<子部,天文算法类,推步之属,御制历象考成
钦定四库全书
御制厯象考成上编卷八
交食厯理三
太阳食限
日食三限时刻
黄平象限白象限之同异
日食三差
求黄平象限及黄道髙弧交角并太阳髙弧求白平象限及白道髙弧交角并太阴髙弧求东西南北差
求日食食甚用时食甚交周食甚实纬求日食食甚真时及食甚视纬
求日食初复圆用时
求日食初亏复圆真时
日食分秒
定日食方位
绘日食图
太阳食限
日食之限不同于月食月食惟以太阴地影两视半径相并之数当黄白二道之距纬推距交之经度即为食限日食因有南北差其视纬度随地随时不同故太阳太阴两视半径不能定食限也夫最大之南北差一度零一分太阳最大之视半径一十五分三十二秒三十微太阴最大之视半径一十六分五十一秒两视半径相并得三十二分二十三秒三十微与南北差一度零一分相加得一度三十三分二十三秒三十微为视纬度以推距交经度得一十八度一十五分一十三秒为可食之限太阳最小之视半径一十四分五十九秒三十微太阴最小之视半径一十五分五十三秒三十微两视半径相并得三十分五十三秒与南北差一度零一分相加得一度三十一分五十三秒为视纬度以推距交经度得一十七度五十六分五十六秒为必食之限然在黄道北者必食在黄道南者或食或不食在黄道北者亦非普天之下皆见食但必有见食之地耳葢视差因地里之南北而殊而视纬又因实纬之南北而异故食限不可一槩而论也今以北极髙一十六度至四十六度之地而定食限则太阴距黄道北平朔之限得二十度五十二分实朔之限得一十八度一十五分太阴距黄道南平朔之限得八度五十一分实朔之限得六度一十四分要之视差之故多端食限不过得其大槩欲定食之有无必按法求得本地本时视纬度与太阳太阴两视半径相较若两视半径相并之数大于视纬者为有食小于视纬者为不食也
如图甲乙为黄道丙丁为
白道戊为实交巳庚为视
白道辛为视交太阳从甲
乙黄道行太阴实循丙丁
白道行因髙下差变髙为
下遂生南北差视之如循
巳庚行也如太阳在壬太
阴距黄道北在癸距戊交
约一十八度去太阳甚逺
因视差之故见太阴在子巳
与太阳两周相切故北纬以
距交一十八度为有食之始
也如太阳在丑太阴距黄道
南在寅距戊交约六度虽无
视差己与太阳两周相切故
南纬以距交六度为有食之
始也至于平朔之限又寛于
实朔者因实朔距平朔之行
度约二度三十七分故以此
数与实朔之限相加乃为平
朔之限与太阴食限之理同
日食三限时刻
日食止有三限一曰初亏一曰食甚一曰复圆而无食既生光葢太阳太阴之视径畧相等食甚之最大者不过食既方食甚即生光故止求三限时刻三限时刻维何曰用时曰近时曰真时此三者虽为三限所同而三限之中尤以食甚为本故今发眀三限时刻先详食甚时刻次及初亏而复圆如之食甚之理大槩与月食同但月食以太阴实经度当最近地影心之防为食甚故以实朢交周求得食甚交周相减为交周升度差以月实行比例得时分加减实望用时即得食甚时刻而无用时近时真时之名日食因有东西差【详后日食三差篇】必以太阴视经度当最近太阳之防为食甚其实经度与视经度既不同而实行与视行又不同故先以实朔交周求得食甚交周相减为交周升度差以月实行比例得时分加减实朔用时为食甚用时【详后求食甚用时篇】次以食甚用时求得东西差【详后求东西南北差篇】仍以月实行比例得时分加减食甚用时为食甚近时又以食甚近时求得东西差与用时东西差相较得视行然后以视行与用时东西差比例得时分加减食甚用时方为食甚真时【详后求食甚真时篇】是则食甚用时者乃在天实行日月相掩最深之时刻食甚真时者乃人目所见日月相掩最深之时刻而食甚近时者所以定视行以求用时与真时相距之时分者也夫食甚既有用时近时真时则初亏复圆亦必有用时近时真时乃今求日食初亏复圆用时则不以初亏复圆距食甚之时分加减食甚用时而以初亏复圆距食甚之时分加减食甚真时为初亏复圆用时【详后求初亏复圆用时篇】次以初亏复圆用时求得东西差与食甚之东西差相较得视行乃以视行与初亏复圆距食甚之度比例得时分加减食甚真时即为初亏复圆真时【详后求初亏复圆真时篇】然而不用近时者葢为近时所以求视行今食甚巳有东西差则与初亏复圆东西差相较即可以得视行故不必又求近时也要之求日食三限时刻必先求食甚真时而欲求食甚真时必先求食甚用时有食甚用时然后可以知三差之大小而三限时刻皆由此次第生焉此日食所以异于月食也
如图甲乙为黄道甲丙为
白道甲为交防丁为太阳
戊为太阴甲巳为实朔交
周与甲丁等故巳防为实
朔用时之度然丁巳相距
犹逺试自白极过太阳丁
作丁戊垂弧与白道成直
角则丁戊之距必近于丁
巳故戊防为食甚用时之
度甲戊为食甚交周丁戊
为食甚实纬戊巳为交周
升度差以一小时之月实
行与戊巳交周升度差相
比得时分加减巳防实朔
用时得戊防为食甚用时
【此太阴在两交后由甲向丙故甲巳度多甲戊度少
应减戊巳距时若太阴在两交前由丙向甲则丙巳
度少丙戊度多应加戊巳距时】既得食甚
用时如戊则自用时求近
时今太阴实经度虽在戊
因有东西差而用时之视
经度却在庚则尚在食甚
前故求得庚戊东西差以
一小时之月实行相比得
时分加于戊点食甚用时
得辛点为食甚近时【庚戊与戊
辛等】若使辛点近时之东西
差与戊点用时之东西差
等则实经度在辛视经度
即在戊而近时即为真时
又何用求真时然近时实
经度虽在辛而近时之东
西差复不同于用时之东
西差故近时之视经度却
又在壬则仍在食甚前夫
食甚用时因东西差而见
太阴在庚食甚近时又因
东西差而见太阴在壬是
自戊点食甚用时至辛点
食甚近时止见太阴行庚
壬之分故以庚壬视行与
戊辛弧所变时分之比即
同于庚戊东西差与戊癸
弧所变时分之比加于戊
点食甚用时得癸点为食
甚真时葢食甚真时之东
西差如戊癸必使太阴实
经度在癸而视经度乃在
戊方为人目所见日月相
掩最深之时刻也【此太阴视经度
在实经度西故加东西差所变时分若太阴视经度
在实经度东则减东西差所变时分详下二篇】又如子为初亏限太阴所
在丑为复圆限太阴所在
丁子丁丑皆太阳太阴两
视半径相并之数今命丁
戊为食甚视纬【丁戊原系食甚实纬
今借为食甚视纬以明其理】用正弧三
角形求得子戊或戊丑为
初亏复圆距食甚之弧【子弧
与弧丑等】以一小时之月实行
相比得时分即初亏复圆
距食甚之时分今求初亏
复圆用时论理当于戊点
食甚用时内减子戊弧所
变时分得子点为初亏用
时然后求初亏近时及真
时但丁戊既为食甚真时
之视纬则求初亏用时即
于食甚真时内减初亏距
食甚之时分得数为密故
于癸点食甚真时内减与子
戊弧相等之寅癸弧所变时
分得寅点为初亏用时因初
亏用时之东西差不同于食
甚真时之东西差其视经度
却在夘则己过初亏后夫食
甚真时因东西差而见太阴
在戊初亏用时又因东西差
而见太阴在夘是自寅点初
亏用时至癸点食甚真时止
见太阴行夘戊之分故夘戊
即为视行而不必又求初亏
近时以夘戊视行与寅癸弧
所变时分之比即同于子戊
初亏距食甚之度与辰癸弧
所变时分之比于癸点食甚
真时内减
之得辰点为初亏真时葢初
亏真时之东西差如辰子必
使太阴实经度在辰而视经
度乃在子方为人目所见日
月两周初切之时刻也复圆
时刻仿此但与食甚时刻加
减相反
黄平象限白平象限之同异
