明 李之藻 撰
积较和相求开平方诸法第十四
凡平方长濶不等以长濶相乗为实积以长濶相减为较以长濶相并为和
凡以积和求较者以和自乗以积四因相减开其余得较
假如直田积八百六十四步长濶和六十步求长多濶几步者用和自乗【得三千六百】又四因直积【得三千四百五十六】以少减多余一百四十四平方开之得差一十二步
右开法见前不重列所以和自乗又四因直积者葢和自乗有四段直田积一段差方积故以四积减和乃剰下差方一段以取方面见步【有图在后】比类如有金八百六十四两数人分之只云人数与
【得银数共六十其】
【差几何银数爲濶人数爲长得三十六人毎人】【二十四两凡以积较求和者四因实积又以差】【自乗并入开平方除之得和假如直田积八百六十四歩濶不及长一十二歩求长濶和共几歩者以积歩四因以较自乗相并开方得长濶和六十歩右四 因积有 四长四】
【濶纵横列之于外又较自之一段】
【居中故开方得和其用和自乗者得此图全数外兼四积内兼较自乗故除积得较比类金八百六十四两只云锭数不及两数十二求锭与两共若干两数爲长锭数爲濶得锭与两共六十得三千四百五十六一百四十四三千六百长三十六步】各
若夫积与较求濶者其长之积多于濶若非加法以带除其长当于实积内抽减其长之积故其法有二其一以较为纵方并纵入方谓之带纵开平方其一以较为减积以方乗减谓之减积开平方
积与较求长者其濶之积少于长若非益积以补濶则当损其法之长也求法有二其一以较为负纵乗上商以添积谓之负纵益积开平方其一以较为减纵而以负纵减方法谓之带减纵开平方
积与和求濶者以和为纵方一为负隅和并一长一濶积得一长而少一濶故用一为负隅或益负隅于积或减负隅于纵皆可以求其濶也其益隅于积者乗负隅为方法又乗方法以益积是为带纵益隅开平方其减隅于纵者乗负隅以减纵命余纵以除实是为带纵负隅减纵开平方
积与和求长者原积有长濶相乗而无长自乗宜损濶以益长故以和为纵方而置一算为负隅稍赢其商以减其纵用减余者以除积而积常不足则翻以积减纵而余为负积或再商命隅以减纵而纵反不足亦翻以纵减商而余积纵三者俱负乃以负纵约余负积商命负隅开之是为带纵负隅减纵翻法开平方
右纵方六术所以通平方之变而翻法一术又所以通纵方之穷也此外有积与二濶较及长濶较求濶者则有所谓带纵减积开平方有以大小二方和积求径者则有所谓减积带纵负隅并纵开平方有以方圆二径虚设相同及积求其实径者则有所谓隅算开平方至于匿其积实而虚张长濶和较之数互求长濶者则又有所谓带纵隅益积开平方带纵负隅减纵开平方减积带纵隅益积开平方带纵负隅减纵益实开平方带纵廉开平方带纵廉负隅开平方带纵方廉开平方带纵廉负隅乗纵减实开平方皆以带纵诸法错综为用以御开方诸积之变神明变化存乎当机初不可一途而取今每则畧着数例以便初学
带纵开平方法【积较求濶】
有勾股积若干平方开之第云勾不及股若干用加法带除其股积余为开方名带纵开平方法列实点定开位亦列所不及为纵数于下以首位随首点下须于纵上空一横行以容商除初商若干纪格右亦以商数并纵数列首点下【有小数者照常退位排之】次第呼乗以除实数但所商数须与带纵相照若纵数多则减商数就之不尽之数再倍作廉法然倍方不倍纵亦并入带纵商之假如有直田积八百六十四步濶不及长一十二步求濶几步列实定位以带纵【二一】随首位列之初商二纪格
右亦列首点下以并带纵【一】共三乃
变壹贰注三 相呼二三除六 三
上捌变二二二除四 贰上陆变二
完首段余实二百二十四步次倍二
作四为廉法挨退位下亦列带纵以
廉四并纵一其下列五次商四纪格
右亦注末位点下为隅法以并隅二下注六乃相呼除先呼五四除二十进抺二又呼四六二十四恰尽得
濶二十四步
