钦定四库全书
厯算全书卷三十九
宣城梅文鼎撰
目録
第一平分线
第二平方线【原名分面】
第三更面线【原名变面】
第四立方线【原名分体】
第五更体线【原名变体】
第六割圆线
第七正线【旧名节气】
第八切线【旧名时刻】
第九割线【旧名表心】
第十五金线【附三线比例】
以上十线并如旧式惟平方立方改从古名取其易晓又正改附割圆切线分为时刻取其便用割线去表心之目以正其名免悮用也説见各条之下
又按罗序言此器百种技艺无不赖之功倍用防为造玛得玛第嘉之津梁然则彼中借此制器如工师之用矩尺则日晷等制并其恒业乃书中图説反有参错非故为靳秘也良由仿造者众未必深知法意爰致承讹抑或译书时语言不能尽解而强以意通遂多笔误耳今于其似是而非之处彻底厘清以合测量正理起立法之人于九京必当莫逆
比例尺式【即度数尺也原名比例规以两尺可开可合有似作圆之器故亦可云规】
用薄铜板或厚纸或坚木【黄杨木等】作两长股如图任长一尺上下广如长八之一两股等长等广股首上角为枢以枢心为心从心出各直线以尺大小定线数今折中作五线两股两面共十线可用十种比例之法线行相距之地取足书字而止尺首半规余地以固枢也用时张翕防移
比例尺又式
前式两股相叠此式两股相并股上两用之际以为心规余地以安枢其一规面与尺面平而空其中其一剡规而入于彼尺之空令宻无罅也枢欲其无偏也两尺并欲其无罅也枢心为心与两尺之合线欲其中绳也张尽令两首相就成一直线可作长尺或以两尺横直相得成一方角可作矩尺
规式【此本为画圆之器尺算赖之以取底数葢相湏为用者也】
用铜或鐡亦如尺作两股但尺式扁方此可圆也首为枢可张可翕末鋭以便于尺上取数也当其半腰缀一铜条横贯之势曲而长如割圆象限之弧与枢相应得数后用螺钉固之
凡算例假如有言取某数为底线者并以规之两鋭于平分线上量而得之其用底线为得数者并以规取两尺上线相等之距于平分线上量而命之故规之两鋭可当横尺数度衍以横尺比量反不如用规之便利而得数且真也
第一平分线
此线为诸线之根取数贵多尺大可作一千然过宻又恐其不清也故以二百为率
分法 如设一直线欲作百分先平分之为二又平分之为四又于每一分内各五分之则已成二十分矣于是用更分法取元分四改为五分【如甲乙丙有丙戊丁三防是元分之四也今复匀作五分加己庚辛壬四防】则元分与次分之较【如壬丙及巳戊】皆元分五之一亦即设线百分之一分凖此为度而周布之即百分以成
解曰元分为设线百分为二十分之一即每一分内函五分也今壬丙己戊既皆五分之一则甲壬己乙皆五分之四亦即百分之四也又丙辛庚戊皆三而辛丁丁庚皆二也任用一度参差作防互相攷订即成百分匀度矣【每数至十至百皆作字记之】 或取元分六复五分之亦同何则元分一内函五分则元分四共函二十分故可以五分之若元分六即共函三十分故亦可五分之其理一也
用法一 凡设一直线任欲作几分假如四分即以规量设线为度而数两尺之各一百以为乃张尺以就度令设线度为两之底置尺【置尺者置不复动故亦可云定尺下仿此】数两尺之各二十五以为敛规取二十五两防间之底以为度即所求分数【即四分中一分也以此为度而分其线即成四分】 若求极微分如一百之一如上以一百为设线为底置尺次以九十九为取底比设线其较为百之一 若欲设线内取零数如七之三即以七十为设线为底置尺次以三十为敛规取底即设线七之三
谨按尺筭上两等边三角形分之即两句股也两句聫为一线而在下直谓之底宜也若两尺上数原系斜改而称腰于义无取今直正其名曰
用法二 凡有线求几倍之以十为设线为底置尺如求七倍以七十为取底即元线之七倍若求十四倍则倍得线或先取十倍更取四倍并之
用法三 有两直线欲定其比例以大线为尺末之数【尺百即百千即千】置尺敛规取小线度于尺上进退就其两等数如大线为一百小线为三十七即两线之比例若一百与三十七可约者约之【约法以两大数约为两小数其比例不异如一百与三十约为十与三】
用法四 有两数求相乗假如以七乗十三先以十防为取十三防为底置尺次检七十之等取其底得九十一为所求乗数【若以十为七为底置尺而检一百三十防之底得数亦同】
【论曰乗法与倍法相通故以七乗十三是以十三之数七倍之是七个十三也以十三乗七是以七数十三倍之是十三个七也故得数并同】
用法五 有两数求相除假如有数九十一七人分之即以本线七十为取九十一为底置尺次检十防之取底必得十三为所求
又法以九十一为用规取七十为底置尺敛规取一十为底进退求其等亦得十三如所求
【论曰筭家最重法实今当以七人为法所分九十一数为实乃前法以法数七为实数九十一为底又法反之而所得并同何也曰异乗同除以先有之两率为比例筭今有之两率虽曰三率实四率也徴之于尺则大与大底小与小底两两相比明明四率较若列睂故先有之两率当则今所求者在底是以之比例例底也若先有之率当底则今所求者在是以底之例例也但四率中原缺一率比而得之固不必先审法实殊为简易矣】
【然则乗除一法乎曰凡四率中所缺之一率求而得之谓之得数乗则先缺者必大数也故得亦大数除则先缺者必小数也故得亦小数所不同者此耳是故乗除皆有四率得尺筭而其理愈明亦诸家所未发也】
假如有银九十六两四人分之法以人数取四十分为底置银数九十六两为定尺敛规取一十分为底进退求其等得二十四两为每人得数
又法取银数九十六两为底置一百分为定尺敛规于二十五分等取其底亦得二十四两为每人数
又如有数一百二十三欲折取三分之一法以规取三十分为底置一百二十三等数为两定尺敛规取一十数为底进退求其等数为必得四十一命为三分之一如所求
用法六 凡所求数大尺所不能具则退位取之假如有数一百二十欲加五倍即退一位取一十二为底以尺之一十防为两定尺取两五十防之底【即五倍】得六十进一位命所得为六百【以一十二当一百二十是一而当十故进位命之也凡用尺筭湏得此通融之法】
又法以规取一十数为底于尺之一十二防为两【一十二以当一百二十是一当十也或二十四亦可为一当五】定尺展规取五十数【以当五倍】为底进退求其等数之必得六十进位成六百
假如有银十三两每两换钱一千二百文法退二位以规取十二分【当一千二百以尺上一数当一百】为底置一十防【即每两之位】为定尺然后寻一百三十防【即十三两之位】为展规取其底得一百五十六分进二位命之得共钱一十五千六百
又如有银四两每两换钱九百六十文法作两次乗先乗六十取六数为底置一十防为定尺展规取四十防之底得二十四次乗九百取九数为底置一十防为定尺展规取四十防之底得三十六进一位并之得三八四末増一○为进位得三千八百四十文
【二四三六】 因每两是九百六十故末位増○
【三八四○千百十文】
假如有数一百二十欲折取三分之一法以规取六十【折半法也】为底置九十分为定尺然后寻两之三十分防【即三之一】取其底于本线比之必二十命所得为四十【加倍法也先折半故得数加倍】凡所用数在一十防以内近心难用则进位取之如前条所设宜用六数九数为底其防近心取数难清即进位作六十取数用之是进一位也但先进一位者得数后即退一位命其数此可于前假如中详之【用尺时有退位得数后进位命其数用尺时有进位得数后退位命其数其理相通故不另立假如】或先进二位者得数亦退二位或先加倍者得数折半并同一法
