至此，我已陈述了被吸引向一个不动的中心的物体的运动，尽管在自然界中很难存在这样的事情。因吸引一如既往地向着物体；且由第三定律，牵引物体的和被吸引物体的作用总是相互的和相等的；所以如果有两个物体，牵引物体和被吸引物体皆不能静止，但是两者同时（由诸定律的系理四）相互吸引，围绕［它们的］重力的公共的中心运行；且如果有两个以上的物体，它们或者被一个物体牵引，且它们又牵引同一个物体，或者所有物体彼此牵引；这些物体之间须如此运动，使得［它们的］重力的公共的中心或者静止，或者一直向前均匀地运动。由于这个原因，现在我开始陈述相互牵引的物体的运动，向心力作为吸引考虑，无论如何，也许按照物理学的说法，称它们为推动（impulsus）更为真实。［命题］将在数学上加以考虑；且所以，放弃物理学上的争论，我们使用一种熟悉的语言，使［通晓］数学的读者更容易理解。
命题LVII 定理XX
两个相互牵引的物体，既围绕它们的重力的公共的中心，又相互围绕，画出相似的图形。
因物体离重力的公共的中心的距离与物体成反比；因此彼此之比按照给定的比，又由合比，［这些距离］比物体之间的整个距离按照给定的比。现在这些距离以相等的角运动围绕它们的公共的端点转动，由于位于同一直线上，所以它们彼此的倾斜不改变。但是，直线，它们彼此按照给定的比，以相等的角运动围绕它们的端点转动，在与这些端点或者一起静止，或者一起没有任何角运动的平面上，画出完全相似的图形。所以图形是相似的，它们由这些距离的旋转画出。此即所证 。
命题LVIII 定理XXI
如果两个物体以任意的力互相牵引，且在此期间它们围绕重力的公共的中心运行：我说，图形，它由如此运动着的物体相互围绕画出，与一个图形相似且相等，它能由一个物体以同样的力围绕二者中另一个不动的物体画出。
设物体S，P围绕［它们的］ 重力的公共的中心C运行，由S向T以及由P向Q前进。由一给定的点s引总与 SP，TQ相等且平行的sp，sq；又曲线pqv，它由点p围绕不动点s旋转画出，与由物体S，P相互围绕画出的曲线相似且相等；且所以（由定理XX）相似于曲线ST和PQV，它们由相同的物体围绕重力的公共的中心C画出；这是因为直线SC，CP与SP或者sp彼此之比被给定。
情形1 由诸定律的系理四，那个重力的公共的中心C，或者静止，或者一直向前均匀地运动。我们首先假设它静止，两个物体位于s和p，不动的位于s，运动的位于p，与物体S和P相似且相等。此后设直线PR和pr与曲线PQ和pq相切于P和p，且延长CQ和sq至R和r。又由于图形CPRQ，sprq相似，RQ比rq如同CP比sp，且因此按照给定的比。因此如果力，由它物体P被向着物体S，因此向着居间的中心C牵引，比一个力，由它物体p被向着中心s牵引，按照那个相同的给定的比；这些力在相等的时间总牵引物体离开切线PR，pr，经过与它们成比例的间隔RQ，rq到达弧PQ，pq，且由是后一个力的作用使物体p在曲线pqv上运行，它相似于曲线PQV，前一个力的作用使物体P在其上运行；且运行在相同的时间完成。由于那些力彼此之比并不按照CP比sp之比，而是（由于物体S和s，P和p相似且相等，又距离SP，sp相等）彼此相等；物体在相等的时间被相等地拉离切线；且所以，由于后一物体p被拉离［切线］经过较长的间隔rq，所需时间较长，它按照间隔的二分之一次比；因为（由引理十）运动开始时所画的空间按照时间的二次比。所以，假设物体p的速度比物体P的速度，按照距离sp比距离CP的二分之一次比，因此弧pq，PQ，它们按照一个整比，能在按照相同的二分之一次比的时间内被画出：物体P，p总被相等的力吸引，围绕不动的中心C和s画出相似的图形PQV，pqv，其中后一图形pqv与一个图形相似且相等，它由物体P围绕运动的物体S画出。此即所证 。
情形2 现在我们假设重力的公共的中心与物体在其中相互运动的空间一起均匀地向前运动；又（由诸定理的系理六）在这个空间发生的一切运动如前，且因此物体彼此相互围绕画出的图形如前，所以与图形pqv相似且相等。此即所证 。
系理1 因此，两个物体以与它们的距离成比例的力互相牵引，画出（由命题X）既围绕重力的公共的中心，又相互围绕的同中心的椭圆：且反之亦然，如果这样的图形被画出，则力与距离成比例。
系理2 且两个物体，力与它们的距离的平方成反比，画出（由命题XI，XII，XIII）既围绕重力的公共的中心，又相互围绕的圆锥截线，它们的焦点在图形被画出时所围绕的中心上。且反之亦然，如果这样的图形被画出，则向心力与距离的平方成反比。
系理3 任意两个物体围绕重力的公共的中心沿轨道运行，向那个中心并相互引半径，画出的面积与时间成比例。
命题LIX 定理XXII
两个物体S和P，围绕［它们的］重力的公共的中心C运行，循环时间比二者中之一的物体P的循环时间，它围绕另一不动的［物体］S运行，且画出的图形与两个物体相互围绕所画出的图形相似且相等，按照二者中另一物体S比物体之和S+P的二分之一次比。
又因，从上一命题的证明，时间，在此期间任意相似的弧PQ和pq被画出，按照距离CP和SP或者sp的二分之一次比，这就是，按照物体S比物体之和S+P的二分之一次比。由合比，时间的和，在此期间所有相似的弧PQ和pq被画出，这就是，总时间，在此期间整个相似的图形被画出，按照相同的二分之一次比。此即所证 。
命题LX 定理XXIII
