<经部,礼类,通礼之属,五礼通考
钦定四库全书
五礼通考卷一百九十七
刑部尚书秦蕙田撰
嘉礼六十八
观象授时
会典推木火土三星法
土星用数
土星每日平行一百二十○秒六○二二五五一【江氏永曰土星距地最逺行最迟算土木火三星平行之法用前后两测取其距恒星之度分等距太阳之逺近左右亦等乃计其前后相距中积若干时日及星行满次轮若干周即可得其平行之率新法算书载古测定二万一千五百五十一日又十分日之三土星行次轮五十七周置中积日分为实星行次轮周数五十七为法除之得周率三百七十八日零一百分日之九分二九八二乃以毎周三百六十度为实周率三百七十八日零为法除之得五十七分零七秒四十二防四十一纎四十四忽三十三芒为毎日土星距太阳之行与每日太阳平行五十九分零八秒一十九防四十九纎五十一忽三十九芒相减余二分零三十六防零八纎零七忽零六芒为毎日土星平行经度凡星平行者本轮心平行于本天也】
最高每日平行十分秒之二又一九五八○三
【江氏永曰诸星皆有本轮即有最高最高即有行度犹太阳之最卑行太隂之月孛行也其行右旋】
正交每日平行十分秒之一又一四六七二八
【江氏永曰诸星各有本道与黄道交正交者自南而交入于北也交行左旋】
本天半径一千万
【江氏永曰各本天大小极不等半径恒设一千万者整数便算也欲得其距地之数以太阳距地高卑之中数与次轮半径较而可知如太阳距地一千一百四十一地半径而土星次轮一百零四万有奇则本天半径比本阳本天半径约大十倍弱也木火本天仿此】
本轮半径八十六万五千五百八十七
均轮半径二十九万六千四百一十三
【江氏永曰本轮之心在本天均轮之心在本轮本轮左旋均轮右旋均轮半径比本轮半径三之一而稍强】
次轮半径一百○四万二千六百
【江氏永曰次轮所以载星而右旋其顶合日其底冲日其心在均轮上次轮原与太阳本天等大因星之本天甚大故其半径仅当本天半径十之一有奇】
本道与黄道交角二度三十一分
【江氏永曰犹黄道与赤道白道与黄道有距度也诸交角仿此】
土星平行应七宫二十三度十九分四十四秒五十五防
【江氏永曰律元天正冬至次日壬申子正时土星平行宫度也诸应仿此】
最高应十一宫二十八度二十六分○六秒○五防正交应六宫二十一度二十○分五十七秒二十四防木星用数
木星每日平行二百九十九秒二八五二九六八【江氏永曰测木星平行之法亦用前后两测与土星同新法算书载古测定二万五千九百二十七日又千分日之六百一十七木星行次轮六十五周置中积日分为实星行次轮周数六十五为法除之得周率三百九十八日零十分日之八分八六四一五乃以每周三百六十度为实周率三百九十八日零为法除之得五十四分零九秒零二防四十二纎四十七忽三十二芒为毎日木星距太阳之行与每日太阳平行相减余四分五十九秒一十七防零七纎零四忽零七芒为每日木星平行经度】
最高每日平行十分秒之一又五八四三三
正交每日平行百分秒之三又七二三五五七
本天半径一千万
本轮半径七十○万五千三百二十
均轮半径二十四万七千九百八十
【江氏永曰均轮半径比本轮半径三之一而强】
次轮半径一百九十二万九千四百八十
【江氏永曰次轮亦与太阳本天等大半径比本天半径五之一而弱】
本道与黄道交角一度一十九分四十秒
本星平行应八宫○九度一十三分一十三秒一十一防
最高应九宫○九度五十一分五十九秒二十七防正交应六宫○七度二十一分四十九秒三十五防火星用数
火星每日平行一千八百八十六秒七七○○三五八【江氏永曰测火星平行之法亦用前后两测与土木二星同新法算书载古测定二万八千八百五十七日又千分日之八百八十三火星行次轮三十七周置中积日分为实星行次轮周数三十七为法除之得周率七百七十九日零十分日之九分四二七八三乃以毎周三百六十度为实周率为法除之得二十七分四十一秒三十九防三十七纎四十三忽五十五芒为每日火星距太阳之行与每日太阳平行相减余三十一分二十六秒四十防一十二纎零七忽四十四芒为毎日火星平行经度】
最高每日平行十分秒之一又八三四三九九
正交毎日平行十分秒之一又四四九七二三
本天半径一千万
本轮半径一百四十八万四千
均轮半径三十七万一千
【江氏永曰均轮半径比本轮半径四之一】
最小次轮半径六百三十○万二千七百五十
【江氏永曰火星次轮时时不同本轮高而太阳又高者最大本轮卑而太阳又卑者最小二者皆在高卑之中则与太阳本天等大此设星在最卑又当太阳行最卑次轮最小半径如此】
本天高卑大差二十五万八千五百
太阳高卑大差二十三万五千
【江氏永曰合两大差四十九万三千五百半之二十四万六千七百五十加于最小次轮半径凡六百五十四万九千五百为次轮不大不小之半径亦与太阳本天等大而在本天只得三之二弱耳】
本道与黄道交角一度五十分
火星平行应二宫一十三度三十九分五十二秒十五防
最高应八宫初度三十三分一十一秒五十四防正交应四宫一十七度五十一分五十四秒○七防求天正冬至【详日躔】
求本星平行 以积日【详月离】与本星每日平行相乘满周天秒数去之余数收为宫度分为积日平行以加平行应得本星年根【上考徃古则置平行应减积日平行】又置本星每日平行以所设距天正冬至之日数乘之得数与年根相并得本星平行
求最高平行 以积日与最高每日平行相乘得数为积日平行以加最高应得最高年根【上考徃古则置最高应减积日平行】又置最高每日平行以所设讵天正冬至之日数乘之得数与年根相并得最高平行
求正交平行 以积日与正交毎日平行相乘得数为积日平行以加正交应得正交年根【上考徃古则置正交应减积日平行】又置正交每日平行以所设距天正冬至之日数乘之得数与年根相并得正交平行
求初实行 置本星平行减最高平行得引数【江氏永曰本轮心平行距最高之数亦即均轮心左旋于本轮距初宫初度之数也】用直角三角形【江氏永曰小句股形也】以本轮半径内减去均轮半径为对直角之边【江氏永曰土星本轮半径八十六万五千五百八十七减均轮半径余五十六万九千一百七十四木星本轮半径七十万五千三百二十减均轮半径余四十五万七千三百四十火星本轮半径一百四十八万四千减均轮半径余一百一十一万三千此边为小?从本轮心抵均轮底与直角相对】以引数为一角【江氏永曰此角辏本轮心引数度在本轮周即其角之度】求得对引数角之边【江氏永曰此边为小句用正?比例半径千万为一率引数度正?为二率对直角之边为三率求得四率为对角之边从直角抵均轮底与小?相交 引数过象限以后用二率之法详日躔实行条】及对余角之边【江氏永曰此边为小股用余?比例半径千万为一率引数度余?为二率对直角之边为三率求得四率为对余角之边从直角抵本轮心 用二率之法同上】又用直角三角形【江氏永曰大句股形也】以对引数角之边与均轮之通?相加【求通?详月离江氏永曰本轮左旋一度均轮右旋两度故均轮上用通?通?者引数之倍度也求法半径千万为一率】
【引数角之正?为二率均轮半径为三率求得四率倍之即通?火星均轮半径得本轮半径四之一则对引数角之边三分去一即为通?】为小边【江氏永曰此边为大句从本轮心横抵均轮倍度之处即次轮心所在】以对余角之边与本天半径相加减【引数三宫至八宫相加九宫至二宫相减 江氏永曰引数起最高初宫在顶六宫在底当云九宫至二宫相加三宫至八宫相减此注偶误】为大边【直角在两边中 江氏永曰此边为大股】求得对小边之角为初均数【江氏永曰用切线比例大边为一率小边为二率半径千万为三率求得四率为正切以正切检表得角度此角辏地心】并求得对直角之边为次轮心距地心线【为求次均之用 江氏永曰从地心出斜线至次轮心为大句股之?用割线比例本天半径为一率初均数度之正割为二率大边为三率求得四率为次轮心距地心线】以初均数加减本星平行【引数初宫至五宫为减六宫至十一宫为加】得初实行【江氏永曰次轮心所当本天之度也次轮心距地心线已过本天截至本天当其度未至本天当引长之至本天当其度】
