钦定四库全书
新法算书卷九十四 明 徐光启等 撰测量全义卷八 解正球上大圏相交之度分
正球之大圏有三种一为赤道二为斜截赤道之圏【如黄道等】三为直截赤道之圏【直截赤道者截赤道为直角其极如正球之地平圏各处午圏时圏等】三者相交相距是生多种三角形
如己甲庚为赤道丁丙寅为黄道相交于丙为斜角戊为己庚赤道圏之一极【极者球面上大圏之心凡分球宜用球体之心体之心不可得而以大圏之心当之故不名心】
【名极亦即轴之两端也】从戊极作戊甲乙辛圏辛为赤道之又一极戊甲辛弧截赤道于甲为直角亦截黄道于乙成甲乙丙直角曲线形也此形之乙至丙为黄道之经度丙至甲为赤道之经度乙
甲为乙防距赤道之度【即赤道之纬度】丙为赤黄二道之交角乙为过两极圏与黄道之交角甲为过极圏与赤道之交角【即直角】一形有三角三边凡六种先有三可求其余
一题凡有两道极相距之度分【交角之度分同】及一道之经度分求其余
如丙角为二十三度三十一分三十○秒丙乙为黄道经三十度【如大梁等一宫】求其纬度
乙甲【过极圏之一弧】此为直角形有丙角及直角之对边丙乙求其余三
一求黄道若干度之赤道纬度【即乙甲边】法【见本篇七卷直角形防法第七设】为全数与丙角之正?【三九九一六】若乙丙弧之正?【五○○○○】与乙甲弧之正?【一九九五七】查得一十一度三十○分四十秒即黄道经三十度之赤道纬度
二求正球同升之度甲丙【若甲乙边为正球之地平弧即丙甲丙乙两弧必同出入名正球同升之弧也又若甲乙为子午圏即丙甲丙乙为同过子午圏之两防名虽不同其理无二详见左方】法为全数与丙角之余?【九一】
【六九○○】若乙丙之正切线【五七七三五】与甲丙边之正切线【五二九三○】查得二十七度五十三分四十三秒
三求乙角【即黄道与子午等过极圏之交角】法为全数与乙丙之割线若丙角之余切线与乙角之切线【若知黄白二道交角之度及太隂之本行经度可知其去离南北之度而定食限之度见月离厯及】
【本表】
用上三法可作两道各度分相距之纬度表又可作每度之同直升表又可作每度与过极圏之交角表三者其用甚大为推歩日食根本又因第一求可定月及五星距黄道之度
附同升解
黄赤二道交于春秋二分必相截爲两平分若别大圏截两道其交角从本圏之体势直斜不一
其一大圏过两道之两极必与两道相交为直角则从两道之交至大圏之交其两道之?必等此大圏为极至交圏也因过赤黄两道之极与两道为直角则从春分迄夏至两道之?必等为九十度也
其二大圏独过一道之两极【如过北极则赤道极也】此大圏与所过极之本圏必相交为直角若与所不过之道则否从春分至过极圏之交所截黄赤两道之?必不等【盖两道与过极圏交而作角必有钝有锐为异类故也】而此两道之两?【从春分起数】名正球同升或同降之度【正球内升降之度必等盖地平为过极之一圏也欹球则否】亦名同过子午圏之度【盖子午圏亦过赤道之极】
如过极圏截黄道大梁初度【去离春分三十经度】截赤道二十八度弱或正球黄道大梁初度与赤道二十八度弱同升同降或同过子午圏反之亦谓正球赤道二十八度弱与黄道三十度同升同降同过子午圏其理皆同若春分迄夏至于黄道第一象限顺数之秋分遡夏至则否用所得赤道升度以减象限所存数又加一象限九十度得黄道某防之正升度
如鹑尾初度距秋分三十度从秋分算得赤道同升之度二十八以减夏秋九十度得六十二以加春夏一象限得一百五十二为鹑尾初从春分起与赤道同升之度
若秋分迄冬至用所得赤道升度与春秋二象限一百八十度并得黄道从春分至某防之正升度
如大火初距秋分三十度从秋分算得升度二十八以加春秋一百八十度得二百○八度爲大火初从春分起与赤道同升之度
若从春分遡冬至则用所得赤道升度以减象限得数与春分迄春分三象限二百七十度并得黄道从春分至某防之正升度
如娵訾初距春分三十度从春分算得升度二十八以减春夏九十度得六十二以加春分迄春分二百七十二度得三百三十二度为娵訾初从春分起与赤道同升之度
其三大圏不过两道之极如欹球地平大圏截黄赤二道皆爲斜角因赤道髙下作角必不等其三角形之腰亦不等则从春分计某地两道同升之两?数名欹球同升之度
