A. 原子
原子是逻辑系统方面的对象，不是逻辑方面的对象。逻辑方面的对象是必然，逻辑系统不过是利用某种原子以为表示必然的工具而已。事实上本书第三部利用“类”“关系”“命题”为逻辑系统的原子。除此之外，别的原子也可以，例如“论域”（universe of discourse），但在此处我们可以不必提出讨论。
1. 类。此处所谓类，即普通的类，如“人类，桌子类，山类，水类……”。类有类的概念，例如人类有“人”概念；类大都有类的分子，例如“人类有张三、李四……”。类与属性不同，因为它注重它的分子；它与集体不同，因为每一分子均能分别地为那一类的概念所形容。“类”的问题，或关于类的问题不少，可是为逻辑系统的原子的类有以下诸特点。兹特分别讨论。
a. 在做逻辑系统原子的类中有两特别的类，一为零类，一为全类。零类没有分子，所有的分子都是全类的分子。普通以“0”代表零类，以“1”代表全类。在本篇一章A节3段所举的系统干部通式中，第五基本命题函量如下：
如果我们把a、b、c等等当作类，则z就代表零类，而这个基本命题说“零类或a等于a类”。这命题等于说“零类包含在任何类之中”，因为a类在此处代表任何类，即零类与全类，a类亦代表之。兹以图表示之如下。
此图表示零类既没有分子，则或是零类或是a类的分子不过是a类的分子而已，所以零类包含在任何类之中。
b. 同在一系统通式中，第六基本命题函量如下：
如果我们把a、b、c等等解作类，则U就代表全类。这个基本命题说“全类与a类等于a类”。（“与”字有“既……又”的意思，“全类与a类”等于“既是全类又是a类”。）这命题等于说“任何类均包含在全类之中”。a类在此处也代表任何类，即零类与全类亦代表之。兹以图表示之如下：
此图表示所有的分子既都是全类的分子，则在全类之外的a无分子。那就是说，如果a类有分子，a类的分子都是全类的分子，那也就是a类包含在全类之中。
这两类的用处非常之大。我们可以利用它们以定非a类或非b类的意义。如果我们利用它们（同时利用“=”等号），我们可以说有某类，或无某类；某类有分子，某类无分子；例如“a=1”或“a=0”。这两类又彼此相反，那就是说“非0”即“l”，“非1”即“0”。总而言之，以此两类为工具，逻辑方面的推论变化等等都可以发生。
c. 类有层次问题。如果我们以经验中的个体，如这张桌子、那张椅子等为分子，我们可以得一以个体为分子的类。如果我们把各类集起来再为分类，我们可以得一以类为分子的类。那就是说，我们可以有个体的类，“类”的类，“类的类”的类，等等。这许多的类的层次不同不能相混，如果相混就有毛病发生。现在要表示层次不能不分的理由。
设有以下命题：
“凡不是它们自己的分子之一的类的总类是那总类的分子之一。”我们知道人类不是一个人，桌子类不是一张桌子等等，这些类都不是它自己的分子。把这样的类都集起来成一类名之为甲类，以上命题说甲类是它自己的分子之一。这样一句话表面上看起来似乎没有什么问题，可是层次不分清楚就有毛病。兹以容易明白起见，特备以下图表。A是a1 a2 a3 …an …分子的类，B是b1 b2 b3 …bn …分子的类，C是c1 c2 c3 …cn …分子的类，等等。A类不是a1 ，a2 ，a3 …an …中之一，B类不是b1 ，b2 ，b3 …bn …之一，C类也不是c1 ，c2 ，c3 ，cn …之一。把A，B，C…N…集起来成为甲类如下图：
以上的命题说甲类是它的分子A，B，C…N…之一。如果它是的，则它或者是A，或者是B，或者是C…N…但A，B，C…N…既都不是它们的分子之一，则甲类也不是它的分子之一。那就是说，它不是A，不是B，不是C…不是N…所以，如果甲是它的分子之一，则它不是它的分子之一。反过来也有同样的情形：如果甲不是它的分子之一，则它就是它的分子之一。这岂不是矛盾吗？在此处我们要注意，以上的情形实在是根据于甲与A，B，C…N…相混。甲与A，B，C…N…虽同为类，而层次不同，不能相混；相混之后，就有毛病发生。
d. 类与命题。习于传统逻辑的人或者以为类比命题“根本”，因为我们可以把命题分析为类与类的关系。命题可以分析到个体与类的关系，或类与类的关系，但不能使我们说类比命题“根本”。“根本”与“不根本”有系统为背景。如果在系统之内，命题是由类产生的，则类比命题根本；可是，如果在一系统之内，类是由命题产生的，则命题比类根本。在Boole的algebra of logic，类比命题根本；在P. M.，命题比类根本。在第三部我们已经表示过类可以由命题产生。
但是有系统范围以外的理由使我们先命题而后类，别的不说，事实上类与类的关系的推论还是根据于命题与命题的推论。
2. 关系。此处所要讨论的关系是普遍的关系，不仅是以之为一系统的运算或关系的几种关系，而且是以之为系统的原子的关系。但从系统的原子这一方面看来，我们讨论关系的时候，不必提出关于关系的各种各色的情形，我们仅谈到关系的推论质就够了。此处所注重的推论质仅有两种：一曰对称质，一曰传递质。从对称方面着想，可以有对称、非对称及反对称；从传递方面着想，可以有传递、非传递及反传递。两质的结合，可以有九种不同的关系。
a. 对称的传递的关系。在此项下，我们可以举“相同”与“相等”两关系为例：
（一）如果甲与乙相同，乙与甲也相同；如果甲与乙相等，乙与甲也相等。此之谓对称。
（二）如果甲与乙相同，乙与丙相同，则甲与丙相同；如果甲与乙相等，乙与丙相等，则甲与丙相等。此之谓传递。相同与相等之能传递与否，要看它们是否完全的绝对的相同与相等。相似的“相同”与差不多的“相等”没有传递质。
b. 对称的非传递的关系。在此项下可举不相同，或不相等，或相似等关系。
（一）如果甲与乙相似，乙与甲也相似；甲与乙不相同，乙与甲也不相同。此之谓对称。
（二）如果甲与乙相似，乙与丙相似，甲与丙不必相似；甲与乙不相同，乙与丙不相同，甲与丙不必不相同。此之谓非传递。
c. 对称的反传递的关系。如果在一条直线上，甲、乙、丙，有相傍的关系，则：
（一）如果甲在乙傍边，乙也在甲傍边。此所谓对称。
（二）如果甲在乙傍边，乙在丙傍边，则甲一定不在丙傍边。此所谓反传递。b条的例可以传递而不必传递，本条的例“一定”不能传递。
d. 非对称的传递的关系。在此项下，我们可举英文中的“brother”或“sister”为例。
（一）如果甲是乙的brother，乙可以是而不必是甲的brother。此之谓非对称。
（二）如果甲是乙的brother，乙是丙的brother，则甲是丙的brother。可见这关系是传递的关系。
e. 非对称的非传递的关系。这可以说是一极贫于推论质的关系。在此项下可举“好朋友”与“认识”两关系。
（一）如果甲是乙的“好朋友”，乙可以是而不必是甲的好朋友；如果甲认识乙，乙可以认识而不必认识甲。
（二）如果甲是乙的好朋友，乙是丙的好朋友，甲可以是而不必是丙的好朋友；如果甲认识乙，乙认识丙，甲可以认识丙而不必认识丙。可见这两关系既非对称又非传递。