求本道实行 置本日太阳实行减初实行得次引【即星距太阳度 江氏永曰土木火皆在太阳上星与太阳合伏在次轮之顶自是遂日有距太阳度其行右旋距度即次轮上之宫度】用三角形【江氏永曰斜三角也】以次轮心距地心线为一边次轮半径为一边【惟火星次轮时时不同须加减用之法详后 江氏永曰火星与太阳有定距故次轮因高卑而有大小】次引为所夹之外角【过半周者与全周相减用其余】求得对次轮半径之角为次均数【江氏永曰当用切线分外角法求之两边相并为一率两边相减之余为二率半外角切线为三率求得四率为半较角切线以半较角减半外角其余为对次轮半径之角】并求得对次引角之边为星距地心线【为求视纬之用 江氏永曰此次引角皆谓两边所夹之本角从地心出斜线指星对之次均角正?为一率次引角正?为二率次轮半径为三率求得四率为星距地心线】乃以次均数加减初实行【次引初宫至五宫为加六宫至十一宫为减】得本道实行【江氏永曰星体行于本道也】求火星次轮半径 以火星本轮全径【命为二千万江氏永曰即最大之矢也】为一率本天高卑大差为二率均轮心距最卑之矢为三率【引数与半周相减即均轮心距最卑度不过象限则以余?减半径为正矢若过象限以余?加半径为大矢 江氏永曰八线表无矢线以余?加减半径即得】求得四率为本天高卑又以太阳全径【亦命为二千万 江氏永曰太阳之本轮全径】为一率太阳高卑大差为二率本日太阳引数之矢为三率【引数过半周者与全周相减用其余 江氏永曰太阳引数起最卑】求得四率为太阳高卑差乃置火星次轮最小半径以两高卑差加之得次轮半径【江氏永曰他星绕日绕其本轮心耳火日同类独以太阳实体为心故次轮大小兼论太阳之高卑】求黄道实行 置初实行减正交平行得距交实行【次轮心距正交之度】乃以本天半径为一率本道与黄道交角之余?为二率【江氏永曰土星交角余?九九九○四木星交角余?九九九七三火星交角余?九九九四九】距交实行之正切为三率求得四率为正切检表得黄道度与距交实行相减余为升度差以加减本道实行【距交实行不过象限及过二象限为减过象限及过三象限为加】得黄道实行【江氏永曰星行本道与黄道相当之经度也】
求视纬 以本天半径为一率本道与黄道交角之正?为二率【江氏永曰土星交角正?○四三九一木星交角正?○二三一七火星交角正?○三一九九】距交实行之正?为三率求得四率为正?检表为初纬【江氏永曰此次轮心距交逺近之本纬也正当交无纬满九十度纬最大各如交角】又以本天半径为一率初纬之正?为二率次轮心距地心线为三率求得四率为星距道线【江氏永曰此次轮有高下而初纬变在本天半径之上者纬加大半径之下者纬变小是为星距黄道线星者通次轮言之犹非星之实体也】乃以星距地心线为一率星距黄道线为二率本天半径为三率求得四率为正?检表得视纬【江氏永曰此人视星之纬也星有高下而距线又变在本天半径之上者距线变小半径之下者距线加大也】随定其南北【距交实行初宫至五宫为黄道北六宫至十一宫为黄道南】
求晨夕伏见定限度 置黄道实行与太阳实行同宫同度为合伏合伏后距太阳渐逺为晨见东方【江氏永曰星迟日速故在太阳之西而晨见】顺行顺行渐迟【江氏永曰星之本轮心行于本天者恒平行无迟疾人视星行于轮上则有迟疾且有顺逆合伏后行次轮上半之左次轮心已随本轮行而星复向左行则疾矣近象限其势迤而下则渐迟】迟极而退为留退初【江氏永曰星行次轮至象限其势直下似不行而犹有本轮心之行入下半深近轮底星之向右行度分与轮之向左行度分相减适尽则似不行而留既留则星右行之度分多于轮左行之度分人视星为退行矣留之顷即退之初但积久乃及一度耳旧法星留数日或数十日其法粗疎理不如此也】退行距太阳半周为退冲【江氏永曰当次轮之底火星近退冲割入太阳本天之内】退冲之次日为夕见【江氏永曰过冲在太阳之东夕见东方】退行渐迟迟极而顺为留顺初【江氏永曰轮底向右之势速渐向上渐迟轮左行度分与星右行度分相减适尽而留既留则轮左行之度分多于星右行之度分复见为顺留之顷即顺之初】顺行渐疾【江氏永曰过三象限以上轮左行而星亦向左故渐疾】复近太阳以至合伏为夕不见【江氏永曰星近日为阳光所烁日入而星未见日入地深而星亦没也日夕星可见而星当地平为夕不见之始】其伏见限度土星为十一度木星为十度火星为十一度三十分【江氏永曰因星体大小约为此限】合伏前后某日太阳实行与本星实行相距近此限度即以本日本星黄道实行依日食法求得限距地高【江氏永曰黄道在地平上九十度之限所谓黄平象限也必求此限者不得限距地高则无黄道地平交角不能算星距日黄道度也求法先依日躔篇以本日太阳实行查距纬求得本日日出入时刻如求晨见用日出时刻约减三刻求夕不见用日入时刻约加三刻次依月食篇以本时黄道实经度求赤道经度乃依日食篇以本时变赤道度求本时春秋分距午赤道度次求本时春秋分距午黄道度次求本时午位黄赤距纬次求本时黄道与子午圈交角次求本时午位黄道高弧次求本时限距地高即黄道地平交角也本时变赤道度以后亦可依月食法求之较省径 伏见时星在地平太阳在地下宜求地下之限距地今求地上之限距地者倒算借算法也黄道在地平上与地下等地上近南之限距地即地下近北之限距地故借地上倒算之】乃用正弧三角形【江氏永曰有直角为正弧】有直角【江氏永曰置星于地平设太阳在地上从天顶出线过太阳至地平交成直角犹太阳在地下从天顶出线过太阳至地平交成直角也】有黄道地平交角【即限距地高】有本星伏见限度为对交角之弧【江氏永曰设太阳在地上其高弧为本星伏见限度】求得对直角之弧【江氏永曰黄道地平交角之正?为一率本天半径为二率本星伏见限度之正?土一九○八一木一七三六五火一九九三七各为三率求得四率为正?检表得弧度】为距日黄道度【若星当黄道无距纬即为定限度】有黄道地平交角以本星距纬为对交角之弧【江氏永曰置星于地平或纬南或纬北距纬直角设于地平上距纬弧与直角相对】求得两角间之弧【江氏永曰两角间之弧无所对而已有两角一弧求法本天半径为一率黄道地平交角之余切为二率距纬之正切为三率求得四率为正?检表得两角间之弧】为加减差以加减距日黄道度【纬南则加纬北则减 江氏永曰从地平上视之纬南为减纬北为加地下之南北相反故南加北减】得伏见定限度视太阳与星相距度近定限度如在合伏前某日即为某日夕不见在合伏后某日即为某日晨见
求合伏时刻 视太阳实行将及星实行为合伏本日已过星实行为合伏次日求时刻之法于太阳一日之实行内减星一日之实行为一率【江氏永曰同向东行故相减】余与月离求朔望时刻之法同【江氏永曰日法为二率太阳距星为三率求得四率为合防时刻】
求退冲时刻 以星黄道实行与太阳实行相距将及半周为退冲本日已过半周为退冲次日求时刻之法以太阳一日之实行与本星一日之实行相加为一率【江氏永曰一东一西故相加】余同前【江氏永曰亦以日法为二率太阳距星为三率】
求交宫时刻【与月离同】
求同度时刻 以两星一日之实行相加减为一率【两星同行则减一顺一逆则加】日法为二率两星相距为三率求得四率为距子正之分数以时刻收之即得
求黄道宿度【与日躔同 江氏永曰亦以积年乘差得数加黄道宿钤以减本星黄道实行余为本星所躔宿度】
蕙田案以上推土木火三星法
推金水二星法
金星用数
金星每日平行三千五百四十八秒三三○五一六九【江氏永曰与太阳每日平行同五十九分零八秒奇也 金水二星之本天原在太阳本天之下其次轮原与太阳本天等大与上三星同理而星行次轮有时在日上有时在日下绕日成圆象离日不甚逺不能冲日则即借太阳之本天为二星之本天以太阳之平行为二星之平行而其绕日之圈别为伏见轮亦曰次轮其实借象亦借算也上三星亦有绕日圈以其甚大不便用则用嵗轮本象算之金水亦自有本天有嵗轮以其本天隐而伏见轮显则于伏见轮算之】
最高每日平行十分秒之二又二七一○九五
【江氏永曰金水正交与最高相距有定度故不列正交行及正交应】
伏见每日平行二千二百十九秒四三一一八八六【江氏永曰金星离日之行也古测定二千九百一十九日又十分日之六百六十七金星行次轮五周置中积日分为实星行次轮周数五为法除之得周率五百八十三日零十分日之九分三三四乃以每周三百六十度为实周率五百八十三日零为法除之得三十六分五十九秒二十五防五十二纎一十六忽四十四芒为每日金星在次轮周之平行一名伏见行】
本天半径一千万
【江氏永曰即太阳之本天也】
本轮半径二十三万一千九百六十二
均轮半径八万八千八百五十二
【江氏永曰本轮之心在本天均轮之心在本轮亦如上三星】
次轮半径七百二十二万四千八百五十
