句股平三角解
詹贵桢
三角形有直角九十度者为句股过九十度者为钝角不及九十度者为锐角无直角者作中垂线分为两直角亦成两句股故句股由三角而生三角亦由句股而成三角形三角相和等于一百八十度句股则有直角九十度余二角相和亦等于九十度故直角与二角相加亦得一百八十度夫角之大小视所对之边大小为准凡三角形有一角即有八线皆可以句股比例求之也三角形有六事三为边三为角有两角一边能求余三事法以对所知之角与对所求之角为比即如所知之边与所求之边为比也有二边一角亦能求余三事法以对所知之边与对所求之边为比即如所知之角与所求之角为比也此所知之角矛在所知两边之间也若角在所知两边之间法当以两边和为一率两边较为二率所知角之外角半弧之切线为三率求得四率为半较角之切线既得较数而角度亦得矣有三边亦能求三角法以三角形求取中垂线分为两直角形而三角自随之而得矣惟句股形有一角一边或两边能求余三事何哉句股系取直角其直角九十度已知之虽曰有一角一边或两边以直角合而论之实二角一边或二边一角也夫以广为句修为股直角相对之边为弦弦自乘等于句自乘加股自乘此句股正数之所以立法也句股中名目颇繁如和较和和较较等类二事相加谓之和二事相减谓之较如句加股句股和也股减句句股较也弦加句股和名曰弦和和即三事和弦加句股较名曰弦较和弦与句股和相较名曰弦和较弦与句股较相较名曰弦较较夫求句股其法不一而要不外比例相推如句自乘等于股弦和乘股弦较股自乘等于句弦和乘句弦较试列比例表如左凡句股诸题按表驭之庶觉简易耳
句股比例表
股弦和
句
弦较和
三事和
句
股弦较
弦和较
弦较较
弦较和
弦和较
倍句股较
倍股
三事和
弦较较
倍股
倍句弦和
句弦和
股
弦较较
三事和
股
句弦较
弦和较
弦较和
弦较较
弦和较
倍股弦较
倍句
三事和
弦较和
倍句
倍股弦和
地圆解
莫有镳
地圆如球乃行星之一也地极广大视之似平坦然细考之知地圆而动绕日而运行其证不一试略言之如一大河约四五英里人低头平望不见对岸之矮屋小舟祇见高山大树因水面微高略成圆形能遮目力之所及其证一也如人立海边高处遥望大船驶来初见桅顶渐近则见船帆更近则见船身若望大船开行船去稍远则不见船身更远则不见其桅愈远则桅顶亦不见夫船身大者也桅帆小者也若海面是平则船之来也应先见其大者船之去也应先不见其小者今所见与此相反因海面微圆船身在底远即不见桅帆在高远犹可见也其证二也凡月蚀时见月面为黑影遮掩此乃地球之影也日与月相对而地适在其中日光照地地后有影射于月面故月蚀所谓月入闇虚其黑影正圆是知地球全体必是圆形其证三也人于平原无树林峦碍目之处目力所极视天地周界成一平圆或登高塔或在海船升乃顶所见地面水面必有一定界线四周成大平圆若登高山则四周之界更大亦成平圆界线外不能见非蒙气差遮隔乃地为圆体目之视线直行不能如弧线之弯故不见也其证四也如以平线[测](则)量地面相距一英里地面微弯八英寸距三英里约弯六英尺距五英里微弯一丈六英尺地体非圆曷能如是其证五也凡诸曜显似绕地运行或成大圜或成小圜不等惟北辰居其所似乎屹然不动盖地体圆而自动运行不息而南北不改其向故觉诸曜循环而北辰不动也其证六也如开河道各处河底深法不同相距若干远须差若干尺各河工皆知之其证七也凡航海者自某处驶行或向西或向东俱能绕地一周而仍至原处如船由中国扬帆西去先过印度洋又向西南过好望角又向西行过大西洋及南亚美理驾海角又向西北过太平洋直向西行复至中国可见地为圆体其证八也有航海者船行近北极则不见南极星复驶船行近南极则不见北极星如蚁之在橙蒂不见橙底也是知地体为圆其证九也有此九证显见地圆如球岂虚语哉查地球径中数约七千九百二十六英里赤道径大于二极径约三百分之一知地非正球乃微扁然其差甚微虽目力极精者亦难辨也因作地圆解
