钦定四库全书
厯算全书卷四十五
宣城梅文鼎撰
方程论卷六
方程御襍法
算术之有方程犹量法之有句股必深知诸算术而后能言方程犹之必深知诸量法而后能治句股故以是终
诸方田少广凡属量法者往往有可以句股立算而诸法不能治句股方程之于粟布差分也亦然故襍法不能御方程而方程能御襍法
例如后
假如有粮一万九千石与甲乙丙三县各以其人戸多少米价贵贱僦值逺近舟车险易而均输之 甲县戸三万米价毎石一两四钱逺输二百里用车载二十石行一里僦值一钱三分 乙县戸二万米价一两二钱逺输五百里用舟载二十五石行一里僦值三分 丙县戸一万米价一两二钱逺输二百里道险可用负担每负六斗行五十里顾值一钱八分
法曰各以其县米价并僦值之数命其户以方程较数列之 以甲县车载二十石除其僦值一钱三分得六厘五毫【每载一石行一里数也】以乗二百里得一两三钱并米价一两四钱共二两七钱 以乙县舟运二十五石除其僦值三分得一厘二毫以乗五百里得六钱倂米价一两二钱共一两八钱
以丙县负担六斗除其顾值一钱八分以乗一石得三钱又以五十里除之二百里乗之得一两二钱并米价共二两四钱
原法以各县米价并僦值之数以除其戸为衰列而并之并衰为法各衰乗总米为实法除实得各县米今用方程则不湏尔竟以二两七钱命甲县之衰为二十七戸以一两八钱命乙县之衰为一十八户以二两四钱命丙县之衰为二十四户以三县衰命为适足而列之
如三色有空法乗 余丙县异倂一百一十四戸为法 正三十四石二斗为实 法除实得丙县每戸粮三斗 以丙一戸三斗减共一石九斗余一石六斗乙县四戸除之得每戸粮四斗
以乙二戸八斗甲县三戸除之得每戸二斗又三分斗之二各以每户率乗其县之戸总得各县转
计开
甲县三万户 共粮八千石 共僦车值一万○四百两毎户粮二斗六升六合又三之二 每三户粮八斗每戸僦值三钱四分又三之二 每三户僦值一两○四分总计米价与其僦值每戸共银七钱二分
乙县二万户 共粮八十石 其僦船值四千八百两每户粮四斗 僦值二钱四分
总计米价僦值每户亦七钱二分
丙县一万户 共粮三千石 共顾担夫银三千六百两毎户粮三斗 僦值三钱六分
总计米价僦值每户亦七钱二分
以米言之
论曰此因米价不等加以僦值不同故以法均之粮虽不均而每户所出之银数则均若但均其米乃不均矣是故均之以不均斯谓能均
问官米二百六十五石令三等人户出之甲上等二十户每户多中等七斗乙中等五十戸每戸多下等五斗丙下等一百一十戸其则例各若干
法以和较列位【依省算以和数十之一列之】
如法乗减 得丙戸十八为法 二十一石六斗为实 法除实得一石二斗为下等每戸则例 加正五斗为中等则 又加七斗为上等则
计开
甲上等毎戸二石四斗 二十戸共四十八石
乙中等毎戸一石七斗 五十戸共八十五石
丙下等每戸一石二斗 一百一十戸共一百三十二石合计之共二百六十五石
问有米六百七十四石以四等里甲输纳乙为甲十之八丙为乙十之七丁为丙十之六其甲乙各八十戸丙丁各七十户问各若干
解曰十之八卽非二八差分十之七十之六卽非三七四六差分故与带分条所设不同合而观之可也
法以和较列位
如法乗减而重列其余与三行对
又以余数与四行平列
数益多用省算法四除减余然后列之
如法乗减余丁六百七十四爲法 五万六千六百一十六石无减爲实 法除实得八十四石爲丁共数 十因丁数六除之爲丙共数 十因丙数七除之爲乙共数 十因乙数八除之爲甲共数
计开
甲共数二百五十石以八十户除之得毎户三石一斗二升五合 乙共数二百石爲甲十之八以八十户除之得毎户二石五斗 丙共数一百四十石爲乙十之七以七十戸除之得每户二石 丁共数八十四石爲丙十之六以七十户除之得每户一石二斗总计之共六百七十四石
论曰此所问是总数相差非毎户相差也故原列者总户而得亦总户之米若云问毎户之差则当以毎户列之而所得者亦毎户米也如后例
假如共米六百七十四石以四色人户出之甲八十户乙亦八十户乙毎户如甲十之八丙丁各七十户丙毎户如乙十之七丁毎户如丙十之六
问各户则例
法以戸细数列位
依省算以首行退位十而一与次行对减而重列之又半其减余然后列之与三行对
又列减余以对末行
如法乗减异并一千二百九十二为法 一千四百一十五石四斗无减为实 法除实得一石○九升又三百二十三之一百七十八为丁毎戸则例【法实皆四约之】
十因丁则六除之得一石八斗二升又三百二十三之一百八十九为丙每户则例
十因丙则七除之得二石六斗○又三百二十三之二百七十为乙每户则例
十因乙则八除之得三石二斗六升又三百二十三之十四半为甲每戸则例
