<子部,天文算法类,推步之属,历算全书>
钦定四库全书
歴算全书卷二十七
宣城梅文鼎撰
交食防求卷二
日食附说
第一求
恒年表以首朔为根何也曰首朔者年前冬至后第一朔也因算交防必于朔望故以此为根也根有五种曰干支也太阳太隂各平引也太隂交周太阳经度各平行也太阳太隂各二而干支者所以纪之也西厯于七政皆起子正而此处首朔日食有小余者交防无一定之时故也纪日者年前冬至次日之干支也首朔日时者年前十二月朔距冬至之日时也以此相加得首朔之干支及其小余矣于是再以逐月之朔实加之得各月平朔干支及其小余矣
太阳平引与其经度不同何也曰太阳引数从最高冲起算而经度从冬至起算也冬至定于○宫初度最高冲在冬至后六七度且每年有行分此西厯与古法异者也
第二求
日定均者即古法之盈缩差也月定均者迟疾差也距弧者平朔与实朔进退之度也距时者平朔实朔进退之日时也因两定均生距弧因距弧生距时即古法之加减差也
第三求第四求五求
平朔既有进退矣则此进退之时刻内亦必有平行之数故各以加减平行而为实引也实引既不同平引则其均数亦异故又有实均以生实距弧及实距时也夫然后以之加减平朔而为实朔也
平朔古云经朔实朔古云定朔然古法定朔即定于第二求之加减差其三求四求之法古亦有之谓之定盈缩定迟疾则惟于算交食用之而西厯用于定朔此其微异者也
第六求【原为第九】
朔有进退则交周亦有进退故有实交周按古法亦有定交周其法相同然必先求次平行者以实朔原有两次加减也只用月实均者其事在月也其序原居第九今移此者以辨食限也
第七求【原为第六】
经度有次平行者以实朔有两次加减故经行亦有两次加减乃得日实度也只用日实均者其事在日也
第八求
问平朔者古经朔也实朔者古定朔也何以又有视朔曰此测騐之理因加减时得之古法所无也
何以谓之加减时曰所以求实朔时太阳加时之位也盖厯家之时刻有二其一为时刻之数其一为时刻之位凡布算者称太阳右移一度稍弱为一日又或动天左旋行三百六十一度稍弱为一日此则天行之健依赤道而平转其数有常于是自子正厯丑寅复至子正因其运行之一周而均截之为时为刻以纪节以求中积所谓时刻之数也凡测者称太阳行至某方位为某时为某刻此则太虚之体依赤道以平分其位一定于是亦自子正歴丑寅复至子正因其定位之一周而均分之为时为刻以测加时以凌犯所谓时刻之位也之二者并宗赤道宜其同矣然推二分之日黄赤同防【经纬并同】二至之日黄赤同经【纬异经同】则数与位合【所算时刻之数太阳即居本位与所测加时之位一一相符】不用加减时其过此以徃则二分后有加分加分者太阳所到之位在实时西二至后有减分减分者太阳所到之位在实时东也然则所算实朔尚非实时乎曰实时也实时何以复有此加减曰正惟实时故有此加减若无此加减非实时矣盖此加减时分不因里差而异【九州万国加减悉同非同南北东西差之随地而变】亦不因地平上高弧而改【高弧虽有高下加减时并同非若地半径及蒙气防差之以近地平多近天顶少】而独与实时相应【但问所得实时入某节气或在分至以后或在分至以前其距分至若同即其加减时亦同是与实时相应也】故求加减时者本之实时而欲辨实时之真者亦即徴诸加减时矣
其以二分后加二至后减何也曰升度之理也凡二分以后黄道斜而赤道直故赤道升度少升度少则时刻加矣二至以后黄道以腰围大度行赤道杀狭之度故赤道升度多升度多则时刻减矣
假如所算实朔巳定于某日午正时而以在二分后若干日当有加分则太阳加时之位必在午正稍西从而测之果在午正之西与加分数合即知实朔之在午正者真也
又如所算实朔是未正而在二至后当有减分太阳加时之位必在未正稍东从而测之果在未正之东与减分数合即知实朔之在未正者确也
加减时即视时也一曰用时其实朔时一曰平时加减时之用有二其一加减实时为视时则施之测騐可以得其正位如交食表之加减是其正用也其一反用加减以变视时为实时则施诸推步可以得其正算如月离表之加减是其反用也然其理无二故其数亦同也【月离表改用时为平时即是据所测视时求其实时以便入算】
古今测騐而得者并以太阳所到之位为时故曰加时言太阳加临其地也然则皆视时而已视时实时之分自厯书始发之然有至理厯家所不可废也
第九求【原为十求】
月距地者何即月天之半径也月天半径而谓之距地者地处天中故也地恒处天中则半径宜有恒距而时时不同者生于小轮也月行小轮在其高度则距地逺矣在其卑度则距地近矣每度之高卑各异故其距地亦时时不同也