西法代数本于中法四元说
姚模
从来理溯渊源必由乎旧术求敏捷必出以新数学自河洛图书而后门类日增精义日出诸法繁多理甚精奥入者未深迷眩矣至 本朝西人以借根方法传入中国借根方者即西国古代数也至近年而代数盛行其式虽繁而理尚明晰然西法代数即中法四元不过阐而明之集而补之故曰代数本于四元考四元之法中国失传已久嗣后宋之秦九韶着数书九章元之朱汉卿着四元玉鉴李仁卿演测圆海镜诸书至 国初皆无从可得后由高丽得之而四元遂复行当六朝时四元之法流入天竺国名东来术希腊有丢番都因其法而用字代记号而天竺后有精于丢氏者代未知之数用五色名即秦九韶之大衍术此为代数本于四元之始元时意大利之薄那洗学自亚拉伯以传于其国至明嘉靖万历时铁法利传于日耳曼白勒得利传于法兰西立可传于英吉利皆仿东来术易天地人物四字而各用方言字母代已知之数及未知之数此四元法流入各国之始迨牛端出始加以诸号并作诸捷简法依其浅深难易之步数集为代数大成于是言算法者不复知代数之本于四元矣夫代数以字母相乘除而四元以天地人物相因剔代数相消之理即四元所谓如积相消齐同相消之理代数有公生一名公度数又名公约数大公生一名大公度数又名大公约数之名四元有天勾地股人弦物黄方之号上下升降左右进退互相变化用假象真加正消负同一理也况推演四元之法悉本方程试演代数之法亦本方程推代数之所以通于方程者以四元本于方程故也四元法立天元一立地元一代数术有一次二次悉根方程之一色二色而出方程对减一遍去一色而省一行犹四元相消一遍去一元而省一色亦犹代数相消一遍去一次而省一事由是观之四元本于方程而代数本于四元可知矣盖四元之法中国失传而后流入天竺由天竺而传入欧西经西人推阐增详创为代数复行于中国习算者以四元简而深为难以代数繁而浅为易遂谓四元不及代数中法不如西法是未知代数之渊源与四元之奥旨也
释日月食
徐永铨
凡日月食皆由一体之影掩一体地为暗体由日照而得光其影于背日远处可见日大于地地影尽处必成尖锥形所谓闇虚也地影两旁更有一外虚影离地影愈远外虚之影愈淡月绕地行相离不远地影常足掩月使日月与地三者正在一直线必食月食恒在望其不屡食者黄白二道斜交月行近上近下不适相平否则每月必食食之分数不一有时或至一二点钟之久凡日食月掩也食时月适居日地之中月后有影射地面人在影中不见日光故成日食日食恒在朔凡月食月入暗虚也食时地在日月之间地后有影遮蔽月面人不见其光是为月食月之受食深浅不同月面半入地影者为半食全入地影者为全食至地影与月面两心相掩者则为食甚矣日半食时月影射地其处即见日食在影外者仍见日光至日食甚时两心相掩或作金环露于月边其时月距地较远使月之轨道与地之轨道同在一平面内则日食恒见于朔月食恒见于望但二道斜交角约五度又四分之一其斜交处谓之交点日食初亏时始于日之西及复圆时终于日之东月食初亏时始于月之东及复圆时终于月之西按每年交食多则七次少则两次约中计之则有四次即日食二次月食二次月食循环之序大率每十九年而复转常人向视日月食第以为有咎不知实为天文之要学焉由月食可辨地为圆体并知日大于地地大于月与夫月之运动有时在地理家则于交食可以定地之经线在历家亦可于交食考事之时宜