计开
甲每户三石二斗六升又三百二十三之十四半八十户共二百六十石○八斗三升又三百二十三之一百九十一
乙每户二石六斗○又三百二十三之二百七十 为甲每户十之八
八十户共二百○八石六斗六升又三百二十三之二百八十二
丙每户一石八斗二升又三百二十三之一百八十九
为乙每户十之七
七十戸共一百二十七石八斗 ○ 又三百二十三之三百一十
丁每户一石○九升又三百二十三之一百七十八为丙每户十之六
七十户共七十六石六斗八升又三百二十三之一百八十六
合计共六百七十四石【凡六百七十三石九斗七升又九百六十九分以三百二十三収之为升得此数】
问有均分两银庚以其五之二与甲则甲之数多于庚一百六十八两若以甲二十一之九与庚则庚之数多于甲一百八十两原数几何
法以所用益彼之分与此所存之余分相减而列之【庚与甲五之二庚自存五之三】相减余五之一【是为以庚五之一较甲全分而甲多一百六十八两也】
【甲与庚廿一之九 甲自存廿一之十二】相减余二十一之三【是为以甲二十一之三较庚全分而庚多】【一百八十两也】
庚虽自存五之三而甲股内有庚所与之二故以相减而余之一分与甲相较
甲虽自存二十一之一十二而庚股内有甲所与之九故以相减而余之三分与庚相较
甲一百○二分为法除实一千○二十两得十两为甲之一分 二十一分共二百一十两 减负一百六十八两余四十二两爲庚之一分 五分亦共二百一十两
计开
【庚甲】各原银二百一十两【庚五之二计八十四两其五之三仍一百二十六两 甲二十一之九计九十两其二十一之十二仍一百二十两】
庚以八十四与甲【甲共有二百九十四庚仍余一百二十六】相较甲多一百六十八
甲以九十与庚【庚共有三百 甲仍余一百二十】相较庚多一百八十此设问之意也
以【庚之一分四十二甲全分二百一十】相较甲亦多一百六十八
以【甲之三分计三十庚全分二百一十】相较庚亦多一百八十
此列位之理也
论曰右例以此之分益彼而转与此之余分相较与帯分条所设不同 带分条此之分较彼全分其全分即是原数 今则一损一增以相较非原数也故曰不同
及其相减而列为较数也则亦是此之分较彼原数矣是之谓尾同而首异
相减列位亦有变为和数者如后所设
问有两银庚以其五之三与甲则甲之数多于庚二百五十二两若以甲廿一之十三与庚则庚之数多于甲二百六十两
法亦以所与彼之分与其余分相减列之
庚【与甲五之三自存五之二】相减余五之一【此为所用之分多于存分是变和数也庚五之一偕甲全分共二百五十二两也】
甲【与庚二十一之十三自存二十一之八】相减余二十一之五【此亦用分多存分少是变和数也 甲二十一之五偕庚全分共二百六十两也】
甲所以多如许者不惟其全数之故其所得于庚之分又多于庚之余分者一也故甲所多之数乃是甲全数偕庚之一分所共也
庚所以多如许者亦不惟其全数之故其所得甲之分又多于甲之存分者五也故庚所多数亦是庚全数偕甲之五分所共也
甲一百分为法除实一千而得十两为一分 以甲五分计五十两减共二百六十两余二百一十两为庚原银 五除之得四十二两为一分 以减共二百五十二两亦得二百一十两为甲原银
庚五之三计一百二十六两以加甲银共三百三十六两 内减去庚自存五之二计八十四两 仍多二百五十二两 即是甲全数偕庚一分之数也
甲二十一之十三计一百三十两以加庚银共三百四十两 内减去甲自存二十一之八计八十两 仍多二百六十两即是庚全数偕甲五分之数也
论曰右例以此之分偕彼全分而为和数亦与带分和数同然以相减而得之亦是尾同首异 带分条和数较数据问而分 今则设问只是较数相减列位乃有和较之分
依例推之亦有变为一和一较者皆以所用之分与所存分相减而得之 列位时巳变不待其重列减余也故又与寻常较变和者异
总论曰此二条者皆一损一益例也
问金九锭银十一锭其重适等若交易其一则银多十三两其原重若干
法以相差十三两半之得六两五钱为一锭之较解曰交易一锭而差是一多一少故半之为一锭之较 银得较而增重故与金同名
银二锭除实得银每锭重二十九两二钱半 加正六两五钱得金每锭三十五两七钱半
计开
金每锭三十五两七钱五分 金九锭【得三百二十一两七钱五分】银每锭二十九两二钱五分 银十一锭【亦得三百二十一两七钱五分】金八锭二百八十六两加银一锭共三百一十五两二钱半
银十锭二百九十二两半加金一锭共三百二十八两二钱半
共多一十三两 若交易二锭而差二十六两则以二锭倍作四锭除之亦得六两五钱为一锭之较余可类推【或半相差二十六两为一十三两命为金二锭银二锭之较尤为平穏】
