让我们由一个小悖论开始。
假如存在着一种生物，具有像我们一样的心智，并且具有像我们一样的感官，但先前没有受过教育，它们能够从适当选择的外部世界中得到这样一些印象，致使它们可以构造不同于欧几里得的几何学，并能把外部世界的现象限制在非欧空间，甚或限制在四维空间。
至于我们，我们所受的教育是在我们的现实世界完成的，假使我们突然被运送到这个新世界上，我们会毫无困难地把该世界上的各种现象归诸于我们的欧几里得空间。反之，假使这些生物被运送到我们的环境中，它们可能会把我们的现象与非欧几里得空间联系起来。
情况不仅仅如此；我们只用很少气力同样能做到这一点。一个毕生专注于此的人，也许能够认清四维空间。
几何学空间与知觉空间。人们常说，外部客体的映像被局限在空间中，甚至还说，若无这一条件便不能形成映像。人们也说，这种空间因而是为我们的感觉和我们的表象准备好了的框架，它等价于几何学家的空间，它具有几何学家的空间的一切性质。
对于如此思考的所有健全的心智来说，前面的陈述必定是十分离奇的。不过，让我们看看，他们是否不受幻觉的影响，而幻觉经过比较深刻的分析是可以消除的。
首先，严格意义上所说的空间的性质是什么？我所指的空间是几何学的对象，我将称其为几何学空间。
下面是它的几个最基本的特征：
1°它是连续的；
2°它是无限的；
3°它有三维；
4°它是均匀的（homogeneous），也就是说，它的所有点都相互等价；
5°它是各向同性（isotrapic）的，也就是说，通过同一点的所有直线相互等价。
现在，把它与我们的表象和我们的感觉的框架——我可以称这个框架为知觉空间——比较一下。
视觉空间。首先考虑一个纯粹视觉的印象，它来自在视网膜末端形成的映像。
粗略的分析向我们表明，这个映像是连续的，但是只有二维；这已经有别于几何学空间，我们可以称其为纯粹视觉空间。
此外，这个映像被局限在一个有限的框架内。
最后，还有另一种并非不重要的差别：这种纯粹视觉空间不是均匀的。撇开可以在视网膜上形成的映像不谈，视网膜上的所有点并不起相同的作用。黄斑无论如何也不能认为与视网膜边缘的点等价。事实上，不仅同一客体在那里产生了更为逼真的印象，而且在每一个有限的框架内，占据框架中心的点永远也不会与接近视网膜边缘的点相同。
毋庸置疑，更为深刻的分析会向我们证明，视觉空间的这种连续性和它的二维只不过是一种幻觉；因此，它与几何学空间的差别还会更多，但是我们将不详述这个话题了。
不管怎样，视觉能使我们判断距离，从而能使我们察觉第三维。但是，每一个人都知道，为了清晰地察觉客体，这种对于第三维的察觉本身变为必须做出的调节尝试的感觉，以及必须给予双目的会聚的感觉。
这些感觉是肌肉感觉，它们完全不同于给我们以头两维概念的视觉。因此，第三维在我们看来似乎并没有起与其他两维相同的作用。所以，可以称为完备视觉空间的并不是各向同性空间。
的确，它恰恰有三维，这意味着，当我们的视觉元素（至少是结合起来形成广延概念的那些元素）中的三个已知时，它们则完全被确定；用数学的语言来说，它们将是三个独立变数的函数。
不过，让我们稍为比较仔细地审查一下这个问题吧。第三维以两种不同的方式向我们揭示出来：调节的努力和双眼的会聚。
无疑地，这两种指示总是一致的，在它们之间存在着恒定的关系，或者用数学术语来说，测量这两个肌肉感觉的两个变数在我们看来似乎不是独立的；或者，为了再次避免求助于已经精炼的数学概念，我们可以再次返回到前一章的语言，把同一事实阐述如下：如果两个会聚感觉A和B是不可区分的，则相应伴随它们的两个调节感觉A'和B'将同样是不可区分的。
但是，可以说，我们在这里有实验事实；没有什么先验的东西妨碍我们作相反的假定，如果出现相反的情况，如果这两个肌肉感觉相互完全独立，我们便不得不多计及一个独立变数，“完备视觉空间”对我们来说似乎是四维物理连续统。
