元 李 冶 撰
明 顾应 释术
诸和立法测望一
甲丙二人俱在城外西北干隅甲东行丙南行乙出南门东行丁出东门南行各不知步数而立四人遥相望与城相叅直既而相会各言步数甲云我与乙共行了三百九十二步丙云我与丁共行了六百三十步问城径
释曰此通勾明勾和与通股□股和立法测望甲从干东行为通勾乙从南门外东行为明勾共行三百九十二步通勾明勾和也丙从干隅南行为通股丁出东门南行为□股共行六百三十步通股□股和也
术曰甲乙共步自之得一十五万三千六百六十四为通勾明勾和筭丙丁共步自之得三十九万六千九百为通股□股和筭 二筭相乘得六百○九亿八千九百二十四万一千六百为三乘方实 丙丁共步互乘通勾明勾和筭得九千六百八十○万八千三百二十 甲乙共步互乘通股□股和筭得一亿五千五百五十八万四千八百 二数相并得二亿五千二百三十九万三千一百二十为从方 又以二筭相并得五十五万○五百六十四步以七分半因之得四十一万二千九百二十三 二共步相乘得二十四万六千九百六十 二数相减余一十六万五千九百六十三为从一亷 二共步相并得一千○二十二以七分半因之得七百六十六步半为第二亷 以七分半因七分半得五分六厘二毫五丝以减全步余四分三厘七毫五丝为隅筭作带从方亷隅以二亷减从开三乘方法除之得全径带从方亷隅筭以二亷减从开三乘方曰置所得三乘方实以亷隅约之 初商二百置一于左上为法置一自之得四万以乘从二亷得三千○六十六万以减从方余二亿二千一百七十三万三千一百二十为从 置一乘从一亷得三千三百一十九万二千六百 置一自乘再乘得八百万以隅筭因之得三百五十万为隅法 并从方从亷隅法共二亿五千八百四十二万五千七百二十为下法与上法相乘除实五百一十六亿八千五百一十四万四千余实九十三亿○四百○九万七千六百为次商之实四因隅法得一千四百万为方法 初商自之六因又以隅筭因之得一十○万五千为上亷 初商四之又以隅筭因之得三百五十为下亷 约次商得四十置一于左上为法倍初商加次商得四百四十以乘从二亷得三十三万七千二百六十又并初次商得二百四十因之得八千○九十四万二千四百为减亷以减余从余一亿四千○七十九万○七百二十为从 倍初商加次商得四百四十以乘从一亷得七千三百○二万三千七百二十为益亷 置一乘上亷得四百二十万 置一自之以乘下亷得五十六万 置一自乘再乘得六万四千又以隅筭因之得二万八千为隅法并方法从方益亷上下亷隅法共二亿三千二百六十○万二千四百四十为下法与上法相乘除实尽
又为带从方亷隅以二亷添积开三乘方法
甲乙俱出东门甲东行乙南行丙丁俱出南门丙南行丁东行各不知步数而立四人遥相望俱与城相叅直既而乙复斜行与甲会丙复斜行与丁会问其行步乙云我一直一斜共六十四步丙云我一直一斜共二百八十八步问城径
释曰此明股和与□股和立法测望甲出东门东行为□勾乙南行为□股斜行会甲为□共行六十四步股和也丁出南门东行为明勾丙南行为股斜行会丁为共行三百八十八歩股和也术曰二和相乘得一万八千四百三十二为二和相乘筭 □和自之得四千○九十六为□和筭 倍之以减二和相乘筭余一万○二百四十为实 一十四乘□和得八百九十六 以二十为隅筭作带从负隅开平方法除之得一十六为□勾 勾自乘和除之得股较四 加和半之为减和半之为股十四即□勾股较二十即□较较
带从负隅开平方法见二卷底勾通条
甲乙二人俱出东门甲东行乙南行丙丁二人俱出南门丙南行丁东行各不知步数而立四人遥相望俱与城相叅直既而甲复斜行与乙会丁复斜行与丙会询其行步甲云我直斜共五十步丁云我直斜共二百二十五步问城径