【江氏永曰次轮又名伏见轮星体行其上右旋其心在均轮 金星原有次轮与太阳本天等大而金星本天在日天之下者其半径即此次轮之半径今既用太阳之本天为星本大则原本天半径遂为此次轮之半径矣星在原次轮上左旋今以伏见轮为次轮则星仍右旋矣】
次轮面与黄道交角三度二十九分
金星平行应初宫初度二十分十九秒十八防
【江氏永曰即律元冬至次日壬申子正时太阳平行宫度也】
最高应六宫○一度三十三分三十一秒○四防伏见应初宫十八度三十八分十三秒○六防
水星用数
水星每日平行【与金星同】
最高每日平行十分秒之二又八八一一九三
伏见每日平行一万一千一百八十四秒一一六五二四八
【江氏永曰古测定一万六千八百零二日又十分日之四水星行次轮一百四十五周置中积日分为实以次轮周数一百四十五为法除之得周率一百一十五日零十分日之八分七八六二一乃以每周三百六十度为实周率为法除之得三度零六分二十四秒零六防五十九纎二十九忽二十二芒为每日水星在次轮周之平行一名伏见行 金水各以伏见行加太阳一日之平行则金水之本行也】
本天半径一千万
【江氏永曰亦即太阳之本天】
本轮半径五十六万七千五百二十三
均轮半径一十一万四千六百三十二
次轮半径三百八十五万
【江氏永曰此亦水星本天半径借为伏见轮半径也】
次轮心在大距与黄道交角五度四十分
【江氏永曰大距离正交中交各九十度】
次轮心在正交当黄道北交角五度○五分一十秒其交角较三十四分五十秒【与大距交角相较后仿此】当黄道南交角六度三十一分○二秒其交角较五十一分○二秒【江氏永曰正交本道自南而交入于北交角北狭而南濶】
次轮心在中交当黄道北交角六度十六分五十秒其交角较三十六分五十秒当黄道南交角四度五十五分三十二秒其交角较四十四分二十八秒
【江氏永曰中交本道自北而交出于南交角北濶而南狭】
水星平行应【与金星同】
最高应十一宫○三度○三分五十四秒五十四防伏见应十宫○一度十三分十一秒十七防
求天正冬至【详日躔】
求本星平行【与土木火三星法同下条仿此】
求最高平行
求伏见平行【江氏永曰亦仿求本星平行之法】
求正交平行 置最高平行金星则减十六度水星则加减六宫得正交平行【江氏永曰律指言水星正交与最高同度是误以中交为正交也】
求金星初实行 用引数求初均数【江氏永曰金星本轮半径二十三万一千九百六十二减去均轮半径余一十四万三千一百一十为对直角之边】以加减平行为初实行及求次轮心距地心皆与土木火三星同求水星初实行 用三角形【江氏永曰他星均轮起最近防轮心左旋轮边右旋水星均轮起最逺防轮心轮边皆左旋他星引数一度均轮上两度引数半周均轮一周水星引数一度均轮上三度引数四宫均轮一周故算法异】以本轮半径为一边均轮半径为一边以引数三倍之为所夹之外角【过半周者与全周相减用其余】求其对角之边并对均轮半径之角【江氏永曰先求对均轮半径之角用切线分外角法以边总六十八万二千一百五十五为一率边较四十五万二千八百九十一为二率半外角切线为三率求得四率为半较角切线以半较角减半外角其余即对均轮半径之角乃以此角之正?为一率三倍引数所夹本角之正?为二率均轮半径为三率求得四率为对角之边】又用三角形以本天半径为大边以求得对角之边为小边以求得对均轮半径之角与均轮心距最卑度相加减【引数不及半周者与半周相减过半周者减去半周即均轮距最卑度加减之法视三倍引数度不过半周则加过半周则减 江氏永曰三倍引数度不过半周者其度在引数度之外故加过半周者其度在引数度之内故减】为所夹之角求得对小边之角为初均数【江氏永曰亦用切线分外角法求之】并求得对角之边为次轮心距地心线【江氏永曰均数角之正?为一率所夹本角之边为二率次轮半径为三率求得四率为对角之边】以初均数加减水星平行【引数初宫至五宫为减六宫至十一宫为加】得初实行
求伏见实行 置伏见平行加减初均数【引数初宫至五宫为加六宫至十一宫为减 江氏永曰减星行则加伏见行加星行则减伏见行】得伏见实行求黄道实行 用三角法以次轮心距地心线为一边次轮半径为一边伏见实行为所夹之外角【过半周者与全周相减用其余】求得对次轮半径之角为次均数【江氏永曰亦用切线分外角法求之】并求得对角之边【江氏永曰以次均角之正?为一率亦如求次轮心距地心线之法】为星距地心线【为求视纬之用】以次均数加减初实行【伏见实行初宫至五宫为加六宫至十一宫为减】得黄道实行【江氏永曰金水次轮之心在黄道上故以次均加减初实行即黄道实行】
求距次交实行 置初实行减正交平行为距交实行以伏见实行相加【加满全周去之用其余】得距次交实行【初宫至五宫为黄道北六宫至十一宫为黄道南 江氏永曰此原有之次轮心距正交实行也合星平行与伏见平行为轮心本行则合星实行与伏见实行为轮心实行也今虽不用原有之次轮而算距交必加伏见实行谓之距次交实行犹之用原有次轮也】
求视纬 以本天半径为一率次轮面与黄道交角之正?【江氏永曰金星交角正?○六○七六】为二率【金星交角惟一水星交角则时时不同须求实交角用之法详后】距次交实行之正?为三率求得四率为正?检表得次纬【江氏永曰此亦初纬也以距次交求得谓之次纬】又以本天半径为一率次纬之正?为二率次轮半径为三率求得四率为星距黄道线【江氏永曰上三星求星距黄道线以次轮心距地心线为三率则有时大于初纬此以次轮半径为三率则必小于次纬金星可用别法求之先以次轮半径七二二四八五乘交角正?半径千万除之得四三八九八二以此为次轮大距正?乘各度距交之正?半径千万除之即得星距黄道线可省一求】乃以星距地心线为一率星距黄道线为二率本天半径为三率求得四率为正?检表得视纬随定其南北【距次交实行初宫至五宫为黄道北六宫至十一宫为黄道南】
求水星实交角 以半径千万为一率交角较化秒为二率【距交实行九宫至二宫用次轮心在正交之交角较三宫至八宫用次轮心在中交之交角较仍视其南北用之 江氏永曰距交实行乃伏见轮心距正交非原有之次轮心距正交也故虽自有其宫不以此宫分南北必查距次交实行初宫至五宫为北六宫至十一宫为南】距交实行之正?为三率求得四率为交角差置交角【用交角之法与交角较同】以交角加减之【距交实行九宫至二宫星在黄道北则加南则减三宫至八宫反是 江氏永曰水星正交在最卑九宫至二宫在本轮之下半三宫至八宫在上半故用交角较与交角较以此定而南北加减亦以此分】得实交角【江氏永曰求次纬用为二率】
求晨夕伏见定限度 星实行与太阳实行同宫同度为合伏合伏后距太阳实行渐逺夕见西方【江氏永曰星与太阳同行之外仍有伏见行故过太阳而先夕见】顺行顺行渐迟迟极而退为留退初【江氏永曰星行次轮亦以渐近象限而迟过象限入下半深伏见行与轮心行相减适尽而留留际即为退初】退行渐近太阳【江氏永曰在太阳之下渐近太阳也】则夕不见复与太阳同度为合退伏【江氏永曰轮之底与太阳合也】自是又渐逺太阳【江氏永曰在太阳西】晨见东方退行退行渐迟迟极而顺为留顺初【江氏永曰亦以渐向上而迟退度与轮心行相减适尽而留留际即为顺初】顺行渐疾【江氏永曰亦以轮上半轮行而星亦行之故】复近太阳以至合伏为晨不见其伏见限度金星为五度【江氏永曰星体大故】水星为十度其求定限度之法与土木火三星同【江氏永曰亦先求距日黄道度次求定限度】视星与太阳相距度近定限度如在合伏前某日即为某日晨不见合伏后某日即为某日夕见合退伏前某日即为某日夕不见合退伏后某日即为某夕晨见求合伏时刻 视星实行将及太阳实行为合伏本日已过太阳实行为合伏次日【江氏永曰土木火太阳追星金水星追太阳故相反】求时刻之法与月离求朔望时刻之法同
求合退伏时刻 星退行视太阳实行将及星实行为合退伏本日已过星实行为合退伏次日求时刻之法与土木火三星求退冲时刻之法同
求交宫时刻【与月离同】
求同度时刻【详土木火三星】
求黄道宿度【与日躔同】
蕙田案以上推金水二星法
推陵犯法