日半径月半径者言其体之视径也论其真体日必大于月论其视径日月略相防所以能然者日去人逺月去人近也然细测之则其两视径亦时时不防此其故亦以小轮也日月在小轮高处则以逺目而损其视径在其卑处则以近日而増其视径矣
检表法不同者视半径表并起最高而加减表太阳引数起最卑太隂引数起最高故月实引只用本数而日实引加减六宫也
并径者日月两半径之縂数也两半径时时不同故其并径亦时时不同而时分之深浅因之亏复之距分因之矣
月实行者一小时之实行也其法以月距日之平行每日分为二十四限即一小时平行也各以其应有之加减分加减之即一小时之实行也虽亏复距甚未必皆为一小时而以此为法所差不逺【此与授时用迟疾行度内减八百二十分者同法】
第十求【原为十一】
縂时者何也以求合朔时午正黄道度分也何以不言度而言时以便与视朔相加也然则何不以视朔变为度曰日实度者黄道度也时分者赤道度也若以视朔时变赤道度亦必以日实度变赤道度然后可以相加今以日实度变为时即如预变赤道矣此巧算之法也其必欲求午正黄道何也曰以求黄平象限也【即表中九十度限】何以为黄平象限曰以大圏相交必互相均剖为两平分故黄赤二道之交地平也必皆有半周百八十度在地平之上【黄道赤道地平并为浑圆上大圏故其相交必皆中剖】其势如虹若中剖虹腰则为半周最高之处而两旁各九十度故谓之九十度限也此九十度限黄赤道并有之然在赤道则其度常居正午以其两端交地平常在卯正酉正也黄道则不然其九十度限或在午正之东或在午正之西时时不防【惟二至度在午正则九十度限亦在午正与赤道同法此外则无在午正者而且时时不同矣】其两端交地平亦必不常在卯正酉正【亦惟二至度在午正为九十度限则其交地平之处即二分防而黄道与赤道同居卯酉此外则惟赤道常居卯酉而黄道之交于地平必一端在赤道之外而居卯酉南一端在赤道之内而居卯酉北】而时时不等故也【黄道东交地平在卯正南其西交必酉正北而九十度限偏于午规之西若东交地平在卯正北其西交地平必酉正南而九十度限偏于午正之东则半周如虹者时时转动势使然也】盖黄道在地平上半周之度自此中分则两皆象限若从天顶作线过此以至地平必成三角而其势平过如十字故又曰黄平象限也【地平圏为黄道所分亦成两半周若从天顶作弧线过黄平象限而引长之成地平经度半周必分地平之两半周为四象限而此经线必北过黄极与黄经合而为一】
问黄平象限在午正必二至日有之乎曰否每日有之也凡太阳东升西没成一昼夜则周天三百六十度皆过午正而西故每日必有夏至冬至度在午正时此时此刻即黄平象限与子午规合而为一每日只有二次也自此二次之外二至必不在午正而黄平象限亦必不在二至矣观浑仪当自知之
黄平象限表以极出地分何也曰凖前论地平上黄道半周中折之为黄平象限其两端距地平不防而自非二至在午正则黄道之交地平必一端近北一端近南【亦前论所明】极出地渐以高则近北之黄道渐以出近南之黄道渐以没而黄平象限亦渐以移此所以随地立表也
求黄平象限何以必用縂时曰黄平象限时时不同即午规之地亦时时不同是午正黄道与黄平象限同移也则其度必相应是故得午正即得黄平【黄平限为某度其午正必为某度谓之相应然则午正为某度即黄平限必某度矣故得此可以知彼】而縂时者午正之度也此必用縂时之理也
日距限分东西何也曰所以定时差之加减也【凡用时差日在限西则加日在限柬则减】
日距地高何也曰所以求黄道之交角也【时差气差并生于交角又生于限距地及限距日】二者交食之关键而非黄平象限无以知之矣
日距地高何也谓合朔时太阳之地平纬度也亦曰高弧高弧之度随节气而殊故论赤纬之南北赤纬之南北同矣又因里差而异故论极出地极出地同矣又以加时而变故又论距午刻分极出地者南北里差距午刻分者东西里差也合是数者而日距地平之高可见矣
日赤纬加减宫数者何也纬表○宫起春分而日实度○宫起冬至故三宫以下加九宫三宫以上减去三宫以宫数变从纬表也
视朔时加减十二时者何也求太阳距午刻分也日在地平上之弧度惟正午为高其余则渐以下或在午前或在午后皆以距午为防其距午同者高弧之度亦同也视朔满十二小时是朔在午后也故内减十二时用其余为自午正顺数若不满十二时是朔在午前则置十二时以视朔减之而用其余为自午正逆推即各得其距午之刻分矣
其必求高弧者何也所以求月高下差也高下差在月而求日距地高者日食时经纬必同度故日在地平之高即月高也