论曰此条旧列差分同文算指改立借衰互徴之法皆不知宜入方程也
凡以两家之数相交易而差若干皆半其所差而列之为所交易之较何也一增一减而差若干则原所差者其半也
问甲有硃砂银七锭壬有鑛银九锭相较甲原多十五两今以甲二锭易壬三锭则甲多二十七两
法以原多十五两今多二十七两相减余十二两半之得六两为甲二锭壬三锭之较【甲得较而增重故与壬同名】
壬三锭除七十二两得壬每锭二十四两 以九锭乗得二百一十六两加正一十五两共二百三十一两甲七锭除之得每锭三十三两
计开
甲以二锭与壬余五锭一百六十五两加易得壬三锭七十二两共二百三十七两
壬以三锭与甲余六锭一百四十四两加易得甲二锭六十六两共二百一十两
相较甲多二十七两
此问意也
问甲银七锭壬九锭相较壬原少十五两今以一锭相交易壬多三两
法以原少十五两今多三两并得十八两而半之得九两为一锭之较【壬得之而变轻为重故与甲同名】
壬二锭除四十八两得每锭二十四两 加九两得甲每锭三十三两
计开
甲六锭一百九十八两加壬一锭二十四两共二百二十二两壬八锭一百九十二两加甲一锭三十三两共二百二十五两相较壬多三两 此交易一定之数 余同前问
论曰此三问皆同法第一问盈偕适足故即用原数第二问两盈故相减第三问盈偕不足故相并然皆半之为较故三法一法也
又按于七锭中取一即七之一同带分之理故又作问明之
问有金不知总任意分为二而较之则庚多八两湏令辛以金还庚如庚存数三之二庚亦以金还辛如辛存数四之三则其数适均
法以庚自存三分今添二分共五 以辛自存四分今添三分共七通为两家适足数之分
又以多八两半之四两命为庚所添二分辛所添三分之较【辛失之而减重故与辛同名】
解曰合而观之庚以五之二辛以七之三相交易则庚多八两若还其原数庚仍为五分辛仍为七分则适足也
辛一分得二十两 七分共一百四十两 五除之得庚之一分二十八两
计开
其相易【庚二分五十六两辛三分六十两】较之辛多四两即相易几锭之理
总论曰此皆两相交易也又与庚甲损一益一者不同凡损一益一者损庚之几分与甲则甲有增数而转以甲之既增者与庚之余数相较也 损庚益甲以相较是明有增损
今两相交易则损庚之分与辛亦损辛之分与庚然后以既损且增之庚与亦增之辛相较也
两相交易则末尝明有增损但以相易之数不同而增损隠寓于其中 以上四条皆同此论
问两数不知总但云取甲之九加乙则乙与甲等若取乙之九加甲则甲倍于乙其原数各若干
畣曰甲六十三 乙四十五
解曰云取甲之九加乙是损甲之九而益乙以九也取乙之九加甲是损乙之九而益甲以九也与刋误条所举甲乙二仓法不同彼是取甲仓几何以益乙而共得几何不言与甲仓较取乙仓几何以益甲而共得几何亦不言与乙仓较是所益者有増数而所取者
无损数如云以此之全数偕彼之几分而共得几何乃和数也今所列者乃较数也益此损彼则相较几何故不同也然又与带分条较数不同彼是取彼几分与此全数较今所列者是取彼几数加此而转与彼之余数较当细辨之
又此是以数相增损而得其相较之分
前数条则是以分相损增而得其相较之数
二者大异不但与带分条别也
法以所加之九数命甲乙所相当之数乗之为较数列位
甲倍乙是甲二乙一合之则三以乗九得二十七为较甲得此而当倍乙故与乙同名
甲乙等是各一也合之则二以乗九得十八为较乙得此而与甲等故与甲同名
余乙一为法
并四十五为实
法一即以四十五命为乙数
异加十八得六十三为甲数
试更列之
同减余甲一为法 异并六十三为实 法一即以六十三为甲原数 异加正二十七共九十乙二除之得四十五为乙原数
论曰此难题设问也算法统宗收入均输另有求法算海説详推论借银相当加半倍者不可通用因别立术然复未确不如用方程之为无弊
又论曰甲与乙九而相等是甲多于乙者二九也 乙与甲九而甲倍于乙是倍乙多于甲者三九也何也甲得乙九数而后当倍乙则倍乙中各除九数共二九而甲又添九数岂非三九乎
问甲乙银不知数但云甲借乙六钱五分则比乙一有半乙借甲六钱五分则乙与甲等各原银若干
法以甲一乙一有半并之共二半以乗六钱五分得一两六钱二分半为乙一有半多于甲之较
以甲乙相等各一并之共二以乗六钱五分得一两三钱为甲多于乙之较
乃列之
同减余半乙为法异并二两九钱二分半为实 法除实得五两八钱五分为乙银 异加正一两三钱共七两一钱五分为甲银
计开
甲原银七两一钱五分
乙原银五两八钱五分
相差一两三钱 若损甲之六钱五分以加乙则各得六两五钱是相等也
若损乙六钱五分余五两二钱 益甲六钱五分得七两八钱是甲之数如乙一有半也
