钦定四库全书
御制数理精蕴下编卷八
线部六
盈朒【单法 双套】
盈朒
盈有余也朒不足也设有余不足以求适中亦为因较而得正数之法此固比例法也但比例以实数求实数而盈朒则以虚数求实数然虚数皆与实数相较而生盈朒之差则虚数亦实数也比例以所有之三率求所余之一率而盈朒则所有为两数且两数之中各藏一数其实亦三率也其间有一盈一朒者则以两数相加为相较之率有两盈或两朒者则以两数相减为相较之率有一盈一适足或一朒一适足者则无可加减而或盈或朒之数即其较也法不一致惟在相较以得其差理本一原惟在互比以得其实错综变幻其用不穷所谓以实御虚和较互见者庶防尽于此矣
一盈一朒
设如有人分银不知人数亦不知银数只云每人七两分之则余四两每人九两分之则少十二两问人数及银数各若干
法以七两与九两相减余二两为一率一人为二率盈四两与朒十二两相加共十六两为三率推得四率八即为人数以八人与每人七两相乗得五十六两加盈四两得六十两即为银数或以八人与每人九两相乗得七十二两减朒十二两余六十两亦为银数也此法盖因前设分七两后设分九两是每一人多分二两也然每人分七两则縂银盈四两每人分九两则縂银朒十二两是盈朒相差共十六两矣夫一人多分二两而縂银差十六两则二两为一人之所多而十六两为八人之所多可知矣故二两与一人之比同于十六两与八人之比而为比例四率也既得人数以每人七两计之则八人应得五十六两因银尚余四两故加四两得六十两为银数也若以每人九两计之则八人应得七十二两因银少十二两故减十二两余六十两为银数也此先得人数之法也
又先得银数之法用互乗以齐其分以九两乗盈四两为加九倍得盈三十六两以七两乗朒十二两为加七倍得朒八十四两相加得一百二十两为二率七倍与九倍相减余二倍为一率一倍为三率推得四率六十两即为银数既得银数则于六十两内减盈四两余五十六两以每人七两除之得八为人数或于六十两加朒十二两共七十二两以每人九两除之亦得八为人数也此法以九两互乗盈四两者将盈四两加九倍也盈四两加九倍则为盈三十六两既以盈数加九倍则縂银数与所分七两亦皆当加九倍七两加九倍则为六十三两是则九倍之縂银每人六十三两分之盈三十六两也以七两互乗朒十二两者将朒十二两加七倍也朒十二两加七倍则为朒八十四两既以朒数加七倍则縂银数与所分九两亦皆当加七倍九两加七倍则亦为六十三两是则七倍之縂银每人六十三两分之朒八十四两也夫每人既皆分六十三两则是所分之加倍共银数亦必相同然九倍银数则盈七倍银数则朒因九倍比七倍多二倍是盈朒相加之一百二十两即此二倍之银数也知二倍为一百二十两即知一倍之为防何矣故以二为一率一百二十两为二率一为三率推得四率六十两为银数也既得银数则于六十两内减盈四两余五十六两即为分七两者之共数而以七两除之得八人或于六十两加朒十二两得七十二两即为分九两者之共数而以九两除之亦得八人也此先得银数之法也
又法将盈四两与朒十二两相加得十六两为一率七两与九两相减余二两为二率盈四两为三率得四率五钱与所分七两相加得七两五钱为每人应得之数又以五钱除盈四两得八为人数或仍以十六两为一率二两为二率以朒十二两为三率得四率一两五钱与所分九两相减亦得七两五钱为每人应得之数又以一两五钱除朒十二两亦得八为人数以八人与每人七两五钱相乗得六十两为银数也此法盖因九两与七两相较差二两盈四两与朒十二两相并为十六两是縂银盈朒共差十六两由于每人之多二两也今银尚盈四两则每人分七两者其每一分应多五钱而为七两五钱矣故十六两与二两之比同于四两与五钱之比而为比例四率也且一人多五钱而共多四两则其为八人可知矣故五钱与一人之比同于四两与八人之比亦为比例四率也若以朒数论之则縂银共差十六两者由于每人少二两今银朒十二两则每人分九两者其每一分应少一两五钱而为七两五钱矣且一人少一两五钱而共少十二两则其为八人又可知矣既得人数则以八人与每人七两五钱相乗得六十两而为縂银数也此先得每一人所得银数之法也要之第一法先求人数第二法先求物价第三法先求适足之数立法虽各不同而各先得其一一得而无不得者实由于理之一贯者也