如顺天府赤道约高五十度设大梁初度从地平上升因本法推赤道上之同升度一十八【从春分起数】则大梁初度及赤道一十八度爲某欹球同升之两防
若欲定其斜入则倒球取之用彼球之卯当此球之酉用彼球之升爲此球之降则某防为彼球之斜同升即此球之斜同入
如顺天府北极出地约四十度有夏至同升之度欲求其同降则用南极出地五十度之彼球以彼球之冬至为此球之夏至则彼球冬至之同升度即此方夏至之同降度
巳上言正球有正升度欹球有斜升度此两数相减之较名两升之差
如大梁初度之正同升二十八度顺天府大梁初度之斜同升一十八度其较十度即顺天府大梁初度之升差
已上所説用浑球解之则易明
二题有黄道经纬度求两道交角之度
如上有直角之对边乙丙及其旁边甲乙而求丙角求乙角求赤道之?甲丙俱用
本书七卷十设因设数难定不须详别
三题设两道交角之度及黄道某防之纬度而求其防之黄道经度
如丙为交角丁甲其对边之纬?求丙甲赤道之?【见七卷三设】爲全与丙角之余切线
若甲丁?之切线与甲丙边之正?【此即赤道经度凡经纬二数恒相连】求丙丁黄道之?为全与丙角之余割线若甲丁边之正?与丙丁边之正?【丙丁为黄道经即两圏上之两防丁甲恒相对同升于地平同过于子午等圏】求丁交角为全与甲丁边之割线若丙角之正?与丁角之正?【三角形各形有十设】
【各设三求今约取其必用者解之】
四题有丙交角【丙恒为交角】及甲丙赤道之?求丁角【黄道与过极圏之交角】求丁丙【黄道同升之?】求甲丁【黄道上某防之纬度法见七卷第二设】
解欹球上大圏相交之度分
正球上大圏有三种欹球则有四种地平圏一也天顶圏二也地平左右之次舍侣圏三也日出入之时圏四也与正球之三而七矣七圏者相交相距其理甚繁其用甚大
一题有赤道与地平交角之度【子午圏过天顶亦过赤道极则交角之度与极出地平上之余度必等】又有黄道某防之纬若某防或升或降在地平求黄道与地平交角之度
如图癸丙甲为地平壬寅戊为赤道丁
丙庚为黄道己为二道之交丙爲黄道
地平之交从赤道极乙防过丙至赤道
上寅防作乙丙寅?即丙寅?定黄道
丙防之纬度丙乙其余也即甲丙乙直角形之丙角为过极圏与地平之交角又丁丙乙爲黄道与过极圏之交角两角并得丁丙甲角 用前正球一题第三求得乙丙丁角【彼云乙角】次甲丙乙形甲乙爲极出地之髙若干度乙丙爲寅丙纬之余度用第九设第二求得之【此问日食算中所必用故详解之仍须作立成表】
如有大梁初度【即黄道经三十度为乙丙边】又有两道之交角【丙角二十三度三十一分半】而求过极圏【甲乙】与
黄道之交角【乙】法爲全数与乙丙之割线【一一五四三○】若丙角之余切线【二二九七○○】与乙角之切线【二六五一四二】查得六十九度二十分有竒
次求甲丙乙角【即前本图上形】爲全数与乙丙边之余割线【大梁初度之纬十一度三十一分其数五○○八六九】若甲乙边之正?【如顺天府北极出地三十九度五十分其正?六四○五六】与乙角
之正?【五四三六七】查得三十二度五十六分
先得六十九度二十分有竒次得三十二度五十六分并得一百○二度一十六分有竒即本图甲丙丁角之度
若巳交角【即黄赤交】与丙【即黄道地平之交】同防即黄道极必在子午圏内或巳爲春交在东则以黄赤距度减赤道高即黄道地平交角之度或巳爲秋交亦在东即以距度加赤道髙或巳为春交在西亦加爲秋交在西亦减【用浑球明之】
二题有黄道某防之纬度及北极出地之度求本防出入地平之濶度【濶度者地平之经度各防出入于卯正酉正其濶度或南或北惟春秋二分出入于正卯正酉若在黄道北六宫出入皆在正卯酉之北若在黄道南六宫出入皆在正卯酉之南】如图丁庚戊爲子午圏丁丙戊为地平庚乙己为赤道交地平于乙辛丙壬为赤道南距等圏交地平于丙从天顶子【地平圏之极】
作子甲乙为地平第一经圏乙防即正卯酉此圏分则出入南北之中界也次从赤道极癸作癸丙过极经圏而成甲乙丙直角形形之甲丙边为某防距等圏之纬度甲乙丙角【庚戊?也】为赤道出地之度【北极出地之余】甲为直角【从赤道极癸出线而截赤道于甲故也】乙丙爲黄道某防之濶度求法用三设之第三求为全数与乙角之余割线若甲丙边之
正?与丙乙边之正?
