几年前，我有机会提出了某些关于无限的逻辑的观念，谈论了无限在数学中的作用和自康托尔以来由它所构成的应用。我解释过，我为什么不认为某些推理方法是合理的，而许多著名的数学家却相信它们可以使用。 [1] 不用说，我招来了一些尖锐的答辩。这些数学家不相信他们错了；他们坚信他们有权作他们曾经做过的事情。讨论拖了下去，这并不是因为不断地提出了新的论据，而是因为我们继续在同一个圈子里团团转，每个人都重复着他刚刚说过的话，似乎没有听到对手已经说过什么。在每一个场合，我都要就所争论的原理提出新的证据，可以说是为了不致遭到大家反对；但是，这种证据总是相同的，几乎未加修改。因此没有得出结论。假如我说我感到意外的话，那是传达了假象，其实我的心理是亮堂的。
在这些条件下，再次重复同样的论据似乎是不可取的，我可以给这些论据以新的形式，但却基本上不会改变它们，因为在我看来好像是我的对手甚至没有试图去拒绝它们。寻求造成这种截然不同的观点的智力差别的起源似乎是可取的。我刚刚说过，这些不能缩小的分歧并不使我感到惊讶，我从一开始就已经预见到分歧。但是，这并未免除我们寻求解释；在反复经验之后，预见事实是可能的，还被紧紧催逼着要去解释它。
因此，让我们尝试从纯粹客观的观点来研究一下两个对立学派的心理学，就好像我们自己不是这两个学派的成员，就好像我们正在讲述两窝蚂蚁打仗一样。首先，我们将看到，数学家在他们考虑无限的方式方面存在着两种对立的倾向。在一些数学家看来，无限是由有限导出的；无限之所以存在，是因为有无限多可能的有限事物。对另一些数学家来说，无限在有限之前就存在着；有限是从无限切下一小段而得到的。
一个定理必须能够证明，但是由于我们自己是有限的，我们只能够处理有限的对象。这样一来，即使无限的概念在定理的陈述中起作用，但是在证明中必须不涉及它；否则，这种证明将是不可能的。我将引用下面的定理作为一个例子：素数集无界；级数∑1/n2 是收敛的等等。这些例子中的每一个都能够化为只包含有限数的等式和不等式。这些定理带有无限的特征，并不是因为一种可能的证明本身带有无限的特征，而是因为可能的证明在数目上是无限的。
在陈述定理时，我断言它的所有证明将为真。这被理解为，并非所有的证明全部给出了。还有一些我认为是可能的证明，因为它们大概只需要有限长的时间，但是它们实际上是不可能的，由于它们可能需要多年的工作。我相信，要是我们能够设想一些富有而愚蠢的人（他们足以雇用充分多的帮手）企图完成它，那就好了。但是，作为定理证明的真正目的，它又使这种蠢事变得没有必要。
不能得出任何可验证结论的定理有意义吗？或者，更普遍地讲，任何定理除了与它有关的证明外还有意义吗？这正是数学家有分歧的地方。第一个学派的那些数学家说没有，我将称他们为实用主义者（因为有必要给他们取一个名字）；当一个定理在没有给他们以验证它的方法的情况下而引起他们的注意时，他们在其中看到的只是不可理解的冗词赘句。他们愿意考虑的只是能够用有限数目的词定义的对象。在一个论据中，当提到作为满足某些条件的对象A时，他们理解满足这些条件的对象，不管用来完成它的定义的词汇可能是什么，尽管这些词在数目上是有限的。
另一个学派的数学家不想承认这一点，我将把他们简称为康托尔主义者。一个人不管他多么健谈，他在他的一生中也不能说十亿以上的词汇。因此，我们将从科学中排除其定义包含十亿零一个词的对象吗？如果我们不排除它们，我们为什么要排除那些只能够用无限数目的词定义的对象呢，这是由于第一类定义的表述像第二类定义的表述一样超越了人类的范围吗？