求陵犯入限 太隂陵犯恒星以本日太隂经度与次日太隂经度查本年陵犯恒星经纬度表【江氏永曰星近黄道内外太隂可相及者也】某星在此限内为陵犯入限复查太隂在入限各星之上下【视两纬同在黄道北者纬多为在上纬少为在下同在黄道南者纬少为在上纬多为在下一南一北者纬北为在上纬南为在下 江氏永曰皆以在星北为上在星南为下】太隂在上者两纬相距二度以内取用太隂在下者一度以内取用【江氏永曰太隂恒有视差降下故在北取二度在南取一度犹日食隂厯限寛阳厯限窄之理也】相距十七分以内为陵【江氏永曰太隂半径大者可十七分陵者相及而未掩也】十八分以外为犯【江氏永曰过一度则不为犯】纬同为掩 太隂陵犯五星以本日太隂经度在星前次日在星后为入限余与前同 五星陵犯恒星以两纬相距一度以内取用相距三分以内为陵【江氏永曰五星大者约三分】四分以外为犯余与前同 五星日相陵犯以行速者为陵犯之星行迟者为受陵犯之星如迟速相同而有顺逆者以顺行者为陵犯之星逆行者为受陵犯之星皆以此星经度本日在彼星前次日在彼星后为入限余同前
求日行度 太隂陵犯恒星即以太隂一日之行度为日行度【以本日经度与次日经度相减即得星仿此】太隂陵犯五星以太隂一日之行度相加减【星顺行则减逆行则加】得日行度 五星陵犯恒星以本星一日之行为日行度 五星自相陵犯以两星一日之行相加减【两星同行则减一顺一逆则加】得日行度求陵犯时刻 以日行度【有度者化分】为一率日法为二率相距度为三率求得四率为分如法收之为时刻【江氏永曰画陵犯当不论】
求视差 以日法为一率太阳一日之行为二率陵犯时刻化分为三率求得四率与本日太阳实行相加为本时太阳黄道度依日食求视差法求得东西差及南北差【江氏永曰以太阳黄道经度依月离篇求得赤道经度乃以陵犯时为用时如日食篇求用时春秋分距午赤道度以下十七条求得东西差乃以本天半径为一率用时白道高弧交角之正?为二率用时高下差之正?为三率求得四率为正?得用时南北差推陵犯不以如日食之宻不求近时定时可也】求视纬 置太隂实纬以南北差加减之【加减之法与日食同】得视纬
求太隂距星 以太隂视纬与星纬相加减【南北相同则减一南一北则加】得太隂距星取相距一度以内者用
求陵犯视时 以太隂实行化秒为一率【以太隂日行度二十四除之即得 江氏永曰一日分为二十四时故日行度亦以二十四除】一时化秒为二率东西差化秒为三率求得四率为秒收为分以加减陵犯时刻【太隂距限西则加东则减】得陵犯视时【江氏永曰太隂视差皆由地心地面不同与日食同理五星亦有防差可不论】
蕙田案以上推陵犯法
京师及各省北极高度
京师北极高三十九度五十五分【江氏永曰观象台之极高也】畅春园北极高三十九度五十九分三十秒
盛京四十一度五十一分
山西三十七度五十三分三十秒
朝鲜三十七度三十九分十五秒
山东三十六度四十五分二十四秒
河南三十四度五十二分二十六秒
陜西三十四度十六分
江南三十二度四分
四川三十度四十一分
湖广三十度三十四分四十八秒
浙江三十度十八分二十秒
江西二十八度三十七分十二秒
贵州二十六度三十分二十秒
福建二十六度二分二十四秒
广西二十五度十三分七秒
云南二十五度六分
广东二十三度十分
【江氏永曰极高度皆以测影测星定各以本方极高度之正切 京师八二六六二 盛京八九五六七山西七七八二四朝鲜七七一六一山东七四六九二河南六九六九三陜西六八一三江南六二六四九四川五九三三六湖广五九○九三浙江五八四四八江西五四五六七贵州四九八七福建四八八五九广西四七○九六云南四六八四三广东四三七九一与黄赤大距度正切四三四六四相乘半径千万除之为赤道度之正?得二至日出入卯酉前后赤道度以一度变时之四分加减卯酉正初刻得日出入时刻分】
各省东西偏度【凡偏东一度节气迟时之四分偏西一度节气早时之四分】
盛京偏东七度十五分【江氏永曰迟一刻十四分】
浙江偏东三度四十一分二十四秒【江氏永曰迟一刻】福建偏东二度五十九分【江氏永曰迟十二分】
江南偏东二度十八分【江氏永曰迟九分】
山东偏东二度十五分【江氏永曰迟九分】
江西偏西三十七分【江氏永曰早二分】
河南偏西一度五十六分【江氏永曰早八分】
湖广偏西二度十七分【江氏永曰早九分】
广东偏西三度三十三分十五秒【江氏永曰早十四分】
山西偏西三度五十七分四十二秒【江氏永曰早一刻一分】广西偏西六度十四分四十秒【江氏永曰早一刻十分】
陜西偏西七度三十三分四十秒【江氏永曰早二刻】
贵州偏西九度五十二分四十秒【江氏永曰早二刻九分半】四川偏西十二度十六分【江氏永曰早三刻四分】
云南偏西十三度三十七分【江氏永曰早三刻九分】
朝鲜偏东十度三十分【江氏永曰迟二刻十二分】
【江氏永曰偏东西度盖屡测月食时刻定之节气近子半东西可差一日则朔望?亦然而月大小惟据顺天府时刻定者尊 京师也各省交食时刻则以东西偏度定 地球周九万里一度二百五十里此南北纬度里数也若东西经度惟南海外当赤道之下者里数如之中国当赤道之北则里数渐少愈近北则愈少如圆球上作距等圈近腰者大近顶者小至顶则成一防矣各省相距东西相望或正或斜欲求其里数皆可以弧三角法算之法用各省北极高度减象限其余为距地北极度如求 京师与 盛京相去之里数 京师距地北极五十度五分为一边 盛京距地北极四十八度九分为一边偏度七度一十五分为所夹之角两边相并九十八度一十四分为总弧余?一四三二两边相减一度五十六分为存弧余?九九九四二并之一○一三七四折半五○六八七与角之矢八○○相乘为实半径十万为法除之四○五为对弧存弧两矢较以较加存弧矢五八为四六三即所求对弧矢以矢减半径为余?九九五三七查表五度三十一分以五度三十一分化里得一千三百八十里为 盛京距 京师斜望之实里数考之驿程一千四百四十五里盖人迹纡曲多六十五里也他省算经度里数仿此】
蕙田案以上北极高度及东西偏度
右推步法下
附戴氏震勾股割圆记【吴氏思孝解】
蕙田案史记黄帝迎日推防世本黄帝之臣首作算数防谓日月躔离之可推者是也数谓自一至九因而九之以尽乘除之用是也二者相资以成能考之周官经九数之计于六蓺居其一而保氏掌之以教国子司徒掌之以教万民数之用句股为尤大故周髀算经记周公访问于商高于是得勾广三股修四径隅五之率其书中指要则曰数之法出于圜方圜出于方方出于矩矩出于九九八十一又曰方数为典以方出圜又曰智出于句句出于矩此数言者古今推步家莫能出其范围盖步算之大端有二曰象曰形象者日月星经纬之行昭昭可覩也形者方圜句股所以测此象也古人有句股术有弧矢术今为平三角弧三角平三角即句股之异名弧三角即弧矢之异名句股弧矢方圜之义备矣习其术不得其理则繁碎而近于蓺戴氏句股割圜记三篇上篇古之句股法今之平三角也中篇古之弧矢法今之正弧三角也下篇亦古弧矢法今之斜弧三角也其于平三角正?比例以同度六句股明之于斜弧三角之两边侠一角及三边求角用两矢较不用余?皆前此所未?又以为诸术之巧一同度句股相权之外更无余术总以周髀首章之言衍而极之称名立法一用古义以补九章之亡蓺也进乎道矣因取以附推步之后而步算之大全举焉
句股割圜记上割圜之法中其圜而觚分之截圜周为弧背縆弧背之两端曰??截圜径得矢?矢之内成相等之句股二半弧?为句减矢于圜半径余为股縆句股之两端曰径隅亦谓之?句股之?得圜半径也
句股?三矩【凡有分数刻识者皆谓之矩】方之【各自椉得方幂】合句与股二方适如?之大方
句股第一术
句与股求其?句自椉股自椉并之为?实开方得?
句股第二术
句与?求其股句自椉?自椉相减余为股实开方得股
句股第三术
股与?求其句股自椉?自椉相减余为句实开方得句【与第二术同】
减矢于圜径余为股?和矢恒为股?较和较相椉为句之方
句股第四术
股与?求其句用和较率股?相加为和相减为较以较椉和为句实开方得句【句与?求其股用和较率术同】
句股第五术
句与股?较求其股或求其?句自椉股?较除之得股?和和较相减余为倍股半之得股若相加则为倍?半之得?【股与句?较求句?术同】
句股第六术
句与股?和求其?或求其股句自椉股?和除之得股?较以加股?和半之得?以减股?和半之得股【股与句?和求句?术同凡句与股之名可互易故不两列】
句股第七术
截圜径得矢求弧背之?用第四术命矢为小矢于圜径减小矢余为大矢以小矢大矢相椉四之开方得弧背之?若不四其实则得半弧?【凡方面倍其积必四倍】或不用和较率则矢与圜半径相减余为股圜半径为?用第三术得句倍句为弧背之?
