四 八十八
问逺望一塔上露出二丈四尺其下有树遮之云尚有三分之一又五分之二共该髙防何亦借立一数以其三之一及五之二类凖之如借立三十为主酌减余分【三之一乃一十五之二乃一十二】以其所剩数【该剩八即所露】为第一率以三十为第二率知八之出于三十而二十四尺可测也以二十四为第三率
一 八尺
二 三十尺
三 二十四尺
四 九十尺 【此塔髙之数内减三之一乃三丈减五之二乃三丈六尺此外露二丈四尺】问旗竿一根其三之一是白色五之一是黒色九之二是青色外尚余十二尺红色竿长防何亦借一数以通各数而观其所剰以类征之假如借四十五数以减各分【减三之一得十五减五之一得九减九之二得一十】其余【四十五内减前各数剩十一】为第一率以所借为第二率【四十五】知十一之出于四十五而十二之所从出可推也
一 一十一
二 四十五
三 一十二尺
四 四十九尺又十一分尺之一【其白色三之一乃十六尺又十一之四黒色五之一乃九
尺又十一之九青色九之二乃十尺又十一之十也】
问白布三十疋青布四十疋共价六百六十两青布毎疋比白布价多一倍各价防何法借一虚数为白价倍之为青价而以前疋数乘之假如借立四两倍得八各乘青白【四乘白得一百二十八乗青得三百二十】并之【四百四十】为第一率以所借四为第二率知四百四十之出于四而六百六十之所出可知也以六百六十为第三率
一 四百四十
二 四两
三 六百六十
四 六两 【此系白价倍之得青价十二两各乗疋数白得一百八十两青得四百八十两】
同文算指通编卷三
钦定四库全书