释潮
徐永铨
海水于十二个半时长落二次曰潮潮乃关于日月之摄动也海潮则以月之摄力为尤甚天地万物皆有自然摄力月当以其摄力摄水惟相距愈远摄力愈微若距地加远平方之比向月最近之水其受摄力较多于地球对面向日之水盖日距地远月距地近故也天学家牛端考月摄潮之力大于日之摄力四倍半月摄海水约高八英尺七寸日月合力祇摄水约高十一尺耳或问月之力摄正面之海水上升是矣而同时相对背面之水亦上升何也曰地与水皆受月之摄力引动正面之水受摄力较地体多故上升对面之水受摄力较地体少地去而水留故亦上升也所以地球两面相对之水同时发涨而距涨潮相等之处两面相对之水均为落潮潮之盛长也非在月过午线时乃在月过午线后凡物之静而动动而静不能立时改易水势亦然月过午线时水应极长月过午线后水势仍长不能立时即消也夫海潮受日月摄力而成浪顶恒随日月之视行与日月之诸差相合日月二浪有时合而相加有时离而相减朔望为二潮之和两弦为二潮之较故朔望时潮最大名曰高潮两弦时潮最少名曰低潮当月在赤道之北月过午线在地平上时其潮大在地平下时其潮小若月在赤道之南潮之大小与此相反推是则月之向南也月在平地下时赤道对面之潮极大月在平地上时赤道对面之潮极小同一理也设令地面皆水则潮之长落应无异时所以各处地势潮汐不齐者为岛及两大洲所滞耳欲解其理必按各处海岸沙滩及各河地势论之自能明其所以然矣洋中诸小岛潮长甚微惟海湾河口其潮之高常由十二尺以至五十尺高潮有时最高低潮有时最低皆在冬至后约十日即西历正月元旦也其时因日距地最近其摄力必较壮于他时潮高者遇其时亦较盛于他时太平洋之潮盛于大西洋之潮而潮在大西洋热带内地界于阿非力加亚美利加者较少于在温带内之潮以海面较耳海面不宽潮多阻塞惟在大洋面由高至卑阔计九十度之处潮乃畅流无滞云
释电气摄力
潘行让
电气摄力者何试以玻璃或琥珀一片用干物或手擦热令近轻微之物如线发羽芥等彼物为摄力所吸则互相黏连移时始落设以木箸一枝两头插以轻塞以丝线中悬使平复以琥珀或火漆擦热近轻塞而引之箸即随之转运此皆电气摄力也凡摄轻物之力即谓之电气摄力物而有此摄力者曰有电气质为他物之摄力所摄者曰受摄气质物有擦之而不生摄力者曰无电气质人发猫皮暗中擦之常见电光此皆有电之质也格物家傅兰克论天下万物俱含电气流质盖天然电气各物均平惟电气互相牵引故有摄力者其电气较多无摄力者其电气较寡试以传电之物如五金一片近多电之物处则金片将物之余电传来斯时所受之电气较其本质之电气为盛此之谓正电气正者有余之谓也倘以传电之金片置近寡电之物则金片之电气为物所分斯时所有之电较其本质之电气为寡此之谓负电气负者不足之谓也按电气流行由有余传至不足者其势易然物有难传电气者有不传电气者凡电气相引由正而引至负者为引电质其难传电及不能传电者为阻电质能引电之物五金为最不引电之物琥珀火漆松香玻璃磁器丝绸为最凡物以电气架托之则电气可储如以玻璃为椅足或置五金一片于玻璃之上电气亦可储也如欲多取电气流质以作别