新法厯书推算日食三差以黄平象限为本【黄平象限乃黄道在地平上半周折中之处东西距地平各一象限故名黄平象限又名九十度限】今按三差并生于太阴而太阴之经纬度为白道经纬度用白道较之用黄道为密【详见下日食三差篇】故今推算日食三差以白平象限为本【白平象限即白道在地平上半周折中之处东西距地平亦各一象限】然求白平象限诸数必由黄平象限诸数而得不合论之不见其同异不分论之不得其疎密今将黄平象限白平象限之同异详具图说如左
如图甲为天顶甲乙丙丁
为子午圈乙丙为地平丁
为赤极【即北极】戊巳庚为赤
道按黄赤大距二十三度
二十九分三十秒作辛壬
负黄极圈任取癸点为黄
极则子丑为黄道自黄极
癸过天顶甲作癸甲子寅
过黄极经圈则子点为黄
平象限夘为黄道出地平之
点辰为黄道入地平之点子
夘子辰皆九十度黄道与赤
道交于巳午己为春分午为
秋分宗动天左旋惟赤极丁
点不动自赤极丁过天顶甲
之经圈即子午圈故赤道地
平上半周折中之戊点常在
正午若黄极则随天左旋一
曰绕赤极一周惟黄极正当
赤极之上如辛或正当赤极
之下如壬则黄赤大距当正
午自黄极过天顶甲之黄道
经圈即与子午圈合故黄平
象限亦在正午今黄极癸在
赤极西半周则自黄极癸过
天顶甲所
作之癸甲子寅经圈其南半
周必在子午圈之东故黄平
象限子点即在正午东出地
夘点在赤道北入地辰点在
赤道南春分后未点当正午
而子未即黄平象限距正午
东之度子寅即黄平象限距
地平之髙也若黄极癸在赤
极东半周则自黄极癸过天
顶甲所作之癸甲子寅经圈
其南半周必在子午圈之西
故黄平象限子点即在正午
西出地夘点在赤道南入地
辰点在赤道北秋分前申点
当正午而申子即黄平象限
距正午西之度子寅即黄平
象限距地
平之髙也夫黄极随天左旋
一日既绕赤极一周则白极
随天左旋一日亦绕黄极一
周今按朔望时黄白大距四
度五十八分三十秒作酉戌
负白极圈任取亥点为白极
则干坎为白道自白极亥过
天顶甲作亥甲干艮过白极
经圈则干点为白平象限震
为白道出地平之点巽为白
道入地平之点干震干巽皆
九十度白道与黄道交于离
坤离为正交坤为中交惟白
极正当黄极之上如酉或正
当黄极之下如戌则黄白大
距当黄平象限自白极过天
顶甲之白
道经圈即与黄道经圈合故
白平象限与黄平象限同度
今白极亥在黄极西半周则
自白极亥过天顶甲所作之
亥甲干艮经圈其南半周必
在黄道经圈之东故白平象
限干点即在黄平象限东出
地震点在黄道北入地巽点
在黄道南正交后兊点当黄
平象限而干兊即白平象限
距黄平象限东之度干艮即
白平象限距地平之髙也设
太阴在干兊之间则所当黄
道度为限东视经度差而东
其时刻宜减而白道度实为
限西视经度差而西其时刻
则宜加也
若白极亥在黄极东半周则
自白极亥过天顶甲所作之
亥甲干艮经圈其南半周必
在黄道经圈之西故白平象
限干点即在黄平象限西出
地震点在黄道南入地巽点
在黄道北中交后亢点当黄
平象限而干亢即白平象限
距黄平象限西之度干艮即
白平象限距地平之髙也设
太阴在干亢之间则所当黄
道度为限西视经度差而西
其时刻宜加而白道度实为
限东视经度差而东其时刻
则宜减也又白平象限距地
平之干艮弧髙于黄平象限
距地平之
子寅弧则白道直而昻黄道
斜而低白道髙弧交角必小
于黄道髙弧交角如白平象
限距地平之干艮弧低于黄
平象限距地平之子寅弧则
白道斜而低黄道直而昻白
道髙弧交角必大于黄道髙
弧交角也按京师赤极髙四
十度弱黄平象限最髙者七
十三度余最低者二十六度
余白平象限最髙者七十八
度余最低者二十一度余黄
平象限距正午偏至二十四
度余白平象限距黄平象限
偏至十度余地愈近南赤极
愈低则限距地平愈髙而所
偏之度愈
少地愈近北赤极愈髙则限
距地平愈低而所偏之度愈
多也
日食三差
推歩日食较之推歩月食为甚难者以有三差也三差维何一曰髙下差【即地半径差】一曰东西差【新法厯书为太阴黄道经差今定为太阴白道经差】一曰南北差【新法厯书为太阴黄道纬差今定为太阴白道纬差】然东西差南北差又皆由髙下差而生其故何也葢食甚用时以地心立算人自地面视之遂有地半径差而太阳地半径差恒小太阴地半径差恒大于太阴地半径差内减太阳地半径差始为太阴髙下差髙下差既变真髙为视髙故经度之东西纬度之南北亦皆因之而变也新法厯书求东西南北差以黄平象限为本者葢以太阴在黄平象限东者视经度恒差而东太阴在黄平象限西者视经度恒差而西差而东者时刻宜减差而西者时刻宜加故日食之早晚必征之东西差而后可定也北极出地二十三度半以上者黄平象限恒在天顶南太阴之视纬度恒差而南北极出地二十三度半以下者黄平象限有时在天顶北太阴之视纬度即差而北差而南者实纬在南则加在北则减差而北者实纬在南则减在北则加故日食之浅深必征之南北差而后可定也其法自黄极作两经圏一过真髙一过视髙两经圏所截黄道度即实经度与视经度之较是为东西差两经圏之较即实纬度与视纬度之较是为南北差三差相交成正弧三角形直角恒对髙下差黄道髙弧交角恒对南北差余角恒对东西差惟太阴正当黄平象限则黄道经圏过天顶与髙弧合真髙视髙同在一经圏上故髙下差即南北差而无东西差黄平象限正当天顶则黄道与髙弧合真髙视髙同在黄道上故髙下差即东西差而无南北差过此距黄平象限愈近交角愈大则南北差大而东西差小距黄平象限愈逺交角愈小则南北差小而东西差大故必先求黄平象限及黄道髙弧交角而后东西南北差可次第求焉今按太阴之经度为白道经度食甚实纬又与白道成直角则东西差乃白道之经差非黄道之经差也南北差乃白道之纬差非黄道之纬差也三差相交成正弧三角形亦白道与白道经圏及髙弧所成之三角形非黄道与黄道经圏及髙弧所成之三角形也夫白道与黄道斜交则白平象限之与黄平象限白道髙弧交角之与黄道髙弧交角亦皆有不同新法厯书因日食近两交黄白二道相距不逺故止用黄道为省算究之必用白道方为密合故今求东西南北差以白平象限为本然白平象限以黄平象限为根而白道髙弧交角又以黄道髙弧交角为据知太阴距黄平象限东西及黄道髙弧交角则可知太阴距白平象限东西及白道髙弧交角矣
如图甲为天顶甲乙丙丁
为子午圏乙丙为地平丁
为赤极戊己为负黄极圏
戊为黄极庚辛为黄道壬
为黄平象限距地平辛九
十度癸子为负白极圏癸
为白极丑寅为白道夘为
白平象限距地平寅亦九
十度凡日食求三差必自
天顶甲过太阴所在至地平
辰作甲辰髙弧即髙下差所
由生也设食
甚用时太阳在己太阴实髙
亦在巳视髙在午巳午为髙
下差以黄道论之自黄极戊
作两经圈一至实髙巳一至
视髙午截黄道于未两经度
之较为巳未即东西差两经
圈之较为未午即南北差此
时太阴实经度巳防在黄平
象限壬防之西视经度未防
更差而西自人视之尚在食
甚前故时刻应加而迟又太
阴实髙在巳正当黄道视髙
在午在黄道南故距纬应加
而逺三差相
交成巳午未正弧三角形未
为直角对巳午髙下差未巳
午角为黄道髙弧交角对未
午南北差巳午未角为黄道
交髙弧之余角对巳未东西
差故知未巳午角及巳午弧
即可求巳未弧及未午弧也
今以白道而论则应自白极
癸作两经圈一至实髙巳一
至视髙午截白道于申则巳
申为东西差申午为南北差
此时太阴实经度巳防在白
平象限夘防之西而视经度
申防亦更差而西太阴实髙
在己正当黄道视髙在午亦
在黄道南其东西差南北差
之加减并
与黄道同但三差相交却成
巳午申正弧三角形申为直