设如众人共出银买物不知人数亦不知物价只云每人出银四两则不足四两每人出银六两则多六两问人数及物价各若干
法以出四两与出六两相减余二两为一率一人为二率朒四两与盈六两相加共十两为三率推得四率五即为人数以五人与每人四两相乗得二十两加朒四两共得二十四两即为物价或以五人与每人六两相乗得三十两减盈六两亦得二十四两为物价也此法盖因前设出四两后设出六两是每一人多出二两也然出四两则朒四两出六两则盈六两是盈朒相差共多十两矣夫一人多出二两而縂价即多十两则二两为一人之所多而十两为防人之所多可知矣故以比例四率求之而得五人也既得人数以每人出四两计之则五人应出二十两因于物价朒四两故加四两得二十四两为物价若以每人出六两计之则五人应出三十两因于物价盈六两故减六两亦得二十四两为物价也此法与首题第一法盈朒之加减不同者首题以共人所分共银为问故分少则縂银必盈分多则縂银必朒其所谓盈朒者乃银数之盈朒故得人数与分银数相乗加盈减朒而得银数也此以共人所出共银为问故出少则比物价为朒出多则比物价为盈其所谓盈朒者乃出数之盈朒故得人数与出银数相乗减盈加朒而得物价也法縂一理但加减盈朒之间少不同耳
又先得银数之法以六两乗朒四两为加六倍得朒二十四两以四两乗盈六两为加四倍得盈二十四两相加得四十八两为二率四倍与六倍相减余二倍为一率一倍为三率推得四率二十四两即为物价既得物价则于二十四两内减朒四两余二十两以每人四两除之得五即为人数或于二十四两加盈六两共三十两以每人六两除之亦得五为人数也此法盖将朒四两加六倍为二十四两则物价亦当加六倍而出四两者亦必加六倍而为出二十四两矣将盈六两加四倍为二十四两则物价亦当加四倍而出六两者亦必加四倍而为出二十四两矣夫每人同出二十四两则其加倍共出之数亦必相同然比六倍物价则朒比四倍物价则盈者因六倍比四倍多二倍是盈朒相差之四十八两即二倍物价也故以二为一率四十八两为二率一为三率推得四率二十四两为物价也既得物价则于二十四两减朒四两余二十两即为出四两者所共出之数而以四两除之得五人或于二十四两加盈六两共三十两即为出六两者所共出之数而以六两除之亦得五人也
又法将朒四两与盈六两相加共十两为一率将出四两与出六两相减余二两为二率朒四两为三率得四率八钱与出四两相加得四两八钱为每人应出之数又以八钱除朒四两得五为人数或仍以十两为一率二两为二率盈六两为三率得四率一两二钱于出六两内减之余四两八钱亦为每人应出之数又以一两二钱除盈六两亦得五为人数以五人与四两八钱相乗得二十四两为物价也此法盖因盈朒之相差十两由于每人之多二两今欲补足所朒之四两则每人应多八钱若欲损所盈之六两则每人应少一两二钱故十两与二两之比同于四两与八钱之比亦同于六两与一两二钱之比也且一人多八钱即益所朒之四两一人减一两二钱即损所盈之六两则其为五人也可知矣既得人数则以五人与每人四两八钱相乗得二十四两而为物价之縂银也
设如众人乗船渡河每一船载十三人则余十二人若每一船载十八人则余一船问共人数及船数各若干
法以余十二人为盈十二人余一船为朒十八人乃以每船所载十三人与每船所载十八人相减余五人为一率一船为二率盈十二人与朒十八人相加共三十人为三率推得四率六即为船数以六船与每船载十三人相乗得七十八人加盈十二人得九十为人数或以六船与每船十八人相乗得一百零八人减朒十八人亦余九十为人数也盖每一船多载五人而盈朒相差为三十人故五人与一船之比同于三十人与六船之比也以每船十三人计之六船共载七十八人加无船之十二人共九十人以每船十八人计之六船应载一百零八人因一船无人则减去十八人余九十人或减一船余五船与十八人相乗亦得九十人也