比类给银八百六十四两只云所得银之两比得分人数多一十二两求总是几人每人各得银几两银多为长人少为濶得银两数二十四人数三十六
假如二十三万○四百为实带纵七百二十初商可用四数因有带纵七乃减商作二纪格右亦纪首点下为
隅以并带纵七共九乃变二七作
九是为【二九】与右二疉呼除之 二
九一十八 九上叄变五进削贰
本位下削九 次以右二乗二除
四用借法 二上○变六 进位
五变四本位下削二次倍二作四
为廉法列次点之进位○下另列
带纵数于廉下以待商除次商四
纪格右亦注次点四下为隅法而以带纵及廉法并入除之四七并一十一廉下变一 进位亦加一 四二并得六隅下变六乃以右四呼首一 一四除四 一上削四又以右四呼次一 一四除四 一上六变二又以右四乗次六四六二十四 六上除肆 进位除二恰尽因尚余一点于右加一○
右平方二百四十带纵共九百六十
若实数首位寡而带纵数多不能并累开方者虽点段在首位亦退一位列商及列带纵而减一商
假如列实一万六千一百卄八带纵七十二点段该将
左首位商起因带纵是七即减
一商置次点下 初商九纪格
右亦注次点之下并带纵七共
一十六乃改七九作六进位置
一为方法与商九相呼 一九
除九 一上陆变七进抹一
六九五十四 六上壹变七进位七变一 二九一十八 二上贰变四进位七变五次倍九得一十八为廉法叧退一位置带纵再商六纪右亦注末点下为隅法而并廉法带纵呼除如前得濶九十六带纵七十二共长一百六十八
其实首数多带纵数少可以开除者仍照所点段位开起
假如列实三万八千四百带纵二百首位三自为一段初商一纪右亦纪一于首位下并带纵二得三乃以贰变三与右一相呼一三如三径除叄次倍一作二为廉法以注初商之次位以并带纵得四注纵下如前再商二以纪右亦以注第二点下俱与右二相呼先呼二四如八径除捌又呼二二如四径除肆外尚剰一点该于格右加○
右开方一百二十纵三百二十
若点段开位少而带纵之位反多【如开位三点只该百而带纵乃至千之类】以初商置首点下而以带纵大数进位列之必首段系二位者方有此例
假如列实一十九万八千带纵一千五百三十只点作三段其开数止有三位初商只是百数而所带乃逾至千此其并纵亦须以百随百以千进一位 初商一纪右亦注首点之下并带纵五得六另改注其下先以右一与纵一呼之一一除壹次以右一呼并六 一六如
六六上玖变三 次以右一呼纵
三三上捌变五完首段 乃倍初
商之一作二为廉法注初商之次
其带纵亦于次位列之【列五百于廉下二五
并得七另注七于下一千进位】再商二纪右亦注
次点下以并三得五另注五乃以
递呼 先呼一二如二 一上三
变一 再呼二七一十四 七上
五变一 进除一 又呼二五得一十恰尽外尚余一点右加○
右开方一百二十纵一千六百五十
带纵并商数有共一十者进位照式呼除【第一图亦有此】假如列实七万二千带纵四百八十点在首位初商一纪右亦注点下并纵四得五注于下以呼一五除五四上防变二 再呼一八除八 八上贰变四进位二变一乃倍初商之一作二为廉法注次位其
下另列带纵以二并四得六注于
下次商二纪右亦注次点之下以
相呼除 二六除一十二 六上
四变二进削一商二并纵八得一
十进位注一本位注○以相呼除
一二除二恰尽外余一点加○于
右
右开方一百二十纵六百
若实数纵数商除数俱多杂糅易淆者务须先将带并之数逐一归并停当各注其本位之下乃以呼除大抵只据最下一字为准则不淆乱
假如列实一十六万六千四百六十四带纵一千○八十八先点定该开三位讫其带纵低二行列之以便填商置初商于第二位点下以带纵之千进一位列之【初商是百故带纵之千进位与前法同】初商一并入为一千一百八十八以初商一纪右相呼首位呼一一如一以削壹 次
位呼一一如一 一上陆变五