角对巳午髙下差申巳午角
为白道髙弧交角对申午南
北差巳午申角为白道交髙
弧之余角对巳申东西差此
申巳午交角小于未巳午交
角故申午南北差小于未午
南北差而巳午申余角大于
巳午未余角故巳申东西差
大于巳未东西差以此推食
甚之时刻较之用黄道者必
稍迟而食甚之距纬较之用
黄道者必稍近故必知申巳
午角及巳午弧然后可求巳
申弧及申午弧也
设食甚用时太阳在巳太阴
实髙在午午巳为实纬在黄
道北视髙【午为直角】在未午未
为髙下差以黄道论之太阴
正当黄平象限壬午未髙下
差即南北差而无东西差故
食甚用时即食甚真时今以
白道而论则太阴午防尚在
白平象限夘防之西自白极
癸作两经圈一至实髙午一
至视髙未截白道于申则申
午为东西差申未为南北差
自人视之尚在食甚前其时
刻应加而迟待太阴由午行
至酉则实髙在酉视髙在戌
自白极癸至视髙戌作经圈
截白道于午午为直角
截黄道于巳必过日月两
心其视经度正当食甚用
时午防故太阴行至酉防
之时刻方为食甚真时而
酉午为真时东西差午戌
为真时南北差于午戌真
时南北差内减午巳实纬
余巳戌为视纬在黄道南
也【实纬在黄道北应减南北差因南北差大于实
纬故于南北差内反减实纬余即为视纬】此时
东西差差三分余则食甚
差至半刻而初亏复圆亦
必皆差半刻彼以黄道论
者太阳在巳太阴在未固
不得为食甚真时而午未
髙下差即南北差与午巳
实纬亦非一线故不得相
减为视纬也
若设食甚用时为太阴与太
阳黄道同度而食甚实纬为
与黄道成直角食甚用时太
阳在壬太阴实髙在午午壬
为实纬视髙在未午【壬为直角】未
髙下差即南北差而无东西
差则食甚用时即为食甚真
时于午未南北差内减午壬
实纬余午未为视纬然以白
道而论则应自白极癸过太
阳壬作经圈截白道于戌戌
壬为白道纬度而戌壬近于
午壬则太隂在戌为【戌为直角】食
甚用时而在午非食甚用时
也待太阴由戌行至亥则实
髙在亥视髙在申自白极癸
至视髙申壬为直角戌为直
角
作经圈亦截白道于戌而截
黄道于壬必过日月两心其
视经度正当食甚用时戌防
故亥戌为东西差戌申为南
北差于戌申南北差内减戌
壬实纬余壬申为视纬而壬
申亦近于壬未则太阴在亥
为食甚真时而在午非食甚
真时也总之日月相距最近
为食甚而近莫近于白道成
直角故南北差亦必于白道
成直角方可以定视纬又太
阴在白平象限西则白道之
势东髙西下髙下差既变髙
为下则俟太阴过用时之东
其轨渐髙距日渐近故必用
白平象限
方可以定真时在限东者仿
此又
设赤极丁出地二十三度黄
极戊当地平则庚辛黄道与
髙弧合而黄平象限即在天
顶丑寅白道在天顶南白平
象限夘在正午之西食甚用
时太阳在辰太阴实髙在巳
巳辰为实纬在黄道北视髙
在午巳午为髙【巳为直角】下差
以黄道论之自黄极戊作两
经圈一过实髙巳截黄道于
未一过视髙午截黄道于申
未申畧与巳午等午申畧与
巳未等故巳午髙下差即同
于未申东西差而无南北差
待太阴实经度巳为直角
当黄道之酉则视经度当黄
道之辰与太阳同度而太阴
行至酉防之时刻即为食甚
真时然以白道而论则应自
白极癸作两经圈一过实髙
巳一过视髙午截白道于戌
则巳戌为东西差小于未申
东西差戌午为南北差在白
道南待太阴由巳行至亥则
实髙在亥视髙在干自白极
癸至视髙干作经圈截白道
于巳截黄道于辰必过日月
两心其视经度正当食甚用
时巳防故太阴行至亥防之
时刻即为食甚真时而亥巳
为真时东西差巳干为真时
南北差于
巳干真时南北差内减巳辰
实纬余辰干为视纬在黄道
南此白道亥巳东西差小于
黄道酉辰东西差则时刻必
差而早然东西差所差犹少
而白道巳干南北差较之黄
道无南北差者则所差甚多
此南北差差至三分则食分
差一分故新法厯书又以亥
巳为距时交周以加于实朔
交周为定交周巳过中交坎
防之后求得酉亥为实纬在
黄道南因以黄道立算无南
北差即以酉亥实纬为视纬
亦畧与辰干视纬等此乃借
补之法今以白道立算故即
用巳辰为
实纬而不用距时交周也
求黄平象限及黄道髙弧交角并太阳髙弧
东西南北二差生于髙下差而髙下差生于太阳太隂髙弧今求东西南北二差虽用白道然必先求黄平象限及黄道髙弧交角而求髙下差又止求太阳髙弧葢因合朔时太阴与太阳同度其髙弧畧等也夫黄道与赤道斜交赤道之髙度随地不同故黄平象限及黄道髙弧交角并太阳髙弧亦随地不同今求黄平象限所该诸数必按本地本时太阳距正午赤道度求得正午黄道经度及黄赤相距纬度并黄道与子午圈相交之角然后可推黄平象限距午东西与距地平之髙及黄道髙弧交角并太阳髙弧也
设太阳实行在春分后一
十五度为三宫一十五度
食甚用时为申正初刻求
黄平象限诸数如图甲为
天顶甲乙丙丁为子午圈
乙丙为地平丁为赤极丁
丙为京师赤极髙三十九
度五十五分戊己庚为赤道
戊乙为京师赤道髙五十度
零五分辛为黄极壬癸子丑
为黄道己为春分丑为交西
地平之防壬为黄平象限距
丑九十度癸为正午壬癸为
黄平象限距正午之度壬寅
为黄平象限距地平之度即
丑角度子为太阳实行黄道
经度子巳为距春分后一十
五度子壬为太阳距黄平象
限之度子夘为太阳髙弧丑
子夘角为黄道髙弧交角辰
为申正初刻戊辰为申正距
午正六十度辰巳为赤道同
升度一十三度四十八分二
十三秒与
戊辰距午正六十度相加得
戊巳七十三度四十八分二
十三秒为本时正午距春分
赤道经度先用癸己戊正弧
三角形求癸巳本时正午距
春分黄道经度及癸戊本时
正午黄赤相距纬度并黄道
与子午圈相交之癸角此形
有戊直角有己角为黄赤交
角二十三度二十九分三十
秒有戊己弧七十三度四十
八分二十三秒求得癸己弧
七十五度零五分一十秒即
知正午癸防距春分后二宫
一十【用戊己弧察二躔黄赤升度表亦得】五
度零五分一十秒为黄道之
五宫一十五用戊己弧察二
躔黄赤升度表亦得
度零五分一十秒也又求得
癸角八十三度三十七分零
四秒又求【秒为用癸己弧察日躔黄道赤
经交角表】得癸戊本时正午黄
赤距度二十二度三十九分
一十九秒与戊乙赤【亦得用癸己弧
察黄赤距度表】道髙五十度零五
分相加得癸乙弧七十二度
四十四分一十九秒为正午
黄道距地平之度次用癸乙
丑正弧三角形求丑角及癸
丑弧此形有乙直角有癸角
八十三度三十【亦得甲乙为子午圈
与地平成】七分零四秒有癸乙
弧七十二度四十四分一十
九秒求得丑角七十二度五
十分五十六秒为用 【直角】癸
己弧察日躔黄道赤【卿壬寅弧】经
黄平象限距地平之度又求
得癸丑弧八十八度零一分
一十八秒与壬丑弧九十度
相减余壬癸弧一度五十八
分四十二秒为黄平象限距
正午东之度以壬癸弧一度
五十八分四十二秒与本时
正午癸防黄道五宫一十五
度零五分一十秒相加得五
宫一十七度零三分五十二
秒即黄平象限壬防之度内
减太阳实行子防黄道经度
三宫一十五度余六十二度
零三分五十二秒即壬子弧
为太阳距黄平象限西之度
也于是用丑子夘正弧三角
形求子角
为黄道髙弧交角及子夘弧
为太阳髙弧此形有夘直角
有丑角七十二度五十分五
十六秒有子丑【即黄平象限距地平
之髙】弧二十七度五十六分零
八秒求得子角【即太阳距黄平象限
壬子弧之余】一十九度一十五
分一十九秒即黄道髙弧交
角又求得子夘弧二十六度
三十五分三十秒即太阳髙