又先得人数之法以每船载十八人乗盈十二人为加十八倍得盈二百一十六人又以每船载十三人乗朒十八人为加十三倍得朒二百三十四人二数相加得四百五十人为二率以十三倍与十八倍相减余五倍为一率一倍为三率推得四率九十即为人数减盈十二人余七十八人以每船十三人除之得六为船数或于九十人加朒十八人共一百零八人以每船十八人除之亦得六为船数也盖十八人与十三人互乗皆得二百三十四人而十二人加十八倍则共人数之加十八倍者为每船二百三十四人余二百一十六人也若以十八人加十三倍则共人数之加十三倍者为每船二百三十四人又少二百三十四人也【二百三十四人为一船所载之人分】十八倍比十三倍多五倍是盈朒相差之共四百五十人即五倍人数故五倍与四百五十人之比即如一倍与九十人之比也既得人数减去所余之十二人以每船十三人除之得船数或加一船之十八人以每船十八人除之亦得船数焉
又法将盈十二人与朒十八人相加得三十人为一率十三人与十八人相减余五人为二率盈十二人为三率得四率二人与每船十三人相加得十五人为每船应载之数又以二人除盈十二人得六为船数或仍以三十人为一率五人为二率以朒十八人为三率得四率三人与每船十八人相减余十五人为每船应载之数又以三人除十八人亦得六为船数以六船与每船十五人相乗得九十为人数也盖盈朒之相差三十人由每船多五人今欲合载所盈之十二人则每船十三人者应加二人而为十五人欲分载所朒之十八人则每船十八人者应减三人而为十五人也且一船加二人即合载十二人一船减三人即分载十八人则其为六船也可知矣
两盈
设如有人分果不知人数亦不知果数只云每人十二枚盈十二枚每人十三枚盈六枚问人数与果数各若干
法以每人十二枚与十三枚相减余一枚为一率一人为二率以盈六枚与盈十二枚相减余六枚为三率推得四率六为人数以六人与十二枚相乗得七十二枚加盈十二枚得八十四枚为果数若以六人与十三枚相乗得七十八枚加盈六枚亦得八十四枚为果数也盖一人多一枚而两盈相差六枚其为六人可知故凡所分之数相减余一者其盈朒之差即人数也
又先得果数之法以十三枚乗盈十二枚为加十三倍得盈一百五十六枚以十二枚乗盈六枚为加十二倍得盈七十二枚相减余八十四枚为二率十二倍与十三倍相减余一倍为一率仍以一倍为三率推得四率八十四枚为果数内减盈十二枚余七十二枚以每人十二枚除之得六为人数若于八十四枚减盈六枚余七十八枚以每人十三枚除之亦得六为人数也盖十二倍比十三倍差一倍则盈朒相差八十四枚即一倍之果数故凡互乗差一倍者则互乗所得盈朒之差即为縂数既得人数又得縂数则以人数除縂数即得每人所分之数矣
又法以两盈数相减为一率互乗所得之两盈数相减为二率一人为三率得四率即为每人所应得之数也此题前二法固以两盈相减即为人数互乗所得两盈相减即为縂数盖因十二与十三相减余一数故也其或余防数者亦即为防倍人数或为防倍縂数其以人数除縂数即同于以防倍人数除防倍縂数也
设如有缎一疋欲作新帐幔一架先折作六幅每幅比旧制长一尺二寸后折作七幅每幅比旧制长二寸问缎之长及旧帐之长各若干
法以长一尺二寸用六幅因之得盈七尺二寸以长二寸用七幅因之得盈一尺四寸乃以六幅与七幅相减余一幅为一率一尺四寸与七尺二寸相减余五尺八寸为二率一幅为三率推得四率五尺八寸为旧帐之长加盈一尺二寸共七尺以六幅乗之得四十二尺为缎之长也【若于五尺八寸加二寸得六尺以七幅乗之亦得四十二尺】盖折作六幅每幅盈一尺二寸是六幅共盈七尺二寸也折作七幅每幅盈二寸是七幅共盈一尺四寸也七幅比六幅多一幅而两盈相差五尺八寸且两盈之数皆比旧帐为盈则五尺八寸为旧帐之长可知矣既得旧帐之数则加一尺二寸而以六幅乗之即得缎之长数也或以六幅与五尺八寸相乗加盈七尺二寸亦得缎之长数盖七尺二寸者原系六因一尺二寸所得之数则加于旧帐而縂乗之与各乗其数而后加之一也若以七幅算之其理亦同又先得缎之长法以七幅乗盈七尺二寸为加七倍得盈五十尺零四寸以六幅乗盈一尺四寸为加六倍得盈八尺四寸相减余四十二尺为二率六倍与七倍相减余一倍为一率仍以一倍为三率推得四率四十二尺为缎之长减盈七尺二寸以六幅除之得五尺八寸为旧帐之长也【若减盈一尺四寸以七幅除之亦得五尺八寸】盖将六幅加七倍七幅加六倍皆得四十二幅是七倍缎之长比旧帐四十二幅长五十尺零四寸六倍缎之长比旧帐四十二幅长八尺四寸是两盈相差四十二尺即一倍缎之长也既得缎之长则减其共盈数而以幅数除之即得旧帐之长或先以幅数除之而减其每幅之盈亦得旧帐之长也