用法七 凡四率法有中两率同数者谓
之连比例假如有大数【三十六】小
数【二十四】再求一小数与此两数
为连比例法以大数为【如辛甲】小数为底【如辛巳】定尺再以辛巳
底为【如甲丁】而取其底【如丁戊】其
数必【十六】则三十六与念四之比
例若念四与十六也【其比例为三分损一】若先有小数【十六】大数【二十四】而求连比例之大数则以小数为底【如丁戊】大数为【如丁甲】定尺再以丁甲为底【如辛巳】取其【如辛甲】其数必三十六则十六与念四若念四与三十六也【其比例为三分増一】他皆仿此【原书有断比例法今按断比例即古法之异乗同除西法谓之三率前各条中用尺取数皆异乗同除之法故不更立例】
用法八 凡句股形有句有股有共
三件先有两件而求其不知
之一件法以尺作正角取之
假如有句【八尺】股【十五尺】欲知其
法以规量取八十防为底
一端指尺上之六十四防一
端指又一尺之四十八防以
定尺则尺成正角乃于尺上
取八十防为句又于一尺上
取一百五十防为股张规以就所识句股之两防必一百七十退一位得十七尺如所求【取句股数时原进一位故所得数退一位命之説见前】
若先有【十七尺】股【十五尺】求其句则以规取一百七十防为句股之乃以规端指一百五十防以余一端又于一尺上寻所指之防必八十也如上退位得句八尺或先有【十七尺】句【八尺】求其股亦以规取【一百七十】而一端指【八十】寻又一端之所指必得【一百五十】命【一十五尺】为股如所求
凡杂三角形内无正角不可以句股
算法先作角假如先有一角及角
旁之两边求余一边法于平分线
【任用一笾如甲乙】取数为底分圆线【六十】度为
两定尺以规取所设角之底【为平分线上任用甲乙边等度之底】定尺则尺间角如所设【如乙角】乃于两尺上依所设取角旁两边之数于两尺各作识【如甲乙丙乙】遂用规取斜距之底【如甲丙】即得余一边如所求
又法 假如乙甲丙三角
形有甲角【五十三度○七分】甲乙
边【五十六尺】甲丙边【七十五尺】而求
乙丙边法以规取一百分
为分圆线上六十度之底敛规取五十三度强之底移于平分线上作百分之底定尺乃于尺上取五十六防【如甲乙】又一尺上取七十五防【如甲丙】乃以规取两防斜距之底于尺上较之即得六十一尺【如乙丙】命为所求邉【分圆线见后】
用法十 有小图欲改作大几倍之图用前倍法假如有小图濶一尺二寸今欲展作五倍即取十二为十防之底定尺展规取五十防之底必得六十命为六尺如所求
用法十一 平圆形周径相求法于平分线上作两识以一百八十八半弱上为周六十为径各书其号假如有径【七十一】求周法以规取七十一加于径防为底定尺展规取周防之底即得周二百二十三如所求【以周求径反此用之】
用法十二 求理分中末线法于线上定三防于九十
六定全分五十九又三之一
为大分三十六又三之二为
小分假如有一直线【一百四十四】欲分中末线即以设线加于
全分防为底取其大小分防之底即得【八十九强】为大分【五十五弱】为小分
【按平线上既作周径之号若又作此则太繁不如另作一线其上可寄五金线也 又按原书全分七十二大分四十二又三之一小分二十七又三之二大有讹错今改定】
以上十二用法姑举其概其实平分线之用不止于是善用者自知之耳
第二平方线【旧名分面线凡平方形有积有邉积谓之幂亦谓之面边线亦谓之根即开平方法也】
原为一百不平分今按若尺小欲其清则但为五十分亦可假如有积六千四百则以平分线之二十自乗得四百于积为十六倍之一若置二十分于一防为底求十六防之底则得方根八十或置于二防为底则求三十二防之底或置于三防为底则求四十八防之底皆同
分法有二 以算一以量
以算分
算法者自枢心【甲】任定一度命为十分【如甲乙】即平方积一百分之根今求加倍平方二百分之根为十四又念九之四即于甲乙线上加四分强【如丙】命甲丙为倍积之根求三倍则开平方三百分之根得十七又三十五之十一即又于甲乙线上加十分半弱【如丁】即甲丁为三倍积之根求四倍则平方四百之根二十即以甲乙倍之得甲戊为四倍积之根五六七以上并同【按用方根表甚简易】
以量分
以任取之甲乙度作正方形【如丙乙甲】乃于乙甲横边引长之以当积数丙乙直边引长之作垂线以当根数如求倍
积之根即于横
线上截丁乙为
甲乙之倍次平
分甲丁于戊戊为心甲为界作半圈截垂线于巳即己乙为二百分之边求三倍则乙丁三倍于甲乙四倍以上并同又防法 如前作句股形法定两尺间成正方角如甲乃任于尺上取甲乙命为一防而又于一尺取甲丙度与甲乙相等即皆为一百之根次取乙丙底加于甲乙
尺上为二百之根甲丁又自丁至丙作
斜以加于甲乙尺上为三百之根甲
戊又自戊至丙作以加于甲乙尺上
为四百之根甲已如此递加即得各方
之根其加法俱从尺心起【如求得丙乙即以丙加甲乙加丁成甲丁他皆仿此】
试法 甲乙为一正方形之边倍其度即四倍方积之边否即不合三倍得九倍方积之边四倍得十六五倍得二十五又取三倍之边倍之即十二倍之边【四其三也】再加一倍得二十七倍之边【九其三也】再加倍得四十八倍之边【十六其三也】再加倍得七十五倍之边【二十五其三也】若以五倍之边倍之得二十倍之边【四其五也】再加倍得四十五倍之边【九其五也】再加倍得八十倍之边【十六其五也 凡言倍其度者线上度也如正方四百分之边二十分甲乙正方一百分之边十分其大为一倍也言几倍方积者积数也如边二十者积四百即尺上所书】
用法一 有平方积求其边【即开平方】法先其设数与某数能相为比例得几倍如法求之假如有平方积一千二百
二十五尺欲求其根以约分法求得
二十五为设数四十九之一即以规
于平分线取五防为平方线上一防
之底定尺展规于四十九防取其底
即得一边三十五尺为平方根【积二十五方根五加四十九倍为积一千二百二十五方根三十五】 或用四十九为设数【一千二百二十五尺】二十五之一即以规取七防为平方一防之底而取平方二十五防之底亦得方根三十五如所求【积四十九方根七加二十五倍为积一千二百二十五则其方根三十五又法若无比例可求者但以十分为一防之底定尺有假如在用法七】
用法二 凡同类之平面形可并为一大形【或方或圆或三角多边等形但形相似即为同类】假如有平面正方四形求作一大正方形与之等积其第一形之幂积为二第二形之积为三第三形之积四有半第四形之积六又四之三法先并其积得【十六叉四之一】乃任取第一小形之边为
底二防为定尺【若用第二形之边为底定尺即用三防为】而于十六防又四之一取其底为大形边其面积与四形总数等
若但有同类之形而不知面积亦
不知边数则先求其积之比例如
甲乙丙丁方形四法以小形甲之
边为底平方线第一防为定尺
次以乙形边为底进退求等数得
第二防外又五分之一即命其积
为二又五之一【此与小形一之比例不拘丈尺】次
丙形边为底求得【二又四之三】丁形边
得【四又六之五】并诸数及甲形一得【十又
六十分之四十七】约为【五之四弱】向元定尺上
寻十防外十一防内之距取其五
之四为等数之两【即十一弱】用其底
为大方形边其面积与四形并数
等
