钦定四库全书
厯算全书卷二十九
宣城梅文鼎撰
古算衍略
古算器攷
或有问于梅子曰古者算学亦有器乎曰有曰何器曰古用筹筹何似曰汉书言之矣用竹径一分长六寸二百七十一而成六觚为一握度长短者不失毫厘量多少者不失圭撮权轻重者不失黍絫又世説言王衍持牙筹防计此用筹之明证也曰若是则筹可用竹亦可用牙矣然则即今之筹笇非欤曰非也今西厯用筹亦起徐李诸公葢从厯家之立成而成即立成表之活者耳故一筹即备九数若古之用筹用以纪数而无字画故一筹只当一数乘除之时以筹纵横列于几案一望了然观古算字作祘葢象形也然则起于何时曰是不可攷然大易揲蓍亦以一蓍当一数则其来逺矣蓍策所以决疑非常用之物故特隆重其制而加长长则不可以横故皆纵列惟分二象两之后挂一防以别之使无凌杂余皆纵列也又其数只四十九故四揲以稽其实数其用専専则诚也布算之法有十百千万之等以乗除而升降又日用必需之物故其制短使几案可列其言六寸成觚者有度量之用古尺既小于今尺才四寸奇葢亦取其便于手握耳【浦江吴氏中馈録有算条巴子切肉长三寸各如算子様亦可以想其长短】然则其用之若何曰五以下皆纵列六以上则横置一筹以当五而纵列其余【式详后】然则十百千万何以列之曰其式皆自左而右略如珠笇之位亦如西域欧逻写算之位皆顺手势不得不同也曰亦有征欤曰有之蔡九峯洪范皇极数所纪算位一至五皆纵列六至九皆横一于上以当五又自一之一至九之九皆并列两位自左而右此用于宋者也又授时厯草所载乘除法实之式皆纵横排列自左而右以万千百十零为序此用于元者也左传史赵言亥有二首六身下二如身为绛县老人日数士文伯知其为二万六千六百六旬而孟康杜预顔师古释之皆以为亥字二画在上其下三六为身如笇之六葢横一当五又竪一于横一之下则为六矣与皇极同也又言下亥二画竪置身傍葢即竪两笇为二万又并三六为六千六百六旬而四位平列与厯草同此又用于三代及汉晋者也曰厯草又有一至五横纪之处何欤曰此亦非起于厯草也何以知之唐人论书法横直多者有俯仰向背之法若直如笇子便不是书其言笇子即所列筹也然兼横直画言之则唐人用筹为算亦有横直可知干凿度云卧算为年立算为日葢位数多者恐其相混故三十三二十二之类笇位皆一纵一横以别之纵即立算横即卧算也干凿度不知作于何人然其在汉魏以前无可疑者则横直相错之法古有之矣五以下既可易纵为横则六以上横一当五者亦可易之而纵又何疑于厯草哉曰然则今用珠盘起于何时曰古书散亡苦无明据然以愚度之亦起明初耳何以知之曰归除歌括最为简妙此珠盘所恃以行也然九章比类所载句长而澁葢即是时所创后人踵事増华乃更简快是书为钱塘吴信民作其年月可攷而知则珠盘之来则自不逺
按钦天监厯科所通轨凡乘除皆有定子之法惟珠算则可用然则珠算即起其时又尝见他书元统造大统厯访求得郭伯玉善算以佐成之即郭太史之裔也然则珠盘之法葢即伯玉等所制亦未可定
曰南雷畣牧斋流变三疉之问既云长水分别算位本位是竪进一位即是横本位是横进一位即是竪又引凿度卧算立算以证之矣然其所图算位俱作圆防殊无横直之形何耶曰南雷固言今之算器数分于珠是指珠算也又云长水之算只用今器其所谓横竪者分别算位南雷之意葢谓长水姑借横竪之语以分算位而实用珠算非实有横竪也然以【鼎】观之疏既以一横二竪当十二复以一竪二横当百二十终以一横二竪当千二百而皆曰进动算位明是用筹非用珠也故当十进百之时则当取去第一叠零位之二竪而加十位之一横为二横又添一竪于百位则成百二十矣故曰进动算位为第二叠也百进千则又取去十位之二横而増一竪于百位为二竪又别増一横于千位成千二百故亦曰进动算位为第三叠也説本明晰与今珠算何涉乎若如南雷所图则横竪字为赘文矣是故布筹可纵可横此亦一证
又按朱子语类云潜虚之数用五只似如今算位一般其直一画则五也下横一画则为六横二画则为七此又一证也【蔡九峯皇极数以横画当五故下竪一画为六竪二画为七与此相反然理则相通厯草则兼用之葢皆本之古法】