两朒
设如有银买马不知银数亦不知马数但云每一匹十五两不足八十两每一匹十三两仍不足十六两问马数及银数各若干
法以十三两与十五两相减余二两为一率一马为二率朒十六两与朒八十两相减余六十四两为三率推得四率三十二为马数以三十二匹与每匹十五两相乗得四百八十两减朒八十两得四百两为银数若以三十二匹与每匹十三两相乗得四百一十六两减朒十六两亦得四百两为银数也盖一马差二两则縂银差六十四两二两与一马之比即同于六十四两与三十二马之比也既得马数则与每匹之价相乗而减其所朒之数即得银数矣
又先得银数之法以十三两乗朒八十两为加十三倍得朒一千零四十两以十五两乗朒十六两为加十五倍得朒二百四十两相减余八百两为二率十三倍与十五倍相减余二倍为一率一倍为三率推得四率四百两为银数加朒八十两共四百八十两以每匹十五两除之得三十二为马数或于四百两加朒十六两共四百一十六两以每匹十三两除之亦得三十二为马数也盖将十五两加十三倍十三两加十五倍皆得一百九十五两马价齐同祗十三倍银数则朒一千零四十两十五倍银数则朒二百四十两是两朒相差八百两即二倍之银数故以四率求之而得银数也既得银数则加其所朒之数以每匹之价除之即得马数矣
设如有米易布不知米数亦不知布数但云易布二十疋则米少一石易布十六疋则米仍少二斗问米数及布数各若干
法以十六疋与二十疋相减余四疋为一率二斗与一石相减余八斗为二率一疋为三率推得四率二斗为布每疋所值米数以二斗与二十疋相乗得四石减朒一石余三石为米数若以二斗与十六疋相乗得三石二斗减朒二斗亦余三石为米数既得米数以每疋二斗除之得十五疋为布数也
又先得米数之法以十六疋乗朒一石为加十六倍得朒十六石以二十疋乗朒二斗为加二十倍得朒四石相减余十二石为二率十六倍与二十倍相减余四倍为一率一倍为三率推得四率三石为米数加朒一石共四石为一率二十疋为二率三石为三率得四率十五疋为布数或于三石加朒二斗共三石二斗为一率十六疋为二率三石为三率亦得四率十五疋为布数也盖二十疋加十六倍十六疋加二十倍皆为易布三百二十疋而十六倍其米数则朒十六石二十倍其米数则朒四石是两朒相差十二石即相差四倍之米数故以比例求之得米数也既得米数则加朒一石为四石即足易布二十疋故四石与二十疋之比同于三石与十五疋之比也或加朒二斗得三石二斗即足易布十六疋故三石二斗与十六疋之比亦同于三石与十五疋之比也又先得布数之法以朒二斗与朒一石相减余八斗为一率十六疋与十二疋相减余四疋为二率朒一石为三率得四率五疋与二十疋相减余十五疋为布数又以五疋为一率朒一石为二率十五疋为三率推得四率三石为米数也若仍以八斗为一率四疋为二率朒二斗为三率则得四率一疋与十六疋相减亦得十五疋为布数又以一疋为一率二斗为二率十五疋为三率亦得四率三石为米数也此法即先求适足之理盖十五疋即适足之数也
一盈一适足
设如按户纳粮不知户数亦不知粮数只云每户三升盈六石每户二升五合适足问人户及粮数各若干