【此加形法也圆面及三角等面凡相似之形并可相并其法同上】
用法三 平面形求作一同类之他形大于设形几倍
【以设形之邉为一防之底定尺】 假如有正方形面
积四百其邉二十今求别作一方形
其容积大九倍法以设形邉【二十】为平
方线一防之底定尺而取平方九防等数之底得【六十】如所求【邉六十其方积三千六百以比设形积为大九倍】
用法四 平面形求别作一同类之形为设形几分之几【以设形之邉为命分定尺而于得分取数】 假如有平方形积三千六百其邉六十今求作小形为设形九之四法以设形邉【六十】为平方第九防之底定尺而取第四防之底得【四十】如所求【邉四十其积一千六百以比设形积为九之四也九为命分四为得分】此减积法也圆面三角等俱同一法
用法五 有两数求中比例【即三率连比例之第二率】
假如有二与八两数求其中比例法先以大数为平方线八防之底而取二防之底得四如所求
二与四如四与八皆加倍之比例故四为二与八之中率
用法六 有长方形求作正方形 假如长方形横二尺直八尺如上图求得中比例之数为四尺以作正方形之边则其面积与直形等
直八尺横二尺 其积一十六尺
方形各边并四尺其积亦十六尺
用法七 有设积求其方根而不能与他数为比例则以一十数为比例
假如平积二百五十五用十数比之为二十五倍半即取十数为平方线一防之底而取二十五防半之底得十六弱为方根【十六自乗积二百五十六今只欠一小数故命之为十六弱】
第三更面线
【凡平面形方必中矩圆必中规其余各形并等边等角故皆为有法之形而可以相求】
分法
置公积四三二九六四以开方得正方形之根六五八三边形之根一千五边形之根五○二六边形之根四○八七边形之根三四五八边形之根二九九九边形之根二六○十边形之根二三七十一边形之根二一四十二边形之根一九七圜径七四二以本线为千平分而取各类之数从心至末取各数加本类之号
用法一 有平面积求各类之根【凡三角及多边各平面形其边既等故并以形之一边为根圆形则以径为根】法先以设数于平方线上求其正方根以此为度于更面线之正方号为底定尺次于各形之号取底即得所求各形边
假如有平面三等边形积二千七百七十一寸欲求其边法以设积于平方线上如法开其平方根【依前卷用法七以设数为十数之二百七十七倍强各降一位命为一数之二十七倍又十之七强乃以一数为平方一防之底定尺而于其二十七防十之七强取底数得五寸二六进一位作五尺二寸半强】以所得方根为更面线正方号之底定尺而取三等边号之底得八尺为三等边形根如所求
用法二 有平面形不同类欲相并为一大形法先以各形边为更面线上各本号之底定尺而取其正方号之底作线为所变正方形之边次以所变方边于分面线上求其积数而并之为总积
假如有甲【三角】乙【五边】丙三形欲相并先以甲边为三角号之底定尺而取其正方号之底作线于甲形内【如此则甲形已变为正方下同】书其数曰十次以乙边为五边号之底如前取其平方底向平方线求之得二十一半【其法以甲
邉为平方十防之底定尺而以乙所变方边进退求等度之命之】即
于乙形作方底线书之次以丙圆径
为平圆号之底如前求得十六弱并
三数得四十七半弱为总积【此因三形之邉
无数姑以小形命十数定尺而所得各方积并小形十数之比例】若三形内先知一形之面积即用其
所变方邉定尺则所得皆真数如上
三形但知丙形之积十六【或十六尺或十六寸】
【等】如法以丙形邉变方边于平方线十六防为底定尺余如上法求之亦必得甲为十数乙为二十一半总积四十七半但前条所得是比例之数比例虽同而尺有大小故以此所得为真数也
末以总数于原定尺上寻平方线四十七防半处取其底度为平方邉则此大平方形与三形面积等若欲以总积为五邉形则以所得大平方邉为更面线正方号之底定尺而于五邉形之号取其底即所求五边形之一邉【若欲作三角或圆形并同一法】
用法三 有平面形欲变为他形如上法以本形邉为本号之底定尺而取所求他形号之底
假如有三角形欲改平圆则以所设三角形之邉加于本尺三角形之号为底定尺而取平圆号之底求其数命为平圆径所作平圆必与所设三角形同积
用法四 有两平面形不同类欲定其相较之比例如前法各以所设形变为平方
假如有六邉形有圆形相较即如法各变为平方求其数平圆数二十六邉数三十六即平员为六邉形三十六之二十以二十减三十六得十六为两形之较
第四立方线【旧名分体线 凡平方形如棊局其四邉横直相等而无高与厚之数立方则如方柜有横有直又有高而皆相等平方之积曰平积亦曰面积亦曰幂积如棊局中之细分方罫立方之积曰体积亦曰立积并如骰子之积累成方】
【旧图误以尺枢心甲书于一防上今改正甲乙一亦即一十则其内细数亦不平分旧图作十平分亦误今删去】
分法有二一以算一以量
以算分 从尺心甲任定一防为乙则甲乙之度当十分邉之积为一千【十分自乗之再乗之即成一千假如立方一尺其积必千寸】纪其号曰一次加一倍为立积二千开立方求其根得十二又三之一即于甲乙上加二又三之一为甲丙纪其号曰二再加一倍立积三千开立方得数纪三以上并同
防法 取甲乙邉四分之一加甲乙成甲丙即倍体邉又取甲丙七分之一加甲丙成甲丁即三倍体邉又取甲丁十之一加甲丁成甲戊即四倍体邉再加如图
【右加法与开立方数所差不逺然尾数不清难为定率姑存其意】
又防法用立方表
以量分 如后图作四率连比例而求其第二盖元体之邉与倍体之邉为三加之比例也【假如邉为一倍之则二若求平方面则复倍之为四是再加之比例也今求立方体必再倍之为八故曰三加 三加者即四率连比例也】
几何法曰第二线上之体与第一线上之体若四率连比例之第四与第一【第一为元邉线第二为加倍之邉线第三以邉线自乗为加倍线上之面第四以邉线再自乗为加倍线上之体今开立方是以体积求邉线即是以第四率求第二率也】
假如有立方体积又有加倍之积
法以两积变为线【元积如辛庚倍积如辛巳】作
壬巳辛庚长方形次于壬巳壬庚
两各引长之以形心【戊】为心作圈
分截引长线于子于午作子午直
线切辛角【如不切辛角必渐试之令正相切乃止】即辛庚【一率】午庚【二率】子巳【三率】己辛【四率】为四率连比例末用第二率午庚为倍积之一边其体倍大于元积
若辛巳为辛庚之三倍四倍则午庚邉上体积亦大于元积三倍四倍【以上仿此】
解四率连比例之理
试于辛防作卯辛为子午之垂线次
用子壬度从午作卯午直线截卯辛
线于卯又从卯作直线至子又从辛
防引辛庚邉至辰引辛巳邉至丑成
各句股形皆相似而比例等
【卯辛午句股形从辛正角作垂线至丑分为两句股形则形相似而比例
等为午丑辛形以午丑为句丑辛为股辛丑卯形以丑辛为句丑卯为股
则午丑与丑辛若丑辛与丑卯为连比例也 卯辛子句股形从辛正角
作垂线至辰分两句股形亦形相似而比例等 卯辰辛形卯辰为句辰
辛为股辛辰子形辰辛为句辰子为股则卯辰与辰辛若辰辛与辰子
亦连比例也而辰辛即丑卯故合之成四率连比例】
一率 辛庚 即午丑
二率 午庚 即丑辛 亦即辰卯
三率 子巳 即辛辰 亦即丑卯
四率 己辛 即辰子
试法 元体边倍之即八倍体积之邉若三之即二十七倍之邉四之即六十四倍体积之邉五之即一百二十五倍体积之邉