古布算式
皇极数图【见性理大全】
厯草算式
立差 定平差 定平积
右式皆因数有雷同故纵横列之以为别亦自然之理也
乘除法实式【亦见厯草】
亥字二首六身攷
左传襄公三十年三月癸未绛县老人曰臣生之嵗正月甲子朔四百有四十五甲子矣其季于今三之一也师旷曰鲁叔仲恵伯防郤成子于承匡之嵗也【注鲁文公十一年乙巳嵗】七十三年矣【注自乙巳嵗至今年戊午首末七十四年而曰七十三者葢计其全数而言未满七十三年也】史赵曰亥有二首六身【注言亥字上二画为首六画为身如算之六者三也春秋时有此字体□】下二如身是其日数也【注如徃也言除下亥上二画徃置身旁也□便是此老人从初生年起至今癸未日之日数也葢以亥之二画为二万之数以三六之算为六千六百六旬之数也】士文伯曰然则二万六千六百有六旬也按古法每年三百六十五日又四分之一七十三年该二万六千六百六十三日又四分之一故注以正月甲子为夏正建寅之月而三月癸未杜氏长厯及孔疏皆以为当作二月为夏之十二月也其癸未日长厯以为是二十三日然则春秋所纪者自用周正而晋人所言者自是夏正故鲁史纪戊午二月者晋人所言则仍为丁巳之十二月所以士文伯云七十三年也
筹有色以分正负
沈存中括笔谈曰天有黄赤二道月有九道此皆强名非实有也亦由天之有三百六十五度天何尝有度以日行三百六十五日而一朞强谓之度以步日月五星行次而巳日之所由谓之黄道南北极之中间度最均处谓之赤道月行黄道南谓之朱道北谓之黒道东谓之青道西谓之白道黄道内外各四并黄道而九日月之行有迟有速难以一术御故因其合散分为数段每段以一色名之欲以别算位而已如算法用赤筹黒筹以别正负之数厯家不知其意遂以为实有九道甚可嗤也
按此又宋算用筹之明证
方田通法序
学必有原不得其原不可以为学九数之学具列周官而孔子言游艺在志道据德依仁后唐十经博士期业成以五年可形下视哉客嵗之冬从竹冠先生饮令弟乐翁所得观先生捷田歌括离奇出没杯酒间未深领其趣属他故覊治城且匝月既无携书可破岑寂乃稍忆所疑演而通之因浩然叹数学之有源虽至近若方田而易简中精深尔尔也算具不具仗三寸不聿为之今年春里中有事履亩或见问桐陵法遂出斯编相质命曰方田通法云
阏逢执徐日躔在奎勿庵梅文鼎识
方田通法
太极生生之数
数始于天一终于地十十亦一也天地之地始终乎一故曰太一太一者太极也自极而仪而象而卦皆加一倍三加而止万事托始焉是故制器者尚其象玑衡八尺周于八方寻常则之以度百物葢取诸此
两地之数
一生二二者两地也两一则二两二则四两四则八两八则十有六四象相交成十六事卦有内外也庾以命斗秉以命斛斤两则之以权百物葢取诸此
参天之数
一生二二生三三者参天也参一而三参二而六参四而十有二参八而二十有四作厯者以纪中节八节二十四气八卦二十四爻也是故玉衡之尺八而玑围二十有四斤之两十有六而铢二十有四二十有四者权度之所生数之纲也从而十之以为地纪而畆法生焉
畆法
二百四十步 古法步百为畆畆百为夫今二百四十步为畆相起于唐太宗
步法
五 合参两则五犹合四行为土土之生数也倍五则十土之成数也乗者从生故平方五尺为步而用以乗除者从成故积步二百四十为畆而用以除
方田原法
以所丈田横步与其纵步相乗得数为实以一畆二百四十步为法除之满法为畆不满退除为分厘 田之为字衡缩相交矩其外格其内象平方也田不能皆方或圆或直或梯或斜或如牛角或为矢弧不皆方故为之法以方之大约不离横纵者近是九章之术首列方田君子絜矩之道欤
截归法
或八归三归各一次或四归六归各一次或五因一十二归 邵子曰三八二十四也四六亦二十四也倍十二亦二十四也丈量家用截法可以观已
减法
或折半减二或减六减五各一次 即定身除也
飞归法