释曰此明勾和与□勾和立法测望甲出东门直行为□勾斜行就乙为□共歩和也丁出南门东行为明勾斜行就丙为明共步和也
术曰以丁共步自之得五万○六百二十五为明和筭 又自之得二十五亿六千二百八十九万○六百二十五于上 二共步相乘得一万一千二百五十半之得二亿八千四百七十六万五千六百二十五以减上位余二十二亿七千八百一十二万五千为平实 二共步相减余一百七十五为二和差以乘明和筭倍之得一千七百七十一万八千七百五十于上 倍甲共步得一百以乘明和筭又半之得二百五十三万一千二百五十并上共二千○二十五万为从 以二行相减差自之得三万○六百二十五于上 又以二共步相乘数半得五千六百二十五减上位余二万五千为隅法作负隅减从开平方法除之得明股
负隅减从开平方法曰初商一百置一于左上为法置一乘隅法得二百五十万以减从方余一千七百七十五万为下法与上法相乘除实一十七亿七千五百万余实五亿○三百一十二万五千为实余从内再减二百五十万余一千五百二十五万为从 次商三十 置一于左上为法置一乘隅法得七十五万以减从方余一千四百五十万与上法相乘除实四亿三千五百万余实六千八百一十二万五千为实 余从内再减七十五万余一千三百七十五万为从 次商五 置一于左上为法 置一乘隅法得一十二万五千以减余从余一千三百六十二万五千为下法 与上法相乘除实尽
负隅减从开平方法已见二卷通勾□勾下因有三位故重出
明股与勾和求勾股自乘和除之得勾较减和半之为勾加和半之为
甲乙俱出东门甲东行乙南行丙丁俱出南门丙南行丁东行各不知步数而立四人遥相望俱与城相叅直问其行步则甲乙共四十六步丙丁共二百○七步问城径
释曰此明勾股和与□勾股和立法测望甲东行□勾乙南行□股丁出南门东行明勾丙南行明股甲乙共步□勾股和也丙丁共步明勾股和也
术曰二共步相并得二百五十三自之得六万四千○○九 二共步相乘四之得三万八千○八十八二数相减余二万五千九百二十一为实 二共
步相并以六步半因之得一千六百四十四步半二共步相并以四步半因之又四之得四千五百五十四步 二数相并得六千一百九十八步半为从方 以七十○步四分三厘七毫五丝为隅法作负隅带从开平方法除之得四步为□股较
负隅带从开平方法曰置实从方隅约之商得四置一于左上为法 置一乘隅得二百八十一步七分五厘带从方共六千四百八十○步二分五厘与上法相乘除实尽
又曰副置二和以约分法约之得二十三为平率以除明和得九除□和得二 二和相减余一百六十一以平率除之得七为较率九因得明较六十三二因得□较一十四以较加和半之为股减和半之为勾
甲乙俱出东门甲东行乙南行丙丁俱出南门丙南行丁东行各不知步数而立四人遥相望俱与城相叅直问其行步甲与丁共八十八步乙与丙共一百六十五步问城径
释曰此明勾□勾和与明股□股和立法测望甲出东门东行为□勾丁出南门东行为明勾共行八十八步二勾和也乙出东门南行为□股丙出南门南行为明股共行一百六十五步二股和也
术曰二和相减约得一十一相平为垒率以除勾和得八为勾率 除股和得一十五为股率勾股相并得二十三为和率相减得七为较率勾股求得一十七为率以勾减得九为大差率大差者勾较也以股减得二为小差率小差者股较也六为黄方率各以垒率乘二和共得二百五十三二较共得七十七二共得一百八十七二黄方共得六十六二大差共得九十九二小差共得二十二四差共一百二十一 二大差共与二小差共相乘得二千一百七十八为实 四差共为法除之得一十八即半虚黄方倍之加二黄共得一百○二即明勾□股共也减二共得一百五十一即明股□勾共也二数相减余四十九即明较□较较也名为旁差
