元 李 冶 撰
明 顾应祥 释术
诸较参互立法
丙出南门直行甲出东门直行各不知步数相望与城相叅直问其行步甲云我东行少于城径二百二十四步丙云我南行少于城径一百○五步问城径释曰此明股城径较与□勾城径较立法测望甲出东门直行□勾也丙出南门直行明股也
术曰二少步相乘又自之得五亿五千三百一十九万○四百为三乘方实 二少步相乘得二万三千五百二十六之共步得一千九百七十四二数相乘得四千六百四十二万八千四百八十为从方 以五十六万二千五百二十为从一亷 四十八之共步得一万五千七百九十二为从二亷六十三为隅法作带从亷隅添积开三乘方法除之得半城径带从方一亷添积以二亷为法开三乘方曰置所得三乘方实以从方从亷隅法约之 初商一百置一于左上为法 置一乘从一亷得五千六百二十五万二千为益亷置一自乘再乘以隅算因得六千三百万为隅法并从方益亷得一亿六千五百六十八万○四百八十以初商因之得一百六十五亿六千八百○四万八千为益积 添入原积共一百七十一亿二千一百二十三万八千四百为通实 置一自之以乘从二亷得一亿五千七百九十二万为下法 与上法相乘除实一百五十七亿九千二百万 余一十三亿二千九百二十三万八千四百为次商之实 二因益亷得一亿一千二百五十○万四千为从一亷之方三因从二亷得四亿七千三百七十六万为从
二亷之方 三之初商以乘元从二亷得四百七十三万七千六百为从二亷之亷 四因隅法得二亿五千二百万并从方共二亿九千八百四十二万八千四百八十为方法 初商自之六因又隅因之得三百七十八万为上亷 初商四之隅因得二万五千二百为下亷 次商二十 置一于左上为法 置一乘原从一亷得一千一百二十五万○四百为从一亷之亷并从一亷之方共一亿二千三百七十五万四千四百为益亷之实置一乘上亷得七千五百六十万 置一自之
以乘下亷得一千○○八万 置一自乘再乘得八千隅因得五十○万四千为隅法 并方上下亷隅共三亿八千四百六十一万二千四百八十又加益亷之实得五亿○八百三十六万六千八百八十以次商因之得一百○一亿六千七百三十三万七千六百为益实 加入次实得一百一十四亿九千六百五十七万六千为通实 置一乘从二亷之亷得九千四百七十五万二千 置一自之以乘从二亷得六百三十一万六千八百为从二亷之隅 并从二亷之方亷隅共五亿七千四百八十二万八千八百为下法与上法相乘除实尽
丙出南门东行甲出东门南行各不知步数相望俱与城相叅直丙云我东行不及城径一百六十八步甲云我南行不及城径二百一十步问城径
释曰此明勾与城径较与□股城径较立法测望丙出南门东行为明勾甲出东门南行为□股
术曰二不及相减余四十二为差自之得一千七百六十四为差筭 半甲不及自之得一万一千○二十五 半甲不及减差余六十三自之得三千九百六十九 二数相并内减差筭得一万三千二百三十为平实 二之内不及得三百三十六为益从三步半为隅法 作带从负隅开平方法除之得□股三十
带从负隅开平方法见四巻底勾通
甲乙二人俱在城外西北干隅甲东行乙南行丙出东门南行丁出南门东行各不知步数而立四人遥相望与城相叅直问其行步则甲东多于丁东二百四十八步乙南多于丙南五百七十步问城径
释曰此通勾明勾较与通股□股较立法测望甲从干隅东行为通勾丁从南门东行为明勾甲多于丁步通勾明勾较也丙出东门南行为□股乙自干隅南行为通股乙多于丙步通股□股较也
术曰二较相乘得一十四万一千三百六十为实并二较半之得四百○九为从 以七分半为隅法作带从负隅开平方法除之得全径
带从负隅开平方法见前
甲乙二人俱在城外西北干隅甲东行乙南行丙从城外西南坤隅东行丁从城外东北艮隅南行各不知步数四人遥相望俱与城相叅直问其行步则曰甲东行多于丙东行一百二十八步丁南行不及乙南行四百五十步问城径
