元 李冶 撰
明□前一十八问
或问出南门东行七十二步有树出东门南行三十步见之问答同前
法曰倍南行以乘倍东行为平实并二行又倍之为从一虚隅得城径
草曰识别得此问名为外容圆又为内率求虚积其二行步相并为虚若以相减即虚较也又倍东行为较和倍南行即较较此二数相乘则两虚积也若直以二行相乘则半个虚积也又倍东行减于城径余即二虚勾也倍南行减于城径则二虚股也虚积上三事和即城径也乃立天元一为圆径便以为三事和也倍二行步减之得□□为黄方一天元乘之得□□为二虚积【寄左】然后倍东行以乗倍南行得八千六百四十为同数与左相消得丨□□益积开平方得二百四十步即城径也合问
又法二行步相乘为实二行步相并为从一步虚法得半径
草曰立天元一为半径副置二位上加东行步得□□为大差勾下加□股得□□为小差股此二数相乘得下式丨□□为半段黄方幂【寄左】然后立天元以自之又二之与左相消得丨□□益积开平方得一百二十步即半城径也
又法二云数相乘倍之于上加云数差幂权寄并二云数又自增乗得数内减上位为平实并云数而倍之为从二步益隅得半径
草曰立天元一为半径副之上减明勾得下□□为虚勾下减□股得□□为虚股勾股相乘得丨□□又倍之得□□□又加二行差幂□得□□□为幂【寄左】然后并云步以自之得□为同数与左相消得□□□益积开平方得一百二十步即半城径也
又法云数相乘又倍之为平实云数相减为从一常法得虚勾
草曰立天元一为虚勾以南行减东行余四十二步为虚较也以虚较加天元得丨□为虚股以天元乘之得下丨□为直积【寄左】然后倍南行乘东行得□与左相消得丨□□开平方得四十八步即虚勾也以勾除积得九十步即虚股也并勾股得□为虚和也内加入二行并□得□即圆径也
又法并两行步以自乘于上又倍南行乘倍东行加上位为平实一隅法得小和
草曰立天元一为小和并二行步加之得□□为三事和也倍二行步而并之得□以减三事和余□□为黄方却以三事和乘之得下丨□□为二虚积也【寄左】乃倍南行以乘倍东行得□为同数与左相消得丨□□开平方得一百三十八步即虚和也加入二行步得二百四十步即城径也合问
或问丙出南门直行一百三十五步而立甲出东门直行一十六步见之问答同前
法曰以丙行步一百三十五步再自之得二百四十六万零三百七十五于上又以甲行步一十六乘丙行幂一万八千二百二十五得二十九万一千六百以乘上位得七千一百七十四亿四千五百三十五万为三乘方实以二行步相乘又倍之得四千三百二十以乘丙行步再自之数得一百六亿二千八百八十二万为益从第一亷空以甲行乘丙行幂得二十九万一千六百又倍之得五十八万三千二百于上四之甲行幂一千零二十四以乘丙行步得一十三万八千二百四十减上位余四十四万四千九百六十为第二亷二行步相乘得二千一百六十为虚常法得丙行步上勾差八十一
按法中载数自此始亦择其数繁者详之使人易晓也
草曰识得二数相并以减于皇极余即虚勾虚股并也若以二数相减余为髙内减平又为皇极内少个小差又为大差内减个皇极也立天元一为丙行大差数置丙行步一百三十五自乘得□用天元除之得□□为勾并也上减天元得□□□为二丙勾也复用丙南行乘之得□□□为二积也又以天元除之得□□○□为丙勾外容圆径【泛寄】别置丙南行用二甲勾乘之得□合用二丙勾除之不受除便以此为甲股【内寄二丙勾为分母】复用二甲勾三十二乘之得□为二个甲直积也又置丙南行内减天元得□□为黄方以自乘得丨□□为丙上勾差乘股差二段以天元除之得□□□为两个丙小差也乃用甲股乗之得下式□□□复用丙南行除之得□□□又折半得□□□为一个甲步股差也内亦带前二丙勾分母复置二个甲直积内已寄此甲股差分母便为甲步股外容圆径【寄左】乃再置先求到泛寄【按即前所寄□□○□之数】用甲股差分母乘之得□□○□□为同数与左相消得下式□□○□□开三乗方得八十一步即丙步上勾差也钤经载此法以勾差率幂减丙行差幂复以丙行乘之为实以差率幂为法如法得径此法只是以勾外求容圆半合以大差除陪积而今皆以大差幂为分母也依法求之勾差八十一自之得六千五百六十一以减于丙行幂一万八千二百二十五余一万一千六百六十四复以丙行一百三十五乘之得一百五十七万四千六百四十为实以大差幂六千五百六十一为法如法得二百四十步即城径也