假如顺天府赤道高五十度五分乙角也
其余割线【一三○二二三】甲丙边冬至之纬度也为二十三度三十一分半其正?【三九九○二】算得乙丙边之正?【五一九六一】查得三十一度一十九分 因乙防为正卯酉癸爲北极则丙在正卯酉之南若夏至理亦同此但丙在正卯酉之北甲乙丙形在地平下而乙角【丁己?也】爲赤道入地之度如上图
三题有北极出地度及黄道之某防求昼夜长短【即各欹球黄赤道同升之防】
解曰凡测时以赤道为主何者日十二时九十六刻终古常然不以冬夏为永短赤道亦半出地上半入地下卯正至午正午正至酉正恒各满一象限不与黄道偕盈缩二相配合则赤道过一宫而爲一时过三度四分度之三而爲一刻故赤道为各种日晷之宗法测时候之公本原也其在欹球独春秋分日赤道一象限恒在午圏地平圏之内两道过子午圏及出入地平常是同防则从午至酉赤道过子午圏而西者为九十度得二十四刻也过此以徃日躔积渐南北昼夜亦积渐永短赤道在午正左
右之第九十度亦积渐出地上或入地下则定昼夜分者当求赤道与日躔过极圈交防之度其法从北极过日体作过极圏之一?为癸丙甲或癸甲丙定甲赤道之防其赤黄两道之两防庚辛同过子午等圏转浑令辛防到地平如丙即庚防必至甲若太阳在北六宫庚防必过地平如癸丙甲在南六宫庚防必不到地平如癸甲丙此或过或不及之差名两升之差【一是正球过子午圏一是欹球过子午圏】亦谓之昼夜长短之根今欲测辛防从午至入地平之刻分必先定庚甲【庚甲大圏之?度与辛丙小圏之?度同在癸甲癸庚两过极圏内必等若得庚甲自得辛丙辛丙小圏无法必用庚甲测之】而庚乙必九十度须知甲乙然后或加或减可得甲庚即半昼分倍之得昼夜以加减四十八刻得半夜分
如上图甲乙丙形有乙角为赤道与地平之交角有甲丙为某防之距度求甲乙则
全数与甲丙边之切线若乙角之余切线与甲乙边之正?