又取二倍邉倍之得十六【八其二也】再倍之得一二八倍体积之邉【六十四其二也】
三加比例表【平方立方同理即连比例】
第一率 第二率 第三率 第四率
按第一率为元数第二率为线即根数也第三率为面平方幂积也第四率为体立方积也开平方开立方并以积求根故所用者皆二率也【比例规觧乃云本线上量体任用其邉其根其面其对角线其轴皆可其説殊不可晓今删去】
用法一 有立积求其根【即开立方】
假如有立方积四万法先求其与一千之比例则四万与一千若四十与一即取十数为分体线上一防之底定尺而取四十防之底得三十四强即立方之根【説见平方】
用法二 有两数求其双中率【谓有连比例之第一与第四而求其第二第三】法以小数为一率用作本线一防之底而取大数之底为二率既有二率可求三率
假如有两数为三与二十四欲求其双中率法约两数之比例为一与八即以小数三为本线一防之底定尺而于八防取底得六为第二率末以二率四率依法求中率得十二为三率
一率三 二率六 三率十二 四率二十四
用法三 设一体求作同类之体大于设体为几倍【此乗体之法】
假如设立方体八千其邉二十求作加八倍之体为六万四千问邉若干法以设体根二十为本线一防之底定尺而取八防之底得四十即大体邉如所求
用法四 有同类之体欲并为一法累计其积而并之为总积求其根即得
假如有三立方体甲容一十乙容十三又四之三丙容十七又四之一并得四十一即以甲容一十为本线一防之底定尺而取四十一防之底为总体邉如所求 若设体无积数则以小体命为一十而求其比例然后并之
用法五 有两同类之体求其比例与其较【此分体之法】假如甲丙两立方体欲求其较而不知容积之数法以甲小体邉为一防之底定尺而以丙邉为底进退求其等数如所得为九即其比例为九与一以一减九其较八即于八防取底为较形之邉
用法六 有立方体欲别作一体为其几分之几假如有立方体欲另作一体为其八之五则以设体邉为本线八防之底定尺而于五防取底为邉作立方体即其容为设体八之五
第五更体线【旧名变体线】
体之有法者曰立方曰立圆曰四等面曰八等面曰十二等面曰二十等面凡六种外此皆不能为有法之体
六等面体各面皆正方即立方也有
十二棱八角测量全义曰设边一百
求其容为一○○○○○○
浑圆体亦曰球体即立圆也几何补
编曰同径之立方积与立圆积若六
○○○○○○与三一四一五九二
设径一百求其容为五二三五九八
此三角平面形相合而成有六棱四
角测量全义曰设边一百求其容为
一一七四七二半
此体各面亦皆三等边形有十二棱
六角测量全义曰设边一百求其容
为四七一四二五有奇
此体各面皆五等边有三十棱二十
角测量全义曰设边一百求其容为
七六八六三八九
此体各面亦皆三等边有三十棱十
二角按几何补编二十等面体设边
一百其积二百一十八万一八二八
测量全义作边一百容五二三八○
九相差四倍故今不用
分法
置公积百万依算法开各类之根则立方六等面体之根为一百四等面体之根为二○四八等面体之根为一二八半十二等面体之根为五○半强二十等面体之根为七七圆球之径为一二四【原本十二等面根五○二十等面根七六圆径一二六今并依几何补编改定】 因诸体中独四等面体之根最大故本线用二○四平分之从心数各类之根至本数加字
用法一 有各类之立体以积求根【即开各类有法体之方】法皆以设积于立方线求其根乃移置更体线求本号之根即得
假如有十二等面体其积八千问邉若干法以一千之根十为立方一防之底定尺而取八防之底得二十为所变立方之根次以二十为本线上立方号之底而取十二等面号之底得一十○强即十二等面之一邉【他仿此】
用法二 有各类之立体以根求积 法先以所设根变为正方根乃于立方线求其积
假如有二十等面体其邉三十一弱问积法以根三十一弱为本线二十等面号之底定尺而取立方号之底得四十弱为所变立方之邉次于立方线以一十为一防之底而以四十进退求等数得【十六】防命其积【一万六千】如所求【邉一十其积一千则邉四十积一万六千】
用法三 有不同类之体欲相并为一【此以体相加之法并变为正方体积即可相并】
假如有三立体甲浑圆体【径一百二十四】乙二十等面体【邉七十七】丙十二等面体【邉五十○半】欲相并用前条法各以积变为立方积则三体之积皆一百万并之得三百万如所求
用法四 有不同类之两体求其比例与其较【此以体相减之法】法各变为立方体即可相较以得其比例并同更面线法
第六分圆线【即各弧度之通也旧名分线亦曰分圈】
分法有二一以量一以算
以量分 法作半方形如甲乙丙令甲丙斜与本线
等长以乙方角为心甲为界作象限
弧如甲丁丙乃匀分之为九十度各
识之次从甲防作直线至各度移入
尺上识其号 若尺小可作六十度
即本线之长为六十度号 若尺大可作一百八十度即本线之半为六十度号
以算分 法用正表倍之为倍度之通 假如求六十度通即以三十度之正【五○○○○】倍之得【一○○○○○】即六十度之通他皆若是
试法十八为半周十之一【即全圈二十之一也】三十六为半周五之一【即全圈十之一】四十五为半周四之一【即全圈八之】七十二为半周五之二【即全圈五之一】九十为半周之半【即全圈四之一谓之象限】百二十度为半周三之二【即全圈三之一】
用法一 有圆径求若干度之弧以半径当六十度取之
假如有甲乙丙全圈有甲丙径求五十度之弧即以甲丙径半之于丁以甲丁半径为本线六十度之底定尺而取五十
度之底如甲乙直线以切圆分即得甲戊乙弧为五十度如所求
用法二 若以弧问径则反之
如先有弧分如甲戊乙为五十度而问全径法从弧两端聫之作直线如【甲乙】用为本线五十度之底定尺而取六十度之底为半径【甲丁】倍之得全径【甲丙】
用法三 直线三角形求量角度
法以角为心任用规截角旁两线作通如法得角度
假如甲丙乙三角形不知角法任用甲丁度以甲为心作虚圈截甲丙线于丁截甲乙线于戊次作丁戊直线次即用甲丁原度以乙为心如法截甲乙于辛截丙乙于庚
作辛庚直线末以甲丁为六十度之底定尺乃用丁戊为底进退求其等度之号得甲角之度用辛庚为底亦得乙角之度合两角减半周得丙角度
如甲角六十五乙角四十则丙角必七十五
用法四 平面等邉形求其径
假如有五等邉平面形欲求径作图【即对角辏心直线】法以设邉为分圆线七十二度之底而取其六十度之底为半径以作平圆末以原设边为度分其周为五平分即成五等面如所求【他等邉形并同】
五等邉形有一邉如丙乙如法求
得乙甲半径以甲为心乙为界作
平圆而以丙乙邉度分其圆得丁
戊己等防作线聫之即成五等邉形而所作圆即外切之圆
第七正线【旧名节气线以其造平仪时有分节气之用也然正在三角法中为用甚多不止一事不如直言正以免挂漏】
正线不平分亦近枢心大而渐小与分圆同
分法 全尺为一百平分尺大可作一千于正表取数从枢心至各度分之每十度加号
简法 第一平分线可当此线其线两傍一书平分号一书正号
又法 分圆线可当此线以分圆线两度当正一度纪其号
假如分圆六十度齘即纪正三十但分圆之号直书则正横书以别之
解曰凡正皆倍度分圆之半故其比例等然则分圆之一度即正之半度而半度亦可取用为尤便也
如图甲乙为通甲丙乙丙皆正
