测圆海镜卷八

元　李冶　撰

明叀后一十六问

或问出南门向东有槐树一株出东门向南有柳树一株丙丁俱出南门丙直行丁往至槐树下甲乙俱出东门甲直行乙往至柳树下四人遥相望见各不知所行步数只云丙丁共行了二百七步甲乙共行四十六步又云甲丙立处相距二百八十九步问答同前

法曰以二共相减数又以减距数为实二为法得平勾

草曰识别得丙丁共即明和也甲乙共即叀和也相距步即极也二共相并即极内少个虚黄也又为极和内少个虚和也二共相减余为平勾髙股差也又为虚差极差共也又为通差内减极差也立天元为平勾加入二共相减数得□□为髙又加天元得□□为极【寄左】以相距步二百八十九与左相消得□□上法下实如法得六十四即平勾也以二共相减数加平匀得二百二十五为髙股复以平勾乘之得一万四千四百步开平方得一百二十步即城半径也合问

又法二共数并以减相距数余者半为泛率以泛率加丙丁共为长以泛率加甲乙共为阔长阔相乘为平方实得半径

草曰置极内减二共并数余三十六步即虚黄也半之副置二位上以加明和得二百二十五步为髙股也下以加叀和得六十四步为平勾也二位相乘得一万四千四百步开平方得一百二十步即半径也合问

或问依前见丙丁共二百七步甲乙共四十六步又云二树相去一百二步问答同前

法曰以甲乙共乘树相去步得数又以自之为平实从空并二共数为幂于上内减甲乙共自之数丙丁共自之数【按或云二共数相乘倍之亦同】为益隅得叀

草曰识别得两树相去步即虚也余数具前立天元一为叀置明和以天元乘之合叀和除不除便以□为明也【内带□和分母】乃置虚以分母叀和乘之得□加入明得□□为极股也内带叀和分母以自之得下式□□□为极股幂【内寄叀和羃为分母】又以天元加虚得□□为极勾以自之得丨□□又以叀和幂□乘之得□□□为勾幂也勾股相并得□□□为两积一较幂也内有叀和幂分母【寄左】然后置明□于上以叀和乘天元得□加上位得□为二并又置虚以叀和乘之得□并入上位得下式□□为极以自之得□□□为同数与左相消得□□□开平方得三十四步即叀也

又法以树相去步自之又以甲乙共乘之为平实从空倍丙丁共为虚隅得叀

草曰立天元一为叀依前术求得明□便以为皇极勾差也【内带叀和分母】以天元□便为皇极股差以乘之又倍之得□□为虚幂【内有叀和分母寄左】然后以虚自之又以分母□乘之得四十七万八千五百八十四为同数与左相消得□○□开平方得三十四步即叀也合问

或问皇极大小差共一百八十七步明黄叀黄共六十六步问答同前

法曰后数自乘为实前后数相减余为法得虚黄方草曰别得一百八十七即明叀二共也其六十六即太虚大小差共也又二数相并得□即明叀二和共若以相减余□即明叀四差共也立天元一为太虚黄方面加二黄共得□□即虚也倍虚又加天元得□□即城径也又以虚加皇极大小差得□□即极也以极乘城径得□□□为两段皇极勾股积【寄左】再以极虚相并得□□即皇极勾股共也自之得□□□内减皇极幂丨□□得□□□为同数与寄左相消得□□上法下实如法得三十六步即太虚黄方靣也合问

或问东门南有柳一株南门东有槐一株甲出东门直行丙出东门直行甲丙槐柳悉与城防相直既而甲就柳树斜行三十四步至柳树下丙就槐树斜行一百五十三步至槐树下问答同前

法曰云数相乘倍之便为平方实开方得虚一百二步以此加甲行步即极勾以此加丙行步即极股余各依法求之　识别甲斜行即叀也丙斜行即明也　无草

或问东门南有柳一株南门东有槐一株甲出东门直行丙出南门直行二人遥相望槐栁与城边悉相直既而甲复斜行至柳树下丙复斜行至槐树下各不知步数只云丙共行了二百八十八步甲斜行与柳至东门步共得六十四步问答同前