如甲丙爲冬至之距纬二十三度有竒其切线四三五三○乙角赤道之高五十度有竒其余切线八三四一五算得三六五一一为甲乙边之正?查得二十一度二十五分以减九十度得六十八度三十五分算时刻得一十八刻四分【每刻十五分】二十抄【每分六十秒】为顺天府之冬至半昼分倍之得三十六刻○ 八分四十○秒为昼长以减九十六刻得五十九刻○六分二十○秒爲夜长 因上法可作诸方半昼分立成表【见别卷】
四题有赤道之高及太阳出入之濶度可得黄道本防之纬度亦自有其经度
即用上图有乙角爲赤道之高丙乙爲大阳出入之濶求黄道之纬度甲丙亦求欹
球同升之差甲乙【见七卷第四设】
若有赤道之高及丙角亦可求其余【见七卷第一设】
若置半昼分及赤道之高可得黄道本防之纬度及太阳出入之濶度【若半昼分为时刻则以本法易为度分以加减九十度所得数为甲乙边】
五题有黄道某防及北极出地之度求欹球同升之度如上图求得黄道某防之正升甲及两升之差甲乙以此两数或相加【在北六宫内】或相减得某地面黄赤两道同升【从春分起算】之两
?如顺天府析木初度正升为二百三十七度四十八分○七秒其斜升之差为一十八度两数相加得二百五十五度四十八分○七秒则黄道?爲二百四十度【从春分起算】赤道弧为二百二十五度四十八分○七秒为本地面两弧同斜升之度
若求其同降之度则用黄道上对防求其斜升加一百八十度 如析木之对为实沈求实沈之斜升得三十九度四十九分加一百八十得二百一十九度四十九分即析木偕赤道同降之度
升降三类【正球同升一斜球同升二正斜升之差三】其用甚大如定昼夜长短及太阳与某星相距之度及夜以星定时刻之属皆所必须故须详讲之熟习之【另卷有本表及其用免算】
六题有极出地之度及赤道之升度【从所近交起算】求黄道同升之经度
如图己癸为地平午丙辛为赤道戊丁庚为黄道交地平于乙两道之交成丁丙乙斜角形丁为两道之交角丁丙边为赤道上升度【从所近交起算】丁丙乙为赤道高丁丙癸之余角求黄
道弧丁乙其法从丙角作丙甲垂弧分元形为二其甲丙丁形有丁角有丁丙边用直角第四设求丁丙甲角丙甲边丁甲边次于丁丙乙角内减丁丙甲角余甲丙乙角即甲丙乙
形有丙角及丙甲边用直角第二设求甲乙以并丁甲得丁乙弧
上法为是丁乙黄道在北六宫若在南六宫即丁乙丙
斜角形有丁丙边有丁丙两角
从乙角作乙甲垂弧分元形为
二先于甲乙丁形求甲乙甲丁
次甲乙丙形有丙角甲乙边求甲丙以并甲丁得丁丙边
七题有极出地之度分多于两道相距之余度分求此地周歳中太阳恒见恒隐之日数
解曰正球之赤道及其距等圏皆与地平为直角故昼夜恒等其在欹球极高六十六度半弱【两道距二十三度半强之余度】以下者太阳日日有出入周嵗中日日有昼夜依上第三题求其昼夜分若极高六十六度半弱以上即周嵗中太阳有时恒见不隐每日周遭地平之上有时恒隐不见每日周遭地平之下以法求得其?见之日数然此所得者实隠见也又因清蒙之气入恒迟出恒早此为视隠见説见厯指一卷
其法以赤道之髙【极出地之余度】当太阳之纬度因纬度求其经度【从春分或秋分起数】取经度之余度【即太阳去离夏至或冬至】倍之约一度为一日得本地太阳恒见恒隠之日数
如上图癸己为地平午辛为赤道乙丙为夏至壬庚为冬至乙庚为黄道子丑为两极若太阳在夏至乙从乙转丙丙复转乙
不割癸己地平即常见若太阳至丁己距圏从丁转己已复转丁虽切地平于已而不割亦常见假如极出地七十六度赤道髙十四度即以当太阳之十四纬度求经得三十七度二十分其经余五十二度四十分倍之得一百○五度二十分约一度为一日得一百○五十有竒太阳日日周行地平之上并为一昼若太阳躔南六宫则日日周行地平之下并为一夜第因清防之气即视见恒在真见之前视隐恒在真隐之后各有日数因本地之?气厚薄以为多寡
八题有黄道交子午圏之防及极之髙求黄道之九十度限