用法一 有设弧求其正法以九十度当半径假如有七十五度之弧求正即以本圈半径为正线九十度之底定尺而取七十五之底为正如所求
用法二 有弧度之正数求径数则以前条反用之假如有七十五度之正数即用为本线七十五度之底定尺而取其九十度之底得半径数
用法三 句股形有角度有求句求股法以当半径正当句与股
假如句股形之二丈有对句之角
三十度即取平分线之二十当数
为正线九十度之底而取三十度
之底得一十即其句一丈
又于其角之余【即六十度正】取底得【一十七又三之二弱】即其股为【一丈七尺三寸二分】
若以句求则反之如句一丈其句与所作之角为六十度其余角三十度即取一十数为三十度之底定尺而取九十度之底得二十命其二丈
用法四 三角形以邉求角 假如三角形有乙甲邉甲丙邉及丙角度而求乙角法以乙甲邉数为丙角正之底定尺而以甲丙
邉为底进退求其等度取正线上号为乙角度如所求
用法五 三角形以角求邉
假如三角形有戊角度己角度及庚己邉而求庚戊邉法以庚己邉为戊角正之底定尺而取己角正之底得数即为庚戊邉如所求 余详三角法举要
用法六 作平仪求太阳二至日离赤道纬度
如图以十字分大圆直者为两
极横者为赤道横直交于圆心
即地心也赤道即春秋分日行
之道也地心至两极半径为正
线九十度之底定尺取二十
三度半之底于地心上下各作防于直线于此防作横线与赤道平行为二至日道近北极者夏至近南极者冬至也
又求作各节气日道
法先求黄道线
法于夏至之一端作斜线过地心至冬至之又一端即成黄道日行其上一嵗一周天者也以黄道半径为九十度之底定尺每十五度正取底移至黄道半径上【并从地心起度】
于地心上下各识之即各节气日躔黄道上度也【或三十度取底则所得皆中气】
乃自黄道上各防作直线并与赤道平行即各节气日行之道此与分至日道皆东升西没一日一周者
也其各线两端
抵大圆处即各
节气赤道纬度
也春分以后在
赤道北秋分以
后在赤道南
试法于二至日道两端作横线聫之【如甲乙】次以此横线之半为度【如丙乙】过赤道处【如丙】为心作半圈于大圆之上【如乙戊甲半圆】亦如法作半圈于下两半圈各匀分十二分作识【若但求中气可分六分】上下相向作直线聫之即必与先所作日行道合为一线 又以甲丙为正九十度之底定尺而于其各正取底亦即与原定日道纬度线合【如丙辛三十度之正也与赤道旁第一纬线合丙丁六十度之正也与第二纬线合左右上下考之并同】
用法七 定时刻【仍用平仪】
法以平仪上赤道半径为正线九十度之底定尺而于各时刻距卯酉之度取其正于赤道作识【过两极轴线处即夘正酉正也距此而上三十度午前为辰正午后为申正距此而下三十度子前为戌正子后为寅正距此而上六十度午前为巳正午后为未正距此而下六十度子前为亥正子后为丑正至圆周处上为午正下为子正】即春秋分之时刻也欲作各时初正及刻凖此求之并以正为用【每时分初正各加距十五度初正又各分四刻每刻加距三度又四分之三并取正如前法】又以二至日道之半径为正
九十度之底定尺如
法取各正作识即二
至之时刻也 末以分
至线上时刻作弧线聫
之即得各节气之时刻
凖此论之平仪作时刻亦用正比例规觧以正名节气线切线名时刻线区而别之非是
第八切线【旧名时刻线今按平仪时刻原用正惟以日景取高度定时刻斯用切线耳又如浑盖通宪等法亦皆切线其用甚多故不如直名切线】
切线不平分先小渐大至九十度竟平行无界故只用八十度或只作六十度亦可
分法 简切线本表八十度之切线五六七即于尺上作五六七平分次简各度数分之逢十加识
用法一 三角形求角
假如乙甲丁三角形求乙角任截角
旁线于丙得乙丙十寸自丙作垂线
戊丙量得七寸次用十数为切线四十五度之底定尺而以戊丙七数为底进退求等度得三十五度为乙角
用法二 求太阳地平上高度【用直表】
法曰凡地平上直立之物皆可当表以表高数为切线四十五度之底定尺而取表影数为底进退求等度得日高度之余切线
假如表高一丈影长一丈五尺法以丈尺变为数用一十数当表高为切线四十五度之底定尺次以一十五数当影长为底进退求等度得五十六度十九分为日高之余度以减九十度得日高三十三度四十一分
癸丙地平上日高度与壬辛
等其余度癸丁为日距天顶
与戊辛等甲戊为表长其影
戊已乃日距天顶之切线在
日高癸丙为余切线也
用法三 求太阳高度用横表
植横木于墙以候日影即得倒影为正切线之度假如横表长一尺倒影在墙壁者长一尺五寸法用十数当横表为四十五度之底定尺次以十五数当影长进退求等度得五十六度十九分即命为日高之度
凡亭台之内日影可到者量其檐际之深可当横表
卯寅墙 子甲为横表
太阳光从丁过表端甲射丑成子丑倒影丁丙为
日在地平上高度与午子度等故以子丑倒影为日高度之正切线也
按直表之影低度则影长高度则渐短日度益高则影极短故以余切线当直影【前图是也】横表之影低度则影短高度则渐长日度益高则影极长故以正切线当倒影【后图是也】比例规觧乃俱倒説今正之
用法四 求北极出地度分 假如江宁府立夏后九
日午正立表一丈测得影长为
二尺四寸法以一百数当表高
为切线四十五度之底定尺而
以二十四数为底进退求等数
得一十三度半如法以减九十度得七十六度半为日出地平上高度简黄赤距度表是日太阳北纬一十九度以减日高度得赤道高五十七度半转减九十度得北极高三十二度半防法以直表所得一十三度半加太阳北纬十九度即得三十二度半为北极高度
解曰直表所得太阳距天顶度也加北纬即赤道距天顶度亦即北极出地度
又如顺天府立春后四日如法
用横表三尺得倒影二尺一寸
依切线法求得日高三十五度
简表得本日太阳南纬一十五
度以加日高度得赤道高五十
度以减九十度得北极高四十度
第九割线【旧名表心线今按割线非表心又割线之用甚多非只作日晷一事故直名割线为是】
割线不平分先小后大并与切线略同故亦只作八十度或只作六十度亦可
分法 用割线本表八十度之割线五七五平分之其初防与切线四十五度等次依表作度加识
用法一 三角形以割线求角
假如有甲乙丙三角形求甲角法任
于甲角旁之一邉截戊甲十寸作垂
线如戊丁截又一邉于丁得丁甲十
九寸次以十数为割线初防之底定尺而以十九数为底进退求等数得五十八度一十七分为甲角之度
用法二 作平面日晷【兼用割切二线】
法曰先作子午直线卯酉横线十字相交于甲以甲为正午时从甲左右尽横线尽处为度于切线八十二度半为底定尺次于本线七度半取底向卯酉横线上识之自甲防起为第一时如甲丙甲乙次每加七度半取底如前作识为各时分【如七度半加之成十五度即第二时又逓加如二十二度半三十度三十七度半四十五度五十二度半六十度六十七度半七十五度至八
八十二度半合线末元定之防】若逓加三
度四十五分而取底作识
即每时四刻全矣【按每七度半加
防乃二刻也今每三度四十五分则一刻加防】订定法曰横线上定时刻
讫次取甲交防左右各十
二刻之度【即元定四十五度之切线亦即】
【半径全数】为割线上北极高度之底定尺而取割线初防之底为表长【如壬庚】 次以表长当半径为切线四十五之底定尺而检北极高度之正切取底自甲防向