旁差减二共余一百三十八为太虚和 加虚即城径虚与明勾□股共同数
又曰虚黄方加二和共得二百八十九减旁差即城径
甲丙二人俱从城中心甲东行出城直行丙南行出城直行乙丁二人俱在城外东南巽隅乙西行丁北行各不知步数而立四人遥相望俱与城相叅直问其行则甲东丙南共三百九十一步乙西丁北共一百三十八步问城径
释曰此皇极勾股和与太虚勾股和立法测望甲从城心东行至川一百三十六为皇极勾丙从城心南行至日二百五十五步为皇极股共步勾股和也乙从巽隅西行至月四十八步即泛之山为太虚勾丁从巽隅北行九十步至山即月之泛为太虚股共步勾股和也
术曰二和相乘得五万三千九百五十八为实相并得五百二十九为法实如法而一得太虚一百○二
圆城西门外往南二百五十五步有塔甲乙二人俱在塔下甲南行乙东行丙丁二人俱在城外东北艮隅丙东行丁南行戊巳二人俱出南门戊南行巳东行庚辛二人俱出东门庚东行辛南行各不知步数而八人遥相望俱与城相叅直问其行步则乙之东不及甲之南与丙之东不及丁之南二不及数共一百六十一步己之东不及戊之南庚之东不及辛之南二不及数共七十七步问城径
释曰此上高勾股较下平勾股较和与明勾股较□勾股较和立法测望西门外往南有塔乃西之旦与日之心同甲乙从塔下分行甲往东乃旦之日为上高勾乙复往南即天之旦为上高股勾不及股一百○五为高差丙丁从城外东北艮隅分行丙往东乃艮之地为下平勾丁往南即山之东为下平股勾不及股五十六为平差二不及共数高差平差和也戊己从南门分行己往东乃南之月为明勾戊往南即日之南为明股勾不及股六十三步为明差庚辛从东门分行庚往东乃东之川为□勾辛往南即山之东为□股勾不及股一十四步为□差二不及共步明差□差和也
诸和与较参互立法测望二
南门外不知步数有槐一株甲从城外西北干隅直往东行至一栁树下望见槐树遂斜行至槐自云我直斜共行了七百四十五步乙从城外西南坤隅南行望见槐栁与城相参直亦斜行至槐自云我斜行不及直行一百○五步
释曰此通勾底和与大差股上高较立法测望南门有槐乃日之南为明股甲从干东行至栁乃干之地为通勾斜行至槐下乃日之地为底共行七百四十五步者通勾底和也乙从坤隅南行至望处乃天之坤为大差股亦斜行至槐乃天之日为上高不及直行一百○五步者大差股上高较也术曰甲知步内减乙较步半之为通勾加乙较步半之为底用通勾底测城径法求之得半径又曰四较步乘通勾筭得四千三百○○八千为立实 倍通勾乘通勾得二十○万四千八百 四较乘通勾得一十三万四千四百 相减余七万○四百为从方 四之通勾得一千二百八十为益亷作带从减廉开立方法除之得全径
带从减从亷开立方曰列置所得立实方亷初商二百置一于左上为法 置一乘从亷得二十五万六千 置一自之得四万为隅法并从方共一十一万○四百以减从亷余一十四万五千六百为下法 与上法相乘除实二千九百一十二万余一千三百八十八万○八千为次实 倍从亷得五十一万二千 三因隅法得一十二万为方法 三因初商得六百为亷法 次商四十 置一于左上为法 置一乘从亷得五万一千二百并入倍亷共五十六万三千二百为益亷 置一乘亷法得二万四千 置一自之得一千六百为隅法 并方法从方亷隅共二十一万六千以减益亷余三十四万七千二百与上法相乘除实尽
诸和与较参互立法三
圆城西门外直上南有栁树一株东门外往东有槐树一株俱不知步数甲从城外西北干隅南行至栁树下望见槐树又斜行至槐树下直斜共行了一千一百四十四步乙从城外东北艮隅东行望槐柳与城相叅直复斜行至槐树下与甲防乙东行不及斜行五十六步问城径