从地平以上数至黄道之九十度名为黄平象限此推算日食所必需也黄道大圏半恒在地平上半恒在下而黄道极多不在子午圏中故上半周任交于子午圏其九十度限亦多不在子午圏也若极在东则从地平西右数至子午圏黄道之度恒过九十从地平东左数至子午圏黄道之度恒不及九十若极在西则反是故春分前后六宫从冬至迄夏至交于子午则黄平限在东秋分前后六宫从夏至迄冬至交于子午则黄平限在西今所求者此九十度限之一防去离天顶若干度分也其用法详日食本论
法有黄道交午圏之防求九十度限即先求正球上在午防之同升赤道防加赤道从午至地平九十度得总数定仪求本地欹球上之黄道同升防于黄道在午至地平数内减九十度得黄道去离地平之九十度限也如大梁初度在午其正同升为赤道二十八度强加九十度得一百一十八度次求本地欹球【顺天府极出地四十度弱】上之黄道同升得鹑火出地平一十一度弱于黄道从午至地平数内减九十度得大梁十一度弱为黄道九十度限在东
又如黄道?枵初度在午其正同升为赤道三百○二度强加九十得三百九十二【凡度数满全周用其余此三百九十二减三百六十即总数为三十二】次求本地欹球上之斜同升得大梁出地平一十二度于黄道从午至地平数内减九十度得?枵一十二度为黄平象限亦在东
系有在午之防及九十度限其较为午防至九十度限之黄道一?如上第二设九十度限为?枵一十二度午上之防为?枵初度则其相距为一十二度反之有黄道之出地度求在午之防及九十度限法曰有地平上黄道防求其本地欹球上之赤道同升防减九十度得数求正同升之黄道上度为在午之防又于本防去离地平数内减九十度得黄平象限如大梁初度在地平本欹球之斜同升为一十八度减九十【凡实数小法数大借全周三百六十并而减之】得二百八十八度求其正同升之黄道上度得?枵一十七度强为九十度限距午之度
又黄道大梁初度在地平于地平距午数内减九十度得?枵初度为九十度限
九题有黄道交子午圏之防及极之髙求九十度限而不用同升度
如图丁丙戊爲子午圏乙甲丁为黄道乙防为某宫某度分丙为天顶甲为九十度限从丙过甲作丙甲己地平经圏成甲乙
丙形甲为直角乙爲黄道交于子午圏之角【见正球説有本表】丙乙为黄道某防距天顶之度【若某防系南六宫求其纬以减赤道髙若系北六宫求其纬以加赤道髙各得丙乙】而求甲乙边法为全与乙角之余?若丙乙之切线与甲乙之切线【另卷有表又见交食厯】
假如乙防是大梁初度则乙角为六十九度二十一分【法见正球四题】其余?爲三五二六六其纬一十一度三十分以加赤道髙得六十一度四十分其余为二十八度一十分丙乙也其
切线为五三五四五算得一十度四十八分为甲乙弧【上题用同升表一十一度弱今亦用表数云一十度四十八分因上题弃去零数故也】
十题有黄道交于子午圏之防及极之髙而求九十度限距天顶之度
如前图求丙甲弧法为全与丙乙之正?【四七四六○】若乙角之正?【九三五七五】与甲丙边之正?【四三四一九】算得二十五度四十四分为甲丙弧 因甲庚庚己各九十度则甲己爲庚角之弧其角为黄道截地平之角即上第五题图之丁乙丙角
十一题有在地平防之濶度及在午防之距天顶度而求黄平象限距天顶度
如前图从天顶丙作地平经初度丙壬黄道截地平于庚成庚甲己形甲己为两直角【丙己经圏过地平之极故己为直角甲分地平上黄道为两平分即过地平之极亦过黄道之极故甲为直角】则相对之两腰必等庚甲九十度庚己亦九十度而壬戊亦自为九十若减同用之壬己即所余庚壬与己戊等己戊弧定甲丙乙角之度故甲丙乙形有丙乙及丙角【或己戊或壬庚濶升度】可得甲丙法为全与濶
升度之余?若丙乙边之切线与丙甲边之切线
十二题有午上之防求在地平防之阔升度
即庚壬或己戊或甲丙乙角法为全与丙乙边之余割线若甲乙边之正?与丙角之正?【或庚壬濶?之正?】
十三题有午正前后时刻之度分【时刻之度分者以时刻易为度分也每四刻为一十五度一刻为三度四十五分刻之一 分为度之四分之一刻之一秒为度之四秒】及太阳之经度求在午之度因求黄平象限度