f. 非对称的反传递的关系。在此项下我们可以举异性的恋爱为例：
（一）如果甲爱乙，乙可以爱而不必爱甲。
（二）如果甲爱乙，乙爱丙，则甲一定不爱丙。
同性恋爱虽是非对称的关系，而不是反传递的关系，因为如果甲同性恋爱乙，乙同性恋爱丙，甲可以而不必同性恋爱丙。本条的例要特别提出异性恋爱者在此。
g. 反对称的传递的关系。此项下的关系非常之多，而且非常之显著。兹仅举“大于”为例。
（一）如果甲大于乙，则乙一定不能大于甲，只能小于甲。此之谓反对称。
（二）如果甲大于乙，乙大于丙，则甲一定大于丙。此之谓传递。“小于”“长于”“重于”“高于”等等关系都是这种关系，它们很富于推论质。
h. 反对称的非传递的关系。在此项下，我们可以举“是客人”的关系为例。但我们要求一个同一的环境。
（一）如果甲是乙的客人，则在同一环境之下，乙一定不是甲的客人。所以是反对称。
（二）如果甲是乙的客人，乙是丙的客人，甲可以是而不必是丙的客人。所以是非传递。
i. 反对称的反传递的关系。在此项下我们可以举“父亲”为例。
（一）如果甲是乙的父亲，乙一定不是甲的父亲。
（二）如果甲是乙的父亲，乙是丙的父亲，则甲一定不是丙的父亲。
以上是从推论质去分关系的种类。此九种中以第一、第四、第七种比较地常见于逻辑。关系也可以做系统的原子，可是我们也不必利用它做系统的原子。
3. 命题。关于命题，我们从以下几方面讨论：命题的重要，token与type，命题的分析，表示各种命题的符号，命题的值。
a. 命题的重要。如果我们要建造一整个逻辑系统，我们或者要问最好从什么原子动手，而现在的意见似乎是最好从命题动手。其所以如此者至少有以下的理由。
（一）逻辑方面的重要关系，似乎大部分是命题与命题的关系，而不是类与类的关系。我们有时可以用类方面的包含关系去解释命题方面的蕴涵关系，可是我们有时也可以用命题方面的蕴涵关系去解释类方面的包含关系。推论是命题方面的关系。名称似乎无所谓推论，我们不能由一类推论到任何类。所谓推论者大都是承认一命题之后，承认它所蕴涵的命题。矛盾与排中，用命题表示似乎比用类表示更显明、更清楚。
（二）如果我们所要建造的系统是自足的系统，我们似乎不能不从命题方面着手。自足系统所应用的工具都要容纳到系统之中。如果我们从类方面着手我们可以利用推论或不利用推论。若不利用推论，则根本不能成系统；若利用推论，则不能不有命题方面的推行工具。这些工具若在系统范围之外，则所建的系统不是自足的系统。如果把它们容纳在系统范围之内，则它们既为命题方面的工具，我们似乎要从命题方面动手才行。现在逻辑学家所要建造的系统大都是自足的系统。既然如此，他们大都从命题方面着手。
（三）事实上我们用以达意的是话，有时是命题，有时不是命题，但无论如何不是单个的字。即令有时我们仅说出一个字，听者懂得我们的意思，而所懂的意思不是一个字而是一命题。在日常生活中我们有这样的情形，在逻辑系统范围之内，我们也逃不出这情形范围之外。学逻辑的人开口即是命题，动笔即是命题，事实上他们也就不容易不从命题着手。
b. 命题的type与token。我们所注意的是命题的type，不是命题的token。type与token的分别如下：
（一）如果有以下两个“字”字：
甲“字”，乙“字”我们可以说这是两个字，也可以说是一个字。说它们是两个字是指在这张纸上两个不同位置的个体而言，而这两个个体均属于字类。说它们是一个字时是指这两个个体所共有的形式而言。由前说，那就是由token方面说写上一万个“字”字就有一万个字；由后说，那就是从type方面说写上一百万“字”字仍只有一个字。名称有type与token的分别，命题也有。我们所注意的是命题的type，不是命题的token。
（二）我们以后分析普通命题的时候，我们要谈到属性与关系。如果我们不把type与token弄清楚，我们或者免不了一种错误。假如我们说“两名词发生关系，其结果即为一命题”。这一个命题就有毛病。比方我说：
“人类”在“有理性类”的左边。
在这一大堆字里，“人类”这名称与“有理性类”这名称的确有“在左”的关系；如果把这一堆字当作命题看，它所表示的是：
“人类”“有理性类”那就是说，“人类”两字的token在“有理性类”这四个的token的左边。如果我们所想到的是type，这一大堆字就根本不是命题了。两名称的token虽有在左的关系，两名称的type没有。我们所注意的既是type以上那句话——“两名称发生关系，其结果即为一命题”——的意思是“两名称之间有关系名称代表两名称所代表的东西彼此的关系，其结果即为一命题”。总而言之，一个命题写上一百次还只有一个命题。
c. 命题的解析。命题有相对简单与复杂的分别，而复杂又有程度不同的问题。现在要提出命题由相对简单而到相对复杂的层次问题，再分析最简单的命题的种类。
（一）最简单的命题大都是手有所指而说出话来的命题，这个如何如何，那个如何如何。这种命题是否货真价实的简单命题，颇成问题。命题无论如何简单，能够简单到不能再解析的程度与否，也是问题。这里所说的简单命题的主词是符号呢，是具体的东西呢？似乎都是问题。这些问题无论怎样解决，我们对于这里所谈的命题所要注意的：第一它们是命题，不是定义，所以有真假；第二它们是本书所不再解析的命题，所以是本书的最简单的命题。
这种最初级、最简单的命题可以由种种组合方法产生次一级的命题。设有两个初级命题如下：（甲）这是桌子，（乙）这是四方的（假设所指的是一个东西）。这两个命题的真假可能有四个，而我们对于这四个真假可能有十六个不同的态度（见前），而十六个不同的态度中有一个说这两个命题都是真的，其余三可能都是假的。表示这一个态度的命题就是普通生活中所谓简单的命题“这张桌子是四方的”。
由“这张桌子是四方的”这样的命题，我们又可以由种种组合方法产生更次一级或更复杂的命题，如“所有的桌子是四方的”或“任何桌子是四方的”或“有些桌子不是四方的”等等。总而言之，命题之由简单到复杂可以有许多的层次。
（二）最简单的命题可以分为两种：（甲）表示属性，（乙）表示关系。所谓属性是事物方面的属性，所谓关系是事物方面的关系；属性名称不过在语言方面表示属性，关系名称不过在语言方面表示关系而已。表示属性的命题，其形式与普通教科书中的“主宾词”式的命题相似。所不同者普通主宾词式的命题大都是复杂的命题而已。属性二字似乎要加以解释才好。如果x代表一个具体的东西，x可以是红的、四方的，等等。从命题方面着想，它所谈到的只有一个具体的x。红色与方形虽可以附属于另外的具体东西，而在这里所谈的事实之中，它们不是离开x的两个具体的东西。这情形与关系的情形大不相同。表示属性的命题，其对象可以是一个具体的东西，表示关系的命题，除一二特殊关系外，其对象至少要有两个具体的东西。这两种命题根本不能混为一谈。设有以下表示属性的命题：
（甲）x是人。