释曰此通股边和与小差勾下平较立法测望甲从干隅南行至柳下为通股斜行至槐为边共行一千一百四十四步通股边和也乙从艮隅东行乃艮之地为小差勾斜行至槐乃地之川为下平不及五十六步小差勾与下平较也
术曰如乙直行不及斜行五十六即甲斜行不及直行差也副置甲共步其一加五十六而半之得甲直行六百步为通股其一减五十六而半之得甲斜行五百四十四步为边
以五十六乘甲南行又倍南行得一千二百乘之得四千○三十二万为立方实 又以五十六乘南行倍之得六万七千二百 半甲南行乘二之甲南行得三十六万相并得四十二万七千二百为从方倍南行得一千二百为从亷 五分为隅法作从负隅以亷减从翻法开立方法除之得全径
带从负隅以亷减从翻法开立方曰置所得立方实以从方亷隅约之初商二百 置一于左上为法置一乘从亷得二十四万以减从方余一十八万七千二百为从 置一自之得四万隅因得二万并从方共二十○万七千二百为下法与上法相乘除实四千一百四十四万实不满法反除实四千○三十二万余一百一十二万为负积 余从内再减从亷二十四万亦不及减反减余从一十八万七千二百余五万二千八百为负从 三因隅法得六万为方法 三因初商得六百为亷法 次商四十 置一于左上为法 置一乘从亷得四万八千反并负从得一十○万○八百俱为负从 置一乘亷法隅因得一万二千置一自之隅因得八百为隅法 并方亷隅共七万二千八百反减负从余二万八千为下法四千相乘除实尽
此法已见四卷通勾□条因用法不同故重出又为带从负隅以亷添积开立方亦可
甲出南门东行乙出东门南行各不知步数而立相望与城相参直既而乙复斜行与甲防计乙行步一直一斜共一百三十二步直行不及斜行七十二步问城径释曰此□股虚和与□股虚较立法测望甲出南门东行为明勾七十二乙出东门南行为□股三十斜行与甲防为太虚一百 二直行不及斜行七十二为□股虚较适与明勾同数直斜相并则□股虚和也即两个乙南行一个甲东行去共二数相并即两个虚相减即两个乙南行也
术曰倍不及得一百四十四以不及减共步余六十乘之得八千六百四十为实 四之不及得二百八十八为法除之得乙直行三十为□股以减共步余为虚
求城径倍虚筭减和筭余为实平方开之即太虚较四十二加和半之为股减和半之为勾以虚勾股求容圆即得
又为带从负隅以亷添积开立方法
甲出南门东行不知步数而立乙出东门南行相望与城相叅直乙复斜行与甲防二人共行了二百○四步甲东行不及共步一百三十二步
释曰此明勾□股太虚和又与明勾相较立法测望甲出南门东行七十二步为明勾乙出东门南行三十步为□股斜行一百○二步与甲会为太虚共步明勾□股太虚和也甲行不及共步和与明勾相较之数也
术曰以不及减共步余七十二为明勾即甲东行步半共步减明勾余三十为□股即乙南行步 半
共步得一百○二为太虚即乙斜行步 乙南行减甲东行余四十二即太虚较 较自之与自之相减余为实 平方开之即勾股和 加较半之为股减较半之为勾以虚勾股求容圆得城径
圆城南门之东有槐一株东门之南有柳一株甲出南门直行往南乙出东门直行往东各不知步数而立相望槐柳俱与城相叅直甲复向东北斜行至槐树下乙复向西南斜行至柳树下问其行步则甲直斜共行二百八十八步乙直斜共行五十步甲直行乙直行相并多于槐柳相距四十九步问城径
释曰此明股和□勾和又明股□勾和与太虚较立法测望槐在南门之东七十二步为明勾甲出南门直行为明股斜行至槐柳下为明共行二百八十八步明股和也柳在东门之南三十步为□股乙出东门直行为□勾斜行至柳树下为□共行五十步为□勾和也槐柳斜相距一百○二步为太虚甲直行与乙直行相并得一百五十一步为明股□勾和多于虚四十九步是明股□勾和与太虚较也