又法二行相乘得数又自之为三乘方实并二行步以乗二行相乘数又倍之为从二行相并数以自乘于上又二行相减数自乗减上位为第一亷第二亷空一益隅益积开之得半径【其第一亷只是四段二行相乗数】
草曰立天元一为半城径副置之上加南行步得□□为股下位加东行步得□□为勾勾股相乘得丨□□为直积一段以天元除之得丨□□为以自之得丨□□□□为幂【寄左】乃以勾自之得丨□□又以股自之得丨□□二位相并得□□□为同数与左相消得丨○□□□益积开三乘方得一百二十步即半城径也
又法条段同前
草曰以前求得勾股率置出南门步为小股以勾率乘之得□□合以股率除不除寄为母便以此为半梯头于上又置南行步加二天元得□□为大股以勾率乘之得□□□合以股率除不除寄为母便以此为梯底以乘上位得□□□□为半径自乘数内带股率幂为母【寄左】然后置天元以自之又以股率幂乘之得下丨□□□为同数与左相消得数一如前答
又法以二行差幂数自乗又倍之为实并二行步以乘二行差幂又四之为益从四段南行幂内减二段差幂于上又二段差幂内减四段东行幂余以减上位【按并二行幂减二行差幂四因之亦同】为第一亷四之二行共为第二亷二步虚法益积开之得皇极二百八十九草曰立天元一为皇极以自之为幂于上以二行步相减余□以自之得□为较幂以减上得丨□□为二直积复以天元除之得□○□为一个城径也副置之上位加二之东行步得□□□为二勾也以自增乘得丨□□□□为四段勾幂于上下位加二之南行得□□□为二股也以自增乘得丨□□□□为四段股幂也并入上位得下式□□□□□为四段幂【寄左】然后以天元为幂四之为同数与左相消得下式□□□□□益积开三乘方得二百八十九步即皇极也 欲见城径者别立天元半径副之加东行为勾加南行为股勾股各为幂并之与幂相消开方得城径也
又法以二行差一百一十九自乘得一万四千一百六十一为差幂以东行步乘之得二十二万六千五百七十六为泛率又自增乗得五百一十三亿三千六百六十八万三千七百七十六为五乘方实倍东行步得三十二以二行差一百一十九乘之得三千八百八为小泛以乘泛率又倍之得一十七亿二千五百六十○万二千八百一十六为从方并两行而倍之得三百二以乘泛率得六千八百四十二万五千九百五十二于上位以小泛幂一千四百五十万○○八百六十四加入上位共得八千二百九十二万六千八百一十六为第一亷并两行而倍之得三百二以乗小泛得一百一十五万○○一十六为寄数倍二行差以乘差幂得三百三十七万零三百一十八内减寄数余二百二十二万零三百零二为第二亷六段二行差幂八万四千九百六十六内减二行并数幂二万二千八百一余六万二千一百六十五为第三益亷六之二行差七百一十四为第四益亷二步虚法得□三十四步
草曰立天元一为皇极上股差【即东行步上斜也亦谓□斜】以元加二行差得□□即明也【此即皇极上勾差也】以天元乗之又倍之得□□□即皇极内黄方幂也【泛寄】置皇极上勾差以东行步乘之得□□以天元除之得□□为明勾也又置天元以南行乘之得□□合用明除不除寄为母便以此为□股于上【寄明母】乃再置明勾以明乘之得□□□亦为带分明勾加入上位得□□□即是一个虚也以自增乘得下式□□□□□为一段虚幂也内带明幂分母【寄左】然后置明以自之得丨□□为明幂以乘泛寄得□□□□为同数与左相消得下式□□□□□□□开五乗方得三十四步为东行步上斜步也【即□】其东行十六步即□勾也勾各自为幂以相减余九百步开方得三十步即□股也既各得此数乃以股外容圆半法求圆径得二百四十步即城径也合问