法曰二云数相乘于上以六十四步自之又二之减上位为平实十四之六十四于上倍丙行减上位为从【按倍丙行乃数偶合当云九个半六十四内减丙行为从】二十常法得甲直行步

草曰别得丙共步即明股明和也六十四即平勾也内甲斜行即叀也柳至东门步即叀股也又云二数相并即明差与极共也二云数相减即明差与平勾髙股差共也又平勾内减叀勾即虚勾也立天元一为叀勾置丙共步以天元乘之复以六十四除之得□□呔为明勾也又以天元减于六十四得□□为虚勾也并虚明二勾□□为半径也以自之得□□□□倍之得□□□□为半段圆城径幂【寄左】乃以天元加六十四得□□为勾圆差于上又以明勾加丙共步得□□□为股圆差于下上下相乘得□□□□为同数与左相消得□□□开平方得一十六步即叀勾也此叀勾乃甲出东门直行步也余皆依数求　合问

或问东门南有柳树一株南门东有槐树一株甲出东门直行丙出南门直行二人遥相望槐柳与城边悉相直既而甲复斜行至柳树下丙复斜行至槐树下各不知步数只云甲共行五十步丙斜行与槐至南门步共得二百二十五步问答同前

法曰以二百二十五步自之为幂又以此幂自为幂于上置甲共行以二百二十五步三度乘之得数复折半减上位为平实置二百二十五步自之数以二云数相减数乘之又倍之于上倍五十步在地以二百二十五步自之数乘之复折半加上位为益从云数相减自乘于上以云数相乘复折半减上位为常法得明股

草曰识别得甲共步即叀勾叀共也二百二十五即髙股也内丙斜行即明槐至南门步即明勾也又二云数相并即极内减一个叀差也云数相减即叀差与髙股平勾差共也又髙股内减明股即虚股也立天元一为明股即丙出南门直行步也置五十步以天元乘之得□合髙股除不除便以此□为叀股也内带髙股□分母再置髙股内减天元得□□为虚股以分母髙股乘之得下式□□加入叀股得□□即半径也以自增乘得下□□□为半径幂也内带髙股幂为母【寄左】然后置甲共步以分母髙股乘之得□加入叀股得□□为勾圆差于上【内带髙股分母】又以天元加髙股得□□为股圆差于下上下相乘得□□□又以分母髙股乘之得□□□复折半得□□□为同数与左相消得□□□开平方得一百三十五步即明股也合问

或问通勾通共一千步叀勾叀共五十步问答同前

法曰置一千减二之五十步为泛率以自乘复半之于上又置泛率复以五十乘之加上位为平实二十二之泛率于上【按二十二乃此题叀和除通和所得通倍叀数加二数之数易题则数不同矣当直云通倍叀数加二数乘泛率】以四十二【按四十二乃此题倍通倍叀数加二数之数当直云倍通倍叀数加二数】乘五十得数内减泛率加上位为益从二百【按二百乃此题通倍叀数加二数自乘折半于上又倍通倍叀数并二数以减上位之数当同上不必载数】为常法得叀股

草曰立天元一为叀股置一千以天元乘之以五十除之得□为通股也又以天元加五十步得□□即小差也通股加小差得□□即通也以通减一千得□□即通勾也以小差减通勾得□□即圆径也以圆径减通股得□□即大差也置大差以小差乘之得□□□【寄左】然后置圆径以自之得□□□折半得□□□与左相消得□□□开平方得三十步即叀股也合问

按此题通勾和为叀勾和度尽之数则不用寄分而用除法以从省便作者盖举一以例其余也

或问通勾通共一千步明勾明共二百二十五步问答同前

法曰以后数再自乘又以前数乘之为平实以后数为幂又以前数乘之为从以前数幂为常法得明股草曰别得二百二十五步即髙股也立天元一为明股置一千以天元乘之合以髙股除不除便以此□为通股【内带髙股为母】以天元加髙股□□即大差也置大差以髙股分母乘之得□□即带分大差也以此减于通股余□□即圆径也以自增乘得□□□寄左【内髙股幂分母】然后置一千以髙股分母通之得□内减带分大差得□□为两个通勾也内减两个圆径得□□为两个小差也以带分大差乘之得下式□□□为同数与左相消得□□开平方得一百三十五步即明股也合问

或问通股通共一千二百八十步叀股叀共六十四步问答同前

法曰云数相乘为平实前数为益从置前数以后数除之得二十为泛率泛率减一以自乘于上又倍泛率减一加上位为常法倒积开得叀勾

草曰别得六十四步即平勾也立天元一为叀勾置前数以天元乘之以后数除之得□即通勾也又置天元加后数得□□即小差也以小差减通勾余□□即圆径也以自之得□□□【寄左】然后以小差减于前数得□□为二通股内减两个圆径得□□为二大差也以小差乘之得下□□□与左相消得□□□开平方得一十六步即叀勾也合问