释曰此通勾大差勾较与通股小差股较立法测望甲从干隅东行为通勾丙从坤隅东行为大差勾甲多一百二十八步即为通勾大差勾较与黄长勾同乙从干隅南行为通股丁从艮隅南行为小差股丁不及乙四百五十步为通股小差股较与黄广股同术曰二较相乘即城径筭
南门迤东有槐一株东门迤南有栁一株甲乙二人俱在城外西南坤隅甲直往南不知步数而立乙往东径过南门至槐下立丙丁二人俱在城外东北艮隅丙直往东不知步数而立丁往南径过东门至栁下立四人遥相望俱与城相叅直问其行步则甲多于乙一百六十八步丙少于丁七十步问城径
释曰此大差勾股较与小差勾股较立法测望甲从坤往南之天为大差股乙往东至槐下为大差勾甲多一百六十八步大差勾股较也丙从艮隅往东之地为小差勾丁往南至栁下为小差股丙不及丁七十步小差勾股较也
术曰二较相乘得一万一千七百六十为实 相减半之得四十九为法 实如法而一得全径
甲从坤隅东行过南门不知步数而立乙从艮隅南行过东门不知步数见甲而止甲乃斜行一百○二步与乙会乙曰我南行不及汝东行四十二步问城径释曰此大差勾小差股较与太虚立法测望甲从坤隅东行乃坤之月为大差勾乙从艮南行乃艮之山为小差股不及四十二步为大差勾与小差股较也斜行一百○二步太虚也
术曰以较减余六十以乘较并半之得四千三百二十为实 以较四十二为从作带从开平方法除之得虚勾四十八
又曰大差勾减小差股即太虚较也自乘倍之与较自乘相减余为实平方开之得勾股和加较半之为股减较半之为勾
圆城南门外正南有塔一座南门之东有槐树一株东门外正东有望竿一根东门之南有栁树一株甲乙二人俱在城中心甲南行出城直至塔下立乙东行出城至望竿下立丙丁二人俱在城外西南坤隅丙南行不知步数而立丁东行至槐树下立戊己二人俱在城外东北艮隅戊东行不知步数而立己南行过东门南栁树下立六人遥相望俱与城相叅直既而甲斜行至东门外望竿下与乙相会丙斜行经过塔直至南门东槐树下与丁相会戊斜行向西南至东门之南栁树下与己相会问其行步则曰以丁东行减丙南行又与丙斜行相较余步比甲斜行少四十九步以戊从艮隅东行减己从艮隅南行至栁余步与戊斜行至栁步数相并内减槐栁斜相距步余一百三十八步其乙东行比甲南行至塔却少一百一十九步问城径
释曰此大差较较与皇极较小差较和与太虚较并皇极勾股较立法测望甲从城中心出南门至石塔下乃日之心为皇极股乙从城中心出东门至望竿下乃心之川为皇极勾甲斜行与乙会乃日之川为皇极 丙从坤隅南行不知步数而立乃天之坤为大差股丁从东行至槐树下乃坤之月为大差勾丙斜行与丁会乃天之月为大差丁东行减丙南行为大差勾股较又与丙斜行相较为大差较较不及甲斜行四十九步是大差较较与皇极较也戊从艮隅东行乃艮之地为小差勾己从艮隅南行至栁树下乃山之艮为小差股戊斜行至栁下与己会乃山之地为小差戊东行减己南行为小差勾股较 又与戊斜行相并为小差较和槐栁斜相距步即太虚以减小差较和余一
百三十八步是小差较和与太虚较也乙东行不及甲南行一百一十九步为皇极勾股较也
术曰并二较自之得三万四千九百六十九皇极较自之得一万四千一百六十一 相减余二万○八百○八为实 二为隅算 平方开之得太虚一百○二 加小差较和与虚相较之数即城径负隅开平方法见一卷底勾底条
南门外不知步数有槐东门外不知步数有桞甲乙俱在干隅甲东行遇一小塔而立乙南行遇一大石塔而立二人遥相望槐栁俱与城相叅直计其行步则乙南行不及二塔斜相距步数少于小塔与栁相距五十六步甲东行不及二塔斜相距步数多于大塔与槐相距一百○五步问城径
释曰此通股较与下平较通勾较与上高较测望二塔相距通也丙南行通股不及二塔相距为股较小塔距栁下平也甲东行通勾也不及二塔相距勾较也槐距大塔上高也
术曰以股较不及平自之为实 二较相减为法除之得平勾六十四
若以勾较多高自之为实 二较相减为法除之得高股二百二十五
测圆海镜分类释术卷九
钦定四库全书