（乙）x有人性（这种话在中文不成话，但我们可以利用以表示属性与关系的分别）。
（丙）x是一个人。
第一个命题里所谈到的只有一个具体的x。所谓是人者不过是以“人”去摹x的状而已。以“人”去形容x，好像以红去形容y，以“四方”去形容z。此处的“是人”当然不表示关系。第二个命题，形式已变。它所表示的看起来似乎是关系，因为有些表面上同式的命题表示关系。比方说“张先生有一本宋版书”。这命题所表示的情形中有两个具体的东西，一是具体的而能以“人”形容的东西，一是具体的而能以“书”形容的东西。这两个具体的东西有“有”所表示的那个极复杂的关系。既然如此，我们很容易联想到“x有人性”这命题也就表示关系。如果我们这样的想，我们错了。此“有”非彼“有”，有书之“有”是关系，而有人性之“有”不是关系。从个体方面着想“人性”是一个个体的属性，所以有人性的“有”不是两个个体的关系。第三个命题似乎也表示关系。所谓“是一个人”者是说人类中有1，2，3…n…的分子，而x是这些分子中之一。x即是人类分子中之一，它与人类似乎发生包含关系。其实不然，我们可以提出以下两理由：
（甲）“是一分子”不是“包含”关系。包含关系是同一层次上两类的关系，而“是一分子”不是同一层次上两类的关系。在“x是一个人”这命题之中，x不是类，是个体，所以“是一个人”不能是包含关系。同时包含关系是传递的关系；那就是说，如果甲包含乙，乙包含丙，则甲包含丙。“是一分子”，即视为关系，也不是包含关系，因为它无传递质；如果甲是乙的分子，乙是丙的分子，甲不能同样地是丙的分子。无论如何，它不是包含关系。
（乙）个体与个体有关系。“是一分子”是否个体与个体的关系呢？在这命题所表示的情形中，只有x个体，其他非x的，可以有而不必有的，人类的分子，如l，2，3…n…虽有共同的属性，虽可以有它们彼此的关系，而在我们所讨论的命题范围之内，这些可有的关系都与此命题不相干。
总而言之，以上所举的命题都不是表示关系的命题。表示属性的命题虽可以有种种不同的表示，而我们大都不能勉勉强强地把它变成表示关系的命题。有一两种关系是例外，但在此处我们不必提出讨论。请注意这是从简单命题一方面着想，复杂命题情形不同。
（三）表示关系的命题也不容易变成表示属性的命题。最好的例就是传统逻辑教科书里的a fortiori argument。兹以
x比y长，
y比z长，
所以x比z长。
此推论毫无错处，可是照传统的三段论式法看来，则有毛病：（甲）三段论式的命题都是主宾词式的命题，而这个推论中的命题不是；（乙）三段论式只有，而照它的规律看来，只能有三个名称，而这个推论有四个名称。有此情形，有些人就想法子消除此困难，说以上的推论虽不是三段论，而它实在根据于三段论，它的普遍形式如下：
凡长于y者是长于z者，
x是长于y者，
所以x是长于z者。
这个说法把“比——长”的关系当作属性，把原来的四个名称变成三个名称。但无论如何，大多数的人看起来总不免觉得以上的办法太勉强。“比——长”“比——大”，等等不容易叫作“性”，而在x比y长这情形或事实中“比y长”不属于x，即勉强说它属于x，也不像形色之属于x。总而言之，表示关系的简单命题也不是表示属性的简单命题。
d. 表示命题的符号。现在我们介绍表示命题的符号。最初有未解析的简单命题，其次有解析后的两种命题，又其次有复杂的命题。
（一）未解析的简单命题。未解析的简单命题， 以“p，q，r…”等表示之。这些命题中有表示属性的，也有表示关系的。其实所谓“简单命题”大有问题。简单的标准如何、程度如何，是不能解析呢，还是不便解析呢？这些问题都不容易解决。但这些命题可以作系统中最初的原子，利用它们以表示逻辑方面的关系。
（二）这些简单命题可以分成表示个体的属性与表示个体与个体的关系的命题。我可以用“x，y，z…”表示个体，用“φ，ψ，χ…”表示属性，用“R1 ，R2 ，R3 …”表示关系。
（甲）表示属性命题的函量为φx，ψx，χx…
（乙）表示关系命题的函量为Rx，y，Rx，y，z，Rx，y，z，w…
（三）关于（二）条有两种特别要注意。（一）条的“p，q，r…”代表未解析的命题，我们虽不知道它们所代表的命题究竟为真为假，但我们知道它们所代表的为命题，而无论所代表的是什么命题，我们总可以说它们或真或假。（二）条里的φx或Rx、y则不然，它们所表示的不一定是命题，如果所代表的不是命题，或不是一个系统之内的命题，则无所谓真假，或无所谓这一个系统之内的真假。兹以φx为例：如果x代表这张桌子，φ代表“方”，则φx是真的；如果x代表饭厅里那张圆桌子，φ仍旧，则φx是假的；如果x仍旧，φ代表“有理性的”，则φx可以说是无所谓真假。所以φx等等，Rx、y、Rx、y、z…不是命题，它们不过是两种命题函量。这是一点，还有一点要注意的就是有些关系要两个个体做它们的关系分子（relata），有些要三个，有些要四个，等等。这一层我们不能不预为之备。Rx、y、z虽有以上φx所有的问题，而如果R是要三个关系分子的关系，则在Rx、y中，无论x、y代表什么，Rx、y总无所谓真假。
（四）“x”可以代表这一个个体，那一个个体，等等。如果我们的意思是说“‘φx1 ’与‘φx2 ’与‘φx3 ’与…‘φxn ’…”是真的，我们可以用以下公式表示：
（x）·φx，（（x）可以有两种解释见前）如果我们的意思是说“‘φx1 ’或‘φx2 ’或‘φx3 ’或‘φxn ’或…”是真的，我们可以用以下公式表示：
前一公式表示“所有的x是φ”或“任何x是φ”；后一公式表示“有x是φ”或“至少有一x是φ”。表示关系的命题函量也可以照以上方法变：（x，y）·Rx，y，
由此我们可以慢慢地由简单命题函量一步步地进而得复杂的命题函量。既有如此通式，我们当然也可以用同样的方法，慢慢地由简单命题而得复杂的命题。
e. 命题的值。从前曾说过逻辑系统可以视为可能的分类。把可能的分类引用到命题上面去，就是命题的值的问题。命题有多少值要看我们预备把可能分为多少类。如果我们把可能分为两类，命题有两值。如果我们把可能分为三类或n类，命题有三值或n值。关于值我们可以注意以下诸点。
（一）设把可能分为两类，那么命题有两值。设以+，-表示之。对于这两个符号，我们有系统通式的看法与系统的看法。从系统通式的看法，它们就是两符号而已，我们对于这两符号，可以有而事实上不见得即有种种的解释。我们可以把它们视作“正”“负”，我们也可以把它们视作“真”“假”；我们不必把它们视作“正”“负”，也不必把它们视作“真”“假”。当然每一特殊系统，对于以上的符号，事实上总有一特殊的解释。在二分法方面，这两个值引用到命题上去，大都解作“真”“假”。可能既彼此不相容而又彼此穷尽，则命题的值也就彼此不相容，而又彼此穷尽。那就是说一命题不真即假、不假即真，它不能既真且假，也不能非真非假。