法以二升五合与三升相减余五合为一率盈六石变为六千合为二率一户为三率推得四率一千二百为户数与每户二升五合相乗得三十石为粮数也盖每户多五合而縂粮多六石其为一千二百户可知故五合与六石之比同于一与一千二百之比也【此以一户为三率者二三率原可互易变之以明比例之理也】既得户数则与二升五合相乗适足三十石之数矣若以一千二百户与每户三升相乗得三十六石减盈六石亦得三十石为粮数也又先得粮数之法以二升五合乗盈六石为加二十五倍【以合为单位】得盈一百五十石以三升乗适足为加三十倍仍得适足【盖全粮一分每户二升五合而适足若将全粮加三十倍为三十分则二升五合亦当加三十倍为七斗五升是全粮三十分每户七斗五升仍适足也】故即以一百五十石为二率将二十五倍与三十倍相减余五倍为一率一倍为三率推得四率三十石为粮数以每户二升五合除之得一千二百为户数或加盈六石为三十六石以每户三升除之亦得一千二百为户数也
设如有井不知其深有绳不知其长只云将绳作三折入井长八尺将绳作五折入井适足问井深绳长各若干
法以三折与五折相减余二折为一率长八尺用三折因之得盈二丈四尺为二率一折为三率推得四率一丈二尺为井深以五折乗之得六丈为绳长或以三折乗之加盈二丈四尺亦得六丈为绳长也盖折作三折每折盈八尺是三折共盈二丈四尺也五折比三折多二折而盈与适足无可加减则盈二丈四尺即为二折之数其一折为一丈二尺矣井深既为五折之一故一折之数即为井深之数也既得井深则以五折乗之得绳长之数或以三折乗之加盈二丈四尺亦得绳长之数也
又先得绳长之法以五折乗盈二丈四尺为加五倍得盈一十二丈以三折乗适足为加三倍仍得适足故即以一十二丈为二率三倍与五倍相减余二倍为一率一倍为三率推得四率六丈为绳长以五折除之得一丈二尺为井深或减盈二丈四尺余三丈六尺以三折除之亦得一丈二尺为井深也
一朒一适足
设如计日登程不知日数亦不知路程只云每日行五十五里则离所欲至之地共差六十里每日行六十里适足问日数及路程各若干
法以五十五里与六十里相减余五里为一率一日为二率朒六十里为三率推得四率十二为日数与每日六十里相乗得七百二十里为路数若以日数十二与每日行五十五里相乗得六百六十里是不到六十里也加朒六十里亦得七百二十里也
又先得路程之法以六十里乗朒六十里为加六十倍得朒三千六百里以五十五里乗适足为加五十五倍仍得适足故即以三千六百里为二率五十五倍与六十倍相减余五倍为一率一倍为三率推得四率七百二十里为路程以每日六十里除之得十二为日数或于七百二十里内减朒六十里余六百六十里以每日五十五里除之亦得十二为日数也
设如有直田一段欲截一头作园只云截长十步不足三十二步截长十二步适足问截积及原濶各若干
法以十步与十二步相减余二步为一率朒三十二步为二率一步为三率推得四率十六步为原濶与十二步相乗得一百九十二步为截积或与十步相乗加朒三十二步亦得一百九十二步为截积也盖长十步则少三十二步长十二步则适足是三十二步者即长二步与原濶相乗之积故以二步除之得原濶也既得原濶则与截长十二步相乗得截积或与截长十步相乗加朒三十二步亦得截积也
又先得截积之法以十二步乗朒三十二步为加十二倍得朒三百八十四步以十步乗适足为加十倍仍得适足故即以三百八十四步为二率以十倍与十二倍相减余二倍为一率一倍为三率推得四率一百九十二步为截积以截长十二步除之得十六步为原濶或于一百九十二步内减朒三十二步余一百六十步以截长十步除之亦得十六步为原濶也
防套盈朒
盈朒之法皆以每人防何而盈防何每人防何而朒防何为问其首数皆为一故以一人之较与共较为比例而得人数即欲先求共数不过用一互乗以齐其分而已故为单法若防套则以防人防何而盈防何防人防何而朒防何为问其首数已不同故必先用一互乗以齐之而后可以为比若欲先求共数则用两互乗是以谓之防套至于比例相求之理则仍与单法同也
一盈一朒
设如有人分银不知人数亦不知银数只云每四人分银三两则盈六两每六人分银九两则朒三两问人数与银数各若干