术曰二和相并减二之多于太虚步即城径又曰二和相乘即半径筭
圆城中心往南有大石塔一座城外东北艮隅往东有小石塔一座东门外正东有柳树一株东门外往南有大槐树一株其大槐树正与城中大石塔相对不差尺寸南门往东有榆树一株甲从石塔下起程出南门直行往南不知步数而立乙从东门起程直行至柳树下折而北至小石塔下又往东不知步数而立望柳槐榆与甲立处俱与城相叅直问其步数则曰甲从南门至立处乙从东门至柳树下相并多于榆槐斜相距四十九步石塔穿城至甲立处多于石塔与槐相距栁树北往小石塔步数多小石塔下复往东步数二较相并一百六十一步问城径
释曰此明股□勾和与太虚较下髙勾股较与下平勾股较和立法测望南门外往东有榆乃南之月为明勾甲出南门复南行为明股东门外往南有槐乃山之东为□股乙从东至柳乃东之川为□勾榆与槐斜相距乃月之山为太虚甲南门至立处乙东门至栁下共步为明股□勾和多于槐榆相距四十九步乃明股□勾和与太虚较也城中有大石塔至南门外甲立处乃日之朱为下髙股塔距槐乃朱之山为下髙勾甲穿城南行步多于塔去槐步乃下髙勾股较也城东柳树北至小石塔乃川之夕为平股石塔复东行至立处乃夕之地为下平勾南行多于东行步下平勾股较也二较相并一百六十一步髙差平差和也
术曰二数相减半之又自之得三千一百三十六为实 以四十九为法除之得平勾六十四
又曰二数相减余自之得一万二千五百四十四为实如四十九而一得平股和二百五十六
勾自之和除之得平股较一十六加和半之为减和半之为股
城心上南有大石塔城南门往东有榆一株东门往南有大槐一株与城中石塔东西相对东门直东有栁一株城外东北艮隅往东有小石塔与城东栁树南北相对甲从城中塔下起程穿城出城直往南不知步数而立乙从东门起程直行至柳树下折而北往小石塔下又往东亦不知步数望甲与柳槐榆俱与城相参直甲复斜行向东北直至柳树下问其行步则曰甲从大石塔穿城南行立处多于大石塔与槐相去步数乙从栁树北行至小石塔多于从石塔东行步数二较相并共一百六十一步甲从南起程至立处多于南门距榆树步数东门南至槐多于东至栁步数二较相并共七十七步斜行至栁下多于城径四十九步问城径
释曰此髙较平较和与明较□较和并皇极与城径较立法测望甲从城中石塔下穿城往南而立乃日之朱下髙股也大石塔与城外槐树相距乃朱之山下髙勾也多步乃下髙勾股较也乙从城东门栁树下折而往北至小石塔下乃川之夕下平股也复往东乃夕之地下平勾也多步乃下平勾股较也二较相并共一百六十一步乃平差髙差和也又名角差甲自南门往南立处乃日之南明股也南门往东至榆树乃南之月明勾也多步明勾股较也东门往南至槐乃山之东□股也直东门至栁乃东之川□勾也多步□勾股较也二较相并七十七步明差□差和也甲从直南立处斜行至栁树下乃日之川皇极也多城径四十九步为皇极与城径较即皇极黄广勾较也
术曰二和相并半之得一百十九为平率副置平率一加四十九一减四十九相乘得一万一千七百六十为实 四十九为法实如法而一得城径
城心往南有大石塔一座东门外往南有大槐一株与塔相对南门外往东有榆树一株东门外正东有栁树一株城外东北艮隅往东有小石塔一座甲从城中石塔下穿城直往南不知步数而立乙从东门直行至栁树下转往北至石塔复往东亦不知步数而立丙从城外东南巽隅往西至榆树下立三人遥相望与槐树俱与城相叅直既而丙又斜行至槐树下复南行回还巽隅讫问其行步则曰甲从大石塔穿城往南立处多于槐距塔步数乙从东门外栁树下北至小石塔多于复东行歩数二较相并共一百六十一步甲自南门起至立处多于南门距榆步数东门外往南至槐多于往东至栁步数二较相并共七十七步丙从巽隅西至榆步数与从栁南还步又少于斜行六十步问城径