（二）设把可能分为三类，命题就有三值。兹以Lukasiewicz与Tarski的三值系统通式为例，以“|”“？”“0”表示之。从系统通式方面着想，这与以上情形相似。这三个符号可以有，而事实上不见得即有种种的解释。事实上有一解释说得通。“|”可以视为“定真”“？”可以视为不定真假，“0”可以视为“定假”。既然如此，则在此系统内，一命题或“定真”或“定假”或“真假不定”。这个系统的值与以上那个系统的值不同。上面的值可以说是没有心理成分，而这里的值有心理成分。这不是说逻辑是“心理的”，这不过是说这三个符号有这种解释之后所得到的三个值有心理成分在内。此系统的“定真”不是那一系统的“真”，此系统的“定假”不是那一系统的“假”。在那一系统之内不能有非真非假的命题，而在这系统之内可以有不定真不定假的命题。这系统虽有不定真不定假的命题，它还是不能有既不“定真”又不“定假”又不“不定真假”的命题。
（三）从系统通式方面着想，我们可以有n类可能，命题也可以有n值的可能，无论n的数目多大。可是系统通式的问题与系统的问题不同。在系统通式方面，我们可以有n可能，命题也可以有n值，而这些可能的解释，这些值的解释，都不是系统通式范围之内的问题。在系统则不然，n可能要有n解释，n值也要有n值的解释，而事实上n的数目太大时，n可能与n值的解释均不易得。即勉强得到，而系统之是否为逻辑系统，也就发生问题。
B. 运算或关系
一系统的原子不必是类，不必是关系，不必是命题；一系统的运算也不必是“或”“与”“非”“蕴涵”。它们虽不必是一系统的运算，而一系统之运算中大都少不了它们。兹特提出讨论。
1. “或”。普通语言方面，或有相容与不相容的分别。比方我对甲乙二人说：“或者你或者他到火车站上去一次”，那么甲可以去而乙不去，乙可以去而甲不去，甲乙也可以同去。可是，如果我对他们两个人说，“某学校的校长缺出，或者你去做，或者他去做”，那么甲可以去而乙不去，乙可以去而甲不去，但甲乙不能同去。前一“或者”的用法是相容的用法，后一用法是不相容的用法。排中或排外原则中的“或者”是不相容的或者，而P. M. 系统的基本概念中的“或者”（1910年版）是相容的或者。这是“或”的用法上两大分别。除此之外尚有其他不同点。罗素在他的《算学原理》（Principles of Mathematics，1903年版）一书中，曾举下许多的例，我们在此处可以照办。
a. “如果你所遇的是姓张的或是姓李的，你遇着了一个很热烈的宗教家”。这命题中的或者，是两名词间的或者，而不是或不容易变成两命题间的或者。以上这命题可以分成两个相“与”的命题，那就是说，两个要同时真的命题如下：
（一）“如果你所遇着的是姓张的，你遇着了一个热烈的宗教家”并且（and）“如果你所遇着的是姓李的，你遇着了一个热烈的宗教家”。原来的命题不能分作：
（二）“如果你所遇着的是姓张的，你遇着了一个热烈的宗教家”或者“如果你所遇着的是姓李的，你遇着了一个热烈的宗教家”。这个命题的两部分是以“或者”联合起来的，它们虽可以同时真，而它们不必一定要同时真；既不必要同时真，则不能表示原来命题的意义。前一命题的两部分是以“与”联合起来的，一定要它们同时真，整个的命题才能真。从这一方面看来，它与原来的命题意义一样。可见名词方面的“或”可以变成命题方面的“与”。
b. “如果是铁路局求事者之一，他一定是姓张的或姓李的”。请注意这里的“一定”是指“姓张的或姓李的”而言，不是指姓张的个人，也不是指姓李的个人。此命题不能改成以下（一）（二）两命题，而只能改成以下第（三）命题。
（一）“如果是铁路局求事者之一，他一定是姓张的”或“如果是铁路局求事者之一，他一定是姓李的”。如果原来的命题是真的，这一个命题是假的；因为原来的命题没有说铁路局的求事者一定是姓张的，也没有说他一定是姓李的，而（一）命题前一部分说铁路局的求事者一定是姓张的，所以前一部分假，后一部分说他一定是姓李的，所以后一部分也是假的。前后两部分既都是假的，所以（一）命题也是假的。既然如此，（一）命题不等于原来的命题。
（二）“如果是铁路局的求事者，他一定是姓张的”并且（与）“如果是铁路局的求事者，他一定是姓李的”。这一命题的部分既是以“与”（and）联起来的，要两部分皆真，才能真。如果原来的命题是真的，这一命题的部分都是假的，所以它也是假的。它与原来的命题也不相等。总而言之，（一）（二）两命题把“一定”分别地引用于姓张与姓李的，所以与原来的命题不同。
（三）原来的命题中的“姓张的或姓李的”可以分开，可是要用两个有“不是——就”的形式的话去分开：“如果是铁路局的求事者之一，他不是姓李的就是姓张的，而且（与）不是姓张的就是姓李的。”
c. “王小姐与姓张的或姓李的结婚”。在一法律上不许重婚的国家，这一命题只能改作：
（一）“王小姐与姓张的结婚”或“王小姐与姓李的结婚”；而不能改作：
（二）“王小姐与姓张的结婚”而且（与）“王小姐与姓李的结婚”。后一命题要它两部分同时真它才能真，所以它不等于原来的命题；在前一命题的两部分可以一真一假，用不着同时真，它才能真。虽在不许重婚的国家，仍可以真，因为只要任何一部分真，它就是真的。它与原来的命题一样。如无法律方面的限制，原来命题中的“或”可以是相容的，也可以是不相容的；（一）命题中的“或”也一样，可以是相容的或不相容的。
总而言之，“或”有相容与不相容的两大分别。但除此分别之外，有时名词方面的“或”不能改成命题方面的“或”，而能改成命题方面的“与”；有时可以改成命题方面的“或”，而不能改成命题方面的“与”；有时两方面似乎都有困难。在第三部那个系统的基本概念中的“或”是命题方面相容的“或”。相容的“或”的意义比不相容的“或”的意义广。前者的用法比较便当。因为加以相当限制，即成不相容的“或”。
2. “与”。此处的“与”即英文中的“and”；中文方面有时用“与”，有时用“和”，有时用“同”，有时用“而”，有时用“并且”，有时用“而且”，等等。“与”的不同的意义也非常之多，有深有浅，以下的例不能说包举无遗，但大致可以代表各种不同的用处。
a. “那间房子里有桌子‘与’椅子”这一命题中的“与”是极平淡的“与”，它不过表示空间相与而已。我们可以把这命题分作两个以“与”相联的命题。
b. “人是两脚的，直立的，与‘有理性的’动物”。这命题里的“与”与以上的有相同点，也有不相同点。
（一）相同点是：
（甲）这一命题可以分作好几个命题，而这些命题又可以彼此独立。
（乙）这些命题又可以联之以“与”，使成一整个命题。
（丙）这些命题中可以只说出任何一个或两个，而忽略其余的命题。
（二）不相同点是：这命题中相与的名词是属性名词，可以寄托于一种或一个具体的东西，而第一命题中的名词不能寄托于一种或一个具体的东西。
c. “他的温和‘与’智慧征服了她的心”（此例得之于王遵明先生）。这里的“与”与以上两个“与”都不同。这里的“与”似乎有点意义含糊的地方。这句话可以表示两命题的真，例如“他的温和征服了她的心”“与”“他的智慧征服了她的心”；可是也可以表示“他的温和与智慧（联合起来）征服了她的心”。究竟这里的“与”是名词方面的“与”还是命题方面的“与”似乎不能定。