三位呼一八如八 八上陆
变八 进位五变四 四位呼
一八如八 八上肆变六进位
八变七毕一段【以上甚简】倍初商之
一作二为廉法注次位下另列
带纵数【并得一千二百八十八】次商三纪
右亦注次点下并入以商【三】并
纵【八】得一十一注一于八下又注一于进位廉二之下以商纵【一】并廉【二】得三另注三于廉【二】之下并毕其并注数多认定最下字为主以与右相呼首位呼一三如三一上四变一次位呼三三如九三上七变八进削一第三位呼一三如三 一上六变三第四位呼三八二十四 八上陆变二进位三变一毕二段以上除过一十五万八千三百四十余实八千一百二十四未尽又倍前商之一三作二六为廉法空末位之点以待隅
法而以六注【二】下【右第二位】以二注
【一】下【右第三位】另列
带纵数以相并
乃以廉六并纵
八共一十四系
四于八下一进
位又以一并廉
二共得三系于其下乃商六纪右亦注末位下又以并纵八共一十四注四于末位下一进位四下改作五并讫以最下字与右相呼一六除六 一上八变二 三六一十八 三上一变三进除二 五六三十进除三四六二十四除恰尽
右开方一百三十六纵一千二百二十四
减积开平方法【积较求濶】
勾股积若干勾不及股亦有减积法减积者于实内减股之积以就其方也列实定位另列不足数为减积以商乗减积以所乗出之数列原积下对减视余实若干以所商依法除之有未尽者倍方为廉约得再商别置为隅亦乗减积以减余实乃倂廉隅除之
假如直田八百六十四步濶不及长一十二步求濶几何列实点位如前另列不及一十二为减积以初商乗之初商可用三因有乗数故约用二纪右亦注首位下以乗减积得二十四随位列之相对减原积二上捌变
六 四上陆变二余实六百二
十四乃以方法呼除 二二除
四二上六变二余实二百二十
四次倍二作四为廉法注退位
再商得四纪右亦纪末位为隅
法以乗减积得四十八亦相对
减余实四上二变八进位二变
一 八上肆变六进位八变七乃以方廉呼除 四四除十六 四上七变一进削一又以方隅呼除四四除一十六恰尽得濶二十四步
假如直积一千七百五十濶不及长一十五问濶几何列实定位叧列不及为减积初商三纪右亦注首点之
下为方法以乗减积得【五四】随方
法之位列之以减原积四上防
变三 五上伍变○ 乃以方
法除之 三三除九 四上三
变四进削壹余实四百次倍三
作六为廉法注退位再商五纪
右亦注末位为隅法以乗减积
得七十五对注以减余实五上
○变五 七上○变二 进位四变三尚余三百二十五皆与次商相呼五六进除三 五五二十五恰尽得广三十五
假如直积一十六万七千四十濶不及长一百三十二求濶几何列实定位另置不及为减积初商三纪格右亦注首点下以乗减积得三百九十六随首点列位对减 六上○变四因有借故进位仍七 三上陆变二余实一十二万七千四百四十乃以方法开之三三除九 三上二变三进削壹余实三七四四○次倍三作六为廉法注退位商实得四纪右亦注次段点下为隅法亦乗减积得五
百二十八退前积一位
列之对减八上肆变六
二上四变一五上七
变二仍余三二一六却
以廉隅呼除四六二十
四六上二变八进削三
四四一十六 四上
一变五进位八变六尚
余六五六○乃倍三四
作六八为廉法挨尾点
一位列之再商得八纪
右亦注尾下为隅法又
乗减积得一千五十六
挨尾位列之对减六上
○变四 五上六变○
一上六变五仍余五
五○四乃以廉隅呼除
六八四十八 六上五
变七进削五 八八六
十四 八上○变六进
削七又八八六十四恰尽得濶三百四十八
负纵益积开平方法【积较求长】
有勾股积若干勾不及股为较以积及较求股而勾少于股则益积以补勾名负纵益积开平方列实定位另置所不及数为负纵以商乗负纵虚增其积而后以方法开除不尽者倍方为廉又以再商乗负纵増积而另置一算为负隅以再商乗负隅为隅法置于廉次以商呼廉隅除尽