不难理解，这个论据使实用主义者大为扫兴；不管一个人多么健谈，人类还将更为健谈，因为我们不知道人类将延续多么长的时间，我们不能预先限制人类的研究范围。我们仅仅知道，这个范围将总是有限的；即使我们也许能够确定人类消亡的日期，但是还有其他天体上的智慧生物，能够继续从事在地球上留下的未完成的工作。而且，实用主义者在设想比我们更健谈，而且还保留着某些人性的人类时，他们也许并不疑虑不安；他们不愿就关于在有限长的时间内能够思考无限多词汇的一些无限健谈的神灵的假说进行争论。另一方面，其他人认为，客体与能够谈论或思考它们的任何人类或任何神灵无关地大量存在着；我们能够在这种贮存中自由地选择；我们无疑没有足够的欲望或充裕的金钱来购买每一样东西；但是库存货物却与买主的资财毫不相干。在细节上的所有各种分歧就起因于这种最初的误解。
让我们以策默罗定理为例，按照该定理，空间能够变换为良序集。康托尔主义者将被证明的严格、真实或明显所迷住。实用主义者将回答：
“你说你能把空间变换为良序集。好吧，变换它！”
“那需要花费很长时间。”
“那么，你至少要向我们证明，某个有足够的时间和耐性的人能完成这种变换。”
“不，我不能证明，因为实行变换的操作数目是无限的；它甚至比阿列夫零（A1eph-zero）还要多。”
“你能够指出容许空间是良序的定律如何用有限数目的词来描述吗？”
“不能。”
于是实用主义者得出结论：该定理或者没有意义，或者为假，或者至少未被证明。
实用主义者采用外延的观点，康托尔主义者采用内涵的观点。当涉及到一个有限的集合时，这种区分只有对形式逻辑理论家来说才是有意义的；但是，当涉及到无限的集合时，这种区分对我们来说似乎具有更深远的意义。如果我们采用外延的观点，那么集合可以通过新数的相继添加而形成；我们能够把旧对象结合起来构造新对象，然后用这些新对象构造更新的对象；如果集合是无限的，正是因为不存在停下来的理由。
另一方面，从内涵的观点来看，我们从其中具有预先存在的对象的集合开始，这些对象乍看起来似乎是没有区别的，但是我们最终能分辨出它们中的几个，因为我们标记了它们，并且把它们排列在抽屉里。但是，对象在标记前就存在着，集合也会存在，即使也许没有把它们进行分类的管理员。
对于康托尔主义者来说，基数的概念没有包含任何秘密。当两个集合能够排列在相同的抽屉时，它们就具有相同的基数；事情不会更容易了，由于两个集合预先存在着，同样可以认为与负有排列对象任务的管理员无关的抽屉内的集合预先存在着。对于实用主义者来说，情况并非如此。集合没有预先存在；它每天都增长着；新对象不断地变得与它有关，如果不涉及预先已经分类的对象概念和它们分类的方式，人们也就不能定义这个集合。每逢一个新的获得物时，管理员都可能被迫打乱抽屉，以便找到一种按适当顺序配置它的方法；两个集合是否能够排列在相同的抽屉内，这将永远不会为人所知，因为总是要担心，打乱它们将是必要的。
例如，实用主义只承认能够用有限数目的词定义的对象；能够用语句描述的可能的定义总是能够用从一到无限的寻常数来计数。根据这种推断，也许只存在可能的单重无限基数，即阿列夫零数。可是，我们为什么说连续统的幂不是整数幂呢？是的，给出我们能够用有限数目的词定义的空间中所有点后，我们就能够想象一个定律，该定律本身能够用有限数目的词来描述，而且能在这些词和整数集之间建立起对应。但是，现在让我们考虑其中包含着这个对应定律概念的语句。不久前，这些语句没有意义，因为这个定律还没有被发明出来，它们不能用来定义空间的点。现在，它们已获得了意义；它们将容许我们定义空间的新点。但是，这些新点将在已经采纳的分类中找不到任何位置，这将迫使我们打乱它。在实用主义看来，当我们说连续统的幂不是整数幂时，我们的意思就是这样。我们意味着，在这两个集之间不可能建立摆脱这类混乱的对应定律；而在涉及直线和平面的例子中，就有可能做到这一点。