法如时在午前即以太阳经度求其正同升之度减时刻之度得赤道数以求黄道正同升之度即在午之度如太阳躔大梁初度于己正初刻求在午之度即查大梁三十度之正同升为赤道二十八度减去三十度【己正初刻之度】余三百五十八【实少于法借全周】查其正同升之黄道度得娵訾二十八为在午之防次于赤道数加九十得八十八【满全周去之】求本地欹球同升之度得鹑首一十七【零数省文去之】为黄道本球本时出地平之度减去九十度得降娄一十七为黄道九十度限
若时在午后则用加法如未正初刻则于二十八度【大梁之正同升】加三十【时度】得赤道五十八查其正同升得实沈初度为在午之防次于赤道五十八加九十得一百四十八度求本欹球之同升得鹑尾五度半为黄道本时本球之出地度减去九十度得实沈五度半为黄道九十度限
十四题有太阳躔度及时刻度求太阳地平上之髙度其法有四或太阳在赤道上【春秋分第一圏】或时度过九十【二图】或在北六宫【三图】或在南六宫【四图】
第一图己戊丁壬为子午圏戊丙庚为赤道太阳在乙从天顶丁作丁乙甲弧过太阳至地平为直角成甲乙丙直角形此形
有乙内边【戊乙时度之余】有丙角【赤道之高度】求甲乙为全与乙丙边之正?【己正初至午正既三十度乙丙必六十度其正?八六六○三】若丙角之正?【顺天府赤道髙五十度则丙角五十度其正?七六六○四】与乙甲边之正?【六六三四一】算得四十一度四十七分为太阳本时之髙第二图时度过九十即从北极辛作辛乙午?交地平于癸成癸午丙三角形午为直角有午丙为时度过九十之较有癸丙午为赤道与地平之交角求午癸边及午癸丙角【午癸丙角】
【为过极圏或时圏与地平之交角求法见第七卷直角形之用法】次以午癸与午乙或加或减得癸乙?【用二图时度过九十即相减若不过九十者如三图太阳在北六宫即相加如四图太阳在南六宫即相减所并所余皆为癸乙?】次乙甲癸形甲为直角有先加减所得之癸乙边有乙【癸甲】角可得太阳之髙乙甲
如三图日躔大梁初度其纬得一十一度三十分半乙午也巳正时戊午得三十度即午丙必六十度本地赤道髙戊己五十度○五分【或午丙癸角】次以午丙癸形之午丙六十度丙角五十度○五分求午癸边法为全与午丙之正?【八六六○三】若丙角之切
线【一一九八八二】与午癸之切线【一○三八五五】算得四十六度○五分【因大梁在北六宫故】次加太阳之纬度一十一度三十一分三十秒得五十七度三十六分三十秒癸乙弧也又于此形求癸角法为全与丙角之余割线【一三○二二三】若午丙弧之正割线【二○○○○○】与癸角之正割线【二六○四一七】算得六十七度二十四分癸角也次癸
乙甲形甲为直角有癸角及癸乙边求甲乙法为全与乙癸弧之正?【八四四五三】若癸角之正?【九二三二一】与甲乙边之正?【七七九五二】算得五十一度一十三分甲乙也是为本地本时黄道某度地平上之日轨髙
若太阳躔南六宫如双鱼初度其纬亦一十一度三十○分三十秒则如第四图之癸午边减乙午得三十四度三十四分为乙癸边其正?【五六七三六】乗癸角之正?【九二三四三】得三十一度三十六分
十五题有太阳之纬度有日轨髙有极出地度求时刻如上题第一图【太阳乙在赤道】甲乙丙形有日轨髙甲乙有乙丙甲角为赤道高求乙丙边【戊乙之余】法为全与丙角之余割线【丙角五十度○五分】
【其余割线一三○一九二】若甲乙弧之正?【甲乙日轨髙三十度其正?五○○○○】与乙丙之正?【六五三二○】算得四十度三十七分乙丙也戊乙其余为四十九度二十三分易为时得午前或午后一十三刻○二分三十二秒
又如上题第二三四图用辛丁乙形【太阳在乙】有乙辛为太阳距极度【若乙在北六宫则乙辛为纬度之余若在南六宫则于纬度加九十得乙辛】有丁乙为日轨髙之余