弧也又随时求太阳髙
弧法春秋分日太阳在赤道
上无距纬者则以半径一千
万为一率本地赤道髙度之
正为二率各时刻距午正
赤道经度之余为三率所
得四率即本日各时即黄平
象限距地平之髙即太阳距
刻太阳髙弧之正也如图
甲乙丙为子午圈甲为天顶
乙丁丙为地平戊为北极戊
丙为京师北极髙三十九度
五十五分己丁庚为赤道己
乙为京师赤道髙五十度零
五分即春秋分午正太阳之
髙己辛为赤道髙度之正
如求春秋分日巳正太阳之
髙则从天顶甲过巳正作甲
巳壬髙弧其巳壬即巳正髙
弧己癸为己正髙弧之正
己距午正己三十度己己为
距午正三十度之矢己丁为
距午正三十度之余即成
己丁辛己丁癸同式两勾即
距夘正【即距夘正六十度之正】六十
度之正
股形故以己丁半径与己
辛赤道髙五十度零五分
之正之比即同于己丁
距午正三十度之余与
己癸己正髙弧之正之
比而得己癸髙弧之正
检表得己壬髙弧即春秋
分日己正太阳之髙也葢
春秋分日太阳循己丁赤
道行从丁出地平为夘正
渐髙距丁三十度为辰正
【毎一时当赤道三十度毎一刻当赤道三度四十五
分】距丁六十度为己正距
丁九十度至己为午正又
渐低距己三十度为未正
距己六十度为申正距己
九十度复从丁入地平为
酉正故春分日与秋分日
逐时之髙弧皆等而午前各
时与午后各时之髙弧亦等
也春秋
分前后太阳不在赤道上有
距纬则以本时距纬与赤道
髙度相加减各取其正相
加折半为中数相减折半为
夘酉髙弧之正乃以半径
一千万为一率各时刻距午
正赤道经度之余为二率
中数为三率所得四率为加
减差加夘酉髙弧正得距
赤道北各节气逐日时刻太
阳髙弧之正减夘酉髙弧
正得距赤道南各节气逐
日时刻太阳髙弧之正若
加减差小于
夘酉髙弧正即为太阳在
地平下无髙度也如图甲乙
丙为子午圈甲为天顶乙丁
丙为地平戊为北极戊丙为
京师北极髙三十九度五十
五分己丁庚为赤道己乙为
京师赤道髙五十度零五分
自春分至夏至以及秋分太
阳行赤道北辛巳即黄赤大
距二十三度二十九分三十
秒凡自春分以后太阳距赤
道北者皆如之辛壬为夏至
距等圈故夏至日太阳行辛
壬线从癸出地平自秋分至
冬至以及春分太阳行赤道
南己子亦即黄赤大距二十
三度二十
九分三十秒凡自秋分以后
太阳距赤道南者皆如之子
丑为冬至距等圈故冬至日
太阳行子丑线从寅出地平
求夏至冬至太阳午正前后
各时通用之数则以夏至距
纬辛己弧与赤道髙己乙弧
相加得辛乙弧七十三度三
十四分三十秒即夏至午正
太阳之髙其正辛夘以冬
至距纬己子弧与赤道髙己
乙弧相减余子乙弧二十六
度三十五分三十秒与丙壬
弧等即冬至午正太阳之髙
其正子辰与壬午等两正
相加得辛未半之得辛申
为中数两
正相减余酉夘半之得申
夘为【或以中数辛申与正辛夘相减即得申
夘或以中数申未与正夘未相减亦同】夘酉
正葢戌为夏至日夘正酉
正太阳所在戌亥为其髙弧
之正却与申夘等故申夘
为夘酉之正也今求夏至
日巳正太阳之髙巳干为髙
弧其正巳坎巳距午正辛
三十度辛巳为距午正三十
度之矢与己艮矢相当巳戌
为距午正三十度之余与
艮丁相当遂成辛申戌巳震
戌同式两【辛戌距等圈半径与己丁赤道
半径平行故其分线皆为相当比例】勾股形
今以辛戌距等圈半径与巳
戌距等圈余之比或以中
数辛申与正辛夘相减即
即如辛申中数与巳震加减
差之比因辛戌距等圈半径
与巳戌距等圈余之比原
同于己丁半径与艮丁余
之比则己丁半径与艮丁余
之比亦必同于辛申中数
与巳震加减差之比矣故以
己丁半径为一率艮丁距午
正三十度之余为二率辛
申中数为三率得四率巳震
为加减差与夘酉正震坎
相加得巳坎为巳干髙弧之
正检【震坎与申夘等】表得巳干
髙弧即夏至日巳正太阳之
髙也如求冬至日己正太阳
之髙巽离为【未正之髙弧同】髙弧
其正巽坤巽震坎与申夘
等未正之髙弧同
距午正子三十度子巽为
距午正三十度之矢与兊
壬等则兊角亦与巽坤等
而壬午又原与子辰等今
以壬午与兊角各引长加
一夘酉正申夘分得壬
亢与兊氐其壬亢戌勾股
形必与辛申戌勾股形相
等【各节辛戌与戌壬同为距等圈半径其分既等
则所余二边亦】而兊氐戌勾股形
亦必与巳震戌勾股形相
等故巳震加减差即与兊
氐等于兊氐内减去与申
夘相等之氐角余兊角与
巽坤等为巽离髙弧之正
检表得巽离髙弧即冬
【必等】至日己正太阳之【未正
之髙弧同】髙也其冬夏至前后
气并以距赤道南北纬度如
法求之如立夏在赤道北立
冬在赤道南其距纬相等则
其加减之数皆同用故求得
加减差以加夘酉髙弧正
得立夏日各时刻太阳髙弧
之正以减夘酉髙弧正
得立冬日各时刻太阳髙弧
之正至于立秋在赤道北
与立夏距赤道之纬度等其
各时刻太阳之髙弧必等而
立春在赤道南与立冬距赤
道之纬度等其各时刻太阳
之髙弧亦等故用一比例可
得四节气各时刻太阳之髙
弧也又随时求太阳髙弧用
斜
弧三角形法设如秋分后二
十五日太阳距赤道南一十
度求巳初初刻太阳髙弧若
干则以太阳距北极为一边
北极距天顶为一边巳初距
午正赤道经度为一角用知
两边一角而角在两边之间
求对边之法求得对边为太
阳距天顶之弧与一象限相
减余即太阳距地平之髙弧
也如图甲乙丙为子午圈甲
为天顶乙丙为地平丁为北
极戊己为赤道戊为午正赤
道南一十度如庚庚辛为距
赤道一十度之距等圈己初
距午正赤道经度为四十五
度赤道上
四十五度为戊壬从北极丁
出经圈过赤道壬防至庚辛
距等圈癸防即本日己初太
阳所在壬癸为距纬一十度
从天顶甲过太阳所在癸至
地平子作甲癸子髙弧即成
丁甲癸斜弧三角形此形有
丁角四十五度有丁甲边北
极距天【当戊壬弧】顶五十度零
五分有丁癸边太阳距北极
一百度求得甲癸边六十四
度五十九分四十八秒为太
阳距天顶与甲子象限九十
度相减余癸子二十五度零
一十二秒即此日巳初初刻
太阳距地平之髙弧也当戊
壬弧
求白平象限及白道髙弧交角并太阴髙弧
求白平象限及白道髙弧交角并太阴髙弧虽由黄平象限及黄道髙弧交角并太阳髙弧而得然而用弧三角细推之止用黄平象限用捷法加减之止用黄道髙弧交角细推之法食甚用时不在两交防者得数为密而立表则甚繁葢白道之交于黄道即如黄道之交于赤道黄平象限既因赤道之髙度而随地不同则白平象限亦必因黄道之髙度而随时不同也加减之法食甚用时不在两交防者得数少差而入算则甚简葢食限距交不过一十六度食限距纬不过一度太阴正当黄道者其数本同太阴虽不正当黄道者而得数亦畧相等也要之细推之法为眀其理加减之法为便于用今按法列图如左
设食甚用时太阳距黄平
象限西六十二度零三分
五十二秒黄平象限距地
平七十二度五十分五十
六秒太阳髙弧二十六度
三十五分三十秒黄道髙弧
交角一十九度一十五分一
十九秒太阴适当正交无纬
度求白平象限诸数如图甲
为天顶甲乙丙丁为子午圈
乙丙为地平丁为赤极戊为
黄极己庚为黄道辛为黄平
象限壬为白极癸子为白道
丑为白平象限食甚用时太
阳在寅辛寅为太阳距黄平
象限西六十二度零三分五
十二秒寅庚为其余辛夘为
黄平象限距地平七十二度
五十分五十六秒即庚角度
寅辰为太阳髙弧二十六度
三十五分三十秒庚寅辰角
为黄道髙
弧交角一十九度一十五
分一十九秒太阴适当正
交亦在寅丑寅为太阴距
白平象限西之度寅子为