如果两个物体S和P，以与它们的距离的平方成反比的力相互牵引，围绕重力的公共的中心运行：我说，椭圆，它由两者中之一的物体P在这个运动中围绕另一物体S画出，它的主轴比一个椭圆的主轴，这个椭圆能由同一物体P围绕另一静止的物体S在相同的循环时间画出，如同两个物体的和S+P比这个和与另一物体S之间的两个比例中项中的第一个 （28） 。
因为如果所画的椭圆彼此相等，循环时间（由上一定理）按照物体S比物体之和S+P的二分之一次比。设在后一椭圆上的循环时间按照这个比被减小；且周期时间变得相等；但椭圆的主轴（由命题XV）按照一个比被减小，它的二分之三次方是这个比，亦即按照一个比，它的三次方是S比S+P之比；且因此那个主轴比另一椭圆的主轴如同S+P和S之间的两个比例中项中的第一个比S+P。且反之，围绕运动的物体所画出的椭圆的主轴比围绕不动的物体所画出的椭圆的主轴，如同S+P比S+P和S之间的两个比例中项中的第一个。此即所证 。
命题LXI 定理XXIV
如果两个物体以任意类型的力相互牵引，不受其他的推动或者阻碍，以任意方式运动；它们的运动将一如它们不相互牵引，但两者以相同的力被放在［它们的］重力的公共的中心的第三个物体牵引；相对于物体离那个重力的公共的中心的距离的牵引力的定律，与相对于物体之间的整个距离的牵引力的定律是一样的。
因为那些力，由于它们物体相互牵引，趋向物体，趋向居间的重力的公共的中心；且因此好似与由一个居间的物体流出一样。此即所证 。
又因为任一物体离那个公共的中心的距离比物体之间的距离的比被给定，一个距离的任意次幂比另一距离的任意次幂的比被给定；任意一个量，它从一个距离和给定的量以任何方式被导出，比另一个量，它从另一个距离和同样数目的给定的量以类似的方式被导出，给定的量具有那个距离比前者的给定的比，为给定的比。所以，如果力，由它一个物体被另一个物体牵引，与物体彼此之间的距离成正比或者成反比；或者如同这个距离的任意次幂；或者最终如同以任意方式从这个距离和给定的量导出的任意的量；同样的力，由它相同的物体被向着重力的公共的中心牵引，同样与被吸引物体离那个公共的中心的距离成正比或者成反比，或者如同这个距离的相同的幂，或者最终如同以类似方式从这个距离和类似的给定量导出的量。这就是，牵引力相对于两个距离有相同的定律。此即所证 。
命题LXII 问题XXXVIII
两个物体，以与它们的距离的平方成反比的力相互牵引，并且在给定的位置使它们落下，确定它们的运动。
所以物体（由上面的定理）的运动与假如受到放置在重力的公共的中心的第三个物体牵引时一样，且由假设那个中心在运动开始时静止；所以它（由诸定律的系理4）总是静止的。所以物体的运动的确定（由问题XXV）与假设它们被力拖向那个中心时一样，也就有了相互牵引的物体的运动。此即所求 。
命题LXIII 问题XXXIX
两个物体，以与它们的距离的平方成反比的力相互牵引，并且它们从给定的位置，沿给定的直线，以给定的速度离去，确定它们的运动。
由物体的初始运动的给定，重力的公共的中心的均匀运动，与这个中心一同均匀向前的空间的运动，以及相对于这个空间的物体的初始运动被给定。然而随后在此空间中发生的运动（由诸定律的系理五和上面的定理）与假如和那个重力的公共的中心一起的空间是静止的，且物体彼此不相互牵引而被放置在那个中心的第三个物体牵引时是一样的。所以在这个运动的空间中，两个物体之一从给定的位置，沿给定的直线，以给定的速度离去，且被向心力拉向那个中心的运动，由问题九和问题二十六确定；而且同时有另一物体围绕同一中心的运动。由这个运动与上面已发现的物体在其中运行的那个空间系统的均匀向前的运动的合成，有物体在一个不动空间中的绝对运动。此即所求 。
命题LXIV 问题XL
力，由它诸物体相互牵引，按照离中心的距离的简单的比增加：需求多个物体彼此之间的运动。
首先假设两个物体T和L有一个重力的公共的中心D。这些物体（由定理XXI系理一）画出中心在D的椭圆，它们的大小由问题V可知。
现在第三个物体S以加速力ST，SL牵引前两个物体T和L，且反过来被它们牵引。力ST（由诸定律的系理II）分解为力SD，DT；且力SL分解为力SD，DL。现在力DT，DL，如同它们的和TL，因此如同加速力，由于它们物体T和L彼此相互牵引，增加到物体T和L的力上，前者对前者且后者对后者，合成的力与距离DT和DL成比例，如同前面，但较前面的那些力大；且因此（由命题X系理1和命题IV系理1和系理8）使那些物体画出的椭圆同前，但运动更迅速。剩余的加速力SD和SD，以如同物体引起运动的作用SD×T和SD×L沿与DS平行的直线TI，LK同等地牵引那些物体，一点也不改变它们相互的位置，但使它们同等地靠近直线IK；它是想象中过物体S的中间所引的与直线DS垂直的直线。但对直线IK的靠近由引起的系统中的物体T和L为一部分，物体S为另一部分，以适当的速度围绕重力的公共的中心C运行所阻碍。以如此的运动，物体S，因为引起运动的力SD×T与SD×L的和与距离CS成比例，趋向中心C，围绕同一个中心C画出一个椭圆；且点D，由于CS，CD成比例，正对着（e regione）画出相似的椭圆。但是物体T和L受到沿平行线TI和LK的引起运动的力SD×T和SD×L的同等吸引，前者对前者，后者对后者，正如已说过的，它们（由诸定律的系理5和系理6）继续围绕运动的中心D画出它们自己的椭圆，如同前面。此即所求 。