进一除二四 进二除四八 进三除七二 进四除九六 五除一二 一四四作六 一六八作七 一九二作八 二一六作九 见一加三隔位四 见二加六隔位八 不尽者留法喝之
又
三六作一五 六作二五 八四作三五 一○八作四五 一三二作五五 一五六作六五 一八作七五 二○四作八五 二二八作九五
留法
一留退四一六六 二留退八三三三 三留一二五四留一六六六六 五留二○八三三 六留二五七留二九一六六 八留三三三三三 九留三七
五 其法是除用之似乗以其为除后得数也故谓之留 若用以喝稍者言退者本位不则进一位或稍子位多者喝完总移进之更妙
凡加留减者如加减法只记原实于各挨身加减之若原用因法者则又下一位挨加减之皆记原实以留法喝之言退者各又退一位
以上截留飞减四法皆于乗土之后用以求畆惟留法则有不尽故长于喝稍
后有用两求斤留法附录之 一退六二五 二一二五 三一八七五 四二五 五三一二五 六三七五 七四三七五 八五 九五六二五 十六二五十一六八七五 十二七五 十三八一二五 十
四八七五 十五九三七五
新増径求畆步法
其法不用乘土以所得横纵之歩先得者为实后得者为法径求之可以抵掌而办原法二十有二竹冠道士衍为百二十有三勿庵氏引而伸之且三百八十有四也倚数之妙乃至斯乎而岂有外于参两乎又岂有加于所谓一者乎法列如后
减二 即十二除凡法之可以两者皆减二是为畆法之半或折半六归之
八除 或二十五于下位加之凡法之可以参者皆八除是为畆法三分之一
四十八除 即折半飞归也凡法之可以五者皆四十八除是两其畆法也
四除 或二十五乗之凡法之可以六者皆四除是为畆法六分之一
六除 凡法之可以四者皆六除是为畆法四分之一三除 凡法之可以八者皆三除是为畆法八分之一下加 凡法之上位得一者皆下加
上加 凡法之下位得一者皆上加凡加毕再用留法或飞归之
折半 凡法之十二者皆折半为畆法六分之五减六 凡法之可以十五者皆减六即两求斤留法也为畆法三分之二又为六分之四
减五 凡法之可以十六者皆减五即十五除也为畆法八分之五
加留减留 凡法之可借上者皆加留可借下者则减留所以通其穷也
随数喝畆 凡二十四则随数喝之
倍法 凡四十八五除之即二因也
减八 即畆法八分之六也凡法之可以八分用六者十八除之又为四分之三
九除 即畆法八分之三凡法之可以八分用三者九除之
二十一除 即畆法八分之七凡法之可以八分用七者二十一除
因法代除 如四十八则二因之如七十二则三因九十六则四因又如十二五因一四四六因一六八七因一九二八因二一六九因又如六用二五因八四用三五因一○八用四五因一三二用五五因一五六用六五因一八用七五因二○四用八五因二二八用九五因
加法代除 如三加二五即一二五乗所以代八除也三六加五即十五乗也又如四二径加七五五四二次加五皆不用除
<子部,天文算法类,推步之属,历算全书,卷二十九>
<子部,天文算法类,推步之属,历算全书,卷二十九>
<子部,天文算法类,推步之属,历算全书,卷二十九>
<子部,天文算法类,推步之属,历算全书,卷二十九>
<子部,天文算法类,推步之属,历算全书,卷二十九>
原法歌诀【出桐陵】
量田捷法少人知 不乗一数便留之 二弓折半六而一 三步之中用八归 四步由来六归是 五步还宜六八归 六数四归无走作 八上三归无改移十二将来折一半 十六三而加倍齐 二十四中
随数喝 廿五中分六八归 三十二上尤甚准 四因还要用三归 四十八上加一倍 八卦宫中谁得知 三归八因尤甚准 胜如神见不差池 七二倍之加遍五 九十六上四因之 十五之中逢二八七五之中四八归 三七半时当八八 九弓加五四归奇 十八折之加五定 三六之中加五施 此是明师真口诀 千金不度世人知
附归除捷法
多上空加一【多上者实多于法也空者实首隔一位也凡实多于法则于实前隔一位上一子若法实两数等亦同】