何以为月高下差曰合朔时太隂之视高必下于真高其故何也月天在日天之内其间尚有空际故地心与地面各殊地所见谓之视高以较地心所见之真高徃徃变高为下以人在地靣傍视而见其空际也故谓之月高下差【地心见食谓之真食地靣见食谓之视食真食有时反不见食见视食时反非地心之真食纵使地心地靣同得见食而食分深浅亦必不同凡此皆月高下差所为也】
月高下差时时不同其縁有二其一为月小轮高卑即第九求之月距地数也在小轮卑处月去人近则距日逺而空际多高下差因之而大矣在小轮高处月去人逺则距日近而空际少高下差因之而小矣其一为高弧即本求之日距地高也高弧近地平从旁视而所见空际多则高下差大矣高弧近天顶即同正视而所见空际少则高下差小矣【若高弧竟在天顶即与地心所见无殊无高下差】小轮高卑天下所同高弧损益随地各异故当兼论也两圏交角何也曰日所行为黄道圏以黄极为宗者也人在地平上所见太阳之高下为地平经圏以天顶为宗者也此两圏者各宗其极则其相遇也必成交角矣因此交角遂生三差日食必求三差故先论交角也何以谓之三差曰高下差也东西差也南北差也是谓三差
三差之内其一为地平纬差即高下差前条所论近地平而差多者也其一为黄道经差即东西差其一为黄道纬差即南北差此三差者惟日食在九十度限则黄道经圏与地平经圏【即高弧】相合为一而无经差故但有一差【无经差则但有纬差是无东西差而有南北差也而两经纬既合为一则地平之高下差又即为黄道之南北差而成一差】若日食不在九十度而或在其东或在其西则两经圏不能相合为一遂有三差【月高下差恒为地平高弧之纬差而黄道经圏自与黄道为十字正角不与地平经合以生经度之差角是为东西差又黄道上纬度自与黄道为平行不与地平纬度合以生纬度之差角是为南北差东西南北并主黄道为言与地平之高下差相得而成句股形则东西差如句南北差如股而高下差常为之合之则成三差也】因此三差有此方见日食彼方不见或此见食分深彼见食分浅之殊故交食重之而其源皆出于交角
得数减象限何也以表所列为余角也表何以列余角曰三差既为句股形则有两圏之交角即有其余角而交角所对者为气差【即南北差】余角所对者为时差【即东西差】作表者盖欲先求时差故列余角然与两圏交角之名不相应故减象限而用其余以归交角本数也
定交角何也所以求三差之真数也何以为三差真数曰日食三差皆人所见太隂之视差而其根生于交角则黄道之交角也殊不知太隂自行白道与黄道斜交其交于地平经圏也必与黄道之交不同角则所得之差容有未真今以隂阳厯交黄道之角加减之为定交角以比两圏交角之用为亲切耳【详补遗】时差古云东西差其法日食在东则差而东为减差减差者时刻差早也日食在西则差而西为加差加差者时刻差迟也其故何也太阳之天在外太隂之天在内并东陞而西降而人在地靣所见之月度既低于真度则其视差之变高为下者必顺于黄道之势故合朔在东陞之九十度必未食而先见【限东一象限东下西高故月之真度尚在太阳之西未能追及于日而以视差之变高为下亦遂能顺黄道之势变西为东见其掩日矣】若合朔在西降之九十度必先食而后见【限西一象限黄道西下东高故月之真度虽已侵及太阳之体宜得相掩而以视差之故变高为下遂顺黄道之势变东而西但见其在太阳之西尚逺而不能掩日矣】而东西之界并自黄道九十度限而分此黄平象限之实用也问日月以午前东升午后西降何不以午正为限而用黄平象限乎曰此西法之合理处也何以言之日月之东升西降自午正而分者赤道之位终古常然者也日月之视差东减西加自九十度限而分者黄道之势顷刻不同者也若但从午正而分则加减或至于相反授时古法之交食有时而踈此其一端也问加减何以相反曰黄平限既与午正不同度则在限为西者或反为午正之东在限为东者或反为午正之西日食遇之则加减相违矣假如北极出地四十度设午正黄道【即縂时】为寳瓶十七度其黄平限为防鱼十一度在午正东二十四度而日食午初日实度躔二宫二度在限西九度宜有加差若但依午正而分则食在午前反当有减差是误加为减算必先天矣又设午正为天蝎二度其黄平象限为天秤八度在午正西二十四度而日食午正后二刻日实度躔九宫二十四度距限东十六度宜有减差若但依午正而分则食在午后反有加差是又误减为加算必后天矣
时差表有倒用之说何也曰此亦因交角表误列余角也今既以交角表之数减九十度为用则交角已归原度而此表不湏倒用矣
近时距分者何也即视朔时或加或减之时刻分也所以有此加减者时差所为也然何以不径用时差曰时差者度分也以此度分求月之所行则为时分矣【查厯指所谓时差即近时距分而东西差即时差表皆易之今姑从表以便查数也】
近时何也所推视朔时与真朔相近之时也食在限东此近时必在视朔时以前故减食在限西近时必在视朔时以后故加