现在加入第四个物体V，并由类似的论证推出这个物体和点C围绕所有物体的重力的公共的中心B画出椭圆；物体T，L和S围绕中心D和C的原有运动被保持，但被加速。且由同样的方法能随意加入更多的物体。此即所求 。
事情本身如此，即使物体T和L相互牵引的加速力大于或者小于它们牵引其他物体的按照距离之比的力。令所有相互的加速力彼此之比如同距离乘以牵引物体，则由前述的容易导出，所有物体在相等的循环时间，围绕所有物体的重力的公共的中心B，在不动的平面上画出不同的椭圆。此即所求 。
命题LXV 定理XXV
诸物体，它们的力按照物体离它们的中心的距离的二次比减小，能彼此在椭圆上运动；且往焦点引半径所画出的面积很接近地与时间成比例。
在上面的命题中证明了多个运动精确地在椭圆上进行的情形。力的定律与那里所假设的定律退离得愈远，物体对它们相互运动的摄动愈大；物体按照这里假设的定律相互牵引，它们不可能精确地在椭圆上运动，除非彼此之间的距离保持确定的比例。但是在如下的情形，［物体运动的轨道］与椭圆相差不大。
情形1 假设几个较小的物体围绕某个非常大的物体在离它的不同的距离上运行，且趋向每个物体的绝对力与同一物体成比例。又因为重力的公共的中心（由诸定律的系理四）或者静止或者均匀地一直向前运动，我们设想较小的物体是如此之小，使得非常大的物体绝不显著地偏离这个中心：则那个非常大的物体或者静止，或者均匀地一直向前运动而没有可感觉到的误差；较小的物体围绕非常大的物体在椭圆上运行，且向较小的物体所引半径画出的面积与时间成比例；除了或者由非常大的物体离开那个重力的公共的中心引入的误差，或者由较小的物体彼此的相互作用引入的误差。然而，较小的物体能减小到这种程度，使［离开中心的］那个误差和相互作用小于任意的给定值，且因此轨道与椭圆相合，又面积与时间的对应没有不能小于任意给定值的误差。此即所示。
情形2 现在我们设想按刚才描述过的方式较小的物体围绕一个非常大的物体运行的系统，或者其他任意两个物体相互围绕运行的系统一直均匀地前进，且此时侧面受到处于遥远距离的一个巨大物体的驱动。因为等加速力，由于它们物体沿平行线被驱动，不改变物体的相互位置，但引起整个系统的同时迁移，此时部分之间的相互运动被保持；显然，来自巨大物体的吸引绝不引起被吸引物体之间运动的改变，除非或者由于加速的不相等，或者由于吸引所沿的直线彼此的倾斜角不相等。所以，假设所有趋向巨大物体的加速吸引彼此之间与距离的平方成反比；又增大巨大物体的距离直到由它向其他物体所引的直线的差相对于它们的长度，以及这些直线之间的倾斜角，小于任何已给的量，系统中的部分相互之间的运动将继续，而没有不能小于任意给定的误差。又因为，由于那些部分彼此之间的短距离，整个系统如同一个物体被牵引；因此同一个系统由于这个吸引的运动如同它是一个物体那样；这就是，它的重力的中心围绕巨大的物体画出某一圆锥截线（就是弱吸引时的双曲线或者抛物线，强吸引时的椭圆），且向巨大物体所引半径画出的面积与时间成比例，除了由部分间的距离产生的甚小且能随意减小的误差之外，全然没有误差。此即所示。
由类似的论证可继续至更复杂的情形以至无穷。
系理1 在情形2中，所有物体中最大的物体离两个或者多个［物体］的系统愈近，系统中部分间的相互运动被摄动得愈甚；因为从最大物体到这些部分所引直线相互间的倾斜已彼此变大，比例的不等性亦变大。
系理2 但最大的摄动，以假设系统中的部分向着所有物体中最大的物体的加速吸引彼此之比不与离那个最大的物体的距离的平方成反比为前提；尤其是如果这个比例的不等性大于物体离最大的物体的距离的比例的不等性时。因为如果加速力，它们相等且沿平行线作用，丝毫不摄动［系统中的部分］彼此之间的运动，摄动必然起源于作用的不等性，当不等性较大或者较小时，摄动较大或者较小。作用于某些物体而不作用于另一些物体的较大的推动的超出，必然改变它们彼此之间的位置。且这一摄动加到起源于直线的倾斜和不等性的摄动上时，使整个摄动更大。
系理3 因此，如果这个系统中的部分在椭圆上，或者在圆上运动而没有显著的摄动；显然，如果它们受趋向其他物体的加速力的推动，［对这些部分］或者除了很小的推动之外就没有推动，或者推动相等并沿几乎平行的直线。
命题LXVI 定理XXVI
如果三个物体，以按照距离的二次比减小的力相互牵引；且任意两个向着第三个的加速吸引相互之间与距离的平方成反比；且较小的［两个］物体围绕最大的物体运行：我说，里面的物体围绕最里面且最大的物体，在假如最大的物体被这些吸引推动时，与假如那个最大的物体不受较小的物体的吸引而静止，或者受到更小或更大的吸引，或者更小或更大的推动时相比，由里面的物体向最大的物体所引的半径画出的面积与时间更近于成比例，且图形更接近焦点在半径交点的一个椭圆的形状。
由先行命题的系理二的证明这很明显；但是它由如下更明晰和更有说服力的论证所证明。