法以四人互乗九两得三十六两以六人互乗三两得十八两相减余十八两为一率四人六人互乗得二十四人为二率盈六两与朒三两相加得九两为三率推得四率十二即为人数既得人数乃以四人为一率三两为二率十二人为三率推得四率九两加盈六两得十五两即为银数或以六人为一率九两为二率十二人为三率推得四率十八两减朒三两亦余十五两为银数也此法必用互乗以齐其数者盖单法以所分数相减为一率一人为二率盈朒相加为三率今三两为四人之所分九两为六人之所分不可以相减而为一率也四人与六人人数不同不可以为二率也所以必用互乗以齐之一则为二十四人分十八两虽为加六倍其比例仍同于四人分三两也一则为二十四人分三十六两虽为加四倍其比例仍同于六人分九两也是以十八两与三十六两相减余十八两为二十四人之所差而盈朒差九两即知为防人之所差故十八两与二十四人之比即同于九两与十二人之比也既得人数之后而仍用比例四率者何也盖单法所分之银数为一人之所分故以人数与所分之银数相乗加盈减朒而即得縂银今则所分之银数为四人或六人之所分故每防人与所分防何之比即如縂人与縂银之比而得四率加盈减朒始得縂银数也
又防法以四人归除三两每一人应得七钱五分以六人归除九两每一人应得一两五钱乃照盈朒单法列之为每人七钱五分分之盈六两每人一两五钱分之朒三两是以七钱五分与一两五钱相减余七钱五分为一率一人为二率盈六两与朒三两相加得九两为三率推得四率十二为人数既得人数则以一人为一率一两五钱为二率十二人为三率推得四率十八两减朒三两余十五两为银数也或以每人七钱五分为二率推得四率九两加盈六两亦得十五两为银数也此法以四人除三两以六人除九两皆为度尽之数若数有竒零度不尽者则必用互乗之法而后可
又先得银数之法以四人互乗九两得三十六两又以三十六两互乗盈六两为加三十六倍得盈二百一十六两以六人互乗三两得一十八两又以一十八两互乗朒三两为加十八倍得朒五十四两两数相加得二百七十两为二率十八倍与三十六倍相减余十八倍为一率一倍为三率推得四率十五两为银数既得银数乃以三两为一率四人为二率十五两减盈六两余九两为三率推得四率十二为人数或以九两为一率六人为二率十五两加朒三两共十八两为三率亦得四率十二为人数也盖单法以所分之数相减为一率以所分之数互乗盈朒之数相减为二率一倍为三率得四率为银数今则三两为四人之所分九两为六人之所分其数不同即三两与九两互乗亦皆得二十七两而一则为三十六人分二十七两【加九倍也】一则为十八人分二十七两【加三倍也】其数亦仍不同不可相为比例故必以四人六人互乗为二十四人以齐其人数又必以十八与三十六互乗盈朒之数以齐其所分银数然后人数与所分银数俱同可以设为比例是以十八两加三十六倍三十六两加十八倍皆为六百四十八两即如三十六倍其银数则每二十四人分六百四十八两盈二百一十六两若十八倍其银数则每二十四人分六百四十八两朒五十四两也然则盈朒相差二百七十两即十八倍银数之所差矣故十八倍与二百七十两之比即同于一倍与十五两之比而为比例四率也既得银数而减盈加朒为比例四率者盖以所分之银数与防何人之比即如减盈加朒之縂银数与縂人数之比也
又先得银数之法以四人互乗九两得三十六两以六人互乗三两得十八两相减余十八两为一率以互乗所得之十八两为二率盈六两与朒三两相加得九两为三率推得四率九两加盈六两得十五两为银数【为一若以三十六两为二率则得四率十八两减朒三两亦得十五两为】既得银数则以三两为一率四人为二率十五两内减盈六两余九两为三率推得四率十二为人
【银数若以九两为一率六人为二率十五两内加朒三两共十八两为三率亦得四率十二为人数】数也此法盖合两四率而四率原法以十八两为一率二十四人为二率九两为三率得四率十二为人数又如以二十四人为一率十八两为二率【与四人为一率三两为二率者同因其俱为四与三之比例】十二人为三率则得四率九两加盈六两得十五两为银数今将两四率合为一四率则前四率中省以二十四乗后四率中省以二十四除故以十八两为一率又为二率以九两为三率而得四率九两加盈六两为银数也
设如众人共出银买物不知人数亦不知物价只云每八人出银七两则盈四两五钱每九人出银六两则朒三两问人数及物价各若干