南截之如甲壬以壬为表位
又于北极高度之余切线取底
自表位壬向南截之如壬辛以
辛为晷心 末自晷心辛向横
线上原定时刻作斜直线引长
之得时刻 时刻在子午线西
者乙为午初丁为巳正癸为巳初又加之即辰正又加之即辰初在子午线东者丙为未初戊为未正巳为申初又加之即申正又加之即酉初并逓加四刻谨按卯酉线即赤道线也二分之日日躔赤道日影终日行其上庚甲割线正
对赤道正午时日影从庚射甲成庚甲影若已末午初则庚防之影不射甲而射乙而庚甲影如半径乙甲如切线矣以庚甲为切线上半径而递取各七度半之切线以定左右各时刻之防并日影从庚所射也然此时庚甲之度无所取故即用赤道线四十五度之切线代之用切线实用庚甲也【庚甲既为切线之半径则必与四十五度之切线同长】
以四十五度当半径而取切线以定时刻此天下所同也然赤道高度随各方北极之高而变庚甲割线何以能常指赤道则必于表之长短及表位之逺近别之故以庚甲当北极高度之割线而取其初防为表长初防者半径也本宜以半径求割线今先有割线故转以割线求半径也既以庚壬表长为半径庚甲为割线则自有壬甲切线而表位亦定矣表位既定则庚甲影能指赤道矣何以言之表端壬庚甲角既为极高度则庚角必赤道高度而庚甲能指赤道也故北极度高则庚角大甲角小而庚壬表短壬甲之距逺北极度低则赤道高甲角大而庚壬表长壬甲之距近比例规觧乃以表位定于甲防失其理矣遂复误以割线为表长余割线为晷心而强以割线名为表心线名实尽乖贻误来学此皆习其业者原未深谙强为作觧而即有毫厘千里之差立法者之精意亡矣故特为阐明之
庚壬表上指天顶下指地心为半径
壬表位壬甲为正切线辛晷心辛壬
为余切线甲角即赤道高度壬庚甲
角即北极高度与辛角等
用法三 先有表求作日晷【借用前图可解】
法先作子午直线任于线中定一防为表位如壬乃以表长数壬庚为切线四十五度之底定尺而取本方北极出地度之底得壬甲正切度于表位北作防【如甲】次于甲防作卯酉横线与子午线十字相交即赤道线春秋分日影所到也又取极高余度之底得壬辛余切线于表位南作防【如辛】即晷心也若自表端庚作直线至晷心辛即为两极轴线辛指南极庚指北极也次以表长【庚壬】与壬甲正切相连作正方角则庚壬如句壬甲如股而取其线庚甲即极出地正割线也次以庚甲为切线四十五度之底定尺而各取七度半之底累加之于甲防左右作识于卯酉横线上末自晷心辛作线向所识防即得午前后时刻并如前法
用法四 有立面向正南作日晷并同平面法但以北极高度之余切线定表位以正切线定晷心则自晷心作线至表端能上指北极为两极轴线又立晷书时刻并逆旋与平面反然以立晷正立于北与平晷相连成垂线则其时刻一一相符
用法五 用横表作向东向西日晷
假如立面向正东法于近南作直线上指天顶下指地心近上作横线与地平相应两线相交于甲以甲为心于两线间作象限弧自下起数至本方北极出地度止自此向甲心作斜直线以分弧度
此线即为赤道次以甲为表
位用横表乙甲之长取数为
切线四十五度之底定尺递
取十五度切线从心向赤道
线累加之作识定时即春秋
分日影所到也【若分二刻则逓取七度半】
【细分每刻则逓取三度四十五分】次于甲心作横斜线如丁戊为赤道之垂线其余时刻防各作线与丁戊平行【亦并与赤道十字相交】次于元定尺上【即以表长为四十五度所定】取二十三度半之切线为度于甲左右截之为界【如丁甲如戊甲】即二至卯正时日影所到也【二分日卯正则乙甲表正对日光无影分前后则有纬度而影亦渐生日日不同然不离丁戊线至二至而极冬至影在北如丁夏至影在南如戊以此为界向西酉正时亦然】仍用元尺取【每十五度之黄赤距纬】切线作于丁戊线内从甲防左右作识得各节气卯正日影【或取三十度切线则所得每月中气酉正亦然】
次以乙甲表长为割线初防之底定尺而取十五度之割线为二分日在辰初刻之影如乙辛即天元赤道上日离午线十五度其光过乙至辛所成也就
以乙辛割线为切
线四十五度之底
而取二十三度半
之底自辛防左右
截横线并如辛壬
为冬夏至辰初刻日影所到之界【辛壬在南为夏至其在北为冬至亦然】又逓取【每三十度之黄赤距纬】切线从辛至壬作防为各中气界【此向南日影界乃赤道北半周节气其辛防向北作界为南半周亦然】自此而辰正而巳初而巳正以至午初并同乃于节气界作线聫之即成正东日晷其面正西立晷作法并同但其时刻逆书自下而上最下为未初次未正次申初次申正次酉初而至酉正则横表正对日光而无影矣此亦二分日酉正也其余节气亦有短影而不出本线与卯正同
新增时刻线【以切线分时刻本亦非误但切线无半度取度难清今另作一线得数既易时刻尤真】
分法 依尺长短作直线【如后图乙丙】于线端作横垂线【如乙甲为乙丙垂线】又作直线略短与设线平行交横线如十字【如甲巳线交横线于甲】以甲为心作象限弧六平分之为时限各一分内四平之为刻限次于甲心出直线过各时限至直线成六时过各刻限者成刻乃作识纪之【并如后图】
尺短移直线近甲心取之【移进线并与原直线平行以遇第六时第二刻为度如已戊虚线遇丁戊线于戊即戊为第六时之二刻】
用法 凡作日晷并以所设半径置第三时为底定尺而取各时刻之底移于赤道线上午前午后并起午正左右为第一时依次加识即各得午正前后时刻【并如前法】
第十五金线【即轻重之学】
物有轻重以此权之独言五金者以其有定质也五金之性情有与七政相类者因以为识
金【太阳】水银【水星】铅【土星】银【太隂】铜【太白】铁【火星】锡【木星】
分法 用各分率及立方线
比例率 【先取诸色金造成立方体其大小一般无二乃权其轻重以为比例】
黄金一
水银一又七十五分之三十八【仪象志作九十五分之三十八】
铅一又二十三分之一十五
银一又三十一分之二十六
铜二又九分之一
铁二又八分之三
锡二又三十七分之二十一【比例规觧原作三十七分之一则锡率反小于铜铁而轻重之序今依仪象志】
金体最重故以为凖自尺心向外任定一度为金之根率自此依各率増之并以金度为立方线上十分之底定尺次依各率为底进退求等数取以为各色五金之根率自心向金率防外作识
解曰此同重异积之率也于立方线上求得方根作识于尺则同重异根之率也金体重则其积最少【谓立方体积】各色之金【谓银铅等】体并轻于金故必体积多而后能与之同重然立积虽有多少非开方不得其根之大小故必于立方线求之也
又解曰先以同大之立方权之得各率者同根异重之率也而即列之为同重异根之率何也盖以根求重则金最重而他色轻以重求根则金最小而他色大其事相反然其比例则皆等假如金与铜之比例为一与二强若体同大则金倍重于铜矣若其重同者则铜之体必倍大于金其理一也
又法 用立方根比例率
黄金一六六弱
水银一九一弱
铅二○二
银二○四
铜二一三
铁二二二
锡二二八
用法一 有某色金之立方体求作他色金之立方体与之同重【或立圆及各种等面体并同】
假如有金球之径又有其重今作银球与之等重求径若干法以金球径数置本线太阳号为底定尺而取太隂号之底数作银球之径即其重与金球等
用法二 若同类之体其根同大求其重