情形1 设较小的物体P和S在同一平面内围绕最大的物体T运行，P画出内轨道PAB，且S画出外轨道ESE。设SK是物体P和S的平均距离；且物体P向着S的加速吸引在那个平均距离由同一SK表示。按照SK比SP的二次比取SL比SK，则SL为物体P向着S的在任意距离SP的加速吸引。连结PT，平行与它引LM交ST于M；且吸引SL被分解为（由诸定律的系理2）吸引SM，LM。由是物体P由三重的加速力推动。一个力趋向T，且它起源于物体T和P的相互吸引。单独由这个力，物体P围绕无论静止，或者由这个吸引推动的物体T，通过半径PT应画出与时间成比例的面积，以及它的焦点在物体T的中心上的椭圆。这由命题XI以及定理XXI的系理2和系理3显而易见。另一个力是吸引LM，因为它由P趋向T，添加到第一个力上，由于它与PT自身重合，由定理XXI的系理3，使得画出的面积仍与时间成比例。然而，由于它不与距离PT的平方成反比，它与第一个力合成的力偏离这个比例，在其他情况相同时，这个力比第一个力的比愈大，偏离愈大。所以，因为（由命题XI和定理XXI系理2）力，由它围绕焦点T的椭圆被画出，应趋向那个焦点，且应与距离PT的平方成反比；那个合成的力，与这个比例偏离，引起轨道偏离焦点在T的椭圆形；与这个比例的偏离愈大，这个［轨道的偏离］愈大；在其他情况相同时，第二个力LM比第一个力的比愈大，合成的力与这个比例偏离得愈大。现在第三个力SM沿平行于ST的直线牵引物体P，它与前面的力合成的力不再由P指向T；在其他情况相同时，它愈从这个方向偏离，这第三个力比前面的力的比愈大；因此它使物体P由半径TP画出的面积不再与时间成比例；且愈偏离这个比例，第三个力比其他的力的比愈大。这第三个力使轨道PAB从前述的椭圆形的偏离增加有两个原因：它既不由P指向T，又不与距离PT的平方成反比。领悟了这些，显然，当第三个力成为最小，其他力被保持时，面积最接近与时间成比例；又不仅当第二个力，而且第三个力，但特别是第三个力成为最小，第一个力被保持时，轨道PAB最接近前述的椭圆形。
设物体T向着S的加速吸引由直线SN表示；且如果加速吸引SM，SN是相等的，它们沿平行线同等地牵引物体T和P，绝不改变这些物体相互之间的位置。在这种情况，物体之间的运动（由诸定律的系理6）与如果除去这些吸引是相同的。由相同的理由，如果吸引SN小于吸引SM，从吸引SM中去掉部分SN，则单独的部分MN被保持，它摄动时间和面积的比例以及轨道的椭圆形状。类似地，如果吸引SN大于吸引SM，由单独的差MN引起对比例和轨道的摄动。如此上面的第三个吸引SM总被吸引SN约减为吸引MN，第一个和第二个吸引完全不变地被保持：所以当吸引MN或者为零，或者最小可能时，面积和时间最接近成比例，且轨道PAB最接近前述的椭圆形；这就是，当物体P和T向着物体S的加速吸引尽可能接近相等时；亦即，当吸引SN不为零，亦不小于所有吸引SM中的最小者，而在吸引SM的最小者和最大者之间，一如平均值，这就是，既不比吸引SK太大，又不比它太小。此即所证 。
情形2 现在设较小的物体P，S围绕最大的物体T在不同的平面内运行；则力LM，沿位于轨道PAM的平面上的直线PT作用，且有如前面一样的效果，不把物体P从它自己的轨道平面逐出。另一个力NM，沿平行于ST的直线作用（且由此，当物体S在交点线（linea nodi）之外时，它向轨道PAB的平面倾斜），除了前面业已说明的运动在经度上的摄动外，它还引起运动在纬度上的摄动，物体P被拉离自己的轨道平面。且这种摄动，对物体P和T彼此之间任意给定的位置，如同那个生成力MN，因此当MN最小时成为最小，这就是（正如刚才我所申明的）当吸引SN既不比吸引SK太大，又不比它太小的时候。此即所证 。
系理1 由此容易推知，如果几个较小的物体P，S，R等等，围绕最大的物体T运行，当最大的物体T被其他物体的吸引和推动，按照加速力之比，等于其他物体之间相互的吸引和推动时，最里面的物体P由外面的物体吸引所致的摄动最小。
系理2 至于在三个物体T，P，S的系统中，如果任意两个向着第三个的加速吸引彼此与距离的平方成反比；物体P，由半径PT围绕物体T画出的面积在接近合A和冲B时，较接近方照C，D时迅速。因为每个力，由它物体P被推动且物体T不被推动，不沿直线PT作用，对画出面积的加速或者迟滞，一如力是顺向或者是逆向。如此的是力NM。这个力在物体P从C到A的道路上与运动顺向并加速运动，然后，一直到D，是逆向并迟滞运动；继之顺向直到B，且最后在物体由B到C移动时，与它逆向。
系理3 由同样的论证，显然物体P，其他情况相同时，在合和冲较在方照运动得迅速。
系理4 物体P的轨道，其他情况相同时，在方照较在合和冲更弯曲。因为快速的物体自直线路径弯折得较小。此外，力KL，或者NM，在合和冲与物体T牵引物体P的力反向；因此那个力被减小；当物体P受到向着物体T的较小的推动时，它自直线路径弯折得较小。
系理5 因此物体P，其他情况相同，从物体T的退离在方照较在合和冲更远。这些论断如此，如果排除偏心的运动。因为如果物体P的轨道是偏心的，其偏心率（如即将在本命题系理9中所示的）当拱点在朔望 （29） （syzygiae）时成为最大；且因此会发生物体P到达上拱点，在朔望离物体T较在方照 （30） （quadratura）离得更远。