假如直积八百六十四濶不及长一十二求长几何列实定位叧列不及十二为负纵而初商则约所増负纵之乗命之如首位捌开法宜用二因有负纵之乗乃商三纪右亦注首位下为方法而以乗负纵得三十六注三于首位注六于次位以并原积六上陆变二 三上捌变二 进位置一益积得数一千二百二十四乃以
方法呼除三三除九 三上二变
三余积三二四又倍三作六为廉
法另商六纪右以乗负纵得七十
二退位列之添积二上肆变六
七上二变九共积三九六而另置
一算为负隅以次商【六】乗之仍得
六为隅法乃并廉隅呼除六六三
十六 六上九变三进削三又呼六六三十六恰尽得长三十六
假如直积二十三万四百长濶较七百二十求长几何列实亦列较为负纵初商九纪右亦注首点下为方法以乗负纵得六四八以益积 八上○变八 四上叄变七六上贰变八共八七八肆○○以方法除之九九八十一九上七变六进削八余实六八肆○○乃倍九作【八一】为
廉法注八于次隅之进位又
注一于进位次商六亦乗负
纵得四三二以益余积二上
肆变六 三上八变一 四
上六变一 进位置一共得
一一一六○○又以次商六
乗负隅一仍得六注本段点
下为隅法乃以廉隅呼除
一六除六 一上一变五进
削一 六八四十八 八上
一变三进削五 六六三十六恰尽得长九百六十带减纵开平方【积较求长】
凡以较及积求股者股长于勾亦有损股之长以就其方者名减纵开平方列实定位列较为减纵以减初商而以所减之余即乗初商以开之其次商又即以初商并入为廉法而商之置隅如常
假如直积八百六十四濶不及长一十二求长若干列实叧置不及一十二为负纵初商三十【因有二点故知三十】置右另以负纵减之余一十八挨注首位点下为方法以呼所商三八二十四 八上陆变二 进位捌变六 一三除三
一上六变三 余积三百二十肆乃
于右三加○以并方法一十八共四十八为廉法注退位再商六纪右亦注隅而并入廉法共五十四而六八并改四
进位四改五以呼次商五六三十
五上进位削三 四六二十四恰尽得
长三十六 其次商若不以隅相并亦同前法
六 次商六并前【八一】为四十八退位注之以
呼四六二十四 四上二变八 进位
削三 六八四十八 八上肆变六
进位八变三 又置隅法于尾位六六
三十六恰尽
只就本段积
比类以金换绢八百六十四匹
不知金一两换绢几匹但云原
金总两多于绢数十二今求原
金几何如长绢匹如濶得金三
十六两其所换匹数即直积也
假如直积三千四百五十六濶不及长二十四求长几何列实定位另置较二十四为负纵初商七十【因有二点故知七十】纪右以负纵减之余四十六挨注首位为方法【四多于三照例退位】与商相呼 四七二十八 四上肆变六进削叄 六七四
十二 六上伍变三进位六变二 余
实二百三十陆乃于右七加○以并四
十六共一百一十六为廉法列于下续
商得二改右○为二亦注尾位为隅法
并入廉法呼除一二为二 一上削二
又一二为二 一上三变一 二八
一十六恰尽得长七十二
又有两方共积若干第云以小方之一面乗大方之一面共若干问大小方面各几何者倍乗积以减共积以所余积为实开方得较再置二方乗数为实以较为减纵开平方除之得大方面以较减之得小方面
假如大小方田二段共积六千五百二十九步以小方大方各一边相乗得三千一百二十步求大小方面几何者倍二方乗积【得六千二百四十步】以减共积余二百八十九为实以开平方法除之得较一十七步再置二方乗数三千一百二十步为实以较为负纵初商六十纪右以负纵减之余四十三注下为方法以呼所商四六二十四 四上壹变七进削叄三六一十八 三上贰变四
进位七变五余实五百四十乃于
六右加○以并方法共得一百零