其次，实用主义者没有肯定，是否无论什么集恰当他讲都具有基数；或者，给定两个集，是否总有可能知道，它们是否具有相同的幂，或者一个幂是否比另一个幂大。从而他们被导致怀疑阿列夫（Aleph-one）的存在。
分歧的另一个来源起因于构想定义的方式。存在着各类定义；存在着通过近缘的类和不同的种，或者通过合成能够导出的直接定义。
让我们附带注意一下，在不能定义特殊的事物，而只能定义整个种的意义上，存在着不完全的定义。它们是合理的，它们甚至是最为频繁使用的定义。但是在实用主义者看来，有必要在其中理解特殊对象的集，这些对象满足该定义，并且最终能够用有限数目的词来定义。因为康托尔主义者的这种限制是人为的，而且没有意义。
如果仅存在直接定义，那么纯粹逻辑的重要性就不可能引起争议。于是，无论在什么命题中，都可能用它的定义代替每一个术语。当完成这种代替时，要么该命题不能简化为等同，从而不能是纯粹逻辑证明，要么它能简化为等同，从而只不过是或多或少精巧伪装起来的同义反复。
但是，还有另外一类定义，即用公设来定义。一般地，我们总是知道，被定义的对象属于一个类；但是，当陈述特定的差别成问题时，那就不直接陈述，而借助于被定义的对象必须满足的“公设”来陈述。就这样，数学家能够借助于显方程x=f（y）或隐方程F（x，y）＝0来定义量x。
只有当所定义的对象的存在被证明时，用公设定义才有价值。用数学语言来说，这意味着该公设没有隐含矛盾；我们没有权利忽略这个条件。要么必须承认，由于一种信念的作用，无矛盾是直观真理、是公理——可是这样就必须认清我们正在做的事情，铭记我们已经扩大了不可证明的公理的一览表——要不然就必须借助于法则或公设或利用递归推理来构造形式证明。尽管当涉及直接定义时这种证明并非不大必要，但是它一般来说却比较容易。
一些实用主义者可能更为严谨；为了使他们认为定义是合理的，在术语上不导致矛盾是不充分的；按照我在上面试图定义的他们的特殊观点，他们要求定义要有意义。
不管事情可能怎样，在通过公设引入定义后，逻辑将依然是无结果的吗？在给定一个命题后，我们不再能够在其中用定义代替一个术语。我们能够做的一切就是在命题和作为它的定义的公设之间消除这个术语。如果这种操作是按照所谓的逻辑消去法则进行的，那么它就不会导致等同，因为该命题不能借助于纯粹逻辑来证明。如果它导致等同，那正是因为该命题只不过是同义反复而已。我们不需要在我们不久前所作的结论中改变任何东西。
但是，还有第三类定义，这是实用主义者和康托尔主义者之间新误解的起源。这些定义也是通过公设来定义，但是公设在这里是被定义的对象和一个类的所有个别对象之间的关系，被定义的对象本身被假定是这个类中的一个元（或者人们假定它们本身只能够用要被定义的对象来定义的那些对象是这个类的元）。如果我们假定下述两个公设，所发生的情况就是这样。
X（被定义的对象）以这样的方式与类G的所有元有关。
X是G的元。
要不然，假定下述三个公设：
X以这样的方式与类G的所有元有关。
γ以这样的方式与X有关。
γ是G的元。
在实用主义者看来，这个定义隐含着循环论证。在不知道类G所有元的情况下，从而在不知道这些元之一X的情况下，就不可能定义X。康托尔主义者不承认这一点：类G被给定，从而我们知道它的所有元。作为目的，该定义仅仅必须从这些元中区分出一个元，它与它的所有同伙元具有所描述的关系。