假如有金银两印章体俱正方而其大等既知银重而求金重法以银图章之根数置太隂号为底定尺而取太阳号底数次于分体线上以银章重数为两太阳号底定尺而转以太隂底数【即银章根数】进退求等得数即金章之重
轻重比例三线法【附】
重学为西法一种其起重运重诸法以人巧补天工实宇宙有用之学五金轻重又重学中一种盖他物难为定率可定者独五金耳然比例规觧虽载其术而数多抵牾未可全据愚参以灵台仪象志其义始确因广之为三线曰重比例曰重之容比例曰重之根比例既列之矩算复为之表若论以发其凡康熙壬戌长夏勿葊梅文鼎谨述
重比例【异色之物 体积同轻重异】
解曰重比例者同积也积同而求其重则重者数多轻者数少若反其率则为容积比例矣
用法 假如有金一件不知重法以水盛器中令满权其重乃入金其中则水溢溢定出金乃复权之则水之重必减于原数矣乃以所减之重变为线于比例尺置于水防为底乃于金防取大底即金重也 又如有玉刻辟邪今欲作铜者与之同大问用铜几何法如前以玉器入水取水减重之数置水防为底取铜防大底即得所求【若作诸器用蜡为模亦同或以蜡轻难入水者竟以蜡重于蜡防为底而取铜防大底更妙也】
重之容比例【轻重同则容积异亦谓异色之物】
解曰容比例者同重也同重而求其积则重者积数少轻者积数多反其率亦即为轻重之比例矣
又觧曰容积比例以立方求其根则为根比例矣故轻重当为三线也
用法 假如有水若干重盛器中满十分有澒与水同重盛此器中问几何满法以水满十分之数作水防之底而取澒防小底则知澒在器中得几分
用法二 有同重之两色物欲知其立方根法以容比例求其同重之积再于分体线求其根
用法三 有金或铜锡等不知重法如前入水求得水溢所减之重变为线乃以水重置金防为底【若铜锡亦置铜锡防】于水防取大底【此借容比例求重故反用其率】若用蜡模铸铜器亦以蜡重置铜防为底【而于蜡防取大底即得合用铜斤】
觧曰有二法三法则只须容比例一线足矣盖反用之可以求重既得容可以求根【用三线者取其便用一线者取其简可任意为之也】
又容比例【附】
又客比例
解曰容比例有三率也其实一率而已第一率以水为主取其便用也第二率以金为主取其便擕也第三率平列乃立方之积数也其作线于尺则皆一率而已矣
此外仍有通分之法亦愚所演然其理皆具原表中故仍载表而附之故后
轻重原表
右表灵台仪象志所引重学一则也其法同重者以直推见容积同积者以横推见重重比例容比例皆在其中矣既得容可以求根则根之比例亦在其中矣比例规觧五金线盖原于此原书金与蜡之比例讹卄一为廾九今改定
通分法【亦容比例之率】
分母
澒九五
铅廾三乗得二一八五
银卅一又乗得六七七三五
铜○九又乗得六○九六一五
铁○八又乘得四八七六九二○
锡卅七又乗得一八○四四六○四○为金率
以澒分母九十五除金率得一八九九四三二以乗分子卅八得七二一七八四一六加金率得二五二六二四四五六为澒率
以铅母卄三除金率得七八四五四八○以乗子十五得一一七六八二二○○加金率得二九八一二八二四○为铅率
以银母卅一除金率得五八二○八四○以乗子廾六得一五一三四一八四○加金率得三三一七八七八八○为银率
以铜母九除金率得二○○四九五六○以乗子一得如原数加金率二得三八○九四一六四○为铜率
以铁母八除金率得二二五五五七五五以乘子三得六七六六七二六五加金率二得四二八五五九三四五为铁率
以锡母卅七除金率得四八七六九二○以乗子廾一得一○二四一五三二○加金率二得四六三三○七四○○为锡率
按自古厯算诸家于尾数不能尽者多不入算故曰半已上収为秒巳下弃之其有不欲弃者则以大半少强弱収之
假如一百分则成一整数【九十为一弱一十为一强】百二十五为少即四分之一也【若二十为少弱三十为少强】五十为半【四十为半弱六十为半强】七十五为太即四分之三也【七十为太弱八十为太强】重之根比例【异色同重之立方】
<子部,天文算法类,推步之属,历算全书,卷三十九>
附求重心法
乙甲癸子形求重心先作乙甲线分为【乙子甲乙癸甲】两三角
形次用三角形求心术求【乙子甲乙
癸甲】之形心在【丙丁】作丙丁线聫之
又作子癸线分为【癸乙子癸甲子】两
三角形求【癸乙子癸甲子】形之心在【庚辛】作庚辛线聫之 此二线相交
于壬则壬为本形心即重心也 试作乙巳正角线至子癸线上又作甲戊线至子癸线上此两线之比例即两形大小之比例也【法为癸乙子形与癸甲子形之比例若乙巳与甲戊也】以此比例于庚辛两心距线上求得壬防为全形之重心【法为乙巳线与甲戊若辛壬与庚壬】
如图子巳与癸戊之比例
若丁壬与丙壬也余并同
前图
一率 子巳与癸戊二线并
二率 子巳
三率 丁丙
四率 丁壬
歴算全书卷三十九
<子部,天文算法类,推步之属,历算全书>
方程论自叙
方程于数九之一也何独于方程乎论曰方程犹句股也数学之极致故二以殿乎九今之为数学往往覃思勾股而略方程不宁惟略抑多沿误佹于阙矣数九而阙其一可以无论乎议者谓勾股测量用以知道里之修城邑之广山之高水之深天地日月之行度若方程筭术多取近用米盐凌杂非其精且大是不然精觕小大人则分之而自一至九之数无分也且数何兆欤当其未始有物之初混沌鸿蒙杳防恍惚无始无终无声无形无理可名无数可纪乃数之根也是谓真一真一者无一也一且非一而况其分及其自无之有无一而忽然有一有一则有万万者一之万也万各其一一各其万即万即一环应无端又孰从而精麄之小大之乎故果蓏之有理而星度齐观理实同源数亦防防苟未达此而侈言高逺遗乎目睫将日用之酬酢有外乎理数以自立者哉而二之也古者数学大司徒以备乡之三物教万民而賔兴之其属保氏掌之以教国子具曰九数未尝右勾股于方程也虽然古之人以其进乎数者治数故用之简易而言之约今欲于古学既湮之日出独是以信众疑使方程之沿误皆正而九数阙而复全则意取共明固不敢谬托简古以自文其疎愚之论乃不觉其复矣凡六卷论成于壬子之冬写而成帙则甲寅之夏勿庵梅文鼎自识
余论
数学有九要之则二支一者筭术一者量法量法者长短逺近以求其距西法谓之测线方圆弧矢幂积周径以相求西法谓之测面立方浑圆堆垜之形以求容积西法之测体在古九章则为方田为少广为商功为句股筭术者消息盈虚乘除进退以差多寡騐往以测来西法谓之比例通分子母整齐画一不尽者以法命之西法谓之畸零若夫隠杂重复参错难稽即显騐幽探赜穷深无例可比故西法别立借衰互徴以为用亦比例也在古九章则为粟布为衰分为均输为盈朒为方程此二者相需不可偏废虽然筭术可以济量法之穷而量法不可以尽筭术之变何也可量者其可见也天下之不可见者多矣非筭术何以御之故量法有穷而筭术不穷也夫既量之而得其率矣所量者一欲知者百西法之用比例亦以筭术佐量法也然以例相比非量法而有量法之理吾友桐城方位伯谓九章出于句股葢以此也然吾观方程正负同异减并之用非句股所能御而能生比例愚故以筭术必不可废也