若以乙原银加半得八两七钱七分半以与甲原甲原银相较则多一两六钱二分半
论曰甲以六钱五分借与乙而相等是甲原多乙两个六钱五分也乙以六钱五分借与甲而甲如乙一有半是一个半乙原多于甲两个半六钱五分也何也甲取乙六钱五分而后能当乙有半则此一个半乙共减去一个半六钱五分甲又加一个六钱五分岂非共差两个半六钱五分乎
又论曰此即算海説详所设之问以驳统宗者彼自立术以为当矣不知其宜用方程也
试更设问以明之
今有二数不知总但云丙与丁二数则相等若丁与丙二数则丙如三丁问原数各若于
依前术列位【合丙丁各一共二以乗二得四为丙多于丁之较 合丙一丁三共四以乗二得八为三丁多于一丙之较】
同减余丙二为法 异并二十为实 法除实得一十为丙数 同减负四余六为丁数
计开
丙原数十 原多于丁者四
丁原数六 三之则十八多于丙者八
若损丙之二以益丁则各得八故相等
若损丁之二以益丙则丙得十二丁得四故丙如三丁
论曰丙以二与丁而等是丙多于丁者两个二也 丁以二与丙而丙如三丁是三丁之数共多于丙者四个二也何也丙増一个二其三个丁各少一个二共四个二也
又论曰因算海説详立术未确故复设此以相攷用方程能合彼问而彼所立术殊不能通之此问
问戊己银不知数但戊以五十两与己则己如戊之倍己以五十两与戊如三己
依前术列位【并戊二己一共三以乗五十得一百五十为二戊多于一己之较 并戊一己三共四以乗五十得二百为三己多于一戊之较】
同减余己五为法 异并五百五十两为实 法除实得一百一十两为己银 异加正一百五十两共二百六十两戊二除之得一百三十两为戊银计开
戊原银一百三十两 倍之二百六十两多于己一百五十两
己原银一百一十两 三之得三百三十两多于戊二百两
此列位之理
戊加五十两得一百八十两己损五十两得六十两则戊如三己 己加五十两得一百六十两戊损五十两得八十两则己如戊之倍
此则问意
问香炉二座不知重有一葢重百两以加甲炉则甲多于乙两倍以加乙炉则乙多于甲一倍其炉各重若干
解曰多乙两倍是三倍也甲得葢如三乙也 多甲一倍是两倍也乙得葢如两甲也
法以葢重为较而列之 甲得葢如三乙是三乙之重于甲者如葢也故与乙同名 乙得葢如倍甲是两甲之重于乙者如葢也故与甲同名
炉同减余乙炉五为法 较异并三百两为实法除实得六十两为乙炉重
异加一百两共一百六十两甲二除之得八十两为甲炉重
计开
甲炉八十两 加葢共一百八十两则如乙炉重者三乙炉六十两 加葢共一百六十两则如甲炉重者倍论曰此与前所设戊己银数以五十两损戊益己而己倍于戊以五十两损己益戊而戊如二己异何也以五十两损彼益此虽亦相差一百两然非真有一百两之益乃因彼之所损而合成其数耳此之加葢则实增一百两矣而于彼又无所损因炉葢乃两家公物非若戊己之银必取诸彼以与此也故其法不同若改问各铸炉而均铸葢则必于鑪重各加半葢乃合原金得数与戊己银同矣
问调兵征倭内有南北西三处兵马南兵已知四万其北兵为南兵与西兵二之一西兵为南兵与北兵三之一各若干
法以南兵为西北之较而列之
西兵得南兵而数倍于北是倍北数而多于西兵者数如南兵也
北兵得南兵而数如三西兵是三其西兵而多于北者亦如南兵也
余北兵五为法 倂十六万为实 法除实得三万二千为北兵数异加正四万共七万二千西兵三除之得二万四千为西兵数
计开
南兵四万
西兵二万四千 偕南兵则六万四千其二之一则如北兵也北兵三万二千 偕南兵则七万二千其二之一则如西兵也论曰此与香炉借葢为较同 其所用较乃是南兵而非取于西北兵故得之有增而不得无损与借物于彼而转与其所借之余物相较者不同
问二人擕银不知数但减乙六两与甲则甲倍于乙减甲三两与乙则相等其原数若干
解曰此所损益又是不同之数然其理则一故亦依前术乗其较数而列之【合甲一乙二共三以乗六两得十八两为倍乙多于一甲之较合甲乙各一共二以乗三两得六两为甲多于乙之较】
列位
同减余乙一为法 异并二十四两为实 法一即以实为乙数 异加六两为甲数
计开
乙二十四两 倍之得四十八两多于甲一十八两甲三十两 原多于乙六两
若损乙六两得十八两加甲六两得三十六两是甲如乙之倍
若损甲三两加乙三两各得二十七两则相等
问二商各携母银但云取乙十二两与甲则乙有甲六之一取甲十五两与乙则甲有乙十之一
依前术列位【并六与一共七以乗十二两得八十四两为六乙多于一甲之较 并十与一共十一以乗十五两得一百六十五两为十甲多于一乙之较】