其余丑己为白平象限距
地平之度即子角度寅辰
亦即太阴髙弧子寅辰角
为白道髙弧交角先用庚
寅子斜弧三角形求子角
【乃白平象限距地平髙之丑子己角之外角】及
寅子弧【乃太阴距白平象限丑寅弧之余】此形有庚角七十二度五
十分五十六秒有寅角为
黄白交角四度五十八分
三十秒有寅庚弧二十七
度五十六分零八秒【乃太阳距
黄平象限辛寅弧之余】求得子角一
百零二度四十六分零二
秒与半周相减余七十七度
一十三分五十八秒即丑子
巳角为白平象限距地平之
髙又求得寅子弧二十七度
一十九分一十六秒与九十
度相减余六十二度四十分
四十四秒即丑寅弧为太阴
距白平象限西之度次应用
子寅辰正弧三角形求寅角
为白道髙弧交角及寅辰弧
为太阴髙弧然子寅辰角即
庚寅辰黄道髙弧交角内减
庚寅子黄白交角之余故止
于庚寅辰黄道髙弧交角一
十【庚寅子角即朔望时黄白大距】九度一
十五分一十九秒内减庚寅
子黄白交角庚寅子角即朔
望时黄白大距
四度五十八分三十秒余子
寅辰角一十四度一十六分
四十九秒即白道髙弧交角
又太阴适当正交与太阳同
度太阳髙弧即太阴髙弧故
凡太阴适当正交无纬度者
即如此加减并不用细推也
又此所得白道髙弧交角既
小于黄道髙弧交角即知太
阴距黄平象限近距白平象
限逺在黄平象限辛防西者
必更在白平象限丑防之西
而黄道髙弧交角足减黄白
交角即知白平象限虽髙于
黄平象限犹未与髙弧合仍
在天顶南也设食甚用时太
阳仍在寅
而太阴过正交后如午食
甚交周过正交后五度五
十八分三十九秒如午未
【食甚交周白道度也】实朔交周过正
交后六度如寅未【实朔交周黄道
度也】则午申为太阴髙弧子
午申角为白道髙弧交角
先用庚未子斜弧三角形
求子角【乃白平象限距地平髙之丑子巳角
之外角】及未子弧【为与午未相加即太
阴距白平象限之余也】此形有庚角
七十二度五十分五十六
秒有未角为黄白交角四
度五十八分三十秒有未
庚弧二十一度五十六分
零八秒【庚寅为太阳距黄平象限之余二十
七度五十六分零八秒减寅未实朔交周过正交六
度余二十一度五十六分零八秒即未庚】求得
子角一百零二度三十一分
四十一秒与半周相减余七
十七度二十八分一十九秒
即丑子巳角为白平象限距
地平之髙又求得未子弧二
十一度二十六分五十三秒
与午未食甚交周过正交五
度五十八分三十九秒相加
得午子弧二十七度二十五
分三十二秒与九十度相减
余六十二度三十四分二十
八秒即丑午弧为太阴距白
平象限西之度次用子午申
正弧三角形求午角为白道
髙弧交角及午申弧为太阴
髙弧此形有申直角有子角
七十七度
二十八分一十九秒有午
子弧二十七度二十五分
三十二秒求得子午申角
一十四度零三分一十六
秒即白道髙弧交角又求
得午申弧二十六度四十
三分一十二秒即太阴髙
弧也
捷法不用求白平象限先
求白道髙弧交角自午作
午酉距等圈与寅庚平行
而午申亦畧与寅辰平行
则酉午申角畧与庚寅辰
角等【庚寅辰角即黄道髙弧交角】酉午
子角畧与庚未子角等【庚未
子角即黄白交角】故于庚寅辰黄
道髙弧交角一十九度一
十五分一十九秒内减去
庚未子黄白交角四度五十
八分三十秒余一十四度一
十六分四十九秒即如酉午
申角内减去酉午子角余子
午申角为白道髙弧交角也
较细推所得之数多一十三
分三十三秒而太阴亦仍在
白平象限西白平象限亦仍
在天顶南又午申太阴髙弧
亦畧与寅辰太阳髙弧等故
即命太阴髙弧为二十六度
三十五分三十秒较细推所
得之数少七分四十二秒然
用此二数求三差髙下差仅
多一秒东西差仅少二秒南
北差仅多一十二秒而时刻
食分皆不
过差数秒可以不计且立算
甚简捷可省白平象限立表
之繁也凡太阴距黄平象限
西而在正交前后则白道入
地平之子防必在黄道南太
阴由未向午入阴厯白道交
弧交角皆小于黄道髙弧交
角故凡太阴距黄平象限西
而在正交前后者皆于黄道
髙弧交角内减黄白交角余
即为白道髙弧交角若太阴
距黄平象限东而在中交前
后则白道南地平之子防必
在黄道南太阴由午向未入
阳厯白道髙弧交角亦小于
黄道髙弧交角故凡太阴距
黄平象限
东而在中交前后者亦于黄
道髙弧交角内减黄白交角
余为白道髙弧交角也设食
甚
用时太阳仍在寅而太阴适
当中交无纬度求白平象限
诸数则先用庚寅子斜弧三
角形求子角及寅子弧此形
有【即白平象限距地平之髙】庚角一百
【乃太阴距白平象限丑寅弧之余】零七度
零九分零四秒有寅角为黄
白交角【乃黄平象限距地平髙之辛庚夘角
之外角】四度五十八分三十
秒有寅庚弧二十七度五十
六分零八秒求得子角六十
八度二十【乃太阳距黄平象限辛寅弧之
余】七分二十秒即丑子巳即
白平象限距地平之髙乃太
角为白平象限距地平之髙
又求得寅子弧二十八度四
十六分零二秒与九十度相
减余六十一度一十三分五
十八秒即丑寅弧为太阴距
白平象限西之度次应用子
寅辰正弧三角形求寅角为
白道髙弧交角及寅辰弧为
太阴髙弧然子寅辰角即庚
寅辰黄道髙弧交角加庚寅
子黄白交角之数故以庚寅
辰黄道髙弧交角一十九度
一十五分一十九秒与庚寅
子黄白交角四度五十八分
三十秒相加得子寅辰角二
十四度一十三分四十九秒
即白道髙
弧交角又太阴适当中交与
太阳同度太阳髙弧即太阴
髙弧故凡太阴适当中交无
纬度者即如此加减并不用
细推也又此所得白道髙弧
交角虽大于黄道髙弧交角
而犹未满九十度即知太阴
虽距黄平象限逺距白平象
限近而犹未至白平象限亦
仍在白平象限丑防之西而
白道髙弧交角既大于黄道
髙弧交角即知白平象限低
于黄平象限更在天顶南也
设食甚用时太阳仍在寅而
太阴过
中交后如午食甚交周过中
交后五度五
十八分三十九秒如午未
【食甚交周白道度也】实朔交周过中
交后六度如寅未【实朔交周黄道
度也】则午申为太阴髙弧子
午申角为白道髙弧交角
先用庚未子斜弧三角形
求子角【即白平象限距地平之髙】及未
子弧【为与午未相加即太阴距白平象限之余
也】此形有庚角一百零七
度零九分零四秒【乃黄平象限距
地平髙之辛庚夘角之外角】有未角为
黄白交角四度五十八分
三十秒有未庚弧二十一
度五十六分零八秒【庚寅为太
阳距黄平象限之余二十七度五十六分零八秒减
寅未实朔交周过中交六度余二十一度五十六分
零八秒即未庚】求得子角六十八
度三十八分一十一秒即
丑子巳角为白平象限距地
平之髙又求得未子弧二十
二度三十六分零七秒与午
未食甚交周过中交五度五
十八分三十九秒相加得午
子弧二十八度三十四分四
十六秒与九十度相减余六
十一度二十五分一十四秒
即丑午弧为太阴距白平象
限西之度次用子午申正弧
三角形求午角为白道髙弧
交角及午申弧为太阴髙弧
此形有申直角有子角六十
八度三十八分一十一秒有
午子弧二十八度三十四分
四十六秒求得子午申角二
十四度二
十四分四十秒即白道髙
弧交角又求得午申弧二
十六度二十二分四十三
秒即太阴髙弧也
捷法不用求白平象限先
求白道髙弧交角自午作
午酉距等圈与寅庚平行
而午申亦畧与寅辰平行
则酉午申角畧与庚寅辰
角等【庚寅辰角即黄道髙弧交角】酉午
子角畧与庚未子角等【庚未
子角即黄白交角】故以庚寅辰黄
道髙弧交角一十九度一
