每一个结论假定先有前提；这些前提本身或者是自明的而不需要证明，或者只能依赖其他命题而建立，鉴于我们不能这样追溯到无穷，每一门演绎科学，尤其是几何学，必须以某一数目的不可证明的公理为基础。因此，有关几何学的论著，都是以陈述这些公理开始的。不过，在这些公理中，也要有所区分：例如，“等于同一量的一些量彼此相等”就不是几何学命题，而是分析命题。我认为它们是先验分析判断，我不愿去理会它们。
可是，我必须强调几何学所特有的其他公理。大多数专著中都明确地陈述了这三个公理：
1°通过两点只能作一条直线；
2°直线是一点到另一点的最短的路径；
3°通过一给定点只能引一条直线与已知直线平行。
一般地，虽然第二个公理的证明被省略了，但是从其他两个公理以及从许多默认而没有阐述它们的公理中，可以把它演绎出来，我将进一步说明这一点。
人们长期以来也想证明第三个公理，即所谓的欧几里得公设，但总是白费气力。人们为这一幻想的期望耗费了多么巨大的精力啊，其情景真是令人不可思议。最后，在19世纪头25年，几乎在同一时期，匈牙利的鲍耶（Bolyai）和俄国的罗巴契夫斯基无可辩驳地指出，这种证明是不可能的；他们几乎使我们摆脱了“无公设”的几何学的发明家；从此以后，法国科学院每年仅收到一两篇新证明的论文。
问题并没有结束；不久，由于黎曼（Riemann）发表了题为《几何学的基本假设》的著名论文，问题才获得了巨大进展。这篇论文引出了许多新近的著作，我将进一步谈论它们，在这些著作中，引用一下贝尔特拉米（Beltrami）和亥姆霍兹（Helmholtz）的著作是合适的。
鲍耶-罗巴契夫斯基几何学。假如可以从其他公理导出欧几里得公设，那么显而易见，在否定该公设和承认其他公理时，我们便会导致出矛盾的推论；因此，不可能在这样的前提上建立融贯的几何学。
现在，这恰恰是罗巴契夫斯基所做的事情。
他开始假定：通过一给定点能够引两条与已知直线平行的直线。
此外，他仍保留了欧几里得的所有其他公理。从这些假设出发，他演绎出一系列定理，在其中不可能找到任何矛盾，而且他构造出一种几何学，其完美无缺的逻辑绝不亚于欧几里得几何学的逻辑。
当然，这些定理与我们习用的定理截然不同，乍看起来，它们不能不使人们稍感困惑。
例如，三角形的三个角之和总是小于两直角，这个和和两直角之差与三角形的曲面成比例。
不可能构造一个与已知图形相似、但具有不同维度的图形。
如果我们把圆周分为n等分，并在各分点引切线，若圆的半径足够小，则这n个切线将形成一个多边形；可是，若这个半径足够大，则它们将不相交。
多举这些例子是无用的；罗巴契夫斯基的命题与欧几里得的命题毫不相干，但它们在逻辑上却是相互密切关联的。
黎曼几何学。设想一个唯一地由没有厚度（高度）的生物栖息的世界；并假定这些“无限扁平”的动物都在同一平面而不能离开。此外，还要承认这个世界距其他世界足够远，以致摆脱了那些世界的影响。当我们正在做假设时，我们不妨再赋予这些生物以理性，并相信它们能够创造几何学。在此情况下，它们将肯定认为空间只有两维。
不过，现在假定，这些想象的动物虽则依然没有厚度，但它的体形却是球形的而不是平面形的，它们都在同一球上，没有能力走出去。它们将构造什么几何学呢？首先，很清楚，它们将认为空间只有两维；对它们来说，起直线作用的将是球面上一点到另一点的最短路径，即大圆弧；一句话，它们的几何学将是球面几何。
它们所谓的空间将是它们必须停留于其上的这个球面，在这个球面上，发生着它们能够了解的一切现象。因此，它们的空间将是无界的，因为在一个球面上人们总是能够一直向前而永远也不会停下来，不过它们的空间将是有限的；人们从来也不能找到它的终点，但却可以绕它转圈子。
好了，黎曼几何学是扩展到三维的球面几何。为了构造它，这位德国数学家不仅不得不抛弃欧几里得公设，而且也不得不抛弃第一个公理：通过两点只能作一条直线。
一般地讲，在球面上，通过两已知点我们只能引一个大圆（正如我们刚才看到的，对于我们想象的生物来说，这种大圆可以起直线的作用）；但是也有例外：若两已知点在对径上，则通过它们能引无数个大圆。
同样地，在黎曼几何学（至少在它的各种形式之一）中，通过两点一般只能引一条直线；但是也有例外情况，即通过两点能引无数条直线。