同减余甲五十九为法 异并一千○七十四两为实 法除实得一十八两又五十九之一十二为甲数 异加正八十四两共一百○二两【又五十九之一十二】乙六除之得一十七两【又五十九之二】为乙数
计开
甲银一十八两【又五十九之一十二】十之则一百八十二两【又五十九之二】多于乙者一百六十五两
乙银一十七两【又五十九之二】六之则一百○二两【又五十九之一十二】多于甲者八十四两
若损乙一十二两与甲则甲有三十两【又五十九之一十二】乙仅有五两【又五十九之二】而乙于甲为六之一
若损甲一十五两与乙则乙有三十二两【又五十九之二】甲仅三两【又五十九之一十二】而甲于乙为十之一【以五十九通二两得一百一十八加子二从之共一百二十是三十两又五十九之一百二十岂非十倍于甲乎】
论曰乙得甲六之一是六乙当一甲也然必损乙之十二两与甲而后成此数是于一甲中添十二两而于六乙中各减十二两也一添一减共七个十二两是为八十四两也
甲得乙十之一是十甲当一乙也然必损甲之十五两与乙而后成此数是于一乙中添十五两而其十甲中皆各减十五两也一添一减共十一个十五两是为一百六十五两也
损乙之十二两与甲而乙为甲六之一若其原数则以六乙当一甲而乙多八十四两矣
损甲之十五两与乙而甲为乙十之一若其原数则以十甲当一乙而甲多一百六十五两矣
问有两数不知总但损甲六数与己则甲如己四之三而多二数若以己之二十损与甲则己如甲四之三而少五数其原数各几何
法以四甲三己共七乗六得四十二又以四甲乗多二数得八而益之共五十为四甲多于三己之数【损甲六益己故较与甲同名其二数甲所多也故以之益数】
以四己三甲共七乗二十得一百四十又以四己乗少五数得二十以相减余一百二十为四己多于三甲之较【损己二十益甲故较与己同名其五数巳所少也故以之减较】
己同减余七为法 异并六百三十为实 法除实得九十为己原数四因己数同减一百二十余二百四十甲三除之得八十为甲原数
计开
甲八十
己九十
以列位之理言之
甲四共三百二十 己三共二百七十 是甲多五十甲三共二百四十 己四共三百六十 是己多一百二十
以问之意言之
甲损六数余七十四 己加六数共九十六 以九十六四分之而取其三得七十二 是为甲如己四之三而多二数
己损二十余七十 甲加二十共一百 以一百四分之而取其三得七十五 是为己如甲四之三而少五数
论曰以甲当己四之三是四甲当三己也然必以六数减甲增己而成则是四甲中各减六而三己中各增六共四十二也以甲当己四之三而多二数则以四甲当三己而共多八数也 合而观之此四十二者四甲多于三己之数也此八数者亦四甲多于三己之数也故皆与甲同名而列其较为五十也
以己当甲四之三是四己可当三甲也然必以二十减己增甲而成则是四己中各减二十而三甲中各增二十共一百四十也 以己当甲四之三而少五数则以四己当三甲而共少二十也 合而观之此一百四十者四己多于三甲之数也与己同名也而其二十者则四己少于三甲之数也与己异名也故以相减而余者列为己同名之较也
损甲六数与己而甲如己四之三仍多二数若其原数则以四甲当三己而共多五十矣
损己二十与甲而己如甲四之三却少五数若其原数则以四己当三甲而共多一百二十矣
问有三数损甲一百益乙则甲如乙六之二若损乙五十益丙则乙如丙十五之九若损丙三十益甲则甲如丙二之一而少五数各若干
法以甲六乙二共八以乗一百共八百为六甲当二乙之较【损甲益乙故与甲同名】
以乙十五丙九共二十四乗五十得一千二百为十五乙当九丙之较【损乙益丙故与乙同名】
以丙一甲二共三乗三十得九十又以甲二乗少五数共十而加之共一百为一丙当二甲之较【损丙益甲故与丙同名其甲所少五数即丙所多也故亦与丙同名】
如法逓减余丙五十四为法 异并三万七千八百为实 法除实得七百为丙数 丙数同减一百余六百甲二除之得三百为甲数 六因甲数一千八百同减八百余一千乙二除之得五百为乙数 十五乗乙数得七千五百同减一千二百余六千三百丙九除之仍得七百为丙数【反覆相求列位之理着矣】
计开
甲三百
乙五百
丙七百
甲损一百余二百乙增一百得六百是甲为乙六之二乙损五十余四百五十丙增五十得七百五十是乙为丙十五之九
丙损三十余六百七十其二之一则三百三十五甲增十得三百三十是甲为丙二之一而少五数
问二人共数一百原所得之数不均今以甲三之一与乙五之一相易则适均其原所得若干
法以三分通甲数损一与乙而存其二分 又以五分通乙数损一与甲而存其四分
乃以和数列之
乙七为法 余五十为实 法除实得七又七之一为乙之一分 以乙分母五乗之得三十五又七之五【为乙数】以减一百得六十四又七之二为甲数计开