按此草又法求□至开带纵五乘方法愈繁数愈赜而天元一之用愈见其妙苐所得带纵五乘方亷隅积数虽具而未习其法者不能信其数之必然今姑取已得之□数按亷隅数推其积数以明其数之无可疑焉置五乘方数二以□三十四乘之得六十八与四乘方数七百一十四相加得七百八十二又以□乘之得二万六千五百八十八与三乘方数六万二千一百六十五相加得八万八千七百五十三又以□乘之得三百零一万七千六百零二与立方数二百二十二万零三百零二相加得五百二十三万七千九百零四又以□乘之得一亿七千八百零八万八千七百三十六内减所少平方数八千二百九十二万六千八百一十六余九千五百一十六万一千九百二十又以□乘之得三十二亿三千五百五十万零五千二百八十内减所少元数十七亿二千五百六十万零二千八百一十六余十五亿零九百九十万零二千四百六十四又以□乗之得五百一十三亿三千六百六十八万三千七百七十六为积数与草中积数合【此即无次商带纵五乘方法】
或问出东门一十六步有树出南门东行七十二步见之问答同前
法曰二行步相减得数以自之于上又以出东门步自之减上位为平方实二之出南门东行步为益从一步常法翻开得半径
草曰别得人到树即平也半圆径即平股也其东行七十二步则平勾平差也乃立天元一为半径加一十六减七十二得□□为勾也以自之得丨□□为勾幂又加入天元股幂得□□□为幂【寄左】再立天元一为半径加出东门步得□□即也以自之得丨□□为同数与左相消得□□□翻法开之得一百二十步即半城径也合问
或问出南门一百三十五步有树出东门南行三十步见之问答同前
法曰树去城步内减南行步余以为幂于上又以树去城步为幂内减上位为平实倍树去城步为从一虚隅翻法得半城径
草曰别得人距树即髙也半圆径即髙勾也其南行三十步即髙上小差也乃立天元一为半径加树去城步为内减小差□得□□即股也以自之得丨□□为股幂内加入天元幂得□□□为幂【寄左】再置□□自之得丨□□为同数与左相消得丨□□翻开得一百二十步即半城径也合问
或问乙出东门不知逺近而立甲出南门东行七十二步望见乙就乙斜行一百三十六步与乙相会问答同前
法曰以斜行步自之于上以二行相减余自为幂减上位为平实从空一步常法得半径
草曰别得七十二步即大差也斜行即半径即股也立天元一为半径以自之为股幂又以二行差六十四以自之得□为勾幂并二幂得丨□□为幂【寄左】然后以斜行步自之得□为同数与左相消得丨□□开平方得一百二十步倍之即城径也合问
或问甲出南门不知逺近而立乙出东门南行三十步望见甲却就甲斜行二百五十五步与甲相防问答同前
法曰二行差自之为幂以减于斜行幂为平实一虚隅得半径
草曰别得南行步即股差也斜步即也半径即勾也乃立天元一为半城径以自之为幂以二行相减余二百二十五以自之得□为股幂二幂相并得丨□□为幂【寄左】然后以斜行自之得□为同数与左相消得下丨□□开平方得一百二十步即半径也合问
或问甲出南门东行不知步数而立乙出东门南行三十步望见甲斜行一百二步相防问答同前
法曰二行相乘四之于上又加入斜行幂为平实得虚和一百三十八
草曰别得斜步内减南行为甲东行步也此问以外容圆入之以二行相减数乘乙南行三十步得□又四之得□为二直积也又加入斜步幂□共得□即和幂也平方而一得一百三十八步即虚和也又加斜步得二百四十步即城径也合问
或问乙出东门南行不知步数而立甲出南门东行七十二步望见乙斜行一百二步与乙相防问答同前法曰倍相减步以乘倍东行得数复以减于斜步幂余为实平方而一得较也又以二行相减数乘倍东行为平实以较为从方得勾勾较共为长又以斜步并入勾股共即城径