句股第八术
弧背之?与矢求其圜径用第五术?折半自椉矢除之【若?自弃则四其矢除之】加矢为圜径
减句于圜半径余为次弧背之矢倍股为次弧?减次弧背之矢于圜径余为句?和其矢为句?较和较相椉为股之方
句股第九术
圜径平截之得弧背之?求其矢?折半与圜半径相减得次弧背之矢【即句?较若相加则得句?和】用第七术得次半弧背之?于圜半径减次半弧背之?得矢或不用和较率则弧背之?半之为句圜半径为?用第二术得股股即次半弧背之?也
引径隅于弧背外成句股?弧背外之句谓之矩分?谓之径引数股得圜半径也次弧背外之股谓之次矩分?谓之次引数句得圜半径也
方圜相函之体用圜一帀而函句股和较之率四分圜周之一如之方四帀而函圜之周凡四觚如之句股三帀而函圜之半周凡三觚如之
<经部,礼类,通礼之属,五礼通考,卷一百九十七
句股第十术
凡凖望折而成方者皆为句股形其方折倨句中矩【吴曰今亦名直角又名正方角】适四分圜周之一余两觚测知一觚弧度以减四分圜周之一余为所未测一觚之度若三觚形不折而成方其觚或倨【吴曰今名钝角】或句【吴曰今名锐角】于圜半周减一觚弧度余为两觚之和减两觚则余一觚
圜周之外内所成句股?皆方数也随径隅所指割圜周成弧背皆圜度也度同则外内相权句股?三矩通一为道外内相权句股?三矩通一为道斯可以小大互求矣
小句 小股 小? 【表一】
大句 大股 大? 【表二】句股第十一术
以原有之两矩定其率今有之一矩与之相权异椉同除【如前表隔表相权异名椉同名除凡用表仿此】得所求之一矩凡推步
<经部,礼类,通礼之属,五礼通考,卷一百九十七>大句小句除之得大股也若重测于表长减人目高以椉两表闲【前后表相去之数】古人谓之表闲积人目前后去表两数相减为较除之加表得所测之高此小股椉两大句之较两小句之较除之得大股也若以人目去前表之数或去后表之数椉表闲人目前后去表两数较除之得前表或后表距所测处之逺此任以一小句椉两大句之较两小句之较除之各得其一大句也凡表为小股人目去前后表各为一小句其较为两小句之较所测高为大股前后表距所测处各为一大句两表闲为两大句之较其前后各成同度之大小句股故能以小知大迭更互求无所不通高深广逺一理皆句股比例之一端附论之
圜之半容句股则圜径为句股之?句与股复为?而析之成同度之句股三
吴曰第七第八第九三术之理以所成之句股同度故可互求圜内函同度三句股即以为句股?和较之率又即句实股实倂之适与?实相等之故盖第一术至第九术一理相贯也
四分圜周之一随径隅所指成同度之句股三
句 股 ?
内矩分 次内矩分 径隅 【表一】
矩分 圜半径 径引数 【表二】圜半径 次矩分 次引数 【表三】
用表互求如前第十一术
凡同度相权之法句股之大恒也句股应矩之方变而三觚不应矩之方以句股御之截为句股六而同度者各二三三交错是以展转互权三觚句于句股【吴曰今之三锐角】内弧【吴曰凡锐角用本角弧度】三觚一倨于句股【吴曰今之一钝角二鋭角】外弧【吴曰惟钝角用外角弧度】
凡三觚三距对所知之距其觚曰正觚弧度曰正弧余两觚或右或左正弧内矩分为句对正觚之矩为之?右弧内矩分为句对右觚之距为之?若左弧内矩分为句则对左觚之距为之?以句求?其先知两觚者也【知两觚一距】以求句其先知两距者也【知一觚两距】
<经部,礼类,通礼之属,五礼通考,卷一百九十七
句【矩与形通一为道】 句【此形之实数】 ?
正弧内矩分 截右觚之距 对正觚之距 【表一】右弧内矩分 截正觚之距 对右觚之距 【表二】
句 句 ?
正弧内矩分 截左觚之距 对正觚之距 【表一】左弧内矩分截正觚之距 对左觚之距 【表二】
句 句 ?
右弧内矩分 截左觚之距 对右觚之距 【表一】左弧内矩分 截右觚之距 对左觚之距 【表二】句股第十二术【吴曰今名两角夹一边求余角余边所知之两角不夹所知之一边术同】凡三距成三觚之形自右至左两测所得弧度及两测相距之数求余两距于圜半周减两测弧度余为对所知一距之觚弧度是为正觚正弧两测为对所求两距之觚弧度以所知之距椉对所求一距之觚弧度内矩分正弧内矩分除之得所求之距凡倨于句股之一觚其弧过四分圜周之一用外弧内矩分互求之术并同
句股第十三术【吴曰今名两边一角角有所对之边求余角余边】
知两距及一觚弧度所知之一距与所知之觚相对其觚为正觚弧度为正弧其距为对正觚之距余一距与所求之觚相对以正弧内矩分椉余一距【所知两距之一】对正觚之距除之得所求之觚弧度内矩分既知两觚两距则如前第十二术可推其余
若先知两距一觚而无正觚则所知之觚曰本觚弧度曰本弧以弧矢术御之于圜半周减本弧余为两弧之和割圜成弧背弧背之?与两弧内矩分成同度之句股二两弧内矩分为句弧背之?为其两?之和半之得半弧背内矩分为半和?句与?通一为道半弧背之外内矩分通一为道半弧背也者所求两觚之半和度也所知之两距实对所求两觚之距故两距之和较与半和度半较度之矩分通一为道
句股第十四术【吴曰今名两边夹一角求余角余边用梅勿庵切线分外角法】知两距及一觚弧度不知其觚所对之距及两距所对之觚于圜半周减所知一觚弧度余为所求两觚弧度之和【吴曰亦名外角】半之为半和度以所知两距相减之较椉半和度矩分所知两距相并之和除之得半较度矩分以半较度半和度相减得对所知小距之觚弧度若相加则得对所知大距之觚弧度既知三觚两距则如前第十二术可推其一
凡矩分随数之和较得以相权凡内矩分不随和较全半相权也
吴曰三角形任以两边为?余一边或为两句之和【锐角形之边或对钝角之边】或为两句之较【钝角旁之边】截之成句股二两?之和较相椉得长方幂同于两句之和较相椉所得长方幂也以两句之和除之得两句之较若较除之则得和以是为三边求角之率分三角形为两句股然后用句股求角法以八线表之半径全数【或十万或千万】与句相椉?除之得句?所交之角余?此术为平三角法边角互求之一记中所不载者
又术凡三角之容圜半径截三边为六而相等者各二成角旁相等之边以为股皆以容圜之半径为之句三边相并半之为半和三边各与半和相减而得三较角所对边之较即边所对角两旁相等之边也先知三边求其角以三较连椉【连椉者两较相椉得数余一较又椉之】半和除之开方得容圜半径以八线表半径全数与容圜半径相椉角所对边之较除之得半角之正切倍之得角若三较连椉又椉以半和则开方得三角形积半和除之得容圜半径三角形积者容圜半径与半和相椉之幂也此求角求积及容圜三术交通皆不论角之锐钝颇为便用附存之
句股割圜记中浑圜中其圜而规之二规之交循圜半周而得再交
如赤道为一规黄道为一规赤道即周髀之中衡黄道自南而北交于春分自北而南交于秋分二分相距半天周
距交四分圜周之一规之翕辟之节也
如分至相距四分天周之一更为一规过二至二极为玉衡之中维【吴曰今名二极二至交圈】赤道距北极黄道距北极璿玑【吴曰今名黄道极】皆四分天周之一北极璿玑距正北极与黄道距赤道相等
<经部,礼类,通礼之属,五礼通考,卷一百九十七
縁是以为经谓之经度横截经度之外谓之纬度太傅礼东西为纬南北为经故古法皆以黄赤道之度为纬度二道二极相距之度为经度【吴曰今欧逻巴反之】纬度之宗赤道是也经度之宗玉衡中维是也黄赤道二至相距之度授时术草谓之二至内外半弧背【夏至为内冬至为外吴曰今名黄赤大距】赤道离二至之度授时术草谓之赤道半弧背【吴曰今从二分起数则为赤道余弧】
经之内规之谓之经弧纬之内截其规谓之纬弧经弧如各度黄赤道相距之数授时术草谓之黄赤道内外半弧背【春分后为内秋分后为外吴曰今名黄赤距纬】纬弧如日躔黄道离二至之数授时术草谓之黄道半弧背【吴曰今为黄道余弧】
经纬之度界其外经纬之弧截其内是为半弧背者四以句股御之半弧背之外内矩分平行相应得同度之句股各四古弧矢术之方直仪也
仪不具次矩分之句股?面各一【圜半径为句次矩分为股次引数为?与本弧外内矩分之句股?三三相应详上篇第十二图方直仪所不必具而可知者】加一于四而五是故参其体两其用用也者旁行而观之也旁行以用于经度则经弧矩分为句纬度次内矩分为之股经弧内矩分为句纬弧次内矩分为之?