法以八人互乗六两得四十八两以九人互乗七两得六十三两相减余十五两为一率八人九人互乗得七十二人为二率盈四两五钱与朒三两相加得七两五钱为三率推得四率三十六即为人数既得人数乃以八人为一率七两为二率三十六人为三率推得四率三十一两五钱减盈四两五钱余二十七两即为物价或以九人为一率六两为二率三十六人为三率推得四率二十四两加朒三两亦得二十七两为物价也此法用互乗以齐其数一则变为七十二人出六十三两一则变为七十二人出四十八两其相差十五两是十五两为七十二人之所差则盈朒相加之七两五钱即知为三十六人之所差故十五两与七十二人之比即同于七两五钱与三十六人之比也既得人数仍用比例四率以每防人与所出防何之比即如縂人与縂银之比而得数内减盈加朒即为物价也
又先得银数之法以八人互乗六两得四十八两又以四十八两互乗盈四两五钱为加四十八倍得盈二百一十六两以九人互乗七两得六十三两又以六十三两互乗朒三两为加六十三倍得朒一百八十九两二数相加得四百零五两为二率四十八倍与六十三倍相减余十五倍为一率一倍为三率推得四率二十七两为银数既得银数乃以七两为一率八人为二率二十七两内加盈四两五钱共三十一两五钱为三率推得四率三十六为人数或以六两为一率九人为二率于二十七两减朒三两余二十四两为三率亦得四率三十六为人数也此法用互乗以齐人数银数而成比例故八人与九人互乗皆为七十二人以六十三两与四十八两互乗皆为出三千零二十四两此数比四十八倍之物价则盈二百一十六两比六十三倍之物价则朒一百八十九两其盈朒之相差为四百零五两其四十八倍与六十三倍相差为十五倍以十五倍与四百零五两之比即同于一倍与二十七两之比也既得银数仍用比例四率盖以所出之银数与防何人之比即如加盈减朒之縂银数与縂人数之比也
两盈
设如众人轮班值日不知人数亦不知日数只云每四人值五日则盈二十日每八人值九日仍盈八日问人数及日数各若干
法以四人互乗九日得三十六日以八人互乗五日得四十日相减余四日为一率四人八人互乗得三十二人为二率盈八日与盈二十日相减余十二日为三率推得四率九十六为人数既得人数乃以四人为一率五日为二率九十六人为三率推得四率一百二十日减盈二十日余一百为日数或以八人为一率九日为二率九十六人为三率推得四率一百零八日减盈八日亦余一百为日数也此法用互乗以齐其分一则变为三十二人值四十日一则变为三十二人值三十六日其相差为四日知四日为三十二人之所差则两盈相减之十二日即知为九十六人之所差矣既得人数则以每防人与值防日之比即同于縂人与縂日之比而于得数之内减其所盈即为日数也
又先得日数之法以四人互乗九日得三十六日又以三十六日互乗盈二十日为加三十六倍得盈七百二十日以八人互乗五日得四十日又以四十日互乗盈八日为加四十倍得盈三百二十日相减余四百日为二率三十六倍与四十倍相减余四倍为一率一倍为三率推得四率一百为日数既得日数乃以五日为一率四人为二率一百日内加盈二十日共一百二十日为三率推得四率九十六为人数或以九日为一率八人为二率一百日内加盈八日共一百零八日为三率亦得四率九十六为人数也盖八人四人互乗皆为三十二人三十六日四十日互乗皆为一千四百四十日然比三十六倍日数则盈七百二十日比四十倍日数则盈三百二十日二数相差为四百日三十六倍与四十倍相差为四倍知四倍之为四百日即知一倍之为一百日矣既得日数则以所值之防日与防人之比即同于加盈之縂日数与縂人数之比也
两朒