或问通股通共一千二百八十步明股明共二百八十八步问答同前

法曰二数相减以后数乘之内减后数幂又半之为泛率以自乘为平实【按或云前数内减二后数余以后数乘之折半自之亦同】置前数加二之后数而半之为次率以乘泛率于上以后数乘泛率减上位【按或云二数相加以乘前折半数亦同】为益从次率自乘之于上以前数加次率复以后数乘之减上位【按或云前数折半内减后数又以半前数乘之亦同】为隅法得明勾

草曰别得二数相减余□为通勾通股及明勾共也立天元一为明勾置前数以天元乘之合以后数除之不除便以此□为通勾也【内寄后数分母】又以二数相减得数内又减天元得□□为通和也乃以分母二百八十八乘之得下式□□内减通勾余□□为通股也又以天元加后数又以分母【即后数也】通之得□□为大差也以此大差减于通股得下式□□为一个圆径也半之得□□以自得之□□□为半径幂【寄左】然后以半圆径减通勾得□□为底勾又以天元乘之又以分母二百八十八乘之得□□呔为同数与左相消得□□□开平方得七十二步即明勾也合问

或问明股明并二百八十八步叀勾叀并五十步又云明股叀勾并多于虚四十九步问答同前法曰前二数相并内减二之多步即圆径又只以前二数相乘便是半径幂

草曰识别得前二数相减而半之即极差也其多步名傍差又圆径不及极数

或问平差髙差共一百六十一步明股叀勾并多于虚四十九步问答同前

法曰二数相减又半之以自乘为实后数为法得平勾

草曰立天元一为平勾以加前数得□□为髙股也又以天元加髙股得□□为极内减后数得□□又半之得□□为半径以自之得丨□□【寄左】然后以天元乘髙股得丨□为同数与左相消得□□上法下实得六十四步即平勾也合问

或问平勾髙股差一百六十一步明差叀差并七十七步又云极多于城径四十九步问答同前

法曰并上二位而半之为平率其四十九即旁率也副置平率上加旁率下减旁率以相乘为实倍旁差为法得勾圆差【按求实数有误当云并上二位而半之内减后数于上又置上前数内减后数以乘上位为实方合】

草曰识别得平勾髙股差名为角差副置角差上加七十七而半之得□即极差也下减七十七而半之得□即虚差也角差加极差得□即通差也又极多于城径步名为旁差副置角差上加旁差得□为两个髙段上勾股较下减傍差得□为两个平段上勾股较也又副置极差上加傍差得□为股圆差上勾股较下减旁差□为勾圆差上勾股较也立天元一为勾圆差依法求得通差加入天元得□□即大差也以天元乘之得丨□为半段圆径幂【寄左】乃置大差□□内减股圆差上勾股较□余有□□为股圆差之勾于上再置天元内加勾圆差上勾股较□得□□为勾圆差之股以乘上位得丨□□为同数与左相消得□□上法下实得八十歩即勾圆差也

又依前问见角差一百六十一步见明差叀差并七十七步又见太虚较较六十步问答同前

法曰前二数相减而半之得数加入半之太虚较较为泛率以自乘为平实置一百六十一内减二之泛率为从一常法得平勾

草曰别得□即二叀股也立天元一为平勾先以前二数相减而半之得□为虚差以虚差加叀股得□即明勾也以明勾加天元得丨□为平以自之得丨□□内减天元幂得□□为半径幂【寄左】然后以天元加一百六十一为髙股以天元乘之得丨□为同数与左相消得丨□□开平方得六十四步即平勾也

又法曰前数内加半之太虚较较以自乘【按此语内有误当云倍角差加半太虚较以半太虚较乘之】为实前数内减太虚较较为从一常法开平方得平勾此更不用明差叀差并也草曰依前求平勾前髙股内加叀股得□□为髙也以自之得丨□□于上位内减髙股幂丨□□余得□□为半径幂【寄左】然后以天元乘髙股得丨□为同数与左相消得下丨□□开平方得六十四步即平勾也合问

或问髙差平差并一百六十一步明差叀差并七十七步问答同前

法曰以前数自乘于上二数相并而半之以自乘减上位得数复自增乘为平实前数自之于上又以四之前数乘之寄位以前数自之于上并二数而半之以自乘减上位得数又以四之前数乘之【按此下落又倍之三字】减于寄位为从前数自之又四之于上又以四之前数为幂加上位权寄以前数为幂于上并二数而半之以自乘减上位得数复八之加上位又以四之前数为幂加入上位并以减于权寄为常法【按或云二和并而自之又半之以减髙平共差幂又四之为常法亦同】得平勾