系理6 因为中心物体T的向心力，由它物体P被保持在自己的轨道上，它在方照由加上的力LM被增大，且在朔望由减去的力KL被减小，又由于力KL的大小，减小较增加为甚；又因为那个向心力（由命题IV系理2）按照来自半径TP的简单正比和循环时间的二次反比的复合比；显然这个复合比由于力KL的作用被减小；且因此循环时间，如果保持轨道的半径TP，按照那个向心力被减小的比的二分之一次比增加；因此这个半径增加或者减小，循环时间按照大于这个半径的二分之三次比增大或者按照小于这个半径的二分之三次比减小（由命题IV系理6）。如果中心物体的那个力逐渐减小，物体P受到的吸引总是越来越小，它从中心T退离得越来越远；且反之，如果那个力被增大，它越来越靠近中心。所以，如果遥远物体S的作用，由它那个力被减小，交替增大或者减小，半径TP同时交替增大或者减小；则循环时间按照来自半径的二分之三次比和那个中心物体T的向心力，由于遥远物体S的作用增大或者减小而减小或者增大的比的二分之一次比的复合比，增大或者减小。
系理7 由前面得出的同样推出，至于由物体P画出的椭圆的轴，或者拱线的角运动，交替地前行和后退，但毕竟前行较大，且由前行的超出携带着顺向运动。因为物体P在方照被推向物体T的力，当力MN消失时，由力LM和物体T牵引物体P的向心力合成。第一个力LM，如果距离PT增加，差不多按照与距离相同的比增加，且后一个力按照距离的二次比减小，因此这些力的和按照小于距离PT的二次比减小，且所以（由命题XLV系理1）引起轨道的最远点 （31） （auge），或者上拱点后退。在合及冲的力，由它物体P被推向物体T，是物体T牵引物体P的力和力KL之间的差，由于力KL很接近地按距离PT的比增大，那个差按照大于距离PT的二次比减小，所以（由命题XLV系理1）引起轨道的最远点的前行。在朔望和方照之间的位置，轨道的最远点的运动依赖这些因素双方的联合，所以由这个因素和那个因素的超出，它自身前行或者后退。由于在朔望的力KL几乎比在方照的力LM大两倍，超出倾向于力KL，轨道的最远点被携带顺行。此系理和上一系理的真理更易于被理解，若设想两个物体T，P的系统由许多在轨道ESE上的物体S，S，S，等等从各个方向所包围。因为物体T的作用在各个方向被这些物体的吸引所削减，且按照大于距离的二次比减小。
系理8 由于在由下拱点到上拱点的路途中，拱点的前行或者后退取决于向心力的减小按照大于或者小于距离TP的二次比；且［由上拱点］返回下拱点时，取决于类似的增加，且所以在上拱点的力比在下拱点的力之比退离距离的二次反比最远时，成为最大；显然，拱点在朔望，由减去的力KL，或者NM－LM，前行更迅速，又在方照，由加上的力LM，后退愈缓慢，由于前进的迅速和后退的缓慢被持续，这一不等性变得非常大。
系理9 如果某个物体，以与离中心距离的平方成反比的力，围绕这个中心在一个椭圆上运行；且此后，在由上拱点或者轨道的最远点向下拱点的下降中，那个力由连续附加的新力，按照大于被减小的距离的二次比被增大，显然，那个物体总被连续附加的新力推向中心，比假如物体单独按被减小的距离的二次比增加的力推动更倾向中心，且所以画出在椭圆轨道内的一个轨道，且在下拱点较前更靠近中心。所以轨道，由于这个附加的新力，变得更为偏心。如果力在物体离开下拱点到上拱点期间，依前面增加的相同程度减小，物体返回到先前的距离；因此，如果力按照更大的比减小，现在物体由于较小的吸引，上升到较大的距离，且由此轨道的偏心率仍被增大。如果在一次运行中向心力的增加和减小的比被增大，则偏心率总被增大；且反之，如果那些比被减小，偏心率同样被减小。现在，在物体T，P，S的系统中，当轨道PAB的拱点在方照时，那个增加和减小的比为最小，且当拱点在朔望时为最大。如果拱点位于方照，靠近拱点时比小于且靠近朔望时大于距离的二次比，且由以那个较大的比引起轨道的最远点的顺向运动，正如刚才所说的。如果考虑在拱点间进程的整个增加或者减小的比，这个比小于距离的二次比。在下拱点的力比在上拱点的力按照小于上拱点离椭圆的焦点的距离比下拱点离椭圆的焦点的距离的二次比；且反之，当拱点在朔望，在下拱点的力比在上拱点的力按照大于那些距离的二次比。因为在方照，物体T的力加上力NM合成的力按照一个较小的比，且在朔望，从物体T的力减去力KL剩余的力按照一个较大的比。所以在拱点之间的路径上的整个增加或者减小的比，在方照最小，在朔望最大；且因此，在拱点由方照到朔望的路径上，比持续增大，且它增大椭圆的偏心率；又在由朔望到方照的路径上，比持续减小且偏心率减小。
系理10 为给出在纬度上误差的解释，我们设想轨道EST的平面保持不动，由上面解释的误差的原因，显然，力NM，ML是引起那些误差的所有原因，力ML总沿轨道PAB的平面作用，不摄动在纬度上的运动；力NM，当交点在朔望时，沿同样的轨道平面作用，不摄动这些运动；当交点在方照时，它对那些运动的摄动最大，且物体P持续被牵引离开自己的轨道平面，在物体自方照到朔望的路径中平面的倾斜减小，在由朔望到方照的路径中倾斜同样地增大。因此物体在朔望时倾斜成为所有倾斜中的最小者，当物体接近另一交点，它回复到接近先前的大小。如果交点在方照后的八分点 （32） （octans），亦即，位于C和A，D和B之间［的八分点］，从最近所解释的可知，在物体P从任一交点到离此九十度的路径上，平面的倾斜持续减小；然后在经过接下来的45度，直到下一个方照，倾斜被增大；且此后在路径上重新经过另一个45度，直到下一个交点，倾斜被减小。所以，倾斜的减小甚于其增加，且因此倾斜在随后的交点总小于在其前的交点。由相同的理由，当交点在A和D，B和C之间的八分点，倾斜的增大甚于其减小。所以当交点在朔望时，倾斜是所有倾斜中的最大者。在交点自朔望到方照的路径中，在每一次物体与交点会合时，倾斜减小；且当交点在方照，物体在朔望时，倾斜成为所有倾斜中的最小者，然后它增加的度数与它减小的度数相同，交点与最靠近的朔望会合时，倾斜回复到它原来的大小。