在黎曼几何学和罗巴契夫斯基几何学之间存在着某种对立的东西。
例如，三角形的角之和是：
在欧几里得几何学中等于两直角；
在罗巴契夫斯基几何学中小于两直角；
在黎曼几何学中大于两直角。
通过一给定点能够引与已知直线共面但无论在什么地方也不与之相交的直线数是：
在欧几里得几何学中等于1；
在黎曼几何学中等于0；
在罗巴契夫斯基几何学中等于无限。
而且，黎曼空间虽则是无界的，但却是有限的，这是在上面给予这两个词的意义上而言的。
常曲率面。一种反对意见依然是可能的。罗巴契夫斯基和黎曼的定理没有表现出矛盾；可是，这两位几何学家无论从他们的假设中引出多么多的推论，他们也必须在穷尽这些推论之前停下来，不然其数目将是无限的了；而且，谁能够说，如果他们把演绎推得更远一些，他们最终不会达到某些矛盾吗？
对于黎曼几何学而言，只要把它限制在两维，就没有这种困难；事实上，正如我们看到的，两维黎曼几何学与球面几何毫无差别，它只是普通几何学的一个分支，因而毋庸讨论。
同样，贝尔特拉米把罗巴契夫斯基的两维几何学看做是普通几何学的一个分支，他也驳斥了有关的反对意见。
在这里，且看他是如何完成它的。考虑曲面上的任何图形。设想这个图形以下述方式画在一个易弯曲而不可扩展的、紧贴在这个曲面的画布上：当这个画布移动和变形时，这个图形的各种线条能改变它们的形状而不改变它们的长度。一般说来，这个易弯曲而不可扩展的图形在不离开该曲面的情况下是不能移动的；但是，也有某些特殊的曲面可以这样移动；这就是常曲率面。
如果我们重新开始上面所作的比较，并设想没有厚度的生物生活在这些曲面之一上，那么它们将认为其所有线条在长度上依然保持不变的图形的运动是可能的。相反地，对于生活在可变曲率面上的无厚度的动物来说，这样一种移动似乎是荒谬的。
这些常曲率面分为两类：一些是正曲率的，它们能够变形而紧贴在球面上。因此，这些曲面的几何学本身划归为球面几何，这就是黎曼几何学。
其余是负曲率的。贝尔特拉米证明，这些曲面几何学无非是罗巴契夫斯基几何学。这样一来，黎曼和罗巴契夫斯基的二维几何学便与欧几里得几何学相关。
非欧几何学的诠释。就这样，便消除了迄今关涉二维几何学的反对意见。
可以很容易地把贝尔特拉米的推理推广到三维几何学。不排斥四维空间的心智将不会从中看到困难，但这种心智寥寥无几。因此，我宁可在其他方面继续讲下去。
考虑某一平面，我将称其为基本平面，并编制一种词典，使写在两列中的两组术语一一对应，就像在普遍词典中其意义相同的两种语言的词相对应一样：
空间：位于基本平面以上的空间部分。
平面：与基本平面正交的球面。
直线：与基本平面正交的圆。
球面：球面。
圆：圆。
角：角。
两点之间的距离：这两点以及基本平面与通过这两点的、并与之正交的圆的交点之交比的对数。如此等等。
现在，以罗巴契夫斯基定理为例，并借助这本词典翻译它们，正如我们用德英词典翻译德文文本一样。这样，我们将得到普通几何学的定理。例如，有一罗巴契夫斯基定理：“三角形的角之和小于两直角”，它可以这样翻译为：“如果一曲线三角形的边延长后是与基本平面正交的圆弧线，则这个曲线三角形的角之和将小于两直角。”于是，不管把罗巴契夫斯基假设的推论推得多么远，它们将永远也不会导致矛盾。事实上，假如两个罗巴契夫斯基定理是矛盾的，那么它势必与借助于我们的词典所翻译的这两个定理的译文相同，但是这些译文是普通几何学的定理，而没有人对普通几何学无矛盾表示怀疑。这种确定性从何而来呢，它被证明是正当的吗？这是一个我无法在这里处理的问题，因为说起来话就长了，但是，它是十分有趣的，我不认为不可解决。
因此在这里不存在我在上面所阐述的反对意见。这并非一切。罗巴契夫斯基几何学可容许被具体地加以诠释，而并不是空洞的逻辑练习，它还可以应用；在这里，我无暇谈论这些应用，也无暇谈及克莱因（Klein）和我为积分线性微分方程从它们得到的帮助。
而且，这种诠释并不是唯一的，人们可以编制许多类似于前述词典的词典，它们都能使我们通过简单的“翻译”，把罗巴契夫斯基定理变换为普通几何学定理。