十五分一十九秒与庚未
子黄白交角四度五十八
分三十秒相加得二十四
度一十三分四十九秒即
如酉午申角加酉午子角
得子午申角为白道髙弧交
角也较细推所得之数少一
十分五十一秒而太阴亦仍
在白平象限西白平象限亦
仍在天顶南又午申太阴髙
弧亦畧与寅辰太阳髙弧等
故即命太阴髙弧为二十六
度三十五分三十秒较细推
所得之数多一十二分四十
七秒然用以求三差所差亦
甚防可以不计凡太阴距黄
平象限西而在中交前后则
白道入地平之子防必在黄
道北太阴由未向午入阳厯
白道髙弧交角皆大于黄道
髙弧交角故凡太阴距黄平
象限西而
在中交前后者皆以黄道髙
弧交角如黄白交角即为白
道髙弧交角若太阴距黄平
象限东而在正交前后则白
道出地平之子防必在黄道
北太阴由午向未入阴厯白
道髙弧交角亦大于黄道髙
弧交角故太阴距黄平象限
东而在正交前后者亦以黄
道髙弧交角加黄白交角为
白道髙弧交角也设食甚用
时太阳距黄平象
限西五度黄平象限距地平
二十七度零五分零九秒太
阳髙弧二十六度五十八分
二十八秒黄道髙弧交角八
十七度二十
六分五十二秒太阴食甚交
周过中交后六度三十六分
三十七秒实朔交周过中交
后六度三十八分零七秒求
白平象限诸数如图甲为天
顶甲乙丙丁为子午圈乙丙
为地平丁为赤极戊为黄极
己庚为黄道辛为黄平象限
壬为白极癸子为白道丑为
白平象限食甚用时太阳在
寅辛寅为太阳距黄平象限
西五度寅庚为其余辛夘为
黄平象限距地平二十七度
零五分零九秒即庚角度寅
辰为太阳髙弧二十六度五
十八分二十八秒庚寅辰角
为黄道髙
弧交角八十七度二十六
分五十二秒太阴过中交
后在巳巳午为食甚交周
过中交后六度三十六分
三十七秒【食甚交周白道度也】寅午
为实朔交周过中交后六
度三十八分零七秒【实朔交周
黄道度也】丑未为白平象限距
地平之度即子角度己申
为太阴髙弧子己申角为
白道髙弧交角先用庚午
子斜弧三角形求子角及
午子弧此形有庚角一百
五十二度五十四分五十
一秒【乃黄平象限距地平髙之辛庚夘角之外
角】有午角为黄白交角四
度五十八分三十秒有午
庚弧七十八度二十一分
五十三秒【寅庚为太阳距黄平象限之余
八十五度减寅午实朔交周过中交六度三十八分
零七秒余七十八度二十一分五十三秒即午庚】求得子角二十六度三十
分即丑未弧为白平象限
距地平之髙又求得午子
弧八十八度一十分与己
午食甚交周过中交后六
度三十六分三十七秒相
加得己子弧九十四度四
十六分三十七秒内减九
十度余四度四十六分三
十七秒即丑巳弧为太阴
距白平象限东之度次用
子巳申正弧三角形求巳
角为白道髙弧交角及巳
申弧为太阴髙弧此形有
申直角有子角二十六度
三十分有巳子弧九十四度
四十六分三十七秒求得巳
角九十二度二十二分三十
二秒即白道髙弧交角又求
得己申弧二十六度二十四
分零三秒即太阴髙弧也捷
法自巳作巳
酉距等圈与寅庚平行而巳
申亦畧与寅辰平行则酉巳
申角畧与庚寅辰角等酉巳
子角畧与庚午子角【庚寅辰角即黄
道髙弧交角】等故以庚寅辰黄
道髙弧交【庚午子角即黄白交角】角
八十七度二十六分五十三
秒与子午庚黄白交角四度
五十八分三十秒相加得九
十二度二十五分庚寅辰角
即黄道髙弧交角庚午子角
二十三秒即如酉巳申角加
酉巳子角得子巳申角为白
道髙弧交角也此所得白道
髙弧交角过九十度即知太
阴过白平象限丑防之东又
寅辰太阳髙弧畧与巳申太
阴髙弧等故即命太阴髙弧
为二十六度五十八分二十
八秒也此太阴距黄平象限
西而在中交前后应以黄道
髙弧交角加黄白交角为白
道髙弧交角因加过九十度
即知太阴过白平象限东若
黄道髙弧交角加黄白交角
适足九十度即知太阴正当
白平象限而无距度凡黄道
髙弧交角
加黄白交角适足九十度
或过九十度者仿此
设赤极二十三度以下【为使
黄平象限近天顶白平象限过天顶北也】食甚
用时太阳距黄平象限西
四十度黄平象限距地平
八十七度五十五分太阳
髙弧四十九度五十七分
一十八分黄道髙弧交角
三度一十四分零六秒太
阴适当正交无纬度求白
平象限诸数如图甲为天
顶甲乙丙丁为子午圈乙
丙为地平丁为赤极戊为
黄极己庚为黄道己即为
黄平象限辛为白极壬癸
为白道壬即为白平象限
食甚用时太阳在子己子
为太阳距黄平象限西四十
度子庚为其余己丑为黄平
象限距地平八十七度五十
五分即庚角度子寅为太阳
髙弧四十九度五十七分一
十八秒庚子寅角为黄道髙
弧交角三度一十四分零六
秒太阴适当正交亦在子壬
子为太阴距白平象限西之
度子癸为其余壬夘为白平
象限距地平之度即癸角度
子寅亦即太阴髙弧癸子寅
角为白道髙弧交角先用庚
子癸斜弧三角形求癸角及
子癸弧此形有庚角八十乃
白平象【乃白平象限距地平髙之壬癸夘角
之外角】限距地平【乃太阴距白平象限
壬子弧之余】髙之壬癸夘角之
七度五十五分有子角为黄
白交角四度五十八分三十
秒有子庚弧五十度求得癸
【乃太阳距黄平象限己子弧之余】角八十
八度五十二分二十七秒与
半周相减余九十一度零七
分三十三秒即壬癸夘角为
白平象限距地平之髙因其
过于九十度故知白平象限
在天顶北又求得子癸弧四
十九度五十八分零五秒与
九十度相减余四十度零一
分五十五秒即壬子弧为太
阴距白平象限西之度次应
用子寅癸正弧三角形求子
角为白道髙弧交角及子寅
弧为太阴髙乃太阳距黄平
象限己子弧之余
弧然癸子寅角即庚子癸黄
白交角内减庚子寅黄道髙
弧交角之余故止于庚子癸
黄白交角四度五十八分三
十秒内减庚子寅黄道髙弧
交角三度一十四分零六秒
余癸子寅角一度四十四分
二十四秒即白道髙弧交角
又太阴适当正交与太阳同
度太阳髙弧即太阴髙弧也
此太阴距黄平象限西而当
正交入阴厯应于黄道髙弧
交角内减黄白交角余为白
道髙弧交角因黄道髙弧交
角小于黄白交角不足减故
于黄白交角内反减黄道髙
弧交角即
知髙弧在黄白二道之间
而白平象限在天顶北凡
黄道髙弧交角不足减黄
白交角者仿此以上诸图
皆以黄平象限在天顶南
设例若黄平象限在天顶
北则加减反是
求东西南北差
求东西南北二差以白道髙弧交角及髙下差为比例葢三差相交成正弧三角形直角恒对髙下差交角恒对南北差余角恒对东西差故以半径与交角余之比即同于髙下差正切与东西差正切之比而半径与交角正之比即同于髙下差正与南北差正之比也然交角虽有九十度而东西南北差止用四十五度前后互为消长其数相当亦如割圜八线四十五度前后互相为正余也
设如白道髙弧交角二十
五度二十五分髙下差四
十五分五十七秒求东西
南北差如图甲为天顶甲
乙丙丁为过白极经圈乙
丙为地平丁为白极戊己
为白道甲庚为髙弧太阴
实髙在辛视髙在壬己辛
庚角为白道髙弧交角二
十五度二十五分辛壬为髙
下差四十五分五十七秒自
白极丁至视髙壬作经圈截
白道于癸辛癸为东西差壬
癸为南北差乃用辛壬癸正
弧三角形求辛癸壬癸二弧
此形有癸直角有辛角二十
五度二十五分有辛壬弧四
十五分五十七秒求得辛癸
弧四十一分三十秒为东西
差又求得壬癸弧一十九分
四十三秒为南北差也总之
二差之大小由于髙下差如
髙下差大则二差俱大髙下
差小则二差俱小而二差之
互为消长则由于交角如同