句 股 ? 【互求率一】经度【矩分】 圜半径 经度【径引 表数 一】经度【内矩分】 经度【次内矩分】 径隅 【表二】圜半径 经度【次矩分】 经度【次引 表数 三】
经弧【矩分】 纬度【次内矩分】 虚 【表四】
经弧【内矩分】 虚 纬弧【次内 表矩分 五】表一表二表三皆经度本有之句股?所谓参其体也表四表五平行相应之句股?所谓两其用也体与用可以按表互求
旁行用于纬度则纬弧矩分为句经度次内矩分为之股纬弧内矩分为句经弧次内矩分为之?
句 股 ? 【互求率二】纬度【矩分】 圜半径 纬度【径引 表数 一】
纬度【内矩分】 纬度【次内矩分】 径隅 【表二】圜半径 纬度【次矩分】 纬度【次引 表数 三】
纬弧【矩分】 经度【次内矩分】 虚 【表四】
纬弧【内矩分】 虚 经弧【次内 表矩分 五】旁行用于经弧则经度矩分为句纬度径引数为之股经度内矩分为句纬弧径引数为之?
句 股 ? 【互求率三】经弧【矩分】 圜半径 经弧【径引 表数 一】
经弧【内矩分】 经弧【次内矩分】 径隅 【表二】圜半径 经弧【次矩分】 经弧【次引 表数 三】
经度【矩分】 纬度【径引数】 虚 【表四】
经度【内矩分】 虚 纬弧【径引 表数 五】旁行用于纬弧则纬度矩分为句经度径引数为之股纬度内矩分为句经弧径引数为之?
句 股 ? 【互求率四】纬弧【矩分】 圜半径 纬弧【径引 表数 一】纬弧【内矩分】 纬弧【次内矩分】 径隅 【表二】圜半径 纬弧【次矩分】 纬弧【次引 表数 三】
纬度【矩分】 经度【径引数】 虚 【表四】
纬度【内矩分】 虚 经弧【径引 表数 五】仪之立也为方四成旁行而得同度之句股四经度矩分为句则纬度矩分为之股经度内矩分为句则纬弧矩分为之股经弧矩分为句则纬度内矩分为之股经弧内矩分为句则纬弧内矩分为之股
句 股 ? 【互求率五】
经度【矩分】 纬度【矩分】 虚 【表一】
经度【内矩分】 纬弧【矩分】 虚 【表二】
经弧【矩分】 纬度【内矩分】 虚 【表三】
经弧【内矩分】 纬弧【内矩分】 虚 【表四】凡句股二十有四为互求之率五遵古已降推步起日至斯其本法也
句股第十五术
有经度【吴曰如黄赤大距亦名黄赤交角】有纬弧【吴曰如黄道离二至度若起二分则为黄道余弧】求经弧【吴曰如黄赤距纬】以经度内矩分椉纬弧次内矩分径隅除之得经弧内矩分【于前表中择其用径隅半径省除者余并不其列】
授时术草云置黄赤道小?【纬弧次内矩分旁行用于经度故名黄赤道小?】以二至内外半弧?【即经度内矩分】椉之为实黄赤大?【即经度径隅】为法除之得黄赤道内外半弧?【即经弧内矩分】句股第十六术
有经度有纬弧求纬度【吴曰如起一至赤道离度若起二分则为赤道余弧】以纬弧矩分椉经度径引数圜半径除之得纬度矩分句股第十七术
有经度有经弧求纬弧以经度次引数椉经弧内矩分圜半径除之得纬弧次内矩分
句股第十八术
有经度有经弧求纬度以经度次矩分椉经弧矩分圜半径除之得纬度次内矩分
句股第十九术
有纬度有经弧求纬弧以纬度内矩分椉经弧次内矩分径隅除之得纬弧内矩分
句股第二十术
有纬度有经弧求经度以经弧矩分椉纬度径引数圜半径除之得经度矩分
句股第二十一术
有经度有纬度求纬弧以纬度矩分椉经度次内矩分圜半径除之得纬弧矩分
句股第二十二术
有经度有纬度求经弧以经度矩分椉纬度次内矩分圜半径除之得经弧矩分
句股第二十三术
有纬度有纬弧求经弧以纬度次引数椉纬弧内矩分圜半径除之得经弧次内矩分
句股第二十四术
有纬度有纬弧求经度以纬度次矩分椉纬弧矩分圜半径除之得经度次内矩分
句股第二十五术
有经弧有纬弧求纬度以纬弧内矩分椉经弧径引数径隅除之得纬度内矩分
或以纬弧内矩分与径隅相椉经弧次内矩分除之得纬度内矩分【列此以明古法】授时术草云置黄道半弧?【即纬弧内矩分】以周天半径【即纬度径隅】椉之为实赤道小?【经弧次内矩分旁行用于纬度故名赤道小?】为法除之得赤道半弧?【即纬度内矩分】
句股第二十六术
有经弧有纬弧求经度以经弧内矩分椉纬弧径引数径隅除之得经度内矩分
吴曰就黄赤道言之古推步起二至或先知二至黄赤距及黄道【有经度有纬弧】或先知二至黄赤距及各度黄赤距【有经度有经弧】或先知赤道及各度黄赤距【有纬度有经弧】或先知二至黄赤距及赤道【有经度有纬度】或先知赤道黄道【有纬度有纬弧】或先知各度黄赤距及黄道【有经弧有纬弧】皆以其二得其四古谓之二至黄赤距者今之大距古谓之各度黄赤距者今之距纬
引而伸之以经度为节者其二规皆纬也自交已至经弧谓之次纬仪以纬度为节者其二规皆经也自交已至纬弧谓之次经仪仪各为半弧背者三成圜度之句股?【吴曰今之正弧三角】于是命半弧背之外内矩分曰方数句股?圜度句股?也者古弧矢术也必以方数句股?御之方数为典以方出圜立术之通义也次纬仪经弧为其句度纬度之次半弧背为其股度纬弧之次半弧背为其?度
圜度句股?其外内矩分平行相应得同度之方数句股?各三
仪不具次矩分之句股?面各一加一于三而四旁行观之股度径引数为股则?度径引数为之?以用于句度
句 股 ? 【互求率一】句度【矩分】 圜半径 句度【径引 表数 一】
句度【内矩分】 句度【次内矩分】 径隅 【表二】圜半径 句度【次矩分】 句度【次引 表数 三】
虚 股度【径引数】 ?度【径引 表数 四】句度次内矩分为?则?度次内矩分为之股以用于股度
句 股 ? 【互求率二】股度【矩分】 圜半径 股度【径引 表数 一】
股度【内矩分】 股度【次内矩分】 径隅 【表二】圜半径 股度【次矩分】 股度【次引 表数 三】
虚 ?度【次内矩分】 句度【次内 表矩分 四】股度次内矩分为股则句度径引数为之以用于?度
句 股 ? 【互求率三】?度【矩分】 圜半径 度【径引 表数 一】?度【内矩分】 ?度【次内矩分】 径隅 【表二】圜半径 ?度【次矩分】 ?度【次引 表数 三】
虚 股度【次内矩分】 句度【径引 表数 四】仪之立也旁行而得同度之方数句股?三为三成股度矩分为股则?度矩分为之?句度矩分为句则股度内矩分为之股?度内矩分为?则句度内矩分为之句取节于方直仪之经度以为其度【合方直仪次纬仪成斜剖之立方形两端必成同度句股形】
吴曰此一条备正弧三角之理与法就此七十有八字神而明之可以尽推步之能事矣
句 股 ? 【互求率四】经度【矩分】 圜半径 经度【径引 表数 一】经度【内矩分】 经度【次内矩分】 径隅 【表二】圜半径 经度【次矩分】 经度【次引 表数 三】
虚 股度【矩分】 ?度【矩 表分 四】
句度【矩分】 股度【内矩分】 虚 【表五】
句度【内矩分】 虚 ?度【内矩 表分 六】凡句股十有八为互求之率四次经仪亦如之次纬仪翕辟之节经度也是故有经度互求之率次经仪翕辟之节纬度也有纬度互求之率
方直仪次纬仪梗槩之法略有余诸仪之圜度与外内方数句股?但存方直仪次纬仪之弧度本称而理自见其制并仿是二者为之不别具图表检五仪通率及十仪通率则各得其用矣
距经纬之弧四分圜周之一规之谓之外规
如交于北极璿玑为一规
为总仪凡构缀之规法五皆四分之以为其限而交加前郤之
分仪半弧背四合而为仪者五曰方直仪曰右方仪曰右次方仪曰左方仪曰左次方仪
右方仪经弧次半弧背为其经度外规度为其纬度纬弧为其经弧纬度次半弧背为其纬弧
右次方仪纬弧次半弧背为其经度经度为其纬度纬度次半弧背为其经弧外视次半弧背为其纬弧左方仪外规度为其经度纬弧次半弧背为其纬度经度次半弧背为其经弧经弧为其纬弧