d. “中国花布的颜色是红‘与’蓝”。如果我们心目中的花布是现在的花布，这一命题中的“与”是名词方面的“与”，而不是命题方面的“与”。那就是说，这一命题不能分作以下两命题：（1）“中国花布的颜色是红的”；（2）“中国花布的颜色是蓝的”，因为这两个命题都是假的。同时这里的“与”虽是名词方面的“与”而没有两色凝为一色的意思，它所表示的是中国花布的颜色有红亦有蓝。
e. “紫颜色是蓝与红”。这命题中的“与”与d命题中的“与”的前一点相同，后一点不相同。前一点相同，我们不能把此命题分为两个命题说（1）“紫颜色是蓝的”，（2）“紫颜色是红的”。后一点不相同，这里的红与蓝凝成一色。
f. “秦‘与’楚为世仇”。此处的“与”一方面不能变成两命题的相与，我们不能根据这个命题说（1）秦为世仇与（2）楚为世仇。另一方面又表示秦楚不并立，与e例中的红与蓝不一样。
g. “真与假，善与恶，美与丑均为价值”。此中的“与”表示相反或不相容。这一层不必利用宾词已经可以表示出来，因为美、丑、真、假、善、恶的普通意义已经有彼此相反与不相容的情形。但其所以用“与”而不用“或”者，因为真、假、善、恶、美、丑均各为价值。在名词方面真假不能相与，善恶不能相与，美丑不能相与；而在命题方面，“真为价值”“假为价值”等等，命题联之以“与”与原来的命题一样。这可以说是一种名词不相与而命题方面相与的例。
h.“ 因与果之关系是有因必有果，有果必有因”。此处的“与”是（一）名词方面可以说而命题方面不能说的“与”。（二）因与果为相对名称，在一特殊范围或方面之下，不能兼备于一具体的事物。（三）这里的因果不是甲因与乙果，所以它们的关系不是甲乙的关系。它们不是两事物相与，而是两思想的相与。
以上表示“与”的用途很广，用法很多。因为它的用法不同，而它的意义不一致的地方也很多。这些例当然不能说是包举无遗，可是已经可以表示各种不同的用法。外国文字所有而中国文字所无的例，此处不举，不是“and”的与，当然不必谈到。
在演绎系统里，“与”也是非常之重要的运算，它虽然不必是一系统的基本概念，而我们可以说它是基本概念之一。我们可以用“或”与“非”表示它的意义，也可以用它与“非”表示“或”的意义。
在1925年出版的P. M. 中，“或”与“非”都有定义；那就是说，它们已经不是基本概念。代替它们为基本概念的是 ，而 的意思是说p、q两命题冲突，或者说它们不同真。如果p、q两命题都是假的，或者其中任何一命题是假的，则 为真。遵照此义， 均有以下的定义：从基本思想的数量方面着想，以“p | q”为基本思想，可以说是进步。但“ 不是大多数人所习惯的思想，而最初的推论又因此基本思想而变为复杂。基本思想方面的简单虽得，而推论方面的简单反失，此所以本书所介绍的系统是1910年出版的P. M. ，而不是改变后的系统。
3.“ 非”。此处的“非”是用之为运算的非，不是或不仅是真假值中的假值。对于运算的非，我们应注意以下诸点。
a. “非”的意义与可能的分类为相对。如果我们把可能分为两大类，我们所引用的就是二分法；所引用的既是二分法，所得的系统就是二分法的系统。在二分法的系统里有二分法的“非”，在三分法的系统里有三分法的“非”，在n分法系统里有n分法的“非”。“非”的意义或“非”的范围，在系统方面就有二分法、三分法，或n分法的分别。引用二分法于命题，非真为假，非假为真；引用三分法于命题，例如Lukasiewicz与Tarski的三值系统，非定真虽为定假，而定真与定假不是穷尽的可能。
b. 二分法最简单，兹特从二分法着想。二分法的“非”引用于类，则有小范围的意义、大范围的意义、无范围的意义。
（一）小范围的意义。设以非红为例。小范围的非红即为颜色的范围。如果我指出一x，说它是非红；我这一句话可以有以下的形式：“x是绿的，或是黄的，或是黑的……”这样的命题有以下的问题。
（甲）假设x是有颜色的东西，而又不是红的，这样的析取命题一定是真的。所以如果“x是红的”是假的，则“x是非红的”一定是真的；如果“x是红的”是真的，则“x是非红的”是假的。
（乙）可是如果x是没有颜色的个体事体或事实，则“x是红的”与“x是非红的”都是假的。如此，则排中不能成立。
（二）大范围的意义。设非红不限于颜色，则形、声、嗅、触等性，及存在的东西、事体、事实所能有的关系质，非红亦均代表之，其限制仅在“x是非红的”这一命题须有意思而已；则非红的意义是大范围的意义。
（甲）非红的意义既如此，则“x是非红的”形式，照以上的办法，也是一析取命题。即今所指的没有颜色，这个命题仍是真的。无论如何，“x是红的”与“x是非红的”不能同时是假的。
（乙）可是，如果“x是红的”是真命题，“x是非红的”要是假命题才能排中。那就是说，“x是非红的”要等于否定“x是红的”那一命题才行。这样一来，负类要牵扯到负命题。
（三）无范围的意义。设以非红分别地代表“红”之外任何一切的谓词，而“x是非红的”这一命题解析起来，不仅包含有意思的命题，而且包含废话。废话问题以后不预备再提及。在此处我们仅分废话为甲、乙两种：甲种为无意思的废话，乙种为不能有意思的废话。无范围的“非”也可以分为甲、乙两种。
（甲）甲种“x是非红的”仅包含无意思的废话。无意思的废话，有人称为实质废话，表示这种废话仅是在事实上无意义，而不是在逻辑上不能有意思。这样的废话，逻辑可以置之不理。
（乙）乙种“x是非红的”兼有不能有意思的废话。有人称这种废话为形式废话。既然如此，就有逻辑上的问题。所谓形式废话者似乎有自相矛盾的废话在内，矛盾既为逻辑之所淘汰，乙种“x是非红的”不能包含自相矛盾的废话在内。同时除去自相矛盾的废话之外，尚有形式废话与否，本身就是不容易应付的问题。
c. 引用于命题的“非”。以上是类方面的正负。命题方面也有正负。负命题通常以“不”字表示，例如“x不是红的”。负命题也有各种范围不同的意义。这里的情形与以上一样，不必重复地讨论。所要注意的就是以下两点。
（一）负命题的范围也是以大范围或无范围的甲种为宜。正负命题之间要有排中，而排中情形小范围的正负命题似乎没有。同时无范围的乙种负命题之说得通否，根本就有问题。
（二）名词方面的“非”与命题方面的“非”，其范围须要一致。这一点的用意就是要把“x是非红的”这样的正命题等于“x不是红的”这样的负命题。这两命题相等，推论方面当然有便利。这可不是说所有的命题都有同样的情形，例如“所有S是非P”不必等于“所有的S不是P”。后面这句话可以有两个不同的解释，这两个不同的解释是两个不同的命题。如果“不是”的意义是“不都是”，则“所有的S不是P”等于“有些S不是P”，而“有些S不是P”不等于“所有的S是非P”；如果“不是”的意义是“都不是”，则“所有S不是P”等于“无一S是P”，而“无一S是P”等于“所有的S是非P”。这里当然有语言习惯的问题。在作者的经验中，大多数的学生很自然地把“所有的S不是P”这样的话解释成“无一S是P”。可是习于英文的人，讲英国话的时候，大都会把“所有的S不是P”这样的话解释成“有（些）S不是P”。无论如何，在以个体为主词的简单命题，名词的“非”与命题的“非”须要一致。复杂命题的情形，表面上因为有语言方面的习惯虽似乎是例外，但分析起来，与简单命题或比较最简单的命题一样。