设如有人分绢分之不尽只云每三人五疋少二十疋每六人九疋少十疋问人数及绢数各若干法以三人互乗九疋得二十七疋以六人互乗五疋得三十疋相减余三疋为一率三人六人互乗得一十八人为二率朒十疋与朒二十疋相减余十疋为三率推得四率六十为人数既得人数则以三人为一率五疋为二率六十人为三率推得四率一百疋减朒二十疋余八十疋为绢数若以六人为一率九疋为二率六十人为三率推得四率九十疋减朒十疋亦得八十疋为绢数也此法用互乗以齐其数一则变为十八人分三十疋朒二十疋一则变为十八人分二十七疋朒十疋三十疋比二十七疋相差三疋朒二十疋比朒十疋相差十疋知三疋为十八人之所差即知十疋为六十人之所差故三疋与十八人之比即同于十疋与六十人之比也又先得绢数之法以三人乗九疋得二十七疋六人乗五疋得三十疋相减余三疋为一率三十疋为二率朒十疋与朒二十疋相减余十疋为三率推得四率一百疋减朒二十疋余八十疋为绢数也【若以二十七疋为二率则求得四率九十疋减十疋亦得八十疋为绢数】既得绢数则加朒二十疋共一百疋为三率五疋为一率三人为二率推得四率六十为人数也此法亦合两四率而为一四率盖原法以三疋为一率十八人为二率十疋为三率得四率六十为人数又如以十八人为一率三十疋为二率【与三人为一率五疋为二率者同因其俱为三与五之比例】六十人为三率得四率一百疋减朒二十疋余八十疋为绢数今合两四率为一四率则前四率中省以一十八乗后四率中省以一十八除也
一盈一适足
设如众人支粮每三人支九石盈五十四石每四人支十四石适足问人数与粮数各若干
法以三人互乗十四石得四十二石以四人互乗九石得三十六石相减余六石为一率三人四人互乗得十二人为二率盈与适足无可加减即以盈五十四石为三率推得四率一百零八为人数既得人数乃以四人为一率十四石为二率一百零八人为三率推得四率三百七十八石为粮数或以三人为一率九石为二率一百零八人为三率推得四率三百二十四石加盈五十四石亦得三百七十八石为粮数也此法用互乗以齐其分一则变为十二人支三十六石一则变为十二人支四十二石其相差六石知六石为十二人之所差即知五十四石为一百零八人之所差矣既得人数则以每防人与支防石之比即同于縂人数与縂粮数之比也又先得粮数之法以三人互乗十四石得四十二石又以四十二石互乗盈五十四石为加四十二倍得盈二千二百六十八石以四人互乗九石得三十六石又以三十六石互乗适足为加三十六倍仍得适足故即以盈二千二百六十八石为二率三十六倍与四十二倍相减余六倍为一率一倍为三率推得四率三百七十八石为粮数既得粮数乃以十四石为一率四人为二率三百七十八石为三率推得四率一百零八为人数或以九石为一率三人为二率三百七十八石内减盈五十四石余三百二十四石为三率亦得四率一百零八为人数也盖三十六石与四十二石互乗皆为支一千五百一十二石然四十二倍其粮数则盈二千二百六十八石三十六倍其粮数则适足三十六倍与四十二倍差六倍知六倍之为二千二百六十八石即知一倍之为三百七十八石矣既得粮数则以所支之防石与防人之比即同于縂粮数与縂人数之比也
一朒一适足
设如以车运米每四车载六十石则米少六十石每三车载四十石则米适足问车数与米数各若干法以四车互乗四十石得一百六十石以三车互乗六十石得一百八十石相减余二十石为一率三车四车互乗得十二车为二率朒与适足无可加减即以朒六十石为三率推得四率三十六为车数既得车数则以十二车为一率以互乗所得之一百六十石为二率【与三车为一率四十石为二率同以其俱为三与四十之比例也】三十六车为三率推得四率四百八十石为米数若将互乗所得之一百八十石为二率则得四率五百四十石减朒六十石亦得四百八十石为米数也此法互乗后一得十二车载一百八十石一得十二车载一百六十石其相差为二十石知二十石为十二车之所差即知六十石为三十六车之所差故二十石与十二车之比即同于六十石与三十六车之比也
又先得米数之法欲省互乗则将两车数变为同防以四车载六十石用四归三因为三车载四十五石则两首数同矣乃以四十石与四十五石相减余五石为一率四十石为二率朒六十石为三率推得四率四百八十石为米数既得米数即以四十石为一率三车为二率四百八十石为三率推得四率三十六即车数也此法不用互乗止将两首数变为同防极为简防然必其数可以度尽为同等者方可用之若其数不能度尽则必仍用互乗之法焉
御制数理精蕴下编卷八