“不”，他们的反对者回答说：“类的知识不会导致你认识它的所有元；它只不过向你提供了构造所有元的可能性，或者更确切地讲，提供了构造你所希望的那么多的元的可能性。它们将只有在它们被构造之后才存在；也就是说，在它们被定义之后才存在；X只有借助于它的定义才存在，只有G的所有元，尤其是X预先已知，它才具有意义。”他们附加道：“说下面的这些话可能是无用的；例如说什么用它对于X的关系来定义X并不是循环论证；说什么总之这个关系是能够被用来定义X的公设；因为必须预先确定，这个公设不隐含矛盾。但是，那不是通常在这种类型的定义中所要做的事情。我们首先证明，无论类G可以是什么，假定所有它的元都已知，它也许由于这个类而具有所述的关系；也就是说，这个对象的存在并不导致矛盾。在这里，可能留下来的是要证明，在这个对象的存在和假说之间没有矛盾，这个对象本身是该类的元。”
争论可能会继续一个很长的时间；但是，我乐于强调的观点是，如果容许这类定义，那么逻辑就不再是无结果的了，而且证明就是用预定证明命题的方式来系统表述大量论据，这些命题绝不是同义反复，因为有些人仍拿不准它们是否错了。因此，我们为一个词所能具有的能力而惊奇。在这里，有这样一个对象，在它被命名之前，从它之中连什么东西也不能推导出来；它所需要的一切就是取个名字，这名字创造了奇迹。这如何能够发生呢？因为给它取个名字，我们就已隐含地断言，该对象确实存在着（也就是说，摆脱了所有矛盾），它完全被确定了。但是，在实用主义者看来，我们根本不知道这一点。事实上，使这个证明变得毫无结果的机制是什么呢？那是很简单的；我们假定，被证明的命题为假，我们证明这导致与对象X存在的事实相矛盾。只要我们肯定它的存在，而且只要我们知道该对象完全被确定了，这就是合理的。实际上，要是X是通过定义从类G推出就行了；其次，要是类G是通过包括对象X和能够从类G中推导出的所有其他元在内而变得完全就行了；如果这样而变得完全的类称为G′，如果我们把能够通过定义、并且用与X从G推导出来的同一方式而从G′推导出的元称为X′，那么就必须确信X′等同于X。如果情况并非如此，如果通过假定被证明的命题为假，我们便被引导到两个矛盾的陈述
φ1（X）=0， φ2（X）=0
那么，我们怎样才会知道，在两个陈述中所涉及的是同一个X呢？如果X包含在一个陈述中，而X′包含在另一个陈述中，那么两个命题就可写成
φ1（X）=0， φ2（X′）=0
一般说来，它们不再是矛盾的。
为什么实用主义者因此会提出这种异议呢？因为对于他们来说，类G似乎只是能够无限增加的集合，无论何时新的元都能形成，它们具有适当的特征。于是，G从来也不能像康托尔主义者所作的那样不可改变地被安排，从而我们无法肯定，借助于新的附加物它将不变为G′。
我力求尽可能清楚、尽可能公正地解释两个学派数学家的分歧的本质。对我来说，这似乎是我们已经能够领悟出的真正的原因。两个学派的科学家具有对立的思想倾向。我称之为实用主义的那些人是观众论者，而康托尔主义者是实在论者。
存在着一种能够证实这种观点的东西。我们看到，正如我所说的，康托尔主义者（让我使用这个方便的术语吧，尽管我在这里不希望谈论步康托尔后尘的数学家，甚至也许不想谈论那些认为他们与康托尔一致的哲学家，而只想谈谈在独立的形式方面具有同一倾向的人）不断地谈到认识论，即科学的科学。这种认识论完全与心理学无关，这一点已被充分地理解；也就是说，它必须告诉我们，假使没有科学家的话，究竟科学是什么；我们必须研究科学，这当然没有假定不存在科学家，但至少是没有假定存在科学家。于是，不仅自然是独立于试图研究它的物理学家的实在，而且物理学本身也是一种实在，即使没有物理学家，它也存在着。事实上，这就是实在论。
实用主义者为什么不肯容许不能用有限数目的词来定义的对象呢？这是因为他们认为，对象只有在它能用心智构想时才存在，对象不能用独立于有能力思考的人的心智来构想。实际上，在这里存在着观念论。既然有理性的主体是人，或者是类似于人的某种生物，因而是有限的存在，所以无限除了有创造我们所希望的那么多的有限对象的可能性外，它没有别的意义。