左次方仪纬度为其经度经弧次半弧背为其纬度外规次半弧背为其经弧经度次半弧背为其纬弧左平面 右平面 右欹面 左欹面 五仪通率经度 纬度 经弧 纬弧 【方直仪】经弧【次半弧背】外规度 纬弧 纬度【次半 右方弧背 仪】纬弧【次半弧背】经度 纬度【次半弧背】外规【次半 右次弧背 方仪】外规度 纬弧【次半弧背】经度【次半弧背】经弧 【左方仪】纬度 经弧【次半弧背】外规【次半弧背】经度【次半 左次弧背 方仪】半弧背三合而为仪者十曰次纬仪曰次经仪曰两纬仪曰两经仪曰次经纬度仪仪之句度股度互易则外内矩分各旋而易故五名而其仪十
次纬仪为方直仪之右仪旋而为右方仪之左仪则易句度为股度股度为句度有外规度互求之率次经仪为方直仪之左仪度次半弧背为其句度【即纬弧主次纬仪为之通率】经度次半弧背为其股度句度次半弧背为其?度【即经弧次半弧背】有股度次半弧背互求之率【即纬度】
旋而为左方仪之右仪则经度次半弧背为其句度?度次半弧背为其股度句度次半弧背为其?度有外规度互求之率
两纬仪为右方仪之右仪?度次半弧背为其句度外规次半弧背为其股度股度次半弧背为其?度有句度次半弧背互求之率
旋而为右次方仪之左仪则外规次半弧背为其句度?度次半弧背为其股度股度次半弧背为其?度有经度互求之率
两经仪为左方仪之左仪句度为其句度外规次半弧背为其股度经度为其?度有度互求之率旋而为左次方仪之右仪则外规次半弧背为其句度句度为其股度经度为其?度有股度次半弧背互求之率
次经纬度仪为右次方仪之右仪股度为其句度经度次半弧背为其股度外规度为其?度有?度互求之率
旋而为左次方仪之左仪则经度次半弧背为其句度股度为其股度外规度为其?度有句度次半弧背互求之率
【股度?度二规翕辟之节】 句 股 ? 十仪通率经度 句度 股度 ?度 【次纬仪】外规度 股度 句度 ?度 【次纬仪之旋】股度【次半弧背】?度【次半弧背】经度【次半弧背】句度【次半 次经弧背 仪】外规度 经度【次半弧背】?度【次半弧背】句度【次半 次经仪弧背 之旋】句度【次半弧背】?度【次半弧背】外规【次半弧背】股度【次半 两纬弧背 仪】经度 外规【次半弧背】?度【次半弧背】股度【次半 两纬仪弧背 之旋】?度 句度 外规【次半弧背】经度 【两经仪】股度【次半弧背】外规【次半弧背】句度 经度 【两经仪之旋】?度 股度 经度【次半弧背】外规度 【次经纬度仪】句度【次半弧背】经度【次半弧背】股度 外规度 【次经纬度仪之旋】吴曰今之正弧三角法有三角三弧凡六事借黄赤道名之曰黄道弧者次纬仪之?度也曰赤道弧者股度也曰黄赤距弧者【亦名距纬弧】句度也有直角其度适一象限是为句度股度交处有黄赤交角其度即黄赤大距方直仪之经度也是为?度股度交处有黄道交极圈角右方仪左方仪之外规度为其度是为句度?度交处方直仪之经弧即黄赤距弧纬度为赤道余弧纬弧为黄道余弧斯记设诸仪于浑圜循环一徧极正弧三角法所未备亦补梅勿庵堑堵测量所未备虽不必尽用于正弧三角法之用八线比例无或遗矣
<经部,礼类,通礼之属,五礼通考,卷一百九十七
凡为仪十有五是谓一终得方数之句股?三百弧矢术之正整之就叙矣
句股第二十七术【第十九术通用】
有句度有股度求?度以句度径引数椉股度径引数圜半径除之得?度径引数
句股第二十八术【第二十五术通用】
有句度有?度求股度以?度次内矩分椉句度径引数径隅除之得股度次内矩分
句股第二十九术【第二十三术通用】
有股度有?度求句度以股度径引数椉?度次内矩分圜半径除之得句度次内矩分【句度股度之名可互易则与前术同】
已上三距互求者三【吴曰如黄道离二分度赤道同升度黄赤距度三者互求用次纬仪】
句股第三十术【第十七术通用】
有经度有句度求?度以经度次引数椉句度内矩分圜半径除之得?度内矩分
句股第三十一术【第十八术通用】
有经度有句度求股度以经度次矩分椉句度矩分圜半径除之得股度内矩分
句股第三十二术【第二十一术通用】
有经度有股度求?度以经度径引数椉股度矩分圜半径除之得?度矩分
句股第三十三术【第二十二术通用】
有经度有股度求句度以经度矩分椉股度内矩分圜半径除之得句度矩分
句股第三十四术【第十五术通用】
有经度有?度求句度以经度内矩分椉?度内矩分径隅除之得句度内矩分
句股第三十五术【第十六术通用】
有经度有?度求股度以经度次内矩分椉?度矩分径隅除之得股度矩分
已上一觚一距求其余距者六经度恒为所知之一觚规度【吴曰如经度为黄赤交角度则黄赤距为句赤道为股黄道为?经度当黄道交极圈角度则赤道为句黄赤距为股黄道为?皆用次纬仪已备】
句股第三十六术【第二十术通用】
有句度有股度求经度以圜半径椉句度矩分股度内矩分除之得经度矩分或用两经仪之旋【吴曰今之又次形法】为股度经度?度【同第三十二术】以股度次引数椉句度矩分圜半径除之得经度矩分
句股第三十七术【第二十六术通用】
有句度有?度求经度以径隅椉句度内矩分?度内矩分除之得经度内矩分或用两经仪为句度经度?度【同第三十术】以?度次引数椉句度内矩分圜半径除之得经度内矩分
句股第三十八术【第二十四术通用】
有股度有?度求经度以圜半径椉?度矩分股度矩分除之得经度径引数或用次经纬度仪为句度经度股度【同第三十一术】以?度次矩分椉股度矩分圜半径除之得经度次内矩分
已上两距求一觚者三经度恒为所求之一觚规度【吴曰如求黄赤交角则黄赤距为句赤道为股黄道为?求黄道交极圈角则赤道为句黄赤距为股黄道为?】凡一觚一距与余距互求其术九余一觚如之句股第三十九术
有经度有句度求外规度用次经纬度仪之旋为句度经度?度【同第三十术】以句度径引数椉经度次内距分圜半径除之得外规度内矩分
句股第四十术
有经度有股度求外规度用两纬仪之旋为经度?度句度【同第三十四术】以经度内矩分椉股度次内矩分径隅除之得外规度次内矩分
句股第四十一术
有经度有?度求外规度用次经纬度仪为股度经度?度【同第三十二术】以?度径引数椉经度次矩分圜半径除之得外规度矩分
已上一觚一距求一觚者三经度恒为所知之觚规度外规度恒为所求之觚规度【吴曰如求黄道交极圈角以经度为黄赤交角度黄赤距为句赤道为股黄道为?或黄道交极圈角求黄赤交角则经度又当黄道交极圈角外规度当黄赤交角易赤道为句黄赤距为股而?不改】
句股第四十二术
有经度有外规度求?度用两纬仪之旋为经度句度股度【同第三十一术】以经度次矩分椉外规度次矩分圜半径除之得?度次内矩分
句股第四十三术
有经度有外规度求句度用次经仪之旋为句度经度?度【同第三十术】以外规度次引数椉经度次内矩分圜半径除之得句度次内矩分
句股第四十四术
有经度有外规度求股度用两纬仪之旋为经度句度度【同第三十术】以经度次引数椉外规度次内矩分圜半径除之得股度次内矩分【若所求之一距不论句度股度恒以句度当之经度恒为对所求一距之觚规度则与前术同】
已上两觚求一距者三【吴曰如黄赤交角及黄道交极圈角求黄道赤道黄赤距】凡两觚与距互求其术六择诸仪省便于算者用之不可胜用也术中无烦具列
吴曰就黄赤道起二分言之黄道赤道黄赤距为正弧三角之三边其三角一直角为赤道交极圈角两锐角为黄赤交角黄道交极圈角置直角不须求三边互求者三黄赤交角与三边互求者九黄道交极圈角与三边互求者亦九【理同黄赤交角与三边互求】合两角与边互求者又得九【黄赤交角与三边求黄道交极圈角者三黄道交极圈角与三边求黄赤交角者亦三同属一理】共三十事斯记约其术十有八句股割圜记下三觚非弧矢术之正以句股弧矢御之浑圜之规度正视之中绳侧视之随其高下而羡惟平视之中规胥以平写之循规度之端竟半周得圜径衡截圜径齐规度之未抵外周得规度所为半弧?弧与易正侧之势以为平于是命外周之度为其规度