草曰别得二行相减余□为乙南行步也以此数又减于甲东行余四十二步即较也乃以二行相减数□乘倍东行得□为平实以较为从平方开得四十八即勾也勾内加较得九十步即股也勾股共得一百三十八又加入斜步共得二百四十步即城径也合问
或问乙出南门东行甲出东门南行两相望见既而乙云我东行不及城径一百六十八步甲云我南行不及城径二百一十问答同前
法曰半甲不及步以自之为幂半甲不及步内减云数差以自之为幂二幂相并内却减差幂为平实二之乙不及为益从三步半虚法得甲南行
草曰别得乙不及为虚勾半径共又为径内减明勾也甲不及为虚股半径共又为径内减□股也又二云数相并为虚和圆径共也云数相减即虚较也乃立天元一为甲南行以减于甲不及步又半之得□□为虚股也虚股内减虚较得□□为虚勾勾自之得□□□为勾幂也又股自之得下式□□□为股幂也二幂相并得□□□为幂【寄左】然后以天元加虚较得□□为乙东行又加入天元甲南行得□□为虚以自之得□□□为同数与左相消得□□□开平方得三十步即甲南行也内加少步即城径也合问
或问丙出南门直行甲出东门直行两相望见既而丙云我行少于城径一百五步甲云我行少于城径二百二十四步问答同前
法曰二少歩相乘讫又自乗为实六之共步乘云数相乘数为益从十八之云数相乘数于上又三之共步自乘加上位内复减丙少步幂甲少步幂为从亷四十八之共步为益二亷六十三步常法翻法开三乗方得一百二十步即半径
草曰别得云数共减于倍城径为甲丙共数又云数相减即皇极差亦为甲行不及丙行数立天元一为半城径以三之副置二位上位减丙少步得□□为皇极股也下位减甲少步得□□为皇极勾也勾股相乘得□□□以天元除之得□□□为也自之得□□□□□为幂【寄左】然后以股自之得下□□□为股幂于上又以勾自之得□□□为勾幂并以加入上位得□□□为同数与左相消得□□□□□翻法开三乘方得一百二十步即半城径也合问
或问甲出东门直行丙出南门直行各不知步数而立乙望见甲就甲斜行了二百八十九步与甲相防其二直行共一百五十一步问答同前
法曰斜幂内减共步幂为平实倍共步内减斜步为从一常法得径
草曰别得共数城径并即皇极和也立天元一为圆径加共步得□□为皇极和以自之得丨□□于上以斜行幂□减上位余丨□□为二直积【寄左】然后以天元乘斜步得□□与左相消得丨□□开平方得二百四十步即城径也合问
或问甲出东门直行乙出东门南行丙出南门直行丁出南门东行各不知步数而立四人遥相望悉与城叅相直只云甲丙共行了一百五十一步乙丁立处相距一百二步又云丙直行步多于甲直行步问答同前
法曰共步距步相减得数自之于上以共步为幂内减上为平实二之距步内减共步距步差为从一步虚法得城径
草曰别得共步得城径即皇极和也相距步即虚也皇极和内减虚即皇极也又共步距步差□即皇极内减城径也【此名旁差】乃立天元一为城径加共步得□□为皇极和也以自之得丨□□于上以共步距步差□加天元得□□为皇极也以自之得下式丨□□减上位余得□□为二直积【寄左】然后以天元径乘皇极得丨□为同数与左相消得丨□□开平方得二百四十步即城径也合问
或问甲出南门东行不知步数而立乙出东门南行望见甲复就甲斜行与甲相防乙通计行了一百三十二步其乙南行步不及斜行七十二步其甲东行多于乙南行问答同前
法曰倍不及步在地以不及步减通步以乗之为实以四之不及步为法得乙南行三十步
草曰别得乙南行即□股也以减通步即虚也以减不及步即虚较也其不及步即甲东行也立天元一为乙南行置不及步以天元乘之又四之得□为二直积【寄左】然后倍不及步以为较和于上□以不及步减通步得□为较较以乗上位得□为同数与左相消得□□上法下实得三十步为乙南行也余各以数求之