十一求【原为十二】
近縂时何也近时之午正黄道度也朔有进退午正之黄道亦因之进退故仍以近时距分加减十求之视朔午正度为本求之近时午正度
既有近时又有近时之午正度则近时下之日距限及距限地高日距地高以及月高下差两圏交角凡在近时应有之数一一可推因以得近时之时差矣【内除月距地数在九求日赤纬在十求并用原数其余并改用近时之数故皆复求然求法并同十求】既得时差可求视行
视行者何也即近时距分内人目所见月行之度也何以有此视行曰时差所为也盖视朔既有时差则此时差所到之度即视朔时人所见月行所到差于实行之较也视朔既改为近时则近时亦有时差而又即为人所见近时月行所到差于实行之较矣此二者必有不同则此不同之较即近时距分内人所见月行差于月实行之较矣故以此较分加减时差为视行也本宜用前后两小时之时差较加减月实行为视行【如用距分减视朔者则取视朔前一小时之时差若距分加视朔者则取视朔后一小时之时差各取视朔时差相减得较以加减月实行即为一小时之视行】再用三率比例得真时距分法为月视行与一小时若时差度与真时距分也今以近时内之视行取之其所得真时距分防
何以明其然也曰先得时差即近时距分之实行也实行之比例防则视行之比例亦防
一 一小时实行 一小时视行 法为一小时之实行与二 一小时 一小时 一小时若时差度与近三 时差【近时距分之实行】视行【即近时距分之视行】时距分则一小时之视四 近时距分 近时距分 行与一小时亦若视行
度与近时距分也
一 一小时视行 视行 今一小时视行与一小二 一小时 近时距分 时既若时差与真时距
三 时差 时差 分则视行与近时距分四 真时距分 真时距分 亦必若时差与真时距
分矣
问视行之较一也而或以加或以减其理云何曰凡距分之时刻变大则所行之度分变少故减实行为视行若距分之时刻变小则所行之度分变多故加实行为视行假如视朔在黄平限之东时差为减差而近时必更在其东其时差亦为减差乃近时之时差所减大于视朔所减是为先小后大其距分必大于近时距分而视行小于实行其较为减又如视朔在黄平限之西时差为加差而近时必更在其西时差亦为加差乃近时之时差所加大于视朔所加是亦为先小后大其距分亦大于近时距分而视行亦小于实行故其较亦减二者东西一理也若视朔在黄平限东其时差为减而近时时差之所减反小于视朔所减又若视朔在黄平限西其时差为加而近时时差之所加反小于视朔所加此二者并先大后小则其距分之时刻变小矣时刻变小则视行大于实行而其较应加东西一理也
如图戊爲黄平象限甲爲视朔甲乙爲视朔时差甲丙甲丁并近时时差其甲乙时差爲视朔时顺黄道而差低之度变爲时卽爲近时距分此分在限东爲减差若在限西
卽爲加差其理一也若以甲丙爲近时差则大于甲乙其较度乙丙依实行比例求其较时则距分变而大矣距分变大者行分变小法当于甲乙差度内减去乙丙较度【卽乙庚】其余如甲庚则是先定甲乙距分行行甲乙度者爲实行而今定甲乙距分只行甲庚度者爲视行也故在东在西皆减也
又若以甲丁爲近时差则小于甲乙其较乙丁依实行比例求其较时则距分变而小矣距分变小者行分变大法当于甲乙差度外加入乙丁较度【亦卽乙庚】成甲庚则是先定甲乙距分行甲乙度者为实行而今定甲乙距分能行甲庚度者为视行也故在东在西皆加也防法用倍时差减近时差何也曰即加减也何以知之曰凡时差先小后大者宜减今于倍小中减一大是于先得时差内加一小时差减一大时差也即如以较数减先时差矣先大后小者宜加今于倍大内减一小是于先得时差内加一大时差减一小时差也即如以较数加先时差矣数既相合而取用不烦法之善者也真时距分者何也即视朔时或加或减之真时刻也其数有时而大于近时距分亦有时而小于近时距分皆视行所生也视行小于实行则真时距分大于近时距分矣视行大于实行则真时距分小于近时距分矣其比例为视行度于近时距分若时差度与真时距分也真时何也所推视朔之真时刻也真时在限东则必早于视朔之时真时在限西则必迟于视朔之时此其于视朔并以东减西加与近时同惟是真时之加减有时而大于近时有时而小于近时则惟以真时距分为防不论东西皆一法也
若真时距分大于近时距分而在限东则真时更先于近时在限西则真时更后于近时是东减西加皆比近时为大也若真时距分小于近时距分而在限东则真时后于近时在限西则真时先于近时是东减西加皆比近时为小也
十二求【原为十三】
真縂时何也真时之午正黄道也故仍以真时距分加减视朔之縂时为縂时【即是改视朔午正度为真时午正度】