系理11 因为交点在方照时，在物体由交点C经合A到交点D的路径上，物体P在向着S的方向被持续拉离它自己的轨道平面；在物体由交点D经冲B到交点C的路径上，方向相反。显然，在物体自交点C的运动中，它持续从原来的轨道的平面CD退离，直至下一个交点；且因此在这个交点，距离原来那个平面CD最远，它不在那个平面的另一交点D穿过轨道的平面EST，而在一个与物体S更近的点，此点在原来位置之后成为新的交点。由同样的论证，在物体从这个交点到下一个交点的路径中，交点持续退离。因此交点，当位于方照时，持续退离；位于朔望，当运动在宽纬上丝毫不被摄动，交点静止；在中间位置时，因交点分享两种条件，缓慢地退离：所以，因为交点总是或者后退，或者静止，在每一次运行中被携带着逆行（in antecedentia）。
系理12 在这些系理中所描述的所有那些误差在物体P，S的合，较在它们的冲稍大；这是因为生成力NM和ML较大。
系理13 且因为在这些系理中的比例与物体S的大小无关，当物体S被想象得如此之大，使得两个物体T和P 的系统围绕它运行，前面所有的论断被保持。且由物体S的增大，因而向心力增大，由于它引起物体P的误差，所有那些误差，在等距时，在这种情形变得比另一种情形，即当物体S围绕P和T的系统运行时大。
系理14 由于力NM，ML，当物体S很遥远时，很近似地如同力SK和PT比ST之比的联合，这就是，如果既给定距离PT，又给定物体S的绝对力，与STcub. 成反比；那些力NM，ML是前面的系理中处理过的误差和效应的原因。显然，所有那些效应，如果物体T和P 的系统被保持，只变化距离ST和物体S的绝对力，近似地按照来自物体S的绝对力的正比和距离ST的三次反比的复合比。由此，如果物体T和P 的系统围绕遥远的物体S运行，那些力NM，ML及它们的效应（由命题IV系理2和系理6）与循环时间的平方成反比。且由此，如果物体S的大小与它的绝对力成比例，则那些力NM，ML及它们的效应与自物体T观看遥远物体S的视直径的立方成正比，且反之亦然。因为这些比与上面的复合比是一样的。
系理15 如果保持轨道ESE和PAB的形状，比例及彼此之间的倾斜角，改变它们的大小，且如果物体S和T的力被保持或者按任意给定的比改变，则这些力（这就是，物体T的力，由它物体P自直线路径弯折进入轨道PAB，以及物体S的力，由它同一物体P被迫从那个轨道偏离）总按同样的方式和同样的比例作用：［如此］必须所有的效应类似且成比例，且效应的时间成比例；这就是，所有直线的误差如同轨道的直径，角的误差与以前一样；且类似的直线误差的或者相等的角误差的时间如同轨道的循环时间。
系理16 因此，如果给定轨道的形状和彼此之间的倾斜，任意改变物体的大小，力和距离，由一种情形所给的误差和误差的时间，能近似地推知在其他任意情形的误差和误差的时间。但下面的方法更简捷。力NM，ML，在其他情况被保持时，如同半径TP，因此对它们的周期性的影响（由引理X系理2）如同力与物体P的循环时间的平方的联合。这些是物体P的直线误差，且自中心T观察到的角误差（亦即，［轨道的］最远点的和交点的运动，以及所有在经度和纬度上的视误差）在物体P的每次运行中，近似地如同运行时间的平方。这些比与系理14中的比联合，则在物体T，P，S的任意系统中，当P围绕较近的T，且T围绕遥远的S运行时，物体P的角误差，从中心T观察，在那个物体P的每次运行中，与物体P的循环时间的平方成正比，且与物体T的循环时间的平方成反比。由此，［轨道的］最远点的平均运动比交点的平均运动按照给定的比；且两运动中的任一个与物体P的循环时间成正比，且与物体T的循环时间的平方成反比。轨道PAB的偏心率和倾斜的增大或者减小不明显地改变［轨道的］最远点的和交点的运动，除非过度的增大或者减小。
系理17 由于直线LM有时大于，有时小于半径PT，设平均力LM用那个半径PT表示，则这个力比平均力SK或者SN（它能用ST表示）如同长度PT比长度ST。平均力SN或者ST，由它物体T被保持在围绕S的轨道上，比一个力，由它物体P被保持在它自己围绕T的轨道上，按照来自半径ST比半径PT之比和物体P围绕T的循环时间比物体T围绕S的循环时间的二次比的复合比。且由错比，平均力LM比一个力，由它物体P被保持在它自己环绕T的轨道上（它能使相同的物体P，在相同的循环时间，围绕任意不动的点T，以距离PT运行）按照那些循环时间的二次比。所以，如果给定循环时间，以及距离PT，则平均力LM被给定；且那个力被给定，由直线PT，MN的类似，力MN亦很近似地被给定。
系理18 对同样的定律，遵照它物体P围绕物体T运行，我们设想许多流体物体围绕同一物体T以离它相等的距离运动；然后由这些物体彼此相连，形成一个圆形的流体环，且与物体T共心；环的每一部分，它们的所有运动按物体P的定律进行，在它们自身与物体S在合和冲较在方照更接近物体T，且运动得更迅速。且这个环的交点，或者它与物体S或者T的轨道的平面的相交部分，在朔望静止；在朔望之外逆行，且在方照最迅速，在其他位置较缓慢。环的倾斜不断变化，且它的轴在每一次运行中振动，完成一次运行时，它返回到原来的位置，除了到那种程度的由交点的进动（præcession）所致的携带绕行。