d. 从纯粹客观方面着想，任何具体的东西，x无所谓是桌子或不是桌子，它不过是那么一个具体的东西而已。说“x是桌子”实在是把语言方面的符号，表示那东西的性质，用之以为那类东西的名词。但这可以有两个不同的解释。
（一）把“x是桌子”当作定义看。定义虽是话，但不是普通的命题，定义不过是命名而已。各人有引用符号的自由权，一个人所引用的符号不必与他人一致。既然如此，则定义无所谓真假。如果我们把“x是桌子”当作定义看待，这句话无所谓真假。正的方面既无所谓真假，负的方面也无所谓真假。那就是说，如果把“x是桌子”当作定义，则“x不是桌子”不过是不承认定义而已，无所谓真假。
（二）把“x是桌子”当作命题看待。定义虽无所谓真假，但“桌子”之义既定，而x又实在是桌子一类中的具体的分子，则“x是桌子”这一句话就是一命题。利用x以定桌子之义，说出一句话来，那句话是定义；表示“桌子”之义，事实上已经为大家所公认，而指出具体的x，说那个具体的东西在桌子的定义范围之内，所说的话为命题。在桌子的意义事实上既定之后，说x是桌子或不是桌子才有标准、才有真假，所以才是命题。
（三）本书所谓简单命题都是以具体的x、y、z等等为主词的话。如果这种话都视为定义，它们都无所谓真假，它们既无所谓真假，则由它们配合出来的复杂命题也就无所谓真假。这样一来，一系统范围之内的命题都变成定义。为消除这种结果起见，“x是桌子”这一类的话一定要视为命题才行，那就是说“x不是桌子”也是命题。要这类的简单话是命题，真假值才能引用，不然不能引用。
这里所表示的是运算中的“非”，是语言方面的问题，不是纯粹客观事物方面的问题。
e. 利用“非”以定“或”“与”的关系或意义。在讨论“必然”的时候，我们曾表示引用二分法于x、y两名词，我们有以下四个可能：
（一）兹以x、y两名词为例：“x或y”（设“或”为相容的“或”）实有以下三可能，而此三可能又均能以“或”为之连络：引用“非”于“x或y”——即“非（x或y）”——那就是把两名词所有四可能之中除去以上三可能，所余只有以下一可能 既可以读为非x“与”非y，又可以读为既非x又非y。无论如何，它表示“与”的意义。这就是利用“非”与“或”以明“与”的意义。
（二）我们也可以利用“非”与“与”以明“或”的意义。非“非x与非y”即“x或y”，非“x与y”即“非x或非y”，非“x与非y”即“非x或y”，非“非x与y”即“x或非y”。总而言之，这几个运算的意义四通八达，谁摆在前、谁摆在后都可以。究竟谁先谁后不是逻辑的问题，而是系统的问题。
C. 定义与基本命题
本段所要提出讨论的各点如下：1. 定义；2. 系统的前提与推论方式；3. 选择的条件。
1. 定义。关于定义此前已经提及，一部分的问题也已经讨论过，此处不赘。此处所要提出的几点是：a. 系统中的定义表示引用名词之自由；b. 系统中定义的职责在化复杂为简单；c. 系统中的定义无所谓真假；d. 系统中的定义不在系统所要表示的实质范围之内。
a. 引用名词之自由。普通以为定义有名词与实质之分，其实只有名词的定义，没有实质的定义。所谓实质定义似乎有以下两层意思，而这两层意思似乎都说不通。
（一）所谓实质定义即普通教科书称为“real definition”的定义。普通定义大都以主宾词式的话表示。第一层的意思是说主词所代表的那具体的东西有定义所表示的意义。设以以下定义——“人是有理性的动物”——为例。第一层的意思是说具体的占时空的张三、李四等等有“有理性的动物”的意义。如果实质定义有这样的意思，实质定义似乎说不通。具体的东西无所谓有意义或无意义。这不是说它们有意义，也不是说它们无意义；这是说具体的东西与意义不相干，好像道德与颜色不相干一样。
（二）除此以外，实质定义似乎还有第二层意思。第二层意思可不是说主词所代表的具体的东西有某种意义，而是说主词有某种意义。第二层的意思比第一层的意思似乎高超一点，因为它把意义引用到名词方面，没有引用到具体的东西方面。但这一层也说不通，因为照这一层的意思，所谓定义者不是“定”某名词的意义，而是说事实上某名词有某种意义。即以（一）条所举的定义为例：照第二层意思，“人”这名词有“有理性动物”的意义。读者请注意这是一个命题。这是说事实上我们用“人”这名词的时候，我们也就把“有理性的动物”的意思包含或蕴涵在内。如果事实上我们用“人”这名词的时候，“有理性的动物”的意思并没有包含或蕴涵在内，这个命题就是一假命题。如果一句话表示事实，它是命题，系统中的定义所表示的不是事实，是意志。它表示系统中某名词有某种用法，至于系统范围之外，事实上那一名词是否有那种用法与它不相干。
（三）综观以上，系统中的定义不是普通所谓实质定义。它完全是名词的定义，可是虽是名词的定义，仍不是表示某种名词事实上有某种意义，而是表示某名词的用法如何而已。在英文，这样定义有时称为“voluntary definition”，所以如此称呼者，因为它表示引用名词之自由。
b. 化复杂为简单的职责。逻辑系统与其他许多系统一样，它的程序是由简单而复杂。这种程序的好与坏，它是否可以免除，等等的问题我们可以不必讨论。事实上既有这样的程序，我们也就有这样的程序所发生的问题。我们可以用几何为例：“四方”所表示的思想，不必有“四方”这名词，我们可以用“点”“线”“角”等等表示“四方”的思想。但是如果我们有一命题表示“四方”与“圆”的关系，不用“四方”与“圆”这两名词，仍以“点”“线”“角”等等表示之，那一命题就差不多没有法子说出来了。在欧克里几何系统范围之内，我们介绍“四方”这名词，不过是要化复杂为简单而已。
逻辑系统既是由简单而复杂，当然也有同样的问题。在P. M. 的基本命题中有这样一命题：
如果没有介绍 的思想或符号，这个命题就只有以下的表示：
第二个表示比头一个就复杂得多。在一演绎系统的程序中演绎愈进，复杂的程度愈高，而复杂的程度愈高，愈要引用新名词以代表已有的复杂的思想。
系统中的定义一方面表示一系统对于一名词的用法，另一方面，介绍一简单的新名词用以代表已有的复杂的思想。前一方面表示作者引用名词的意志，后一方面表示定义在系统中的职责。
c. 定义无真假。表示意志的话无所谓真假。表示意志的话与表示某人有某项意志的话是两种不同的话，前者不是命题，后者是命题。命题是表示事实的话，如果所表示的是事实，通常认为它是真的，如果所表示的不是事实，通常认为是假的。系统方面的定义既不表示事实，它不是命题，所以它无所谓真假。这差不多完全是理论方面的话。可是有时在心理上理论与事实不容易分得很清楚。