三为廉法列下续商五纪右亦注
尾位为隅法并入廉法共一百零
八以相呼 一五除五五八四十
恰尽得大方面六十五步以较一
十七减之得小方面四十八步
带纵益隅开平方法【积和求濶】
凡积和求濶者用其和为带纵则已兼长濶而积有长无濶故虚置一积为负隅而以负隅益积即以带纵开之得濶数名带纵益隅开平方列实定位另置带纵数以初商纪右用自乗以益原积是为负隅而以所商呼纵方除之不尽者倍商为廉注退位又再商纪右亦注廉次为隅法廉隅并数以乗所商益积乃用商呼纵方若不尽须再商者则以后廉并前廉余如前法除尽得濶数
假如直积八百六十四长濶和六十求濶几何置积为实
以和为带纵初商二纪右亦注首
位下自乗得四以益积共一千二
百六十四乃以初商乗带纵二六
一十二 二上削二进削一余实
六十四倍方为廉得四注次位次
商四纪右亦注尾位为隅法以乗
廉法得一十六并入余实四上陆
变二进加二亦以乗隅法尾位肆
变○进位二变四共二百四十而
以次商呼带纵恰尽得濶二十四
二积共一千
四百四十步
以带纵六十
除之得濶二
十四步
假如直积二万一千六百四十八长濶和二百九十六求濶几何列实定位置和为带纵初商一列右为方法亦注首位下自乗仍得一以益积首位贰变三乃以方法与带纵相呼除实首位三变一 次位壹变二进削一退位陆变○余实二千○四十八倍方为廉得二注退位次商三纪右为方法亦注廉次为隅法共【三二】以乗方法得六十九益入本段余积三上○变九 二上二变八共得八九四八乃以方法呼带纵除之二三除六
二上八变二 三
九二十七 三上九
变二进削二 三六
一十八退位四变六
进削二余实六十八
又倍方法之三为六
作廉法注退位倂入
前廉【二】共二百六十【所以倂入前廉者盖一方外必具两廉故】为方法再商二纪右亦注尾位为隅法并入方法共 以乗所商【二】得五百二十四以并余积尾位八变二进位六变九进位加五乃以所商【二】与带纵呼除恰尽得濶一百三十二歩
假如直积三千四百五十六步长濶和一百二十步求濶几何列实以和为带纵初商四纪右为方法亦注首点下自乗得一十六益积四上肆变○进位叄变五乃以方法呼带纵一四除四首位五变一二四除八退位
○变二进削一尚剰二百五
十六次倍方四得八为廉注
次位续商得八为方法纪右
亦注尾位为隅并入廉法得
【八八】而与方法【八】相乗共七百
四以益余实尾位陆变○进位伍变六 进位二变九乃以所商【八】呼带纵恰尽得濶四十八步
带纵负隅减纵开平方【积和求濶】
积濶求和若难以益隅开之者即用减隅法而减负隅于纵名带纵负隅减纵开平方列实定位列和为带纵置一为负隅初商纪右乗负隅以减带纵列减余于实下而乗所商以开之不尽者倍方为廉以廉减纵次再商纪右亦减余纵而以其减余乗商除尽得濶数假如直积八百六十四长濶和六十求濶列实定位另列和为纵方初商二纪右亦纪首点下以乗负隅一仍得二为方法以减纵数陆剰四随首位注之以呼初商
二四为八二上削捌余实二十四倍
方法之二作四为廉法注初商之次
位亦乗负隅得四以减纵剰二十注
退位次商四纪右亦注末位为隅以
减余纵之二十余一十六附注乃与
右四相呼先呼一四除四 一上陆变二再呼四六二十四恰尽得濶二十四亦有初商除实讫即以初商再减剰纵以所余为纵方而即以再商再减为下法者【前法倍初商为廉以减原纵此即以初商减剰纵不立廉数然已将原纵再减以应两廉之数与倍商同】
初商除实八百讫即将初商之二十
再减余纵【四十】剰二十退位列之
次商四以减余纵【二十】尚剰一十六呼
除如前
右得广二十四以除实积得纵三十
六若欲还原以广纵相乗
长濶和变作通
长六十
濶二十四共负
四百八十
假如列实三万三千六百长濶和四百列实亦列和
为减纵初商一乗负隅仍得一以减