依前除莫疑【依前者即以前法数除之也】
少前数上五【少前者实少于法也即于实之前位上五子 不隔位】
折半数除之【折半除者用法数之半而除之也 用五乗代折半甚捷】
无除随上一【无除者上五之后不及除半数也既不及除随于实前位上一子】
化下照前除【化下者退下一位也照前除者即依法数降一位而除之也】
区田图刋误
按区田古法并以方一尺五寸为区通计毎亩可二千七百区空一行种于所种行内隔一区种一区除隔空外可种六百七十五区【此亦约略之説后又云毎区一斗每亩可收六十六石而诗亦云限将一亩作田规计区六百六十二并大同小异】是四分而种其一也今农书之图黑白相间是二分种一与説相背且如所图既不便于营治亦不便于浇灌反不如姜田之用濶沟通人行之为便矣谨依古説改作之如左
又按四分种一亦是约略之数若细求之则四邉近田堘处可只空半区要以随方就圆使其易行亦不在拘拘于尺寸之间也孟子曰此其大略也若夫润泽之则在君与子吾于区田亦云
如甲乙为田内毎画方一尺五寸为区【如甲子】直行毎隔一行种一行【如甲戊丙巳】因得横行亦然【如庚甲辛癸】其播种之区四面合之各成小平方如丙辛方中间子丑为种地卯寅方中间午未方为种地皆居小平方之中央又蝉聫而下通计毎田一畆为种区者约四之一图中白者是空地黒者是种区
区田説
向读嵇叔夜养生论谓区种之法亩可得粟数十钟已读王氏农书详着其法而农政全书载汜胜之书及务本书谓汤有七年之旱伊尹作为区田教民粪种负水浇田诸山陵倾坂及田邱城上皆可为之王祯田古人每区收谷一斗每亩可收六十六石今人学种可减半计贾思协曰兖州刺史刘仁之昔在洛阳于宅田七十步之地域为区田收粟三十六石然则一亩之收过百石矣古説彰彰如是而或者疑之【徐扈先生以为古今斗斛之异】余以为不必疑也葢徴之于姜芋矣吾乡土瘠每亩收稻麦不过数石而芋则每亩二十余石多者三十余石姜之下者二十余石其上者至四十余石然而种姜一亩有稻田六亩以上之工岂非粪多力勤之効乎攷姜田营治之法其畊甚深在一尺以上通水沟虽止数寸而畦土斜杀而上种姜棱背相距空间与棱背略相等是亦空一行种一行也即区种之遗法也姜田惟空直行而区田复空横行是其功又倍于姜田也多收之数又何疑焉【又攷遂宁王灼晦叔糖霜谱蔗田亦云区种而其深畊摩劳开渠濶尺深尺五及今年为蔗田明年改种五谷以休地诸法并同姜田】 又按区田毎区方一尺五寸【贾氏説又有方深各六寸及方九寸深六寸诸法】葢欲于城上斜坡立区故为此制若平田亦可变通
畸零法解【乗法】
假如其处地畆被水所淹今涸出五分之四于中又有高地居七分之四问若干
答曰高地为三十五之十六
法用母乗母子乗子 两母【五七】相乗
三十五为母 两子【四四】相乗十六为
子 乗得三十五之十六
解曰分总地为五分而涸出居其四四又将此涸出之四分分为七分而高地居其四若以总地分三十五分则高地居其十六矣
本法置实子五之四以法子七之四乗之得十六为实法母七为法除之得五之二又小分七之二为高地然七除不尽当用通分法以小分母七通原分母五为三十五得数二通为十四加入之二共十六是三十五之十六也
今不用七除其子而以七乗其母得数亦同【母既七倍而子不动是七之一也故乗母即同除子】
以数明之 设原数三千五百畆内涸出五之四是二千八百畆也以此二千八百畆分为七分而高地居其四是一千六百畆也则高地于原数为三十五之十六矣
又假如有米一宗内分七之四于预备仓收贮又于预备仓内取五之四先给赈荒问若干
答曰三十五之一十六 法见前
解曰分总米为七分而预备仓得其四又分预备仓米为五分而先给赈济者得其四若以总米分为三十五分则先给赈济者得其十六
本法置实七之四以法子之四乗之得一十六为实法母五为法除之得三又五之一如法用通分以小分五通大分七为三十五又通得数三为十五加子一为十六即三十五之十六也