甲六十四【又七之二】其三之一为二十一【又七之三】其三之二为四十二【又七之六】
乙三十五【又七之五】其五之四为二十八【又七之四】其五之一为七【又七之一】以甲三之一加乙五之四五十也 以乙五之一加甲三之二亦五十也
论曰此以分相增损而为和数亦与刋误条甲乙二仓异彼是以其全数偕彼防分此则以所存之余数偕彼几分也既云相易则实有增损非如甲乙仓虚借增率而无损也
问二人物数不均若于甲取三之一于乙取四之一以和合而平分之以凑原存数则各五十而适均其原数各若干
法以三分通甲数而倍之为六分损其一与乙余五分以四分通乙数而倍之为八分损其一与甲余七分以和数列位
解曰以四之一与三之一和合而平分之是各取其数之半也 于三之一取其半是六之一以与乙而甲余其五也于四之一取其半是八之一以与甲而乙余其七也
偏乗对减以得法实 法除实得五又十七分之十五为乙八之一 以乙分母八乗之得四十七又十七分之一为乙原数 以两五十共一百减乙原数余五十二又十七分之一十六为甲原数
计开
甲原数五十二【又十七分之十六】三除之得十七【又十七分之十一】为甲三之一 以三之一转减甲余三十五【又十七分之五】为甲所存三之二
乙原数四十七【又十七分之一】四除之得十一【又十七分之十三】为乙四之一以四之一转减乙余三十五【又十七分之五】为乙所存四之三
以甲三之一乙四之一和合之共二十九【又十七分之七】半之得十四【又十七分之十二】为和合平分之数以加甲乙存数各得五十
论曰甲去三之一乙去四之一所存之数已均矣故以平分之数加之而适均
又法
以甲分母三通甲为三分以乙分母四通乙为四分又总计各得五十六共一百为和数
以甲取三之一余三之二乙取四之一余四之三命为适足【甲取三之一乙取四之一以和合平分而等则其所存者亦等也故命之适足】乃以和较杂列位
如法乗甲同减尽 乙异并一十七分为法 正二百无减就为实 法除实得一十一又十七之十三为乙之一分以分母四乗之得四十七又十七分之一为乙原数 以乙原数减共数一百余五十二又十七分之十六
按此所得与前无异而较捷故并存之
问甲乙丙三人共博甲赢乙金二之一乙赢丙金三之一丙又赢甲金四之一事毕各剰金七百其原携金若干
法以各分母通其原数又各减其赢去之一而列之【以七百为和数】
和数列位
如法减并 丙七分为法 二千一百为实 法除实得三百为丙之一分 以丙分母三乗之得九百为丙原金 以丙之一分减乙剰七百余四百为乙所余二之一 二因之得八百为乙原金 以乙二之一减甲剰金七百余三百为甲自剰四之三 三除之得一百为甲三之一 四乗之得四百为甲原金
计开
甲原金四百 加赢乙四百【二之一也】共八百 除丙又赢去甲一百【四之一也】仍余七百
乙原金八百 加赢丙三百【三之一也】共一千一百 甲赢去四百【乙二之一也】仍余七百
丙原金九百 赢甲一百【四之一也】共一千 乙赢去三百【丙三之一也】亦仍余七百
论曰此与刋误条骡马逓借一匹同但马一骡二驴三即是原物偕所借之一而为和数今乙一丙二甲三却是各所存之余分偕所赢之一分而为和数也得数大异者马骡即是全数今则用分故丙之全数转多于乙若以一分计则乙之分自多于丙如马力之于骡矣
又论曰此三条皆是两相交易而又是和数与前数条金银交易几锭不同
难题歌曰一条竿子一条索索比竿子长一托双折索子去量竿却比竿子短一托
解曰一托者五尺也
法以零整襍列位 因双折是二之一故以二通索
法一即以实一丈命为绳之一分 分母二因之得绳长二丈 减负五尺余得竿长一丈五尺
假如有绳长不知数但云比竿长六尺若三折其绳则短于竿八尺
法二除实三丈得竿长一丈五尺 加正六尺得绳长二丈一尺
论曰原法别有求法然不如方程穏捷故作此问以明之若用难题法不能通矣故方程能御杂法而杂法不能御方程 此条统宗原入均输今改正
问井不知深先将绳折作三条入井汲永绳长四尺复将绳折作四条入井亦长一尺其井深绳长各若干
法以两母【三四】相乗得十二分为绳母数 以母【三四】互乗其子【之一之一】得【四三】是为以绳十二分之四汲水而长四尺以绳十二分之三汲水而长一尺也
余一分为法 即以实三尺命为绳十二分之一以十二分乗一分得三十六尺为绳长 以绳之三分计九尺同减负一尺得八尺为井深
计开
井深八尺
绳长三十六尺
三折之得一十二尺 比井多四尺
四折之得九尺 比井多一尺
论曰此条原属盈朒今以方程御之尤简易故曰方程能御杂法也
试更之则先得井深