隐公理。在我们的专著中明确阐述的公理是几何学的唯一基础吗？由于注意到，在它们被相继抛弃后，还留下某些与欧几里得、罗巴契夫斯基和黎曼的理论共同的命题，所以我们确信它们并不是几何学的唯一基础。这些命题必须建立在几何学家没有阐述但却公认的前提上。试图把它们与经典证明分清，这是有趣的事。
斯图尔特·穆勒（Stuart Mill）宣称，每一个定义都包含着公理，因为在定义时，人们隐含地断言被定义的客体的存在。这未免走得太远了；在数学中，在下定义之后，免不了接着要证明被定义的对象的存在，人们之所以一般省去证明，是因为读者能够很容易地补充它。绝对不要忘记，当涉及数学实体时，当谈论物质的对象问题时，存在这个词与之并非同义。一个数学实体存在，只要它的定义既在自身之内不隐含矛盾、或与已经公认的命题不发生矛盾就可以了。
不过，即使斯图尔特·穆勒的观察不能用于所有定义，但对于它们中的一些依然是正确的。平面有时被如下定义：
平面是这样一种面，即连接该面任何两点的直线全部在这个面上。
这个定义明显地隐藏着一个新公理；的确，我们必须改变它，这也许更为可取，不过我们为此应该明确地阐述公理。
其他定义也能引起并非不重要的思考。
例如，二图形相等的问题；两图形相等，只有它们能够叠合才行，要使它们叠合，则必须移动一个，直至它与另一个重合；可是，将如何移动它呢？如果我们问这个问题，那么我们无疑会被告知，必须在不改变其形状的情况下移动它，就像它是刚体一样。因此，显然会出现循环论证。
事实上，这个定义并没有定义什么；对于生活在只有流体的世界的生物来说，它是毫无意义的。假如它在我们看来似乎是清楚的，那是因为我们利用了天然固体的性质，天然固体与所有维度都不可改变的理想固体并没有很大的差别。
尽管这个定义可能是不完善的，但它也隐含着公理。
刚性图形运动的可能性并不是自明的真，或者至少仅就欧几里得公设的样式来看是如此，它不像先验分析判断那样。
再者，在研究几何学的定义和证明时，我们看到，人们被迫在毫无证据的情况下不仅承认这种运动的可能性，此外还要承认它的某些性质。
可以立即从直线的定义中看到这一点。人们给出了许多有缺陷的定义，但是真正的定义却隐含在直线所参与的一切证明中：
“刚性图形的运动可以这样发生：属于这个图形的线的各点依然不动，而处于这条线外的各点则运动。这样的线被称之为直线。”在这个阐述中，我们故意把定义和它所隐含的公理隔离开来。
许多证明，例如三角形全等例子的证明，从一点向一直线引垂线的证明，都预先假定了未阐述的命题，因为它们需要承认，在空间以某种方式移动图形是可能的。
第四种几何学。在这些隐公理中，有一个公理在我看来似乎是值得注意一下的，因为抛弃了它，便能够构造出像欧几里得、罗巴契夫斯基和黎曼的几何学一样融贯的第四种几何学。
为了证明在一点A总可以向直线AB引垂线，我们考虑一直线AC，它可以绕A点移动且开始时与固定的直线AB重合；我们使它绕点A转动，直到它转到AB的延长线上。
这样一来，便预先假定了两个命题：首先，这样的转动是可能的，其次，转动可以继续下去，直到两条直线互为延长线时为止。
如果承认第一点而否认第二点，我们便有可能得到一系列定理，这些定理甚至比罗巴契夫斯基和黎曼的定理更奇异，但同样没有矛盾。
我只想引用这些定理中的一个，它并不是最奇特的：实直线可以垂直于它本身。
李定理。在典型的证明中，隐含地引入的公理数比所需要的要多，把它简化到最少也许是引人入胜的。希尔伯特（Hilbert）仿佛已对这个问题做出了最后的解答。首先，人们大概会先验地询问，这种简化是否可能，必要的公理数和可以想象的几何学数是否不是无限的。
索弗斯·李（Sophus Lie）定理支配着这一整个讨论。它可以这样阐述：
假定下述前提得到公认：
1°空间有n维；
2°刚性图形的运动是可能的；
3°要决定这个图形在空间的位置需要p个条件。
适合于这些前提的几何学数将是有限的。
甚至还可以附加说，如果n是已知的，能够指定最高极限为p。
因此，如果承认运动的可能性，那么只能发明有限（甚至是相当少的）数目的三维几何学。
黎曼几何学。可是，这个结果似乎受到黎曼的反驳，因为这位学者构造了无数不同的几何学，通常以他名字命名的几何学只是一个特例。