草曰识别得二位相并而半之得□即极差也立天元一为平勾加一百六十一得□□为髙股髙股内又加天元得□□为极以自之得□□□于上内减极差幂一万四千一百六十一余□□□为两段极积合以极除不除寄为母便以此为城径以自增乘得□□□□□为圆径幂【内有极幂分母寄左】然后以天元乘髙股又四之得□□又以分母极幂□□□通之得□□□□呔为同数与左相消得□□□开平方得六十四步即平勾也合问

或问见明和二百七步叀和四十六步问答同前法曰二和上下相减数同则止名为泛率又以二和直相减余为泛实【此则角差也】乃以泛率除泛实所得为差率也以差率加减泛率若半讫与勾股相应者其泛率便为和率其泛实便为较率乘和率也若不相应则直取差率以消息之定为相管和率【其勾股数少得见黄而相为率者勾三股四则其和七而其较一也勾五股十二则其和一十七而其较七也勾八股十五则其和二十三而其较亦得七七勾七股二十四则其和三十一而其较一十七也勾九股二十则其和二十九而其较一十一也此消息之大畧也余皆仿此】乃以和率约二和其明和所得为明垒率其叀和所得为叀垒率也又副置和率上加差率而半之则为股率也下位减差率而半之则为勾率也既见勾股及差三率各以垒率乘之即各得勾股及差之真数也

按此用约分以勾股率数求之甚为省便然必两数度尽而得数最小者方可用若两数不能度尽或虽度尽而得数尚大者转属繁难故又设后法

又法二云数相并以自乘于上二之云数相乘又四之以相并以四分半乘之又四之以并入上位为从方以七十步零四分三厘七毫五丝为常法得叀小差四步

按此法未求实数其求从隅皆用本题数不可通用今依细草意另演一法于后亦惟二和数可以度尽者用之若不能度尽者仍用寄分为便

法曰二和数相减自之为平方实叀和除明和得数自而倍之内减四之除得数再加二单数以乘二和相并之数为从除得数自而四之于上又以除得数自乘内减四之除得数外加一单数自之以减上位为常法得叀小差

草曰以二和相约命得叀率一明率四步半其两数大小差率并同又别得明小差叀大差俱为半虚黄也立天元为叀小差以四歩半乘之得□元为□大差也又为明小差又为半虚黄置此□大差又以四步半乘之得□为明大差也其四差相并得□减于二和并得□□即两段太虚大小差并也内加三段虚黄方□得□□合成一个太虚三事和即圆城径也以自增乘得□□□为径幂【寄左】乃置叀和加半虚黄得□□为平勾又置明和内加半虚黄得□□为髙股勾相乘得下式□□□又四之得□□□为同数与左相消得下式□□□开平方得四步即叀小差也合问

或问明叀二勾共八十八步明叀二股共一百六十五步问答同前

法曰先识别得二大差共二小差共及四差共乃以二大差二小差相乘为实以四差共为法如法得半之虚黄方

草曰先置前后云数以约法约之得一十一即垒率也复各置前后数如垒率而一前得八即勾率也后得一十五即股率也再以勾股率求得较率七和率二十三率一十七黄方率六大差率九小差率二即见诸率各以垒率乘之其二和共得□二较共得□二共得□二黄共得□二大差共□二小差共□四差共□已上皆为明叀所得之共数也乃立天元一为半虚黄便为明小差又为叀大差也以减于大差共得□□即明大差也又以减于小差共得□□即叀小差也以二数相增乘得丨□□【寄左】以天元幂与寄左相消得□□上法下实得一十八步即半之虚黄方也以倍之得□又加于二黄共六十六共得一百二即明勾叀股共也又为极黄方又为虚也又以三十六减于一百八十七余一百五十一即明股叀勾共也此数内减虚余□为明叀二差较也此名傍差以旁差减二共一百八十七余得□即太虚和也却加入虚一百二并得□为太虚三事和即圆城径也合问

又或以虚黄方加于上和共二百五十三得□为极也以旁差减极余二百四十步亦同

又或前后副置勾股较和黄六率在地前以小差率二因之则勾得□股得□较得□和得□得□黄得□即叀段各数也后以大差率九因之则勾得□股得□较得□和得□得□黄得□即明段各数也既得明叀各数余可知【按此因明即皇极形勾差叀即皇极形股差故以小差率乘各率即得叀段各数以大差率乘各率即得明段各数也】

按右二卷明叀前十八问后十六问在集中尤为神妙惜其中有偶尔思省未至者亦未暇修饰故耳

测圆海镜卷八

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