法一省除即以八尺命为井深 加正四尺共十二尺绳之四分除之得三尺为一分 一十二分母乗之得绳长三十六尺
论曰此余八尺者即物实也前以余三尺为绳长实者即人实即此可悟盈朒章作法之原要之是二色方程法耳【人实物实不同而除法则同故皆可以互求】
今有绢一疋欲作帐幅先折成六幅比旧帐长六寸改折作七幅却又短四寸其绢并旧帐幅各长若干【折作六幅以较长即六之一七幅即七之一】
法如前以【六七】幅相乗得四十二分为总母 以【六七】互乗其【之一之一】得【之七分之六分】为所用之分而列之【以绢四十二之七则长于帐六寸 以绢四十二之六则短于帐四寸】为较数
法一 实一尺即为绢之一分 以分母四十二乗之得绢长四丈二尺 以绢之七分计七尺减负六寸余六尺四寸为旧帐之长
计开
旧帐幅六尺四寸
绢长四丈二尺
均作六幅得七尺 比帐长六寸
均作七幅得六尺 比帐短四寸
论曰此与井不知深皆是以一物之细分与一整物较皆零整杂用之法也
又以上三条盈朒章旧有求法然皆因所较之井深与旧帐幅皆为一数而不变故可用盈朒之法若亦有分数不同则非盈朒所能御此方程之用能包盈朒诸法而诸法不能御方程
今有台不知高从上以绳缒而度之及台三之二而余六尺双折其绳度之及台之半而不足三尺问台之高及绳之长若何
法以台【三二】之【二一】用母相乗为母之法通台为六分 又用母互乗子为子之法变台三之二为六之四台之半为六之三 又以双折通绳为二 皆以化整为零而列之
余绳二分为法 并三十尺为实 因二为分母与法同省除与乗径以实三十尺为绳长 减负六尺余二十四尺以台之四分除之母六乗之得三十六尺为台高
计开
台高三十六尺
绳长三十尺
台三之二高二十四尺 以绳度之余六尺
台之半高一十八尺 以半绳一十五尺比之短三尺
今有井不知深以乙绳汲之余绳二尺以庚绳汲之亦余绳四尺双折庚绳三折乙绳以相续而汲之适足问井深及二绳各长若何
法以乙绳通为三 庚绳通为二
以三色列之 井整数乙庚用分
以隔行之同名仍为较数列之 余较皆与庚同名
余庚一分为法 即以实一丈命为庚二之一 倍之得庚绳二丈 减负二尺得乙绳一丈八尺【用减余之右行葢乙正三即全数也】
又减负二尺得井深一丈六尺【用原列之右行亦以乙负三即全数故】计开
井深一丈六尺
乙绳一丈八尺 比井多二尺
庚绳二丈 比井多四尺
三折乙绳六尺加双折庚绳一丈共一丈六尺即同井深
论曰此二条与前井深绢帐同理然即非盈朒所能御又按田之横直亦可以绳折比量水面亦然
今有直田欲截一段之积只云截长六歩不足积七步截长八步又多积九步问所截之积及原濶
法以较数列之【其原濶即截长每一步之积】
上 中 下
长二步除积十六步得原濶八步 以截长六步乗濶得四十八步加不足七步得截积五十五步
论曰此盈朒中方田也然无闗于方田之实用故入盈朒然不知宜入方程也
试更作问
今有方田欲截横头之积改为直田但云截濶五步则不足十二步截濶九步则如所截之积一有半问所截直田积并原田之方
如法列位
濶一歩半为法 积十八歩为实 法除实得原方一十二歩 以濶五歩乗方得六十歩加不足十二歩得截直田七十二歩
计开
原方田方十二歩 积一百四十四歩
截直田七十二歩 宜截濶六歩
若此条则盈朒不能御
今有米换布七疋多四斗换九疋适足问原米若干及布价
法列位
上 中 下
布二疋为法 四斗为实 法除实得布价每疋二斗 以九疋适足乗布价得原米一石八斗
论曰此盈朒中粟布法也
试更设问
今有谷换绢十疋余三石以谷之半换绢六疋不足五斗问原谷若干及绢价
法列位
法一免除 得绢每疋价二石 以十疋乗价加余三石得原糓二十三石
若此条则非盈朒所能御
论曰直田截积及米换布盈朒本法也愚所设方田截积及糓换绢非盈朒本法也乃带分盈朒之变例也【如旧法芝蔴粜银是其例也】虽盈胸亦有求法颇多转折非其质矣不如用方程之省约
今有芝蔴不知总但云取麻八分之三粜银十两不足二石取麻三分之一粜银八两适足问原麻总数及每银一两之麻
法先以麻【八 之三三 之一】用母相乗得二十四为母母互乗子得【之九之八】为所用之分而列之 依省算左加九之一而径减
法一两省除即以麻二石命为银每两之麻 以银八两麻八分适足省乗除径以二石为麻之一分以二十四分乗得原麻四十八石
计开
原麻四十八石 银毎两麻二石
其八之三计一十八石 银十两该二十石 故不足二石
其三之一计一十六石 银八两恰该一十六石 故适足
若问麻每石之银则以二石为法转除一两得每石价五钱
按此条宜入方程旧列带分盈胸之末