今不用五除子而用五乗母即得三十五之十六省通分矣【母乗得五倍则子为五之一】
以数明之 设原米四千二百石分为七分而取其四为预备仓是二千四百石也预备仓米又分五分而取其四以给赈是一千九百二十石也若分原米为三十五分每分一百二十石则给赈米得十六分【四千二百是三十五个一百二十石一千九百二十是十六个一百二十石故也】
又法
法用倒位互除以代乘法 以法子四除实母七得一七五为母 以法母五
除实子四得○八○为子 乗得一七五之八○各进位而倍之即三十五之十十六
本法四乗五除今不以四乗其子而反以四除其母即得数同也【母既改为四之一而子不动即子为四倍故除母可代乘子也然除法多有不尽不如母乘母子乘子为便】
还原
畸零除法
假如营兵奉裁五之一留五之四其所支月饷为某仓米七之四问未裁时月饷几何
答曰该支仓米七之五
法用倒位互乗以当除法 以法子之四乗实母七得二十八为母 以法母五乗实子之四得二十为子 除得二十八之二十 约为七之五
解曰兵奉裁留五之四其原额未裁则五之五也故其原支仓米亦必七之五乃四而増一之比例
本法置实七之四 以法母五乗之得七之二十为实
以法子之四为法除之得七之五
今不用四除其子而以四乗其母得数亦同【母既四倍于原母而原子不动如四之一故乗母可代除子】
又法
法以法母五除实母七得一四为母又以法子之四除实子之四得一○为子 除得一四之一○ 约之亦得七之五
此不用五乗其子而以五除其母得数亦同【母既五除则为原母五之一而原子不动如五倍矣故除母可当乗子】
论曰以上三法所得并同然倒位乗尤妙葢以乗代除则无畸零不尽之数故也
以数明之 设营兵三千其五之四则二千四百也仓米二千五百二十石其七之四则一千四百四十石也七之五则一千八百石也兵二千四百而给米一千四百四十石则兵三千当给一千八百石
还原
用倒位互除 以代乗法 法子四除实母二十八得七为母 法母五除实子二十得四为子 乗得七之四复合原数
问仓米七之四可给营兵五之四若仓米全发给兵几何
答曰给兵五之七
如法倒位 以法子之四乗实母五得二十为母 以法母七乘实子之四得
二十八为子 除得二十○之二十八 约为五之七 子大于母收为一又五之二是可给原额兵而仍多五分之二也
解曰原给仓米七之四而今全给七分是四分而増其三也故兵亦四分増三【于五之四増五之三即为五之七】
本法置实之四以法母七乘之得五之二十八为实法子四为法除之得五之七【今以四乗母代四除子与前条同】
以前数明之仓米二千五百二十石分为七分则每分三百六十石营兵三千分为五分则每分六百以仓米四分给兵四分是每米三百六十石给兵六百名也今仓米全给为三百六十石者七则兵为六百者亦七是四千二百名也除三千名满原额净多一千二百名之饷为五分之二【以七除五不尽故不用又法】
厯算全书卷二十九
<子部,天文算法类,推步之属,历算全书>
筹算自序
唐有九执厯不用布算唯以笔记史谓其繁重其法不传今西儒笔算或其遗意欤笔算之法详见同文算指中厯书出乃有筹算其法与旧传铺地锦相似而加便防又昔但以乘者今兼以除且益之开方诸率可谓尽变矣但本法横书彷佛于珠算之位至于除法则实横而商数纵颇难定位愚谓既用笔书宜一行直下为便辄以鄙意改用横筹直写而于定位之法尤加详焉俾用者无复纎疑即不敢谓兼中西两家之长而于筹算庶几无憾矣
康熙戊午九月已亥朔日躔在角宛陵梅文鼎勿庵撰筹算有数便奚囊逺涉便于佩带一也所用乘除存诸片楮久可覆核二也斗室匡坐笔徐观诸数厯然人不能测三也布算未终无妨泛应前功可续四也乘除一理不湏歌括五也尤便学习朝得暮能六也原法横书故用直筹筹直则积数横彼中文字实用横书也今直书故用横筹筹横则积数直其理一也亦有数便自上而下乃中土笔墨之宜便写一也两半圆合一位便查数二也商数与实平行便定位三也