我还要再说一句，我们在这里甚至有外部经验事实。没有什么东西妨碍我们假定有一种生物，它具有像我们那样的心智，拥有与我们相同的感官，它处在这样一个世界上，光只有在穿过复杂形式的反射介质后，才能到达它那里。有助于我们判断距离的两个指示不会再以恒定的关系相关联。在这样一个世界上受到它的感官训练的生物，无疑会把四维赋予完备视觉空间。
触觉空间和动觉空间。“触觉空间”比视觉空间更为复杂，而且离几何学空间更远。对于触觉，没有必要去重复我对于视觉所作的讨论。
不过，除了视觉和触觉材料外，还有其他感觉，这些感觉对于空间概念的产生同样有贡献，而且比视觉和触觉贡献更大。每一个人都知道这些；它们伴随着我们所有的动作，通常称之为肌肉感觉。
相应的框架就构成了所谓的动觉空间。
每一肌肉都会产生一种特殊的、能够增加或减少的感觉，以至于我们肌肉感觉的总和将取决于与我们具有的肌肉同样多的变数。从这种观点来看，我们具有的肌肉有多少，动觉空间就有多少维。
我知道人们会说，如果肌肉感觉有助于形成空间概念，那是因为我们感觉到每一动作的方向，它成为感觉的一个组成部分。如果情况如此，如果肌肉感觉在不伴随这种几何学的方向感觉就不能产生，那么几何学空间确实就是强加给我们感觉的一种形式。
但是，当我分析我的感觉时，我丝毫也没有觉察这一点。
我所看到的是相应于在同一方向动作的感觉，它们在我的心智中仅仅通过观念联想而结合。正是这种联想，我们称之为“方向感觉”，它是可以还原的。因此，这种感受不能在单一的感觉中找到。
这种联想极其复杂，因为根据四肢的位置，同一肌肉的收缩可以对应于十分不同的方向的运动。
而且，这种联想显然被得到了；像所有的观念联想一样，它也是习惯的结果；这种习惯本身是由许多经验引起的；毫无疑问，如果我们的感官训练是在不同的环境中完成的，在那里我们会受到各种不同印象的影响，那就必然产生相反的习惯，我们的肌肉感觉就可能会按照其他规律联想。
知觉空间的特征。由此可见，在视觉、触觉和动觉这三种形式之下的知觉空间本质上与几何学空间不同。
它既不是均匀的，也不是各向同性的；人们甚至不能说它有三维。
人们常说，我们把我们外部知觉的客体“投影”于几何学空间；我们把它们“局限”起来。
这有意义吗？若有，其意义又是什么？
这意味着我们在几何学空间想象外部客体吗？
我们的表象只是我们感觉的复制品；因此，它们只能和这些感觉排列在同一框架内，也就是说，排列在知觉空间内。
正如画家不能在平面画布上画出具有三维的客体一样，我们也不能在几何学空间中想象外部物体。
知觉空间仅仅是几何学空间的映像，映像由于一种透视而改变了形状，我们只能通过把对象纳入透视法则来想象它们。
因此，我们无法在几何学空间中想象外部物体，而我们可以就这些物体推理，犹如它们处在几何学空间中一样。
其次，当我们说我们把如此这般的客体“局限”在空间的如此这般的点，这意味着什么呢？
这仅仅意味着，我们想象为了达到那个客体所必要的动作；人们可能不这样说：为了想象这些动作，必须把动作本身投影在空间，从而空间概念必须预先存在。
当我说我们想象这些动作时，我只是意指我们想象伴随它们的肌肉感觉，这些肌肉感觉没有一点几何学的特征，从而根本不隐含空间概念预先存在的意思。
状态变化和位置变化。可是，有人会说，如果几何学空间的观念没有强加于我们的心智，另一方面，如果我们的感觉没有一个能够提供这个观念，那么它是怎样产生的呢？
这是我们现在必须考察的问题，这需要花费一些时间，不过我能够用几句话概述一下我就其所提出的尝试性说明。
我们的感觉若孤立起来，没有一个能够使我们产生空间观念；我们只有研究这些感觉相继据以发生的规律，才能被导向这个观念。
我们首先看到，我们的印象易于变化；但是在这些变化中，我们确定，我们马上就可以做出区分。
在一个时期我们说，产生这些印象的客体改变了状态，在另一个时期我们说，它们改变了位置，仅仅使它们发生位移。
不管一个对象改变它的状态，还只是改变它的位置，在我们看来，这总是以相同的方式解释的：由于印象集合的改变。