系理19 现在设想球形物体T，它由非流体的物质构成，增大并伸展直至这个环，且由环绕球开挖的槽盛以水，球围绕自己的轴以相同的循环运动均匀地旋转。这液体由加速力和迟滞力（如同在上一系理中）在朔望较球的表面运动得迅速，在方照较球的表面运动得缓慢，且在槽中如海洋那样潮涨潮落。水，围绕球的静止的中心运行，如果除去物体S的吸引，无以获得潮涨潮落的运动。球均匀地一直向前运动，同时围绕自己的中心旋转（由诸定律的系理5）与球均匀地从其直线路径被拉离（由诸定律的系理6），情况是一样的。但加入物体S，由其不等的吸引，随后水被扰动。因它的吸引对近处的水较大，对远处的水较小。此外，力LM在方照向下牵引水并使它下降直至朔望；且力KL在朔望牵引相同的那些水向上，阻止其下降，并使它上升直至方照；除了某种程度的潮涨潮落运动对准水槽，以及由于摩擦引起的某种迟滞。
系理20 现在如果环变得坚硬，且球被缩小，潮涨和潮落运动将终止；但那个倾斜的振动运动和交点的进动被保持。设球和环有相同的轴，且在相同的时间完成环绕，又球表面接触环的内侧并贴附于它，然后，球参与环的运动，两者的联合体将振动，且交点退行。因为球，正如现在要证明的，在对所有冲击在承受上没有差别。环在失去球之后，当交点在朔望时，倾斜角最大。从那里在交点向方照的前进中，它努力减小其倾斜，由那个努力施加于整个球上一个运动。球保持被施加的运动，直至环由相反的努力并在相反的方向上施加一个新的运动而被除去。按照这种方式，减小倾斜的最大运动发生在交点在方照时，且最小的倾斜角出现在方照后的八分点；然后，最大的下偏运动（rectlinationis motus）发生在朔望，且最大的角在下一个八分点。对除去环的球，情形一样，如果赤道区域稍高于邻近极的区域，或者由稍稠密的物质构成。因为在赤道区域过剩的物质代替了环。且即使任意增加这个球的向心力，假设其所有部分趋向下方，按地球上重物的方式，这个系理和上一系理的现象几乎不变，除了水的最大高度和最小高度的地点不同。现在水被保持和停留在其轨道上，不是由于其自身的离心力，而是它在其中流动的槽。此外，力LM在方照最大地向下牵引水，且力KL或者NM－LM在朔望最大地向上牵引水。这些力合起来在朔望前的八分点停止向下并开始向上牵引水，在朔望后的八分点停止向上并开始向下牵引水。因此，水的最大高度约发生在朔望之后的八分点，最小高度约发生在方照之后的八分点；除了某种程度的由这些力施加在水上的上升和下降运动，或者由于水的惰性而持续稍久，或者由于槽的阻碍而停止得稍快。
系理21 由同样的理由，临近球的赤道的过剩物质引起交点后退，增加这些物质，后退增加，减少这些物质，后退减小，移去这些物质，［交点的运动］被除去；如果多于过剩的物质被除去，这就是，如果球的赤道附近比两极附近或者较低，或者较疏松，则引起交点的顺向运动。
系理22 且因此，从交点的运动亦可以知道球的构造。即是，如果球的两极恒定保持原样，且发生交点的逆向运动，则靠近赤道的物质过剩；若顺向运动，则物质缺失。假定一均匀浑圆的球初始在自由的空间中静止；然后受到倾斜于其表面的任意冲击的推进，并由此得到部分为圆形的部分为一直向前的一个运动。因为这个球对通过其中心的所有轴没有差别，对一个轴，较其他任意的轴，既不更倾向于它，亦不更倾向于轴的一个位置；很清楚，球自身的力不改变它的轴，亦不改变轴的倾斜。现在在球的表面与前面相同的地方被一新的任意冲击倾斜地推进，且由于冲击到来的早晚丝毫不改变其效果，显然，由这些相继施加的两次冲击产生相同的运动，好像它们是同时施加的，亦即，好像球由两者合成的（由诸定律的系理II）简单力推进产生的相同运动，因此是一围绕倾斜角给定的轴的简单的运动。如果第二次冲击施加在第一个运动的赤道上的任意位置，情况一样；也如同假定第一次冲击施加在第二次冲击在没有第一次冲击时产生的运动的赤道上的任意位置，因此，二次冲击发生在任何位置，这些冲击产生相同的圆运动，好像它们一起，并同时施加在那些运动的赤道的相交部分，运动由冲击分别产生。所以，一个同质的和浑圆的球不能保持几个不同的运动，而是复合那些施加于其上的运动并约减为一个，并尽它的力量，总围绕一条倾斜角给定且总不变的轴做均匀和简单的旋转运动。向心力既不能改变轴的倾斜，又不能改变旋转的速度。如果球被通过它的中心以及力指向的中心的任意平面平分为两个半球；那个力总是相等地推动两个半球，所以球旋转运动，不向任何方向倾斜。但是假设在极和赤道之间增加新物质，堆积成山的形状，这些物质持续退离它的运动中心的努力干扰球的运动，并使球的极在其表面漫游，并围绕它们自身和它们相对的点画出圆。极的这一显著的漫游（vagatio）不能被纠正，除非把这座山放在两极中的一极，在这种情形（由系理21）赤道的交点前进；或者放在赤道，在这种情形（由系理20）交点后退；或者最后在轴的另一侧增加新物质，由它平衡山的运动，按这种方式，交点或者前进或者后退，一如山和这些新物质更靠近极或者更靠近赤道。
命题LXVII 定理XXVII
假定相同的吸引定律，我说，外面的物体S，环绕里面的物体P和T的重力的公共的中心O，向那个中心引半径，与它环绕最里面且最大的物体T，并向同一物体引半径相比，画出的面积与时间更接近成比例，且画出的轨道更接近焦点在同一中心的一个椭圆的形状。