近时既改为真时即食甚时也然容有未真故复考之考之则必于真时复求其时差而所以求之之具并无异于近时所异者皆真时数耳【谓日距限限距地高日距地高月高下差两圏交角防项并从真时立算】是之谓真时差
既得真时差乃别求真距度以相考则食甚定矣【考定真时全在此处】何以为真距度曰即真时距分内应有之月实行也盖真时差是从真时逆推至视朔之度真时距分内实行是从视朔顺推至真时之度此二者必相等故以此考之考之而防则真时无误故即命为食甚定时也
其或有不防之较分则以法变为时分而损益之于是乎不防者亦归于相防是以有距较度分考定之法也距较度分者距度之较也损益分者距时之较也其比例亦如先得时差度与真时距分故可以三率求也真时差大者其距时亦大故以益真时距分益之则减者益其减原在限东而真时早者今乃益早若加者亦益其加原在限西而真时迟者今则益迟矣 真时差小者其距时亦小故以损真时距分损之则减者损其减原在限东而真时早者今改而稍迟若加者亦损其加原在限西而真时迟者今改而稍早矣
如是考定真时距分以加减视朔为真时即知无误可谓之考定食甚时也
气差古云南北差凖前论月在日内人在地靣得见其间空际故月纬降高为下夫降高为下则亦降北为南矣此所以有南北差也【南北差生于地势中国所居在赤道之北北高南下故也】然又与高下差异者自天顶言之曰高下自黄道言之曰南北惟在正午则两者合而为一高下差即为南北差其余则否
气差与时差同根故有时差即有气差而前此诸求但用时差者以食甚之时未定重在求时也今则既有真时矣当求食分故遂取气差也【时差气差并至真时始确】
十三求【原为十四】
距时交周何也即实朔距真时之交周行分也故以实朔与真时相减之较查表数然何以不用视朔曰原算实交周是实朔故也
定交周者何也真时之月距交度也食甚既定于真时则一切视差皆以食甚起算故必以实朔交周改为食甚之交周斯之谓定交周也月食黄纬者食甚时月行隂阳厯实距黄道南北之纬度也月视黄纬者食甚时人所见月距黄道南北纬度则气差之所生也月行白道日行黄道帷正交中交二防月穿黄道而过正在黄道上而无距纬其距交前后并有距纬而每度不同然有一定之距是为实纬实纬因南北差之故变为视纬即无一定之距随地随时而异但其变也皆变北为南假如月行隂厯实纬在黄道北则与黄道实逺者视之若近焉故以气差减也若月行阳厯实纬在黄道南则与黄道实近者视之若逺焉故以气差加也至若气差反大于实纬则月虽隂厯其实在黄道北而视之若在南故其气差内减去在北之实纬而用其余数为在南之视纬也
并径减距者何也并径所以定食分减距所以定不食之分也距者何也卽视纬也并径则日月两半径之合数也假令月行阴厯其北纬与南北差同则无视纬可减而并径全爲食分其食必旣其余则皆有距纬之减而距大者所减多其食必浅距小者所减少其食必深是故并径减余之大小卽食分之所由深浅也若距纬大于并径则日月不相及或距纬等于并径则日月之体相摩而过不能相掩必无食分矣
并径内又先减一分何也曰太阳之光极大故人所见之食分必小于真食之分故预减一分也
然则食一分者卽不入算乎曰非也并径之分度下分也【毎六十分爲一度】食分之分太阳全径之分也【以太阳全径十平分之假令太阳全径三十分则以三分爲一分】是故并径所减之一分于食分只二十余秒
问日月两半径旣时时不同则食分何以定曰半径虽无定而比例则有定但以并径减余与太阳全径相比则分数覩矣【分太阳全径爲十分卽用爲法以分并径减距之余分定其所食爲十分中几分】有时太阴径小于太阳则虽两心正相掩而四面露光厯家谓之金环是其并径亦小于太阳全径虽无距纬可减而不得有十分之食故也【细草原用表今改用三率其理较明法亦简易】
十四求
日食月行分者何也乃自亏至甚之月行度分也【自甚至复同用】其法以并径减一分常为视纬常爲句句求股卽得自食甚距亏与复之月行度分矣
【按此卽授时厯开方求定用分之法所异者并径时时增减与旧法日月视径常定不变者殊耳】