言数学者亦有二家一古法一泰西泰西之説详明晓畅古人之法径捷简易可互明也然古书仅存筭术而略于测量泰西详于测量而或遗在筭术吾观泰西家言矩度三角八线割圆几何原本备矣谓其善用句股能有新意出于古率之外未为过也若所译同文筭指者大约用三率以变古法至于盈朒方程则其术不复可行于是取古人之法以传之非利氏之所传也算术之妙莫盈朒方程若而泰西皆无之是九章阙其二也尚谓之贤于古法乎且泰西家欲以其説易天下故必宛转笺疏以达其意以取信于学者若盈朒方程立法之意殊不能言也不能言盈朒故别立借衰之法以代之自谓超妙可废古法矣而终不能废盈朒若方程一章不但不能言之亦不能用之不过取古人之仅存者具数而已不能别立术以代之也诸书之谬误皆沿之而不能察其必非知之而不用能言之而不悉亦可见矣夫古人之略于量法者非不能言也言之略耳言之详者别有専书而人不能习不传于世耳学士大夫既苦其难竟又无与进取弋获之利遂一切弃置不道浅猎焉者率得少以自多无所发明遂使古人之精意若存若亡不复可见今诸书所载方程法残缺错乱视盈朒尤甚其所仅存又多为后之不得其説者参以臆解而其防益晦非古人旧也使古之方程仅仅如此何必别立一章列于盈朒之后乎然以好变古率如泰西而不能变方程勤于言筭如泰西而不能言方程不能尽其用不能正其沿误可见古人立法之深逺而决不可易向使习古法者尽见古人之书又能如泰西家羣萃州处穷年累月研精覃思以为之引伸而推广又岂止如斯而已乎言之三叹
方程论发凡
一方程立法之始
按周礼九数一曰方田以御田畴界域一曰粟米【一作粟布】以御交质变易一曰差分【一名衰分】以御贵贱廪税一曰少广以御积方程一曰商功以御功程积实一曰均输以御逺近劳费一曰盈朒【一云赢不足】以御隠襍互见一曰方程以御错糅正负一曰句股【一云旁要】以御高深广逺是则方程者九数之一乃九章中之第八章也通雅以九数为周公之法盖自隶首作筭数以来有九章即有方程渊源逺矣
一方程命名之义
方者比方也程者法程也程课也数有难知者据现在之数以比方而程课者则不可知而可知即互乗减并之用
一方程残缺之故
按七十子身通六艺则九数在其中自汉以后史称卓茂刘歆马融郑何休张衡皆明筭术唐宋取士有明筭科六典筭学十经博士弟子五年而学成宋大儒若邵康节司马文正朱文公蔡西山元则许文正王文肃莫不精筭然则筭学之疎乃近代耳夫数学一也分之则有度有数度者量法数者筭术是两者皆由浅入深是故量法最浅者方田稍进为少广为商功而极于句股筭术最浅者粟布稍进为衰分为均输为盈朒而极于方程【详见末卷方程能御襍法】方程于筭术犹句股之于量法皆其最精之事不易明也而筭学无闗进取皆视为贾人胥史之事而不屑从事又其用近小但于方田粟布取之亦无不足故近代诸刻多不具九章其列九章者不过寥寥备数学者虽欲推明古法孰从而求之此方程残缺之由也
一方程谬误之故
方程句股皆不为近用所需然句股测望自昔恒有専书近者西学骤兴其言句股尤备故九章所载虽简而不至大谬至若方程别无専书可证所存诸例又为俗本所乱妄増歌诀立为胶固之法印定后贤耳目而方程不复可用竟如赘疣周官九数几缺其一愚不自揆辄以管闚之见反覆推论以明之务求其理众晓而不疑于用庶不致谬种流传以乱古法云尔【详第四卷刋误】
一方程条件与旧不同之故
旧传方程分二色为一法三色为一法四色五色以上为一法头绪纷然而和较之分疑未清法无画一所立假如仅可施之本例不可移之他处然如此则为无用之法而方程一章为徒设矣窃以古人立法决不如此今按方程有和有较有兼用和较有和较交变约法四端巳尽方程之用不论二色三色四色五色乃至多色其法尽同正不必每色立法反滋纷扰也然惟如此则有定法而方程为有用且其用甚多窃以古人立法必当如此夫古人往矣愚生千载之下蓬户山居耳目局隘不能尽见古人之书亦何以防其然哉夫亦惟是反之心而无疑措之事而可用则此心此理之同庶可共信非敢好为新奇以自也天下大矣邺架藏书岂无足攷尚冀博雅好古君子恵示古本庶有以证明其説而广其所未知则所深望巳【详见第一卷及第四卷刋误】
一方程以论名篇之故
算学书有例无论则不知作法根原一再传而多误盖由于此本书欲明筭理故论多于例每卷之首皆有总论以为之提网然后举例以实其説【即假如也】而例中或有疑似之端仍各有説以反覆申明之令覧者彻底澄清无纎毫之凝滞凡为论者十之七而例居其三以论名篇着其实也
一方程例有详略可以互明
既欲推明其理则无取夸多故首卷和较襍变四端不过数例意在假此例以发吾论但求大义晓畅更不繁引多例以乱人思其后数卷举例稍繁然每设一例即明一义务求委曲尽变庶令用者不疑前详者后必略前略者后乃详更无重复细观自见
一方程著论校刻縁起
鼎性耽苦思书之难读者恒废寝食以求之必得其解乃巳有未能通则耿耿胸中虽厯嵗时未敢忘也算数诸书尤性所嗜虽只字片言亦不敢忽必一一求其所以然了然于心而后快窃以方程算术古人既特立一章于诸章之后必有精理而中西各书所载皆未能慊然于懐疑之殆将二纪嵗壬子拙荆见背閍户养疴子以燕偶有所问忽触胸中之意连类旁通若干门之乍啓亟取楮墨次第录之得书六卷于是二十年之疑涣然冰释然后知古人立法之精深必非后世所能易书虽残缺全理具存苟能精思必将我吿管敬仲之言不余欺也
论成后冀得古书为征而不可得不敢出以示人惟亡友温陵黄俞邰太史桐城方位伯广文豫章王若先明府金陵蔡玑先上舍曾钞副墨而昆山徐扬贡明府檇李曹秋岳侍郎姚江黄黎洲征君颇加鍳赏厥后吴江潘稼堂太史尤深击节嵗丁夘薄逰钱塘同里阮于岳鸿胪付赀授梓属以理装北上未遂杀青续遇无锡顾景范北直刘继庄二隠君嘉禾徐敬可先軰朱竹垞供奉淮南阎百诗宁波万季野两征士于京师并印可又得中州孔林宗学博杜端甫孝亷钱塘袁恵子文学共相质正乃重加缮录以为定本谬辱安溪李大中丞厚庵先生下询厯算命之论撰以质同人获与介弟安卿孝亷晨夕酬对承其谬赏兹编录副以归手挍欹劂视余稿本倍觉清明向使湖上匆剧雕版反不能如是之精良矣感书成之非偶惊嵗月之易流而良朋好我之殷受益宏多更仆难数爰兹略纪以志不忘
数学存古序【附录】
六艺古圣人用也所以开物成务垂泽将来虽然器久则毁声传而失彼其初非不穷神尽变而后稍湮没古圣人无如何也今不尽亡者数学耳数之为物不借器而存稽实待虚其道如易故礼乐代更而方圆不易书契形名世殊方别而奇偶自如数之不亡不能亡也顾不能亡者数仅存者数之学尝稽汉艺文志许商算术二十六卷杜忠算术十六卷唐博士肄习具有十经今略不一覩又古人制浑仪往往有书説详徴其故又凡作厯皆有测验诸书与厯术并垂如史所载晋姜岌刘宋祖冲之隋刘焯唐李淳风一行宋沈括元郭守敬着撰皆富今其存逸皆不可得攷自汉赵氏周髀一经外无可广证他纬书占候傅防难信然则今九章者果周官旧邪周官之旧既以不可知近世儒者又略之弗讲九数之学益以荒芜于是泰西氏者乃始孤行其测圜三角诸术以矜奇创学其学者至以大衍填写九执未尽授时阴用回回法子云康节之书皆为臆説而隶首之术必有所穷嘻其果然邪夫谓西厯能兼古法之长是也而反谓古人阴用乎西法此其説非也不观之书御乎御用于骑书用于楷楷与骑日以习而古书御亡或者未考舆轮而辄以古御不如今骑未窥籕篆而谓古书不及今楷遂欲驾王武子于造父尊钟元常于苍颉过矣愚生晚不及见古人僻处山陬闻见固陋闲尝于世传九章者稍稍论列补葺遗缺而昰正其纰缪使读者晓然知九数之学果不尽于今所传而其仅存者犹能与泰西氏并行而不得以相废虽不知于古人万一有当然天下之大不乏其人尚其共出枕秘以昭明而光大之使古人之绪晦而复显或由是以发其端欤是愚之所望矣