纵【四】余三百随首位列注以呼所商
一三除叄讫 次倍初商一作二为
廉法以减纵四仍余二注退位再商
二亦以减纵变二○为一八而以次
商呼之 一二除二一上叄变一
又呼二八一十六恰尽 格右加○
以结末位得濶一百二十
右法同前但减纵有借法进位故録
为式
假如列实六万九千三百六十长濶和七百八十二列
如前初商一以乗负隅仍得一减纵
【七】余六相呼 一六除陆 一八除
八玖变一 一二除二叄变一讫
次倍一作二为廉法以减纵仍剰五
附列而纵数多于原数无可商除则
纪○于右并初次商得一十另倍一
十作二十为廉法挨注退位以二减
纵七是为 挨尾段列之续商二以相呼 二五除一十 进削一 二八一十六除尽得濶一百二【初商除讫即以先减纵数亦然】
假如列实九万六千长濶和六百四十
初商二以乗负隅一仍得二纪右亦
注首位以减六 余四以相呼 二
四除八 四上玖变一又呼二四除
八 四上陆变八 进削一讫
乃倍二作四为廉法以减纵六剰二
亦随退位注之 次商四纪右亦注
退位为隅以减纵【只剰二】乃以四变○
以商相呼 二四除八恰尽 因有
余位 右加○得濶二百四十
右法已见因纵有重位故録备例
若以积与虚长濶共若干而欲求其濶者及欲求其长者皆以共若干为带纵方而求濶则以濶为负隅以长乗积为实求长则以长为负隅以濶乗积为实列例如左
假如直积八百六十四步三长五濶共二百二十八步求濶几何以三乗积步得二千五百九十二为实【三长原有
三积故以三乗】五为负隅【已用三长尚少五濶故用为负隅暗
添五段濶方之积】以共步为带纵列实定位
初商二纪右以乗负隅【五】得【○一】以一
减纵首 贰变一 余纵一百二十
八挨注首位与商相呼一二除二二
二除四退位伍变一 二八一十六退位玖变三进削一余实三十二再以所商【二】乗负隅得【○一】以【一】减余纵剰二十八【即前倍方为廉之法】续商【四】以乗负隅得【○二】再减余纵二十剰八以呼所商四八三十二恰尽得濶二十四步
假如直积八百六十四步三长五濶共二百二十八步求
长几何以五乗积步得四千三百二
十为实【五濶原有五积故五乗之】以三为负隅【于原
纵减去二长故】以共步为带纵初商三以乗
负隅三得九减纵注其退位九上贰
变三 进位贰变一余纵一三八挨
注首位以呼初商一三除三 一上
肆变一 三三除九退位叄变四
进削一 三八二十四 八上贰变八 进位四变一余积一百八十复以初商三乗负隅【三】得九以减纵九上三变四进削一剰四十八次商六又乗负隅【三】得十八亦以减纵剰三十与商相呼恰尽得长三十六步
又有以积与虚长濶和较共若干求濶者及求长者约和得长濶几何并濶与较得长几何而视其所求为长为濶如前法以别实积及负隅而皆以共数为带纵
假如直积八百六十四步一长二濶三和四较共三百一
十二步求濶几何约三和自具三
长三濶以并一长二濶共四长五
濶又以四较益濶为四长共得八
长而余一濶应八乗积步得数六
千九百一十二为实以余一为负
隅以共步为带纵初商二以乗负
隅【一】仍得二【因点为二段此为二十】以置纵
次位减之二上壹变九 进位叄
变二余纵二百九十二列原积之下以呼所商二二除四二上陆变二 二九一十八次位玖变一 进位二变
一 二二除四 二上壹变七 进位一变○ 余实一○七贰复以初商二又乗负隅以减纵二上九变七 剰纵二七贰续商四又乗隅减纵四上贰变八 进位七变六是为二六八以乗所商【四】除尽得濶二十四步又有以虚长虚濶约其子母共若干与积若干求长濶若干者法以长母乗濶子为濶率以濶母乗长子为长率又两母相乗以乗共数为带纵而约带纵为几长几濶以一乗原积为实以一为负隅如前法为减纵开平方除之