前总时何也卽食甚前一小时之午正度也得此午正度卽可得诸数以求前一小时之时差谓之前时差前时差与真时差之差分卽视行与实行之差分故以差分加减实行得视行也假如日在限西而前时差大于真时差是初亏所加多而食甚所加反少也以此求亏至甚之时刻则变而小矣时刻小则行分大故以差分加实行爲视行若日在限西而前时差小于真时差是初亏所加少而食甚所加渐多也以此求亏至甚之时刻则变而大矣时刻大则行分必小故以差分减实行爲视行若日在限东而前时差大于真时差是初亏所减多而食甚所减渐少也以此求亏至甚之时刻则变而大矣时刻大者行分小故以差分减实行爲视行若日在限东而前时差小于真时差是初亏所减少而食甚所减反多也以此求亏至甚之时刻则变而小矣时刻小者行分大故以差分加实行爲视行食甚定交角满象限不用差分何也无差分也何以无差分曰差分者时差之较也食甚在限度卽无食甚时差无可相较故初亏径用前时差复圆径用后时差又食甚在限度则初亏距限东而前时差恒减复圆距限西而后时差恒加减时差则初亏差而早加时差则复圆差而迟其距食甚之时刻并变而大也时刻大者行分小故皆减实行为视行【又若初亏复圆时定交角满象限亦无差分而径用食甚之时差减实行爲视行与此同法其初亏复圆距食甚之刻分亦皆变大而行分变小也视行之理此爲较着】初亏距时分者初亏距食甚之时刻也用上法得视行爲食甚前一小时之数而初亏原在食甚前则其比例爲视行之于一小时犹日食月行之于初亏距时故可以三率取之也【日食月行减一义见前条】
既得此初亏距分则以减食甚而得初亏时刻也
十五求
后縂时者即食甚后一小时之午正度分也用此午正度得诸数以求后一小时之时差为后时差又以后时差与真时差相较得差分以加减实行为视行并同初亏但加减之法并与初亏相反
假如日在限西而后时差大于真时差是食甚所加少而复圆所加多则甚至复之时刻亦变而大矣时刻大者行分小故以差分减实行为视行
若日在限西而后时差小于真时差是食甚所加多而复圆所加反少则甚至复之时刻亦变而小矣时刻小者行分大故以差分加实行为视行
假如日在限东而后时差大于真时差是食甚所减少而复圆所减反多则甚至复之时刻变而小矣时刻小者行分大故以差分加实行为视行
若日在限东而后时差小于真时差是食甚所减多而复圆所减少则甚至复之时刻变而大矣时刻大者行分小故以差分减实行为视行【食甚在限度求视行之理已详十四求】复圆距时分三率之理并与初亏同惟复圆原在食甚后故加食甚时刻为复圆时刻
十六求
黄道宫度内减宿钤何也黄道宫度起冬至各宿黄道起距星也凡距星所入宫度必小于日实度宫度故以相减之较为食甚时所入本宿度分也其每年加五十一秒者恒星东行之度即古嵗差法也因嵗差所加故有宿钤在日实度以下而变为日实度以上则食甚时所入非其宿矣故退一宿用之也其以嵗差【五十一秒】乘距算【本年距歴元戊辰】之数各宿并同虽退一宿所加不异也赤道宫度可以升度取者黄道上升度一定也若赤道宿度则不可以升度取何也各宿距星多不能正当黄道而在其南北各有纬度故必以弧三角求之为正法也
此后原有十七求以算东西异号今省不用何也曰东西异号之算厯书语焉不详故细草补作之亦有思致但所求者仍为黄平象限之东西故必复求定交角今于十四求十五求即得定交角为白道限度之东西简易直防可不必更多葛藤矣故省之也
附说补遗
求縂时条加减十二时
问求縂时与求日距地高二条并以视朔与十二时相加减然后用之而用法不同何也曰求縂时条是欲得午正黄道距春分之升度故并从午正后顺推【如视朔过十二时则内减十二时而用其余数是从午正后数其距视朔之时刻也若视朔不及十二时则以十二时加之是从先日午正后数其距今视朔之时刻也故其法皆为顺数】日距地高条是欲得视朔距午正之度故各从午正前后顺推逆数【如视朔为十二时去之而用其余数是从视朔时逆推其己过午正之刻也若视朔不满十二时则置十二时以视朔时减之而用其余数是从视朔顺数其未及午正之刻也 其视朔满十二时减去之两法并同惟视朔不满十二时用法则异】
附又法
问视朔在午前若用减十二时法亦可以得縂时乎曰可其法亦如求日距地高置十二时以视朔时减之求到视朔未至午之刻去减日实度距春分时刻【即九十度表第二行对日实度之时刻】亦即得縂时与上法同此法可免加满二十四时去之然遇日实度距春分时刻不及减又当加二十四时然后可减矣假如日实度是春分后相距只一时而视朔在午正前三时是爲日实度小不及减法当以日实度加二十四时作二十五时减去三时余二十二时爲总时
定交角或问
问定交角满象限以上反其加减何也曰此变例也西厯西加东减并以黄道九十度限爲宗今用定交角则是以白道九十度限爲宗而加减因之变矣
问白道亦有九十度限乎歴书何以未言曰歴书虽未言然以大圏相交割之理征之则宜有之矣何则月行白道亦分十二宫【视月纬表可见】则亦爲大圏其交于地平也亦半周在地平上则其折半之处必爲白道最高之处而亦可名之爲九十度限矣【或可名白道限度】