又法别得通行步为两个乙南行一个甲东行共也其不及步即东行步也云步相并即两个虚相减即两个乙南行也
或问甲出南门东行不知步数而立乙出东门南行望见甲复斜行与甲相防二人共行了二百四步又云甲行不及乙一百三十二【按甲不及乙六十步非一百三十二步当云甲行不及共步方合】问答同前
法曰别得二行共即两个虚也其不及步即乙南行与一虚共也置不及步内减一余三十步即乙南行也以乙南行反以减虚余七十二步即甲东行也以乙南行减甲东行余即虚较也 此问无草
按右二问语若浅近然以发明加减乘除相通之
义最为深切集中仿此者可类推之
或问乙出东门南行甲出西门南行甲望见乙斜行五百一十步相防乙云我南行少于城径二百一十步问答同前
法曰少步幂为平实四斜步内减二少步为益从五步常法得乙南行
草曰别得少步为径内减叀股立天元一为乙南行以二之减于倍斜行步得□□为梯底也以二之天元乘之得□□为径幂【寄左】再置天元加少步得下式□□为城径以自之得丨□□与左相消得□□□开平方得三十步即乙南行也加少步即城径也合问
或问乙出南门东行甲出北门东行甲望见乙斜行二百七十二步与乙相防乙云我东行不及城径一百六十八步问答同前
法曰以不及步幂之为实四斜内减二之不及步为虚从五常法平实开得乙东行七十二
草曰别得不及步为城径减明勾也立天元一为乙东行以倍之减于二之斜行步得下□□为梯底也倍天元乘之得□□为径幂【寄左】再置天元加不及步得□□为城径以自之得丨□□为同数与左相消得□□□开平方得七十二步即乙东行也加入少步即城径也合问
或问乙出南门东行丁出东门南行却有甲丙二人共在西北隅甲向东行丙向南行四人遥相望见俱与城叅相直既而相防甲云我多乙二百四十八步丙云我多于丁五百七十步问答同前
法曰二多步相乗为平实并二多步而半之为从七分半常法得城径
草曰别得甲多步为大勾内减明勾也丙多步为大股内少叀股也又乙东行得一虚勾为半径丁南行得一虚股为半径又二多数相并得□为大和内少虚也又二多数相减余□为两个角差又甲多步内减半径即勾方差也丙多步内减半径即股方差也立天元一为城径以半之减于甲多步得□□为勾方差又以半径减于丙多步得□□为股方差二差相乘得□□□为径幂【寄左】然后以天元幂与左相消得下式□□□开平方得二百四十步即城径也合问
或问甲丙二人俱在西北隅甲向东行丙向南行又乙出南门东行丁出东门南行各不知步数而立四人遥相望见悉与城叅相直既而相防甲云我与乙共行了三百九十二步丙云我与丁共行六百三十步问答同前
法曰甲乙共自之为幂丙丁共自之为幂二幂又相乘为三乘方实甲乙共自之为幂以丙丁共乘之于上又以丙丁共自之为幂以甲乙共乘之加上位为益从甲乙共自之为幂丙丁共自之为幂并以七分半乘之于上又以甲乙共乘丙丁共得数减上位为第一益亷并二共数以七分半乘之为第二亷以七分半自之得五分六厘二毫五丝于上位以一步内减上位余四分三厘七毫五丝为虚隅得城径草曰别得甲为大勾乙为明勾丙为大股丁为叀股也甲乙共内减半径即是黄长也丙丁共内减半径即黄广也黄长黄广二数相减余为两个皇极差也乃立天元为城径半之副置二位上以减于甲乙共数得□□即黄长也以自之得□□□为黄长幂也内减天元一幂余得下式□□□为勾方差幂也下位以减于丙丁共得下式□□即黄广也以自之得□□□为黄广幂也内减天元一幂余得□□□为殷方差幂也再以勾方差幂股方差幂相乘得□□□□□为径幂【寄左】然后以天元为幂又以幂自之与左相消得下式□□□□□开三乘方得二百四十步即城径也合问
测圆海镜卷七
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