一髙下差
而交角大于余角则东西差
小而南北差大余角大于交
角则东西差大而南北差小
故设交角九十度东西南北
差止用四十五度前后可以
互用如四十度之东西差即
五十度之南北差四十度之
南北差即五十度之东西差
也
求日食食甚用时食甚交周食甚实纬
食甚用时者太阴实行与太阳实行白道同度之时刻食甚交周者食甚用时太阴距交之白道经度而食甚实纬者食甚用时太阴距太阳之白道纬度也太阳距交之黄道经度与太阴距交之白道经度等是为东西同经即为实朔其距交之度为实朔交周然此时太阳与太阴相距犹逺惟自白极过太阳作经圈与白道成直角太阴实经行至此直角之防则与太阳相距最近是为食甚用时其距交之经度为食甚交周其相距之纬度即食甚实纬法以太阳距交黄道度【即实朔交周】求其相当之白道度即为食甚交周求其距纬即为食甚实纬以食甚交周与实朔交周相减余为交周升度差以一小时月实行相比得时分加减实朔用时即为食甚用时既有用时则可以东西差求近时与真时既有实纬则可以南北差求视纬故日食之时刻分秒虽不以用时与实纬而定而实以用时与实纬为入算之本也
设实朔用时为申正一刻
九分四十七秒实朔交周过
正交后一十二度一小时月
实行为三十三分求食甚用
时及食甚交周食甚实纬如
图甲乙为黄道甲丙为白道
甲为正交甲戊为实朔交周
过正交后一十二度与甲丁
等戊防为实朔用时之度己
防为食甚用时之度甲己为
食甚交周丁己为食甚实纬
乃用甲丁己正弧三角形求
甲己丁己二弧此形有己直
角有甲角为黄白交角四度
五十八分三十秒有甲丁弧
一十二度与甲戊实朔交周
等求得甲己弧一十一度五
十七分二
十二秒为食甚交周又求得
丁己弧一度零一分五十九
秒为食甚实纬以甲己食甚
交周与甲戊实朔交周相减
余戊己二分三十八秒为交
周升度差乃以一小时月实
行三十三分与一小时六十
分之比即同于戊己交周升
度差二分三十八秒与食甚
距实朔四分四十七秒之比
而得戊己交周升度差所变
时分因于实朔用时申正一
刻九分四十七秒内减四分
四十七秒得申正一刻五分
即食甚用时也此食甚在两
交后太阴由甲向丙而甲戊
实朔交周
度多甲己食甚交周度少故
于戊防实朔用时减戊己交
周升度差所变时分为食甚
用时若食甚在两交前太阴
由丙向甲而丙戊实朔交周
度少丙己食甚交周度多则
于戊防实朔用时加戊己交
周升度差所变时分为食甚
用时也
求日食食甚真时及食甚视纬
日食食甚时刻必以东西差加减用时方为真时而东西差之时分最为难定葢太阴因视差之故其行度时时不同若以实行比例加减用时而其时又有东西差必不与用时之东西差相等自人视之或在食甚前或在食甚后犹非食甚真时也故欲定东西差之时分必以视行为比例其法以一小时月实行与一小时之比即同于用时东西差与近时距分之比以加减食甚用时为食甚近时【太阴在白平象限西则加在白平象限东则减】又以近时求得东西差与用时之东西差相较得差分以加减用时东西差为食甚视行【用时之东西差小近时之东西差大则以差分减用时之东西差大近时之东西差小则以差分加或以用时之东西差倍之减近时之东西差所得亦同】乃以食甚视行与近时距分之比即同于用时东西差与真时距分之比以加减食甚用时即为食甚真时也既得食甚真时则以真时求得南北差与食甚实纬相加减即得食甚视纬矣【白平象限在天顶南者实纬在黄道南则加南北差而视纬仍为南实纬在黄道北则减南北差而视纬仍为北若实纬不足减南北差则反减而视纬即变为南白平象限在天顶北者反是】
设食甚用时为申正一刻五
分而在白平象限西其东西
差三分五十一秒一小时月
实行为三十三分求食甚真
时及食甚视纬如图甲为天
顶甲乙丙丁为过白极经圈
乙丙为地平丁为白极戊己
为白道戊为白平象限甲庚
为髙弧食甚用时太阴在辛
人从地面视之却见太阴在
壬当白道之癸尚在食甚辛
防之西三分五十一秒故辛
癸为东西差夫太阴实经度
在辛视经度既在癸待太阴
行过辛防三分五十一秒时
而实经度在子则视经度必
应在辛故
以一小时月实行三十三分
计之行辛癸弧三分五十一
秒须得时之七分则行子辛
弧三分五十一秒亦须得时
之七分是为近时距分因于
食甚用时申正一刻五分内
加七分得申正一刻十二分
是为近时也然近时既迟于
用时其时亦必有东西差乃
以近时复推得东西差为四
分五十一秒如子丑大于子
辛弧一分然则依用时之东
西差辛癸计之太阴在子视
之应在辛而依近时之东西
差子丑计之则太阴在子者
视之必应在丑仍在食甚辛
防之西一
分如辛丑是自食甚用时至
食甚近时止见太阴行丑癸
之度故以辛丑为差分以减
用时之东西差辛癸三分五
十一秒余丑癸二分五十一
秒为视行夫行丑癸弧二分
五十一秒既须时之七分则
行辛癸弧三分五十一秒必
须时之九分二十七秒矣故
以九分二十七秒为真时距
分以加食甚用时得申正一
刻十四分二十七秒为食甚
真时也葢食甚用时实经度
在辛视经度在癸而食甚近
时实经度在子视经度在丑
则食甚真时实经度必更在
子防之东
如寅人从地面视之却见太
阴在夘其视经度正当食甚
白道之辛故太阴行至寅防
方为食甚真时乃以真时推
得辛夘南北差为太阴白道
纬差以加减白道实纬即为
太阴距太阳之视纬也
求日食初亏复圆用时
欲求初亏复圆距食甚之时刻必先求初亏复圆距食甚之弧度其法以视纬为一边以太阳太阴两视半径相并为一边以视纬交白道之角为直角用正弧三角形求得初亏距食甚之弧亦即复圆距食甚之弧其理与月食同但月食初亏复圆距食甚之弧度等而时刻亦等日食因视差之故常变实行为视行其初亏复圆距食甚之弧度虽等而时刻则不等然不等者视行也而相等者实行也非先以实行求其相等之时刻无以求东西差而得视行故以一小时月实行与一小时之比即同于初亏复圆距食甚之度与初亏复圆距食甚时分之比以减食甚真时为初亏用时以加食甚真时为复圆用时既有初亏复圆用时则可以求初亏复圆真时故日食初亏复圆时刻虽不以用时为定而实以用时为入算之本也
设食甚真时为申初初刻
七分食甚视纬二十分太
阳视半径一十五分太阴视
半径一十六分一小时月实
行为三十三分求初亏复圆
用时如图甲乙为黄道甲丙
为白道丁为太阳丁戊为食
甚视纬二十分食甚时大阴
视经在戊初亏时太阴视经
在己复圆时太阴视经在庚
丁辛与丁壬皆太阳视半径
一十五分己辛与庚壬皆太
阴视半径一十六分丁己与
丁庚皆并径三十一分己戊
为初亏距食甚之弧戊庚为
复圆距食甚之弧其度相等
故用丁戊己正弧三角形求
己戊弧此形有戊直角有丁
戊弧二十
分有丁己弧三十一分求得
己戊弧二十三分四十一秒
为初亏距食甚之度亦即复
圆距食甚之度也但己戊与
戊庚之度虽等而大阴行此
度之时刻则不等故先以一
小时月实行三十三分与一
小时六十分之比即同于己
戊或戊庚二十三分四十一
秒与初亏复圆距食甚时分
四十四分二十四秒之比而
得己戊或戊庚所变时分因
于食甚真时申初初刻七分
内减四十四分二十四秒得
未正一刻七分三十六秒即
初亏用时于食甚真时申初
初刻七分
加四十四分二十四秒得申
初三刻六分二十四秒即复
圆用时也
求日食初亏复圆真时