若从天顶作高弧过此度以至地平则成十字正角而其圏必上过白道之极成白道经圏与黄平象限同【黄平象限上十字经圏串天顶与黄道极故亦成黄道经圏与此同理】月在此度卽无东西差而南北差最大与高下差等【前论月在黄平象限无东西差而卽以高下差爲南北差其理正是如此但月行白道当以白道爲主而论其东西南北始爲亲切】若月在此度以东则差而早宜有减差在此度以西则差而迟宜有加差但其加减有时而与黄平象限同有时而与黄平限异故有反其加减之用也
问如是则白道亦有极矣极在何所曰白道有经有纬【凡东西差皆白道经度南北差皆白道纬度】则亦有南北二极为其经纬之所宗但其极与黄极恒相距五度以为定纬【虽亦有小小増减而大致不变】其经度则嵗嵗迁动至满二百四十九交而徧于黄道之十二宫则又复其始【约其数十九年有奇】法当以黄极为心左右各以五纬度为半径作一小圆以为载白道极之圏再以正交中交所在宫度折半取中即于此度作十字经圏必串白道极与黄道极矣则此圏之割小圆防即白道极也问何以知此圏能过黄白两极也曰此圏于黄道白道并作十字正角故也【凡大圏上作十字圏必过其极】问此圏能串两极则限度常在此度乎曰不然也此度能串黄白两极而未必其串天顶如黄道上极至交圏也若限度则必串天顶以过白极而未必其过黄极如黄道上之黄平限也是故白道上度处处可为限度亦如黄道上度处处可为黄平限但今在地平上之白道半周某度最高即其两邉距地平各一象限从此度作十字经圏必过天顶而串白道之两极何也此圏过地平处亦皆十字角即与地平经圏合而为一所谓月高下差即在此圏之上矣【惟白道半交为限度能与黄平限同度此外则否况近交乎故必用定交角也】
以定交角推白道限度
白道限度大约在黄道交角之八十五度【定交角三此满象限过此则有异号】
若太隂定交周是○宫十一宫而黄平限在午正之东乃白道限度则更在其东而原以限东宜减者今或以定交角大而变为限西宜加矣
若定交周是五宫六宫而黄平限在午正西白道限度必更在其西而原以限西宜加者今或以定交角大而变为限东宜减矣
以上二宗并离午正益逺交食遇此则古法益踈而新法犹近
若定交周是○宫十一宫而黄平限在午正西乃白道限度或尚在其东而原以限东宜减者今以定交角大而变为限西宜加矣
若定交周是五宫六宫而黄平限在午正东乃白道限度或尚在其西而原以限西宜加者今以定交角大而变为限东宜减矣
以上二宗并离黄平限而近午正交食遇此则有时古法反亲而新法反踈若白道限度径在午正则古法宻合矣
由是之加减东西差宜论白道明甚厯书略不言及岂非缺陷之一大端
问定交角者所以变黄道交角为白道交角也然何以不先求白道限度曰交角者生于限度者也交角变则限度移矣故先得限度可以知交角【交角之向指以距限东西而异交角之大小以距限逺近而殊】而既得交角亦可以知限度故不必复求限度也
其加减以五度何也曰取整数也古厯测黄白大距为六度【以西度通之得五度五十四分奇】西厯所测只五度奇而至于朔望又只四度五十八分半今论交角故祗用整数也【若用弧三角法求白道限度所在及其距地之高并可得交角细数然所差不多盖算交食必在朔望又必在交前交后故也】
问五度加减后何以有异号不异号之殊曰近交时白道与黄道低昻异势者也【惟月在半交能与黄道平行亦如二至黄道之与赤道平行也若交前交后斜穿黄道而过不能与黄道平行亦如二分黄道之斜过赤道也故低昻异势】然又有顺逆之分而加减殊焉其白道斜行之势与黄道相顺者则恒减减惟一法【减者角损而小也虽改其度不变其向】若白道与黄道相逆者则恒加加者多变遂有异号之用矣【加者角増而大也増之极或满象限或象限以上遂至改向】
是故限西黄道皆西下而东高限东黄道皆西高而东下此黄道低昻之势因黄平象限而异者也而白道正交【○宫十一宫也即古法之中交】自黄道南而出于其北亦为西下而东高【黄道半周在地平上者偏于天顶之南以南为下北为上正交白道自南而北如先在黄道之下而出于其上故比之黄道为西下而东高也】白道中交【五宫六宫也即古法之正交】自黄道北而出于其南亦为西高而东下【白道自北而南如先在黄道之上而出于其下故比之黄道为西高而东下也】
假如日食正交而在限西日食中交而在限东是为相顺相顺者率于交角减五度为定交角是角变而小矣角愈小者东西差愈大故低昻之势増甚而其向不易也【限西黄道本西下东高而正交白道又比黄道为西下东高则向西之角度变小而差西度増大其时刻迟者益迟矣限东黄道本西高东下而中交白道又比黄道为西高东下则向东之角度变小而差东之度増大其时刻早者益早矣是东西之向不易而且増其势也】