例如P. M. 中的定义 ，这个定义若从系统方面着想，似乎毫无毛病。可是读的时候，免不了把“ 读成“蕴涵”；读成“蕴涵”的时候，免不了把它视为普通语言中的蕴涵；把它视为普通语言中的蕴涵，我们就免不了感觉它是一离奇古怪的蕴涵。但是把它当作普通语言中的蕴涵，就是把这个定义当作命题看待。何以呢？因为如果我们把 视为普通语言中的“蕴涵”，我们就发生疑问 有没有普通“蕴涵”所有的意义呢？普通“蕴涵”有没有 的意义呢？这些问题发生之后，我们难免牵扯到真假问题，牵扯到真假问题，就是把定义视为命题了。
这样心理上不一致的情形不仅批评家难免，即作家也难免。好在近十几年来研究逻辑的结果，大多数逻辑家简直不知道或说不出所谓“普通蕴涵”者的意义何在；所以对于 早已承认其为一种蕴涵。但这不过是对于 的特殊情形而已，普通心理上不一致的情形总得要减少才行。
d. 系统中的定义不在系统所要表示的实质范围之内。有了以上的讨论，这句话似乎不至于发生若何重大的问题。这里所谓实质有两方面的情形，我们似乎不能不分别提出。
（一）系统所要表示的实质。逻辑系统所要表示的实质是“必然”。逻辑系统之所以为逻辑系统者，就因为它所要表示的实质是“必然”。在此处我们用不着提出逻辑系统的数目问题。这个数目是“一”也好，是“多”也好，是“无量”也好；无论如何，如果一个系统是逻辑系统，它所要表示的实质是“必然”。定义无所谓“必然”。在真假二分法范围之内，所谓“必然”者是不能不真；定义既无所谓真假，当然也就无所谓“必然”与“不必然”。定义既无所谓“必然”与“不必然”，当然不在逻辑系统所要表示的实质范围之内。
（二）系统所引以为表示工具的实质。一系统所引以为表示它所要表示的实质的工具就是那一系统的原子，那一系统的运算或关系，与那一系统的基本命题。这个可以总称为系统的干部。系统的干部似乎不能不算是系统范围之内的分子。干部之内情形不一致。基本命题可以是必然的命题，所以它们也可以是系统所要表示的实质。基本概念无所谓必然与不必然，所以它们不是系统所要表示的实质；可是它们虽不是系统所要表示的实质，它们是一系统所引以为表示实质的工具。我们可以说它们是工具方面的实质，不是意义方面的实质。逻辑系统不能离开它所有的工具方面的实质。一系统之所以自别于其他系统者，就因为有它所有的工具方面的实质。一系统的定义既不是一系统所要表示的实质，也不是一系统工具方面的实质，所以它不能在系统范围之内。
（三）定义何以不是系统的工具呢？上面已经说过一系统不能离开它的基本概念。基本概念是思想，不仅是名词，所以它们是系统的工具。定义所介绍的不是新思想，是新名词。新名词所表示的思想系统中已经有了；不过以系统中所有的名词或符号去表示新名词或符号所表示的思想，太复杂、太麻烦、太不便利而已。但复杂、麻烦、便利等等问题都不是系统的实质的问题。如果我们不嫌复杂、不怕麻烦，一系统可以不利用定义而仍不失其为逻辑系统。系统中的定义可以视为系统的注解，不在系统的实质范围之内。
2. 系统的前提。所谓前提与推论方式不同。前提是结论的根据，而推论方式是推论的根据。我们可以说前提是结论的前提，而推论方式是推论的“前提”。这种话是有毛病的。可是如果我们能够利用这种话以传达意见，我们也就不妨利用。如果前提真，推论对，结论才真；前提假，推论对，结论亦假。如果推论不对，无论前提是真是假，而所谓“结论”者根本就不是结论。从结论方面着想，我们可以说结论的真或假根据于前提，而结论的对或不对根据于推论方式。
a. 在普通生活中，前提与推论方式常常是两件事。例如：
（甲）所有的河北人都是中国人，
所有的北平人都是河北人，
所以所有的北平人都是中国人。
（乙）所有的日本人都是德国人，
所有的东京人都是日本人，
所以所有的东京人都是德国人。
以上两例的结论均对。但通常我们以为（甲）的结论为真，而（乙）的结论为假。这里前提也有，推论也有，结论也有，可是前提与结论都写出来了，而推论没有写出来。（甲）（乙）两例有两套前提，可是它们只有一种推论。在日常生活中，前提不是推论，它们是两件事。通常所谓“合乎逻辑”不是说前提一定真，或结论一定真，是说推论对。推论对就“合乎逻辑”，不对就“不合乎逻辑”。所谓逻辑不谈真假，而谈对与不对者在此。
b. 在逻辑系统里的情形与日常生活中的情形有时不一样。此处所谓逻辑系统是自足的系统，不自足的系统的情形另外。在自足的逻辑系统中，基本命题可以既是前提又是推论方式。有时我们可以分清楚，基本命题之中，某一命题为前提，某一命题为推论方式，有时不能，或不容易。例如P. M.（ 1910年版）的基本命题中有“├”符号者似乎可以说是前提，无“├”符号者似乎是推论的方式。它们的分别可以说是很清楚。但以后应用起来，系统的前提也可以成为推论的方式。例如 ”；这是一个基本命题，可以说是P. M.的前提之一。但以后证例之中有把“～p”代表“p”的办法，因得以下的命题 。此办法之所以说得通者，因为 是一普遍的命题，“p”既代表任何命题，它当然可以代表“～p”。 不过是 的例而已。这样一来，前提变成了一推论的方式，只要承认此方式，在此方式之下的例也就不得不承认了。所以P. M. 的基本命题既是前提又是推论的方式，前提与推论的方式变成一件事了。
c. 其所以有以上情形者就是因为P. M. 是自足的系统。不自足的系统，可以仅有前提而无推论方式，因为不自足的逻辑系统可以假设一个另外的逻辑系统供给它的推论方式。例如布尔的逻辑系统，它就没有成文的推论方式。它假设另外的逻辑系统供给它所需用的推论方式。自足的逻辑系统则不然。它不仅要供给它本身的前提，也要供给它本身所要的推论方式。它既是自足的系统，它就不能假设另外的逻辑系统供给它本身所需用的推论方式。同时在系统方面，我们虽然不能说所引用的工具愈少愈好，但总得要经济才行。为达到自足系统的目的起见，我们只能想法把一物两用。此所以基本命题之中有些既是前提又是推论的方式。
d. 系统的前提与普通辩论中的前提不同。逻辑系统中的前提与普通系统中的前提也不同。普通辩论中的前提，大都是持之者信以为真，究竟是真是假，颇不易说。此真假问题，有时在辩论范围之内，有时在辩论范围之外。这要看辩论者所注重的是事实还是理论，是知识还是逻辑。演绎系统的前提持之者虽大都信以为真，而不必信以为真，至少他不必信他能证明或证实其为真。他所注重的是由他的系统所承认的前提所推出来的命题彼此关联一系统；能应用固好，不能应用，而系统之为系统，仍有它的立场。逻辑系统的前提又与普通演绎系统的前提不同。逻辑系统所要表示的是“必然”，它的前提最好也要是表示“必然”的命题。此处说“最好”者，因为此目的究竟能够完全达到与否，颇不敢说。无论如何，在P. M. 的基本命题中，前此已经说过，有“├”符号的命题都是“必然”的命题。由此种“必然”的前提，根据“必然”的推论，我们可以得“必然”的结论。逻辑系统中的非基本命题的命题都是由基本命题，用合法的方法而产生的命题。如果这些命题既都是“必然”的命题，这些结论的前提也得要是“必然”的命题。