日食初亏复圆真时即以初亏复圆用时求之而得与求食甚真时又用近时者不同葢食甚己有东西差则可相较得视行以为比例也其法以初亏复圆两用时各按法求其东西差同限者以其东西差与食甚之东西差相减为差分以加减初亏复圆距食甚之度为初亏复圆时视行异限者以其东西差与食甚之东西差相并为差分以减初亏复圆距食甚之度为初亏复圆时视行【初亏与食甚同在白平象限东而初亏东西差大于食甚东西差则以初亏差分减初亏东西差小于食甚东西差则以初亏差分加若初亏与食甚同在白平象限西则加减反是复圆与食甚同在白平象限东而复圆东西差大于食甚东西差则以复圆差分加复圆东西差小于食甚东西差则以复圆差分减若复圆与食甚同在白平象限西则加减反是若初亏在限东食甚在限西或食甚在限东复圆在限西则俱以差分减】乃以初亏视行与初亏用时距食甚时分之比即同于初亏距食甚之度与初亏真时距食甚时分之比以减食甚真时即为初亏真时以复圆视行与复圆用时距食甚时分之比即同于复圆距食甚之度与复圆真时距食甚时分之比以加食甚真时即为复圆真时也
设食甚真时为申初初刻七
分而在白平象限西其东西
差一十八分五十四秒初亏
距食甚之弧为二十三分四
十一秒比例得时分四十四
分二十四秒初亏用时为未
正一刻七分三十六秒求初
亏真时如图甲为天顶甲乙
丙丁为过白极经圈乙丙为
地平丁为白极戊己为白道
戊为白平象限甲庚为髙弧
食甚真时太阴在辛人从地
面视之却见太阴在壬当白
道之癸正当食甚之防辛癸
为食甚东西差一十八分五
十四秒子为初亏子癸为初
亏距食甚
之弧二十三分四十一秒夫
太阴行过食甚癸防一十八
分五十四秒时而实经度在
辛视经度既在癸则太阴行
过初亏子防一十八分五十
四秒时而实经度在丑视经
度必应在子是故丑子与辛
癸等丑辛亦与子癸等丑防
即为初亏用时然初亏在食
甚前其时亦必有东西差乃
以初亏用时复推得东西差
为一十二分零二秒如丑寅
小于丑子弧六分五十二秒
然则依食甚之东西差辛癸
计之太阴在丑视之应在子
而依初亏之东西差丑寅计
之则太阴
在丑者视之必应在寅己过
初亏子防之东六分五十二
秒如子寅是自初亏用时至
食甚真时止见太阴行寅癸
之度故以子寅为差分以减
初亏距食甚之子癸二十三
分四十一秒余寅癸一十六
分四十九秒为视行夫行寅
癸弧一十六分四十九秒既
须时之四十四分二十四秒
则行子癸弧二十三分四十
一秒必须时之一时零二分
五十秒矣故以一时零二分
五十秒为初亏距时以减食
甚真时得未正初刻四分一
十秒为初亏真时葢食甚真
时实经度
在辛视经度在癸而初亏用
时实经度在丑视经度在寅
则初亏真时实经度必更在
丑防之西如夘人从地面视
之却见太阴在辰其视经度
正当初亏白道之子故太阴
行至夘防方为初亏真时也
复圆真时仿此
日食分秒
日食分秒以太阳与太阴两视半径相并内减食甚视纬余为两体相掩之分乃命太阳视径为十分以视经度分与十分之比即同于减余度分与十分中几分之比而得食分为太阳视径十分中之几分也或食甚视纬大于并径则两周不相切为不食食甚视纬仅与并径等则两周相切而不相掩亦为不食或太阴正当黄道而无食甚视纬即以并径为食分两心相掩是为全食若遇太阴视径小于太阳视径则四周露光名为金环食也
如图甲乙丙为黄道丁戊
己为白道乙为太阳心戊
为太阴心乙戊为视纬庚
辛为太阳视径壬癸为太
阴视径乙癸为两视半径
相并之数内减乙戊视纬
余戊癸与壬辛等为太阴
掩太阳之分以太阳全径
庚辛作十分计之则壬辛得
五分有余为食分也又如庚
辛为太阳视径壬癸为太阴
视径乙戊为视纬与乙辛壬
戊两视半径相并之数等则
太阴与太阳两周相切而不
相掩其视纬大于并径者则
愈不相掩矣又如太阴视经
度正在两道之交而无纬度
则太阴心与太阳心相合于
乙全掩太阳之光是为全食
或太阴之视径壬癸小于太
阳之视径庚辛则大阳四周
露光如金环也
定日食方位
厯来厯书定日食初亏复圆方位月在黄道北初亏西北复圆东北月在黄道南初亏西南复圆东南食八分以上初亏正西复圆正东此东西南北主黄道之经纬言与人目所见地平经度之东西南北颇不相合故今亦如月食之法定初亏复圆之防在日体之上下左右乃于仰观为亲切也其法亦从天顶作髙弧过日心至地平即分日体为左右两半周又平分为上下两象限即成左上左下右上右下四象限乃视月距黄道之南北距黄平象限之东西及交角之大小而初亏复圆之防可定矣如月在黄道上无纬度又在黄平象限上而交角满九十度则初亏正右复圆正左在黄平象限西而交角在四十五度以上则初亏右稍偏下复圆左稍偏上交角在四十五度以下则初亏下稍偏右复圆上稍偏左在黄平象限东者反是若月在交前后有距纬则必求纬差角与交角相加减为定交角然后可定其上下左右也
如图甲乙丙为黄道一象
限丁乙戊为髙弧乙为日心
因在黄平象限西故黄道左
昻右低己为日食初亏之月
心庚为日食复圆之月心月
心正在黄道上无距纬而甲
乙戊或丙乙丁交角在四十
五度以下其初亏辛防在日
体之下稍偏右复圆壬防在
日体之上稍偏左也若日在
黄平象限东则黄道左低右
昻而甲乙丁或丙乙戊交角
在四十五度以上故初亏辛
防在日体之右稍偏上复圆
壬防在日体之左稍偏下也
如日在黄平象限西而月在
黄道北则
初亏以己乙
甲纬差角与甲乙戊交角相
加得己乙戊为定交角在四
十五度以上故初亏辛防在
日体之右稍偏下复圆以庚
乙丙纬差角与丙乙丁交角
相减余庚乙丁为定交角在
四十五度以下故复圆壬防
在日体之上稍偏左也若日
在黄平象限东则初亏之纬
差角为减复圆之纬差角为
加与此相反如日在黄平象
限西而月在【求纬差角与加减之法并
同月食】
黄道南则初亏以己乙甲纬
差角与甲乙戊交角相减余
己乙戊为定交角在四十五
度以下故初亏求纬差角与
加减之法并同月食
辛防在日体之下稍偏右复
圆以庚乙丙纬差角与丙乙
丁交角相加得庚乙丁为定
交角在四十五度以上故复
圆壬防在日体之左稍偏上
也若日在黄平象限东则初
亏之纬差角为加复圆之纬
差角为减与此相反
绘日食图
凡绘日食图先作横竪二线直角相交横线当黄道竪线当黄道经圈用日半径为度于中心作圜以当日体又以日月两半径相并为度作虚圈为初亏复圆之限次视实交周系初宫十一宫则于虚圈上周黄经线右取黄白大距五度作识实交周系五宫六宫则于虚圈上周黄经线左取黄白大距五度作识乃自所识作线过圜心至虚圈下周即为白道经圈于此线上自圜心取食甚视纬度作识即食甚时月心所在从此作横线与白道经圈相交成直角即为白道而白道与虚圈右周相割之防即初亏时月心所在白道与虚圈左周相割之防即复圆时月心所在也末以初亏食甚复圆三防各为心月半径为度各作一圜以当月体即初亏食甚复圆之象宛然在目矣
如图甲乙竪线如黄道经
圈丙丁横线如黄道戊巳
庚圈如日体甲丙乙丁虚
圈为初复圆之限其半
径丙辛为日月两半径之
共数设实交周初宫或十
一宫则于虚圈上周甲乙
经线之右取黄白大距五
度如甲壬从壬作线过圜
心辛至下周癸为白道经
圈于壬癸白道经圈上自
圜心辛向下取食甚视纬
度如辛子此子防即食甚
时月心所在也【此以实交周十一宫
为例其纬在南故自圜心辛向下取子若实交周
是初宫其纬在北则自圜心辛向上取子】乃
从子取直角作丑寅线与
壬癸白道经圈相交即为
白道而白道割虚圈右周
丑防为初限割左周寅
防为复圆限以丑子寅三
各为心月半径为度作圜
以象月体即见月心至丑其
周切日日体缺是为初
从丑至子掩日最大是为食
甚从子至寅月已离日日光
全满是为复圆也御制厯象
考成
上编卷八