假如日食正交而在限东日食中交而在限西是为相逆相逆者率于交角加五度为定交角是角变而大矣角愈大者东西差愈小故低昻之势渐平而甚或至于异向也【限东黄道本西高东下而正交白道比黄道为西下东高则向东之角渐大而差东度改小时刻差早者亦渐平若加满象限则无时差乃至满象限以上则向东者改而向西时刻宜早者反差迟矣限西黄道本西下东高而中交白道为西高东下则向西之角渐大而差西度改小时刻差迟者亦渐平若加满象限则无时差乃至满象限以上则向西者改而向东而时刻宜迟者反差而早矣】
凡东西差为见食甚早晚之根如上所论定交角所生之差与黄道交角无一同者则欲定真时刻非定交角不可也若但论黄道交角时刻不真矣
凡东西差与南北差互相为消长而南北差即食分多少之根如上所论则欲定食分非定交角不能也但论黄道交角食分亦悮矣
差分有用并之理
问差分本以两时差相较而得【十四求已有备论】今乃有用并之法何也曰异号故也此其白道限度必在两食限之间【或限度在甚与复两限之间则食甚在限东而复圆限而或限度在亏与甚之间则食甚在限西而初亏限东】两食限一距限东一距限西其两时差必一为减号一为加号是为东西异号无可相较故惟有相并之用也
乃若定交角大于象限则先为同号而变为异号其食甚必在黄平限及白道限度之间【食甚在黄平限西白道限度东则先推食甚复圆同号者变为异号矣食甚在黄平限东白道限度西则先推食甚初亏同号者变为异号矣】两食限既变为东西异号则其两时差亦一加一减变为相并矣
问异号恒相并固也乃复有定交角过九十度而仍用相较为差分者何也曰此异号变为同号也其黄平限必在两食限之间而白道限度或反在食限之外则能变异号为同号【假令黄平限在复与甚之间甚距限东复距限西本异号也而复圆之定交角过象限则白道限度必又在复圆之西而先推黄平限复圆在西者今推白道限度复圆在限东即复圆食甚变为同号矣又加黄平限在亏与甚之间亏距限东甚距限西本异号也而初亏之定交角过象限则白道限度必又在初亏之东而先推黄平限初亏在东者今推白道限度初亏在限西即初亏食甚变为同号矣】又如前论食甚在黄平限及白道限度之间能变同号为异号即亦能变异号为同号【凖前论食甚在黄平限西白道限度东能变食甚与复圆异号则先推食甚与初亏异号者今反同号矣若食甚在黄平限东白道限度西能变食甚与初亏异号则先推食甚与复圆异号者今反同号矣】凡此之类变态非一皆于定交角取之故可以不用十七求也
相并为差分者并减实行为视行之理
问用差分取视行有减实行加实行之异而相并为差分者一例用减何也曰凡相较为差分者有前小后大前大后小之殊故其于实行有减有加【觧见前条】减者常法加者变例也【凡减实行为视行者在限东者益差而东在限西者益差而西食限中如此者多故为常法若加实行为视行者限东者反损其差东之度在西者反损其差西之度乃偶一有之故为变例】若相减为差分者不论前后之大小縂成一差故于实行有减无加只用常法也【十四求附说论食甚初亏复圆三限定交角满象限并用时差减实行与此同理盖彼以无可相较故径用一时差此则虽有两时差不以相较而且以相益故其时刻并变大而行分变小故皆减实行为视行也】
己为天顶 庚为黄道极 丑寅癸为地平 子为黄平象限度 子辛丙癸为地平上黄道之一象限 甲乙丁壬为黄道北纬 己乙丙寅为地平经圏 乙为天上太隂实纬【在黄道北】 丙为人所见太隂视度【正当黄道】乙丙为高下差【是地平上高弧差】 乙丁为东西差【是黄道经度差】丙丁为南北差【是黄道纬度差】 盖高卑差以天顶为宗下至地平为直角南北差以黄极为宗下至黄道为直角东西差以中限为宗下至黄极为直角而其根皆生于地靣与地心不同视之故也
设太隂实高在乙视高在庚高弧上乙庚之距为高下差
从黄极出经线至太隂实度【乙】又从黄极出经线至视度庚必过【丁】黄道上乙丁之距为东西差
实度乙正当黄道视度庚在黄道南其距丁庚纬度与乙丙防是为南北差
设太隂实高在庚视高在乙高弧上庚乙之距为高下差
从黄极出经线二一过实高庚指黄道度丁一过丙至视度乙黄道丁乙之距为东西差【与丙庚防】
实度庚在黄道北其纬度庚丁与丙乙防视度乙正当黄道无纬度丙乙为南北差【与丁庚防】
设太隂实高在辛视高在庚高弧上辛庚之距为高下差
从黄极出经线二一过太隂实高度辛至黄道乙乙为实度一过北纬甲及黄道丁至太隂视高度庚丁为视度黄道上乙丁之距为东西差【与甲辛丙庚防】
月实纬辛在黄道北其距辛乙与甲丁防视纬庚在黄道南其距丁庚与乙丙防甲庚为南北差【与辛丙防】厯算全书卷二十七