因为物体S向着T和P的吸引合成它的绝对吸引，它指向物体T和P的重力的公共的中心O甚于指向最大的物体T；它与距离SO的平方成反比超过与距离ST的平方成反比；仔细考虑易于明确此事。
命题LXVIII 定理XXVIII
假定相同的吸引定律，我说，外面的物体S，环绕里面的物体P和T的重力的公共的中心O，在假如最里面且最大的物体一如其他的物体被这些吸引推动时，与假如它或者不受吸引而静止，或者受到更小或者更大的推动时相比，［由物体S］向那个中心引半径所画出的面积与时间更接近成比例，且物体画出的轨道更接近焦点在同一个中心的一个椭圆的形状。
本命题按照几乎与命题LXVI相同的方式被证明，但由于论证冗长，因此我放弃了。下面的考虑就足够。由上一命题的证明，显然物体S由联合的力推向的中心，很接近那两个物体的重力的公共的中心。如果这个中心与那个公共的中心重合，则三个物体的重力的公共的中心静止；一方面物体S，另一方面其他两个物体的公共的中心，围绕全体的静止的公共的中心，画出精确的椭圆。由命题LVIII的系理二比较命题LXIV和LXV的证明，这是显然的。这个在椭圆上的运动由两个物体的中心离第三个物体S被吸引的中心的距离而略被摄动。此外，给定三者的公共的中心一个运动，则摄动被增大。因此，当三者的公共的中心静止时，摄动最小；这就是，当最里面且最大的物体T按照与其他物体同样的定律被吸引时；它总变大，当三个物体的那个公共的中心，由于物体T的运动减小，开始运动且受到越来越强的驱动时。
系理 且因此，如果多个较小的物体围绕一个最大的物体运行，容易推出，如果所有物体以与它们的绝对力成正比，且与距离的平方成反比的加速力相互牵引和推动，且每个轨道的焦点被安放在所有里面物体的重力的公共的中心上（即，如果第一个同时是最里面的轨道的焦点在最大且最里面的一个物体的重心上；第二个轨道的焦点在最里面的两个物体的重力的公共的中心上，第三个轨道的焦点在最里面三个物体的重力的公共的中心上，且如此继续下去），与如果最里面的物体静止并指定为所有轨道的焦点时相比，较小的物体所画出的轨道更接近椭圆，且所画出的面积更接近均匀。
命题LXIX 定理XXIX
在多个物体A，B，C，D等的一个系统中，如果任一物体A牵引其他所有物体B，C，D等等，加速力与离牵引物体的距离的平方成反比；且另一物体B也牵引其他物体A，C，D等等，力与离牵引物体的距离的平方成反比：牵引物体A与B的绝对力相互之比如同那些力所属的物体A，B之比。
因所有物体B，C，D［等等］向着A的加速吸引，在相等的距离，由假设它们彼此相等；类似地，所有物体向着B的加速吸引，在相等的距离，彼此相等。此外，在相等的距离，物体A的绝对的吸引力比物体B的绝对的吸引力，如同所有物体向着A的加速吸引比所有物体向着B的加速吸引，且由是也等于物体B向着物体A的加速吸引比物体A向着物体B的加速吸引。但物体B向着A的加速吸引比物体A向着B的加速吸引，如同物体A的质量比物体B的质量；因为引起运动的力，它们（由定义二，定义七和定义八）如同加速力和被吸引物体的联合，在这一情形（由运动的第三定律）彼此相等。所以，物体A的绝对的吸引力比物体B的绝对的吸引力，如同物体A的质量比物体B的质量。此即所证 。
系理1 因此，如果A，B，C，D等的一个系统中的每一个物体单独地牵引所有其他的物体的加速力，与离牵引物体的距离的平方成反比，所有那些物体的绝对的力的相互之比如同物体自身之比。
系理2 由同样的论证，如果A，B，C，D等的一个系统中的每一个物体单独地牵引所有其他物体的加速力，与离牵引物体的距离的任意次方成反比或者成正比，或者它由离每一个牵引物体的距离按照任意公共的定律定义；显然，那些物体的绝对的力如同物体。
系理3 在物体的一个系统中，力按照距离的二次比减小，如果较小的物体环绕最大的一个物体尽可能精确地在椭圆上运行，它们的公共的焦点在那个最大的物体的中心，且向那个最大的物体所引的半径画出的面积与时间极接近成比例：则那些物体的绝对的力的相互之比或者精确地或者非常接近地按照物体的比；且反之亦然。由命题LXVIII的系理与本命题的系理1比较，这是显然的。
解释
由这些命题我们被引向向心力和那些力惯常指向的中心物体之间的类似。被指向物体的力与这些物体的性质和数量有关是合乎逻辑的，如发生在磁体的情形。且每当这种情形发生，物体的吸引必须这样计算，指派给物体的每一小部分以适当的力，再总计力的和。这里，我在广泛的意义上把“吸引”（attractio）一词用于物体彼此相互靠近的无论什么样的努力，无论那个努力由于物体的作用而发生，或者相互靠近，或者由发射的气（spiritus）相互推动；或者由以太（æther）或者空气，或者任意物质的（corporeus）或者非物质的介质的作用，以任何方式推动漂浮在其中的物体彼此靠近。在同样普遍的意义上，我使用“推动”（impulsus）一词，因为在这一著作中不考虑力的种类和物理性质，而考虑它们的数量和数学上的比例，如同我们在定义中已申明的。在数学上，应追随可能被假设的任意条件，研究那些力的数量和比例。然后，当进入物理学，这些比例必须与现象相比较，以此可以知道那些力的什么条件与每一种类的吸引物体相符。且只是在那个时候，才能更有根据地讨论那些力的物理种类，物理原因和物理比例。所以，让我们看看，其吸引方式由已经说过的小部分构成的球形物体，必须以怎样的力彼此相互作用，以及随之而来的是何种运动。