释曰此髙差平差和明差□差和与太虚较较立法测望甲从城中石塔穿城往南而立为下高股石塔距槐为下高勾勾股相较为下高较亦曰高差乙从东门外栁树下北至小石塔为下平股又东行至立处为下平勾勾股相减为下平较亦曰平差共一百六十一步高差平差和也南门至甲立处为明股南门东至榆树为明勾勾股相减为明较即明差东门南至槐为□股东至栁为□勾勾股相减为□较即□差共七十七步明差□差和也丙从巽隅西至榆乃巽之月与泛之山同为太虚勾斜行至槐树下为太虚复南行还巽地与月之泛同为太虚股西行不及南行为太虚勾股较较步不及斜行六十为太虚较较也
术曰二和相减余八十四加太虚较较半之得七十二为泛率自之得五千一百八十四为实 角差内减二泛率余一十七为从作带从开平方法除之得六十四为平勾 角差即高差平差并也
甲丙二人俱在城中心丙望南门直行出城不知步数而立甲望东门出城亦不知步数望见之丙复斜行与甲相会问其行步则曰甲丙直斜共行了六百八十步又曰甲东直行少于丙南直行一百一十九步问城径
释曰此皇极和和与勾股较立法测望甲从城中心东行为皇极勾丙从中心南行为皇极股斜行与甲会为皇极共行六百八十步为皇极和和也甲东行不及丙南一百一十九步为皇极勾较也术曰二数相减余五百六十一为差差自之得三十一万四千七百二十一为差筭 较自之得一万四千一百六十一为较 二筭相减余三十○万○五百六十为平实 四其差二其较相并得二千四百八十二为从方 二为隅筭 作负隅开减从开平方法除之得一百三十六为皇极勾
负隅减从开平方曰置所得平实以从方隅筭约之初商一百 置一于左上为法 置一乘隅筭得二百以从减方余二千二百八十二为下法与上法相乘除实二十三万八千二百 余实七万二千三百六十 从方内再减二百余二千○八十二次商三十置一于左上为法置一隅因得六十以减从方余二千○二十二为下法与上法相乘除实六万○六百六十余实一万一千七百为实 余从内再减六十余一千九百六十二 次商六 置一于左上为法 置一隅因得一十二以减余从余一千九百五十为下法与上法相乘除实尽
此法已见二卷通勾□勾条因有三位故重出
圆城南门往东有槐东门往南有栁甲乙二人俱在城中心甲出南门直行乙出东门各不知步数而立丙丁二人俱在城外东南巽隅丙西行至槐下丁北行至栁下四人遥相望俱与城叅直既而甲复斜行与乙会丙复斜行与丁会问其行步则甲一直一斜与乙直行共六百八十步丙西丁北二直行较丙斜行多三十六步问城径
释曰此皇极和和与太虚和较立法测望乙从城中心东行为皇极勾甲从城中心南行为皇极股斜行与乙会为皇极共步为皇极和和也丙从巽隅西至槐树下即太虚勾丁从巽隅北至栁树下即太虚股丙斜行与丁会为太虚丙西丁北相并即太虚勾股和多于斜行为太虚和较也
术曰和较相乘得二万四千四百八十为实半较得一十八为从 半步为隅筭 作以从添积负隅开平方法除之得全径
以从添积负隅开平方曰置所得平实以从约之初商二百置一于左上为法 置一乘益从得三千六百为益实添入积内共二万八千○八十为实 置一以隅因之得一百为下法与上法相乘除实一万余八千○八十为实倍下法得二百为亷法 次商四十置一于左上为法 置一乘益从得七百二十为益实添入余积得八千八百为实 置一以隅因得二十并亷法共二百二十与上法相乘除实尽
又为负隅以从减法开平方法
法见四卷大差勾黄长条下
测圆海镜分类释术卷八
钦定四库全书