假如直积二千三百五十二步只云长取八之五濶取三之二并得六十三步求濶者两母【三八】互乗得二十四以乗相并【六十三】共一千五百一十二为带纵而以长母【八】乗濶子【二】得一十六为濶率以濶母【三】乗长子【五】得一十五为长率则知此带纵数内具有长十五濶十六也以长十五乗直积得三万五千二百八十为实以濶一十六为负隅初商四纪右【有二点即作四十】以乗负隅得六百四十以减纵四上壹变七六上伍变八 进削壹 余纵八百七十二以注实下与商呼除四八三十二 八上伍变三进
削三四七二十八七上贰变四
进削三二四除八 尾位变○
余实四百再以初商所乗隅算
【六百四十】减余纵四上七变三 六
上八变二余纵二百三十二续
商二纪右以乗负隅得三十二
亦以减纵尾位除贰进位三变
○剰纵二百与续商二相呼恰
尽得濶四十二以除直积得长
五十六
带纵负隅减纵翻法开平方法【积和求长】
凡积与勾股和求股者原积但有长乗濶数而负长自乗之数法须损濶益长求之先立一为负隅以和为纵方而以负隅减纵方初商令稍浮常法以乗负隅减纵次呼余纵开积而原积不及翻以原积减商除之积而以余负积为实复以初商乗隅以减余纵如余纵不及即以余纵翻减以为负纵而隅积纵三者俱负乃以负纵约余负积以得次商命负隅以除负积为带纵负隅减纵翻法开平方
假如直积八百六十四长濶和六十求长几何列实以和为纵方一为负隅初商三【有二段即系三十正得长濶之平损濶益长】纪右以乗负隅【一】仍得三以减纵剰三十与商相呼三三得九【即九百】而原积不及乃翻列九百于原积之上而以原积减之尾位○变六进位○变三 首位削九得余负积三十六为实再以初商【三】命负隅【一】以减余纵【三十】减尽乃约余实得次商六纪右以乗负隅【一】仍得六注尾位呼除负实六六三十六恰尽得长三十六
假如直积三千四百五十六长濶和一百二十求长几何列实定位列和为纵方立一为负隅初商七【有二段即七十】乗负隅【一】仍得七纪右以减纵方余纵【五即五十】以呼初商合除三千五百而原积不足乃翻以原积除之列三五于原积之上反以原积除之尾位○变四进位○变四 进位削五又进位削三 剰负积四十四为实仍以初商七十乗负隅减余纵【五十】而余纵不足乃以余纵【五十】反减初商【七十】余二十为廉法挨注次位而纵又为负次商二纪右亦注二
于尾位为隅法共二十二皆与所商之二呼除恰尽得长七十二
亦有虚立长濶和较求长者假如直积八百六十四步一长二濶三和四较共三百一十二步求长若干依前法演
得八长一濶以一濶为实
八长为负隅共步为纵方
列实初商三纪右【即三十】以
乗隅【八】得二百四十以减
纵一变七进削三余纵七
十二以呼所商【三】除积合除二千一百六十而积反不足乃翻以积除之列二一六○于上 肆上○变六 进位六变九 进位一变二 进位二变一 尚余负积一二
九六复以初商【三】乗负隅
【八】合减纵二百四十而余
纵【七十二】不足翻以余纵减
之剰负纵一百六十八是
余纵积算俱负
次约负积商六纪右以乗负隅八又并负纵共二百一十六挨注尾位以呼所商二六一十二 二上削二进削一 一六除六 一上九变三 六六三十六恰尽得长三十六
假如直积三千四百五十六步一长二濶三和四较共六百二十四步求长几何仍前八长一濶以一为实八为负隅共步为纵方初商七纪右以乗负隅【八】得五百六十以减纵方剰六十四注首位合除四千四百八○
列原积上以视原积不
足翻以原积减之尾位
○变四 四上八变二
六上四变○ 进位
四变一 余负一千二
十四为实再以初商【七十】乗负隅【八】得五百六十者减余纵而纵又不足则翻以纵减之余纵四百九十六而隅法纵法积法俱负续商二纪右以乗隅【八】得一十六并入负纵共五百一十二挨尾注之与所商二相呼恰尽得长七十二步
同文算指通编卷七
钦定四库全书