问者若云有银买麻以麻八之三与之则余二石以麻三之一与之适足问原麻及银所买
依法求得二石为麻之一分 以总母廿四分乗之得原麻四十八石 以九分乗二石减负二石得银所买麻十六石
论曰此所设问则盈朒带分本法也然不能知每价以方程法求之亦同 观此益见前条之宜入方程也
今有黄连木香不知数但云取连三之一换木香七之二则连多二斤取连四之三换木香五之四则连少一斤若于五之四内减去木香三斤则连多一斤
法先以通分齐其分
乃列位
如法乗减 余木香二十二分为法 异并黄连二十二斤为实 法除实得每木香一分【即三十五分之一】换黄连一斤 以木香十分换黄连十斤异加正二斤共十二斤以黄连正四分除之得黄连每三斤为一分 以分母十二乗之得总黄连三十六斤
另并黄连多一斤少一斤共二斤为法除减木香三斤得每黄连一斤换木香一斤半【原少连一斤减木香三斤而转多连一斤故知其数】
此连所换之木香一斤半即其三十五分之一分也以三十五分乗之得木香五十二斤半
计开
黄连三十六斤
木香五十二斤半
每黄连一斤换木香一斤半
三分三十六斤而取其一得一十二斤为黄连三之一七分五十二斤半而取其二得十五斤为木香七之二该换连十斤今连有十二斤是连多二斤也
四分三十六斤而取其三得二十七斤为黄连四之三五分五十二斤半而取其四得四十二斤为木香五之四该换连二十八斤今连只二十七斤是连少一斤也
若于木香五之四减三斤余三十九斤该换连二十六斤今连有二十七斤是连多一斤也
论曰凡较数方程有若干物共几色又有其所较之价银若钱之类今所用较数即用其物之斤两而无银若钱微有不同乃古者贸迁有无交易之术也专用银若钱以权物价后世事耳
问绫每尺多罗价三十六文今买绫六尺罗八尺其共价绫比罗少三十六文
畣曰绫每尺一百六十二文 罗每尺一百二十六文
罗二尺除二百五十六尺得罗价每尺一百二十六文 加多三十六文得绫价每尺一百六十二文
问银二千九百二十八两买绫一百五十疋罗三百疋绢四百五十疋只云绫每疋比罗多四钱七分罗每疋多绢一两三钱五分 畣曰绫每疋四两三钱二分 罗每疋三两八钱五分 绢每疋二两半
绢九百疋为法除实二千二百五十两得绢价二两五钱 加多一两三钱半得罗价三两八钱半 又加多四钱七分得绫价四两三钱二分
今有兄弟三人不知年小弟谓长兄曰我年比汝四之三次兄比汝六之五比我多八歳
法以带分别之 皆变零从整
季弟二 除一百四十四歳得年七十二歳 加八歳得仲兄年八十 六因仲年五除之得伯年九十六歳
计开
伯九十六歳 仲八十歳【为伯年六之五】 季七十二歳【为伯年四之三】今有四人分钱但云乙得甲六之五丙得甲四之三丁得甲二十四之十七其丁与丙差四文
甲正五 乙负六 空 空 适足【此行不用乙无对故也】
丁四除二百七十二得丁钱六十八文
加四文得丙钱七十二文
四乗丙钱三除之得甲钱九十六文
五乗甲钱六除之得乙钱八十文
计开
甲九十六文
乙八十文
丙七十二文
丁六十八文
甲六之一得一十六以五因得八十文为六之五乙数也甲四之一得二十四以三因得七十二为四之三丙数也甲二十四之一得四以一十七因得六十八为二十四之一十七丁数也
论曰此虽四色实三色也故径以三色取之
今有七人逓差分钱但知首二人共七十七文次二人共六十五文不知各数亦不知余人数
法以逓差故知倍乙当甲丙倍丙当乙丁而列之
重列减余与三行 减余变较
重列减余与四行
丁八为法除实二百四十八文得三十一文为丁数倍丁数与六十五文相减得逓差三文 以差逓
加得甲乙丙数以差逓减得戊己庚数 皆加减丁数得之
计开 甲四十文 乙三十七文 丙三十四文 丁三十一文戊二十八文 己二十五文 庚二十二文
今有银二百四十两以四人逓差分之只云甲多丁一十八两
如前法以倍乙当甲丙倍丙当乙丁 又依省算移甲于丁位
和较列位
重列两减余
又重列减余与末行
甲四除二百七十六两得甲数六十九两 甲数内减十八两得丁数五十一两 以甲数减二百四十两余一百七十一两丙三除之得丙数五十七两 并丙数甲数一百廿六两半之得乙数六十三两计开
甲六十九两 乙六十三两 丙五十七两 丁五十一两 逓差六两
今有米二百四十石五人逓差分之其甲乙二人与戊丁丙三人共数等
如前法列位 依省算倒甲位自下而上
重列减余与三行
又重列减余与四行
又重列减余与末行
甲十五除九百六十得甲数六十四石 倍甲数减一百廿石余得逓差八石 以差逓减各数得乙丙丁戊数
计开
细分之逓差八石
论曰凡差分章竹筒七节盛米之类皆可以此法求之兹不烦列
厯算全书卷四十五