这样，我们可以作出某种特殊的评论。实在论者通常采取物理学家的观点。他们断言物质对象、或个体灵魂、或他们所谓的实物的独立存在。在他们看来，世界在人创生之前就存在着，甚至在生物创生之前就存在着；即便没有上帝，或没有任何理性生物，世界还会存在。这是常识的观点，只有通过沉思我们才能抛弃它。物理实在论的支持者一般说来都是有限论者。至于谈到康德的二律背反问题，他们对该论题亦步亦趋；他们相信世界是有限的。例如，这是伊夫琳（Evellin）先生的观点。另一方面，观念论者并没有同样的顾忌，他们已充分准备好赞同对立的观点。
可是，康托尔主义者是实在论者，甚至在涉及到数学实体的地方也是如此。在他们看来，这些实体似乎具有独立的存在；几何学家并没有创造它们，他只是发现它们。因此，这些对象可以说在没有现存的情况下就存在着，因为它们能够归结为纯粹的本质。但是，由于这些对象就其本性而言在数目上是无限的，因此数学实在论的支持者与观念论者相比，他们是更大程度的无限论者。在他们看来，无限由于在发现它的心智之前就存在着，因而它不再是生成（becoming）。不管他们承认还是否认无限，他们必须因此而相信实无限。
我们在这里辨认出柏拉图（Plato）的理念论；看到把柏拉图归入实在论者之中可能似乎是奇怪的。不过，没有任何学说比柏拉图主义更强烈地与当代观念论相对抗了，尽管这种学说也远离物理实在论。
我从未见到有比埃尔米特（Hermite）更为实在论的数学家（在柏拉图的意义上的实在论），我还必须承认，我从来也没有遇见一个比他更反对康托尔主义的人。在这里，似乎存在着表面上的矛盾，之所以更加如此，是由于他乐意重复说：“我之所以是一个反康托尔主义者，因为我是实在论者。”他因创造对象而不是满足于发现它们而责备康托尔。毋庸置疑，由于他的宗教信念，他认为，希望毫无困难地深入到只有上帝才能够理解的领域，而不等待上帝向我们一个接一个地揭示它的秘密，这是大逆不敬的行为。他把数学科学和自然科学加以比较。在他看来，博物学家企图猜测上帝的秘密，而不通过经验来了解，这对神圣的上帝不仅是放肆的，而且是无礼的。在他看来，康托尔主义者似乎想要以同样的方式在数学中行动。这就是为什么他在实践上是观念论者，而在理论上是实在论者。存在着一个已知的实在，它在我们的外部，不依赖于我们；但是，我们关于它所能知道的一切都依赖于我们，于是这一切只不过是生成，是一种相继获得的层次。其余的东西是实在的，却是永远不可知的。
无论如何，埃尔米特的情况是一个孤立的例子，我不希望进一步停留在它上面。不论何时，在哲学中总是存在着对立的倾向，这些倾向似乎并没有处于和解的边缘。毫无疑问，这是因为存在着不同的心灵，我们不能改变这些心灵中的任何东西。因此，没有希望看到在实用主义者和康托尔主义者之间建立起和谐。人们没有取得一致，因为他们讲的不是同一种语言，有的只是彼此都不能学会的语言。
然而，在数学中，人们通常可以彼此了解；但是，这恰恰是由于我已经称之为证明的东西。这些证明在没有上诉的情况下就宣布判决。在它们面前，整个世界都得屈从。但是，不管在什么地方，如果缺乏这些证明，数学家就一点也不比头脑简单的哲学家高明。当必须了解一个定理在无法证明的情况下能否具有意义时，由于根据定义我们不允许我们自己去证明它，谁能够判断它能否有意义呢？除了因矛盾而使对手走投无路外，不会有其他办法。但是，人们已经尝试做了实验，却未获成功。
许多二律背反都被指出来了，不一致依然存在；没有一个人被说服。总有可能通过改变论据使自己摆脱矛盾；我指的是通过区别。
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[1] 参见第四章。——原注