他说，一切均取决于如何定义曲线的长度。现在，有无数定义这一长度的方法，它们中的每一个都可以成为新几何学的起点。
这是完全为真，不过这些定义中的大多数都与刚性图形的运动格格不入，而在李定理中，则假定这种运动是可能的。因此，这些黎曼几何学尽管在许多方面如此有趣，但它们永远不过是纯粹分析的，是不适合于类似于欧几里得那样的证明的。
希尔伯特几何学。最后韦罗纳塞（Veronese）先生和希尔伯特先生曾构想出更新奇的几何学，他们称其为“非阿基米德（Archimedes）几何学”。他们舍弃阿基米德公理，而建立新的几何学，根据这条公理，凡以足够大的整数乘以给定的长度，最终必然超过原先给定的任何大的长度。在一条非阿基米德直线上遍布着普通几何学的点，但尚有无穷的点夹在其中，这样一来，旧派几何学家认为相邻接的两截段之间，现在就可以插入无穷多的新点。一句话，按前一章的说法，非阿基米德空间不再是二维连续统，而是三维连续统。
关于公理的本性。大多数数学家仅仅把罗巴契夫斯基几何学视为纯粹的逻辑珍品；可是，他们之中的有些人走得更远。由于许多几何学是可能的，我们的几何学肯定是真的吗？经验无疑教导我们，三角形的角之和等于两直角；但是，这是因为我们所涉及的三角形太小了；按照罗巴契夫斯基的观点，差别正比于三角形的面积；当我们计算较大的三角形时，或者当我们的测量变得更精确时，这种差别不能被感觉到吗？因此，欧几里得几何学只不过是暂定的几何学。
为了讨论这种意见，我们首先应该问我们自己，几何学公理的本性是什么？
它们是像康德（Kant）所说的先验综合判断吗？
于是，它们以如此强大的力量强加于我们，以致我们既不能设想相反的命题，也不能在其上建设理论大厦。那里不会有非欧几何学。
为了确信这一点，让我们举一个名副其实的先验综合判断，例如下述我们在第一章中已经看到它的举足轻重的作用的例子：
如果一定理对数1为真，如果业已证明，倘若它对n为真，则它对n+1亦为真，那么它将对所有的正整数都为真。
可是，企图否认这一命题而摆脱它，企图建立一种类似于非欧几何学的伪算术——那是不能做到的；乍一看，人们甚至会被诱使认为这些判断是分析的。
再者，重新谈谈我们虚构的无厚度的动物吧，我们简直不能承认，假如它们的心智像我们的一样，它们会采纳与它们的一切经验相矛盾的欧几里得几何学。
我们能够因此得出几何学公理是经验的真理的结论吗？可是，我们没有做关于理想直线或圆的实验；人们只能针对物质的客体做实验。这样一来，应该作为几何学基础的实验能够建立在什么之上呢？答案是容易的。
我们在上面已经看到，我们在不断推理时，几何图形好像固体一样起作用。因此，几何学能够从经验中借用的东西也许是这些固体的性质。光的性质及其直线传播也导致了几何学的某些性质，尤其是射影几何学的性质，以至于从这种观点看来，人们会被诱使说，度量几何学是固体的研究，而射影几何学则是光的研究。
但是，困难依然存在，而且它是难以克服的。假如几何学是实验科学，它就不会是精密科学，它就应该是继续修正的学科。不仅如此，从此以后每天都会证明它有错误，因为我们知道，没有严格的刚体。
因此，几何学的公理既非先验综合判断，亦非实验事实。
它们是约定；我们在所有可能的约定中进行选择，要受实验事实的指导；但选择依然是自由的，只是受到避免一切矛盾的必要性的限制。因此，尽管决定公设取舍的实验定律仅仅是近似的，但公设能够依然严格为真。
换句话说，几何学的公理（我不谈算术的公理）只不过是隐蔽的定义。
于是，我们想到这样一个问题：欧几里得几何学为真吗？
这个问题毫无意义。
这好比问米制是否为真，旧制是否为假；笛卡儿坐标是否为真，极坐标是否为假。一种几何学不会比另一种几何学更真；它只能是更为方便而已。
欧几里得几何学现在是、将来依然是最方便的：
1°因为它是最简单的；它之所以如此，不仅仅由于我们的心理习惯，或者由于我不知道我们对于欧几里得空间具有什么直接的直觉；它本身是最简单的，恰如一次多项式比二次多项式简单；而球面三角的公式比平面三角的公式复杂，对于不了解这些公式的几何意义的分析家来说，情况似乎依然如此。
2°因为它充分地与天然固体的性质符合，这些固体是我们的手和我们的眼睛所能比较的，我们用它们制造我们的测量工具。