用须用电气机器机器类繁以玻璃造者为大宗有擦电之物用以激电有引电之物用以储电有托电之物使电气不外散其机器皆今电气运行者也傅兰克谓人造之电气与在天之雷电相同其理已经诸格物家讨论深矣以雷电之形体与人所造之电气相较不相径庭夫电光灿烁闪出重霄流行无定而电光发响其象则同西人以风筝取电风筝上有铁齿以线放于空中接手处系以丝线防引电也丝麻相接处坠一铁匙电由风筝下达时见丝线蓬蓬立以手近之见有火星后以此法蓄之于器见其发光爆响与人所造之电气无异焉雷击极高之物遇传电之物流行甚易遇阻电之物则勃发热而成雷火以至焚击爆裂殛及生灵此皆由电之流质而来也西人有避电之法于房屋最高处树一铁竿长数丈一端埋于地中或近水处一端高出于屋顶数尺上有盆齿以银包其尖恐生锈也雷电过之即随铁竿下入于地而人屋可保此名防雷铁盖雷性遇传电之物畅行无碍若遇阻电之物遏其流行之势乃轰然作声奋击为祸耳
气学浅说
戴儒珍
有冲漠先生言于凭虚公子曰今试然一洋灯君以为何所有耶曰光以外莫之见也先生曰凡空管中自满空气至灯一然则空气由热气上升而出而热气始散盖热气轻于空气也推之他管亦然试观地球热带之风每吹于南北极各处从可知热气之能高出乎冷气矣按蒙各耳飞哀热气球始于西历一千八百年球为亚拿乃蒙各耳飞哀昆仲所创制其法以热气灌于球内务令充足待其热与球口生火处之热相等则热气自足以高升乎冷气之上而球亦与焉高至极处约有七八百法尺公子曰何妨作一球以试之先生曰一球不足以明其理必作十球而后可公子曰是何言也先生曰不难知也吾今以杯水和胰皂少许再以笔管入水中吹之君所见者何耶公子曰第见皂水中出无数[泡](苞)由管端飞入空际耳何关乎热气球乎先生曰即此亦可明气学之理焉泡之为吾所吹出者盖口中之热气由管而入于水热气既轻于冷气自由水中上升而成泡耳公子曰何泡之不能极高耶先生曰口中吹出之气不甚热一遇空气即复冷故五色皂泡遂为点水而散入纤尘矣公子曰而今而后吾无惑乎皂泡亦关于气学焉先生曰此亦格物之一道也然犹有可试验者如以一盆及一深玻璃杯盆内置水仅半复以引火纸一头然着放于杯内急将杯倒置于盆火即熄而盆中之水涨入杯内因气中养气一经焚尽水无不升于杯中公子曰此何故耶先生曰杯中有火则所余之气均为淡气初固热而涨继即冷而少终且成为空故水受空气压力即泛以补其缺公子曰吾深喜此考验之法请毕其说先生曰试往庖人处取一卵烧熟去其再取一玻璃瓶用塞塞之放于近火处烘之待其瓶热极急易此卵以塞之然后将此瓶离火君又何所见耶公子曰吾见此卵渐入瓶中矣先生曰其故因瓶为火烘热则瓶中本有之空气皆为热气所迫而出及至离火已远则热气自减而渐成空瓶中既空则外之空气欲入而适有此卵以阻之卵虽阻而气欲入卵能不为气压令入瓶乎
释热
长庚
热之为物也无声无臭而其用至广有从日而来者有由火而生者有因二物擦磨而出者其从日而来者与光直来历程万万里由火而生者其热有光与从日来者无异地受太阳照临热气甚盛地心积热如大炉焉地震即地中烈火所致烈火发于火焰山如地心之火炉烟故常地中火出至人身之热则无光人之觉暖也由体内自有之热非衣足以暖体也衣以蔽体使内热不速外散耳二物擦磨而生热亦有无光者如以两滑棍相磨祇觉其热而已如木机器两端擦磨热甚则生火二木棍互相摩击亦有火生热能四散如执一铁条置彼端在火俄而此端觉热因传热速也如二物相连热