e. 推论不是推论方式的结论。结论是由前提遵推论的方式，而得到的命题。结论是所得到的命题，不是得到那命题的程序。结论可以是普通的或特殊的命题。推论总是特殊的，同时也不是命题，而是一种“动作”。前此已经讨论过“蕴涵”与“所以”的分别。“蕴涵”可以成一串无量的链子，而“所以”可以说是打断那一串链子的动作。在任何一由前提到结论的程序中，每一推论都是引用推论方式的一个特殊表现。我们不能有引用推论方式的普遍方式，因为如果有那种普遍方式，它就是推论方式。那就是说，这种普遍的引用方式与在此方式之下的引用动作，二者之间有推论方式与推论动作之间的同样的问题。推论方式与推论动作二者之间其关系是直接的、无媒介的、间断的。这种间断清形似乎无法消灭。我们要弄出一引用推论方式的普遍方式，无非是想把这间断的情形消灭下去，但这种引用推论方式的普遍方式与在此方式之下的引用动作二者之间，其关系仍是直接的、无媒介的、间断的。既然如此，与其想方设法消灭这种间断的情形，而终于失败，不如直截了当地承认此间断的情形。
f. 兹将“”表示无间断的蕴涵关系，以 表示有间断的推论，我们可以有以下的表示：
在演绎方面，我们由p而得q的结论，既要“”，也要“ ”。若仅有“”，q不是结论；仅有 ”，q也不是结论。兹用以下二例表示一命题的两种用法。
甲例中的第（1）命题即乙例中的第（1）命题，可是此命题在甲例中是前提，而在乙例中不是前提。甲例中的第（9）命题即乙例中的第（2）命题，可是此命题在甲例中是结论，而在乙例中不是结论。P. M. 中最初的推论是乙例的推论；如果只有乙例的推论，所得的命题就很有限了。除此以外，尚有甲例那样的推论。其所以说甲例那样的推论者，因为甲例在此处完全是例，不是P. M. 系统中抄下来的；它把P. M. 系统中成文的秩序变更，表示以乙例中的（1）命题为前提，用不同的推论方式，可以得乙例中的第二命题为结论。甲乙两例不过表示 这一基本命题可以用为前提，也可以用为推论的方式。
3. 基本命题的条件。基本命题的条件大都有三：a. 够用；b. 独立；c. 一致。这三个条件此前已经提及。现在稍微详细一点地说说。基本命题之能满足此三条件与否，似乎只能表示或证实而不能证明。这个问题似乎是系统范围之外的问题，而不是系统范围之内的问题。我们似乎不能以一系统范围之内的方法证明那一系统的基本命题满足这三个条件。兹特分别提出，但讨论从略。
a. 够用问题。够用与不够用的问题，当然要看一系统所要达到的目的是什么。所谓目的就是得到所要得到的命题。如果所要得到的命题都能发现于一系统之中，而一系统的命题又均是基本命题所推论出来的命题，则那一系统的基本命题为够用，反之则不够用。这差不多可以说特别地注重“量”的问题。
够用与不够用的问题非常之重要，但我们的答案似乎只能根据于实验。我们似乎只能先用几个基本命题去试试，看它们够用不够用。如果够用，我们再求简单、一致、对称，等等；如果不够用，我们只能想法子找出不够用的理由何在，加上所需要的基本命题。我们似乎没有旁的方法表示基本命题的够用与否。同时如果基本命题不够用，系统就不包含所要包含的命题，那么，目的就没有达到；目的既未达到，则系统为失败的系统，而基本命题没有尽它们的职责。因此这问题的重要可以看见，一方面我们似乎没有简单的方法或可以知道基本命题的够用与否，另一方面，假设基本命题不够用，根据它们的那一整个的系统就是失败的系统。
b. 独立问题。独立问题从根本上说是一“简单”问题。此前已经说过，所谓命题的独立者不过是命题彼此不相等或者彼此不相蕴涵而已。设在（甲）（乙）两基本命题之中，（甲）蕴涵（乙），则（乙）用不着列为基本命题，因为它们可由（甲）推论出来。这当然就是使基本命题不要重复，而不要重复的结果就是简单。
（一）简单可以有两方面的解释。一是基本思想与基本命题的数目方面的简单。从这一方面着想，数目愈小愈简单。一是从证明的历程方面着想。从这一方面着想，基本思想与基本命题的数目小的时候，证明的历程或者反因之复杂。这两方面的简单虽不必冲突而有时事实上免不了冲突。设有冲突的情形，为双方并顾起见，我们似乎可以说基本思想与基本命题的数目以小到证明的历程不因之而复杂的程度为限。
（二）命题的独立与否，也不是证明的问题，而是表示或证实的问题。这个问题比够用与不够用的问题似乎简单，因为它似乎有一种已经承认的方法。此方法即利用各种不同的事实以之为基本命题之解释。设有五个基本命题，如以一种事实上的解释，第一命题能说得通，或是真的，而其余四个命题都是假的，则第一命题对于其余四个命题为独立。分别引用同样方法于其余四命题，我们可以分别地表示其余的命题是否独立。独立与否的问题既是一表示的问题而不是证明的问题，或者等到系统发展到相当程度的时候，我们有时不免发现前此所认为独立的命题并不独立。
c. 一致问题。表示命题的独立与否的那一办法，似乎假设事实的全体不能容纳于一整个系统范围之内。表示命题的一致与否，似乎又假设事实无矛盾。关于一致，理论与事实的分别似乎极其重要。这一条件的满足与否也不是系统范围之内的问题。我们不能以系统之内的方法证明基本命题的一致，结果也就是以系统范围之外的方法表示它们一致。
（一）何以不能用系统范围之内的方法呢？所谓一致者即无矛盾，空泛一点地说，即无冲突。如果我们要证明一系统一致，就是要证明那一系统没有矛盾。这件事似乎办不到。要证明一系统没有矛盾，实在是证明一系统，即无量地推进，亦不至于有矛盾。在自足的逻辑系统，那一系统之外的证明方法与那一系统不相干，而那一系统内的证明方法也只能表示那一系统发展到某种程度的时候没有矛盾，而不容易证明那一系统发展到任何程度亦不至于有矛盾。至少从前有这样的思想，现在是否如此，则不敢说。此问题引出来的问题太大而且太多，此处不敢也不能提出讨论。
（二）无论如何，基本命题之是否一致，不能在系统发展以后才表示。在系统未发展以前既要表示，自然不能引那一系统的证明方法去证明它的基本命题一致。结果我们还是利用系统之外的方法来表示。普通引用的方法似乎是拿出系统通式的基本命题通式，加以事实方面的解释，如果在事实上照这个解释，基本命题都是真的，则这些基本命题是一致的。
关于独立那一条件，我们所用的办法，假设事实的全体不能容纳于一系统范围之内；对于一致这一条件，我们所用的办法，假设事实无不融洽。这两假设是否说得过去，在逻辑系统范围之内可以不理。且前一假设影响于知识论，后一假设似乎是各种科学所必具的假设。
以上三条件是大家认为基本命题所要满足的条件，而此三条件之满足与否，似乎都只能以系统以外的方法表示而不能以系统之内的方法证明。