度有丁辛为北极距天顶之度【北极髙之余】求辛角【辛为赤道极丁辛乙角之?为戊午戊是午正则以戊午定午前后时刻之数】法见第七卷斜角形用法今解之如辛丁为五十度一十分丁乙【日轨髙之余】六十度辛乙八十度【太阳纬午乙十度其余得八十度】法以辛角旁两腰之正?相乗【五十度一十分之正?七六七九一八十度之正?九八四八一】以全除之得【七五六二○】名初得数又以两腰之余?相乗【五十度一十分之余?六四二七九八十度之余?一七三六五】以全除之得【一一○六九】名次得数以次得数与角对边之余?【六十度之余?为五○○○○】相减【丁乙边小又两腰同类故也】所存
【三八九三九】以全乗之以初得数【七五六二○】除之得辛角之余?【五一六九○】算得五十八度五十三分易为时得一十五刻一十三分四十二秒
又如辛丁丁乙如前而辛乙为一百度【日在南六宫距度十】则以丁辛之正?【七六七九一】辛乙之正?【九八四九一百度而用八十度之正?者大?过象限则用其余弧之?】相乗得【七五八三一】以全除之为初得数又以两弧之余?【丁辛之余?为六四○五六辛乙之余?为一七三六五】相乗以全除之得【一一一二三】
爲次得数以加角对边丁乙之余?【丁乙边小又两腰为异类故】得数【六一一二三】加五位为实以初得数为法除之得【八○六○四】为辛角之余?查得三十六度一十七分易为时得九刻一十分○八秒
如上法或用月之髙求月时则用月之纬度或用星之高求星时则用星之纬度
十六题有极出地之高有日轨高及其纬度求地平经度【地平经度者或从卯酉正或从子午正起算皆得】
如前图辛丁戊为子午圏丁为天顶丁乙甲为本时日躔【天顶经圏】今求壬甲弧【或壬丁甲角】或甲己弧【或甲丁己角】宜用辛丁乙角形求角
列数如上题【丁辛五十度一十分辛乙八十度丁乙六十度】法以辛丁丁乙两弧之正?相乗以全除之先得【六六六八六】又两弧之余?相乗以全除之次得【三二○二八】加乙辛之余?【一七三六五】于次得数共【四九三九三】加五位【以全乗之故】为实以先得数除之得【七四○六即丁角之余?】查正?表得四十七度四十七分为乙丁戊角【即甲己弧】辛丁乙之余角也辛丁乙系钝角【因对角边乙辛小于九十度两腰为同类故相】
【加次得数大于乙辛底之余?故所得为钝角】故乙丁戊角之余为四十二度一十三分更加九十度得一百三十二度一十三分为太阳之本顶圏距北向南之度壬甲也【此系太阳在北六宫】亦名地平之经度【造日晷法内用之】
又如辛乙为一百一十三度三十一分半【太阳在南六宫躔星纪】丁乙为七十度求丁角法两腰之正?相乗【丁辛之正?为七六七九一丁乙之正?为九三九】
【六九】以全除之先得【七二一五八】以两弧之余?相乗【丁辛为六四○五六丁乙为三四二○二】以全除之次得【二一九○九】以乙辛之余?【三九九○二】加次得数共【六一八一一】加五位为实以先得为法除之得【八五六六六】即丁角之余?查得五十八度五十六分为乙丁戊角因丁为钝角【角之对边辛乙大于九十度两腰为同类故相加又次得数小于乙辛底之余?故丁为钝角】故加九十得一百四十八度五十六分为辛丁乙角之度【即壬甲弧】是太阳本顶圏距北向南之度
若用余角则从南起算巳至甲得三十一度○四分戊丁乙角也【余者一百四十八度五十六分之余】
十七题有时度有日轨髙及极出地之度求太阳之纬度又求地平之经度
如前图辛乙丁斜角形辛乙边为太阳本日距等圏距北极之度此形有辛角【即戊午弧】时度也有丁辛弧极髙之余也有丁乙弧日轨髙之余也而求太阳距北极之纬度辛乙即如次图从丁角作丁甲垂弧其甲丁辛直角形有丁辛腰辛角求丁甲及甲辛【用七卷直角形第四设二三求】次甲乙丁形先有丁乙今得丁甲求甲乙【用七卷第八设】
【之三求】乙甲甲辛并得所求乙辛次求地平经度【乙丁辛角也】则丁辛甲形求甲丁及甲丁辛角又甲乙丁形求甲丁乙角并之得所求乙丁辛角【若辛为钝角即乙丁辛为鋭角若辛为鋭角即乙丁辛为钝角】
新法算书卷九十四