凡矢属于规度之端?属于规度之末一从一衡相遇也用矢用内矩分凖是率率之
过四分圜周之一用大矢过半周如之适四分圜周之一矢与半弧?皆适圜半径用半径为矢为内矩分适四分圜周之三如之适圜半周大矢宜甚大满圜径用圜径为矢过四分圜周之三犹徃而复仍用小矢
凡过四分圜周之一以减半周而得余弧过半周以
半周减之而得?弧减余弧?弧之矢于圜径得大矢惟过四分圜周之三以减圜周用其余弧之矢
<经部,礼类,通礼之属,五礼通考,卷一百九十七
四分圜周之一古推步法谓之一象【周天分四象】是为规度之大限率之变也减两距于圜半周用其余弧为两距减对两距之觚于圜半周用其外弧为两觚内矩分共用之半弧?也余一距及其对觚共用之觚与距也
若三觚各以为浑圜之一极距觚四分圜周之一规
之三规之交成三觚三距则觚同其距之规度距同其觚之规度
前术大小倨句之体更也后术觚与距之体更也吴曰今之斜弧三角法有锐角有钝角或三角俱锐或两锐一钝或两钝一锐或三角俱钝其三边或俱不满一象或一边过之或两边过一象或三边俱过约其大致有相对之边角及对所求之边角用边角互求法有相对之边角又有一边或一角非对所求之边角则用垂弧法截为两正弧三角若有两边一角求对角之边或有三边求角则用矢较法不能直用三法者如上前后二术易大边为小边易钝角为锐角及边易为角角易为边然后随其体势总不出三法之范围矣
句股相权之大恒觚之规度内矩分各与对距相应三距为浑圜之规度则觚之内距分与对距之内矩分相应相应而展转互权矣
所知之觚与所知之距为相对之觚与距其觚曰正觚其距曰对正觚之距所知之觚与所求之距为相对之觚与距其觚曰对所求一距之觚或所知之距与所求之觚相对其距曰对所求一觚之距
凡觚与距适四分围周之一者内矩分适圜半径句股第四十五术【吴曰此邉角互求法以对角求对边】
以对正觚之距内矩分椉对所求一距之觚内矩分正觚内矩分除之得所求之距内矩分
句股第四十六术【吴曰此亦边角互求法以对边求对角】
以正觚内矩分椉对所求一觚之距内矩分对正觚之距内矩分除之得所求之觚内矩分若所求为倨于句股之觚则所得为其外弧内矩分以外弧减圜半周得所求之觚
所求非对距对觚则截之成圜度句股?者二各视次纬仪之率通之
句股第四十七术【吴曰此垂弧法及作垂弧于次形法】
三觚皆句于句股自内截之分一觚及其对距为二成圜度之句股?者二三觚一倨于句股或自内截
之分倨于句股之一觚及其对距为二或自外截之而倨于句股之觚有外弧亦皆成圜度之句股?者二若两觚倨于句股或三觚并倨用前变率大小倨句之体更别成一三觚然后或截其内或截其外既得圜度之句股?随其体势无不与次纬仪相应按中篇诸术求之
凡内矩分为半弧?其弧背浑圜大规也半弧不满圜半径者以矢为枢以半弧?规之成浑圜之小规【吴曰今名距等圈其周径距大圈之周径平行相等】衡截正视侧视之规【移其度为平视】侧视之规亦截小规而与中围之大规相应截小规之径为大小矢则与中围大规之径为大小矢相应
三觚之用两距和较也所求之觚或所知之觚所知之两距旁之其觚谓之本觚旁于本觚之右距以平写之为平视之规则左距为侧视之规截左距之末成小规而识左距于平两距和度较度之矢较半之为矢半较以为句小规之半径为之?
以较度与对本觚之距两矢较为句左距侧视之规截小规之径成大小矢为之?
如是得同度之句股二而句与?通一为道凡觚之规度中围大规也大小规之半径及其矢并通一为道
句 ? 【本觚规度】
矢半较【和度较度】 小规半径 大规半径 【表一】失较【较度对距】 小规之矢 大规之矢 【表二】若左距适四分圜周之一则所成之规适为中围大规【小规之半径即左距所为半弧背之?凡半弧背适四分圜周之一者半弧?亦适圜半径】若左右距相等无较度则和度之矢半之为句小规之半径为之?对距之矢为句小规之大小矢为之?【若无较度而左距又适四分圜周之一和度必适园半周以圜径为之矢半之即半径不复成句股对距之矢即为本觚之矢亦不复成句股对距之度即本觚规度直不须求矣】
吴曰据八线表减余?于半径全数为正矢即小矢并余?半径为大矢梅勿庵环中黍尺卷五云角旁两弧度【即左距右距】相加为总【即两距之和度】相减为存【即两距之较度】视总弧过象限以总存两余?相加不过象限则相减并折半为初数若总弧过两象限与过象限法同【其余?仍相加】过三象限与在象限内同【其余?仍相减】若存弧亦过象限则反其加减【总弧过象限或过半周宜相加今反以相减若总弧过于三象限宜相减今反以相加】并以两余?同在一半径相减不然则加也如勿庵法用时宜审余?同在半径不同在半径盖过一象限过半周余?皆在外半径不过象限过三象限余?皆在内半径知此庶几加减不误又过一象限过半周皆与半周相减而用余弧剰弧之余?过三象限与圜周相减而用其余弧之余?知此庶几用余?不误二条当为勿庵补其例其书又云或总弧适足半周用半径为总弧余?若角旁两弧同数则无存弧用半径为存弧余?此勿庵迁就之法非算理也适足半周无余?戴君所谓大矢宜甚大满圜径耳不当设半径为余?又无存弧者无由有存弧之余?而空设半径以入加减二者不可以算理揆之因知两余?加减立法之根殆属假借斯记立新法改用两矢较半之与勿庵所得初数同不须强设且免详审加减之烦
以觚求距求对距之矢也以距求觚求本觚规度之大小矢也
句股第四十八术【吴曰此矢较法今名两边夹一角求对边及两角夹一边求对角】知一觚两距而距在觚之左右求对觚之距其觚曰本觚以左右两距相并为和度相减为较度和度较度之矢相减半之为矢半较【吴曰即所谓初数又名中数但彼用余?此用矢立法不同耳】椉本觚之矢圜半径除之得对距与较度之两矢较加较度矢即对距之矢凡无较度则用和度之矢半之椉本觚之矢所得即对距之矢若知两觚一距而觚在距之两端凖前易觚为距易距为觚则其术同
句股第四十九术【吴曰此亦矢较法今名三边求角及三角求边】
知三距求觚所求之觚曰本觚以旁两距相并为和度相减为较度对距之矢与较度之矢相减为两矢较与圜半径相椉和度较度之矢半较除之得本觚之矢凡无较度则圜半径椉对距之矢和度之矢半之除得本觚之矢若三觚求距凖前易觚为距易距为觚则亦三距求觚矣
凡矢或小矢或大矢例已见前
总三篇凡为图五十有五为术四十有九记二千四百一十四字因周髀首章之言衍而极之以备歩算之大全补六艺之逸简治经之士于博见洽闻或有涉乎此也
吴曰凖望简法首章云为矩以凖望凡百分大其器则分十之谓之小分矩积其分万小分百万以矩之百分为圜半径自一觚规之规度适四分圜周之一其觚设垂线截规度成半弧背者二弧背外方谓之矩分半弧?谓之内矩分垂线在弧内谓之径隅圜半径径隅一也抵弧外与矩分相应谓之径引数矩分过满百不与垂线值垂线所指知次弧背之矩分矩积为实次矩分为法实如法而一得过满百之矩分减半弧背于规度是为次半弧背半之以其矩分加于半弧背之矩分得径引数内矩分与弧外方数平行相应也规度全圜凡百应昼夜之数度六十分以十分为一小度应书夜之刻分分不容六千则参分其小度命以太少三之一曰少半度三之二曰太半度一矩之规小度百有五十方圜之致备矣非圜无以尽方之变非方无以明圜之用
又曰天本无度步算家设度以推测日月星之行古法三百六十五度四分度之一【古嵗实三百六十五日四分日之一略举大致耳盖随宜修改不与天争时】每昼夜日右旋一度度也者行而过之之名今用三百六十整度则每昼夜日行不及一度虽失名度之义算器无妨用之此拟周髀制矩故用古刻法为度法【古昼夜百刻刻六十分凡十分为一小刻十二辰每一辰八大刻二小刻梁天监中改为昼夜九十六整刻今刻法用之】得名度者日左旋一刻所度也
五礼通考卷一百九十七