能由此达彼设有二物一热一冷互相依近少顷二物冷热等矣热之传也视各物质以为迟速铁传热最易试持铁条置一端于火热即传至彼端若为木条传热必不若此之易也盖木难传热彼端然火此端尚不觉其热耳热能令物涨大如火轮车之铁轨两轨相接处必留空隙防其因热铁涨也车轮安置铁圈必先炙其铁铁热则涨安之甚易然后沃以水铁圈缩紧轮自坚固即此理也热能发舒天气气热则涨涨则轻轻则上升而他处之气较冷较重即向此处吹聚以补其空缺所以天气时常鼓荡也设严扃一暗室仅开一隙放光射入窥光线中见天气飞腾或上或下是知气遇热则升他处之气吹来此气之流行无滞也风之起也职是故耳海涯晚风之凉爽也因当昼地受日热热甚则气升清气吹来故成海风也热气恒轻于冷气以气遇热则涨而气之质并无所加祗觉愈涨愈稀愈稀愈轻气遇冷则缩而气之质并无所减祇觉愈缩愈稠愈稠愈重也水与流质遇热则涨而薄热甚流质即化气如水热则化为蒸汽实质遇热亦涨惟不若气与水之甚耳热之大者由日而生使世界无此热气则庶物不育草木不生热之为用大矣哉
以方出圆解
叶尔昌
方者直线也圆者弧线也周髀所谓以方出圆者以方之形度圆之分圆数即从方数而出与前说圆出于方之理合也盖方象地圆象天方之体偶圆之体奇方象乎地地易测也圆象乎天天难测也然推天者以地准之即以易测而测难测也方之象偶偶有尽也圆之象奇奇无尽也然求奇者以偶定之即以有尽而尽无尽也故曰以方出圆也管子能大圆者体乎大方本此如正圆求积以径自乘为正方形而以方率圆率比例求之即得又于圆内正方画为句股先得四边形复求之得八边形如是屡求至亿万边与圆外切凑合遂化圆周为直线皆以方出圆之理也又如绘图家环矩为圆矩方器也以矩之一端为枢以一端旋转为圆此亦圆出于方之证也盖万物之象万象之数皆不离方圆孟子曰规矩方圆之至考工记曰圆者中规方者中矩淮南子云左手画方右手画圆方圆皆以对待言之实则以方出圆圆之体非方不能定圆之积非方不能求耳
光气考
叶尔昌
物有其轻重不可测而附身方显其大力者四光热电气及摄力是也热及电气摄力释之于前按化学光与热有相因之理试再言之光之变化可于照相见之更有时一物而具数色者如一片之光红朱黄绿蓝青紫各色灿呈红居首而[紫](且)居末化物之光多生紫色腐鱼及死畜臭烂者其质恒化而为光即朽光常发所谓磷也热气之用主燠能使流质若气质不凝实为定质倘人行近火或日光射照手上温暖自生此即热气之证按光之定位紫色为殿受热最微而冠以红色受热最重热气随在可见然亦有不可以求者热由内化不得而知此所谓热气之隐蕴者也譬少放热水于冰上则水入冰中热不敌寒热气俄散不见水未结为冰而热先散冰未融于水而热已消消则不可见其热所消之热必职所融之冰然水少冰多旋融则冰旋结矣中蕴之热亦能验知如锤一铁久之即见其发红摩一干木久之即见其生暖是知铁与木皆蕴内热也物去其热当成定质如水银去其热气即变成实质如银此事有人航海近北极见之北极热最微者也热加于冰则化为水是谓融化热加于水则化为气是谓气化及热加于铁则化为流质是亦融化若热至十分有加无已铁质或亦气化石灰参水热气暴发放火焰能伤人此何故也盖水蕴内热一遇石灰热即外发发则水之流质成定质所谓定质者以内少热耳凡质皆有内热但有多寡之不同火酒内含热气水亦如之水酒相和其热气较原酒原水为盛其故何也盖两质搀匀则变杂质杂质之热本不如凡质原热之多今既两热相和所以觉其然耳