可是，我们怎样被引导去区别这二者呢？这是很容易阐明的。如果只有位置变化，我们就能够做出某些动作恢复初始的印象集合，这些动作使我们在对面把运动的客体置于同一相对位置。从而，我们矫正所发生的改变，我们通过相反的改变重建初始状态。
例如，如果是视觉的问题，如果客体在我们眼前改变它的位置，那么我们能够“用眼睛追踪它”，通过眼球的适当动作，保持它的映像在视网膜的同一点。
这些动作之所以被我们意识到，因为它们是由主观意志所控制的，因为肌肉感觉伴随着它们，但是这并不意味着我们在几何学空间想象它们。
这样一来，表示位置变化特性的东西，把位置变化与状态变化区别开来的东西，就是位置变化能够用这种方法加以矫正。
因此，我们从印象总和A到印象总和B，正好有两种不同的途径：
1°不受主观意志控制而且不经受肌肉感觉；当它是改变位置的客体时，便发生这种情况；
2°受主观意志控制而且伴随肌肉感觉；当客体不动而我们相对于客体做相对运动时，便发生这种情况。
果真如此，从印象总和A到印象总和B仅仅是位置变化。
由此可知，若不借助于“肌肉感觉”，则视觉和触觉不能给我们以空间概念。
这个概念不仅不能从单一的感觉得到，甚或不能从感觉系列得到，而且，不可动的生物从来也不可能获得空间概念，因为它不能通过它的动作矫正外部客体位置变化的结果，从而没有理由把位置变化和状态变化区别开来。如果它的运动是不受意志控制的，或者没有任何感觉相伴随，它也不能获得空间概念。
补偿的条件。有一种补偿能使两个在其他方面相互独立的变化彼此矫正，像这样种类的补偿怎么是可能的？
已经熟悉几何学的心智会如下推理：显然，如果存在补偿，那么以外部客体的各部分为一方，以各种感觉器官为另一方，都必须在两种变化之后处于同一相对位置。为此，在这种情况下，外部客体的各部分同样必须相互之间保持同一相对位置，我们身体的各部分相互之间也必须如此。
换句话说，在第一种变化中，外部客体必须像刚体那样移动，在矫正第一种变化的第二种变化中，它也必须随着我们整个身体像刚体那样移动。
在这些条件下，补偿可以发生。
但是，由于我们还没有形成空间概念，迄今我们对几何学还一无所知，因此我们不能这样推理，我们不能先验地预见补偿是否可能。不过，经验告诉我们，补偿有时会发生，而且正是根据这一实验事实，我们才开始把状态变化与位置变化区别开来。
固体和几何学。在周围的客体中，存在着一些经常经受位移的客体，这些位移同时易于受到我们自己身体的相关动作的矫正；这些客体就是固体。其他形状可变的客体，仅仅例外地经受同样的位移（位置变化而不是形状变化）。当一个物体改变其位置和其形状时，我们不再能够用适当的动作使我们的感官相对于这个物体返回到同一位置；从而，我们不再能够重建整个原始印象。
只是到后来，作为新经验的结果，我们才学会如何把可变形的物体分解为较小的部分，致使每一部分几乎按照与固体相同的规律移动。就这样，我们把“形变”与其他状态变化区别开来；在这些形变中，每一部分仅仅经受了能够加以矫正的位置变化，但是它们的集合所经受的改变却更为深刻，而且不易受相关动作的矫正。
这样的概念已经十分复杂，它必然在比较晚的时候才能出现；而且，如果固体的观察未曾告诉我们区别位置变化，这个概念也不能产生。
所以，假使在自然界没有固体，那么便不会有几何学。
另一种议论也值得注意一下。设一固体相继占据位置α和β；它在第一个位置，使我们感受到印象总和A，在第二个位置，使我们感受到印象总和B。现在，设有第二个固体，它具有与第一个固体完全不同的性质，例如颜色不同。设它从位置α移到位置β，它在α时使我们感受到印象总和A'，在β时使我们感受到印象总和B'。
一般说来，总和A与总和A'毫无共同之处，总和B与总和B'亦然。因此，从总和A到总和B，以及从总和A'到总和B'的转变，一般而言是本身毫无共同之处的两种变化。
可是，我们认为这两种变化是位移，而且我们认为它们是相同的位移。情况怎么能够是这样呢？
这仅仅是因为，它们二者能够受到我们身体同一相关动作的矫正。
所以，“相关动作”构成了两个现象之间的唯一关联，否则，我们永远也不会梦想把它们联系起来。
另一方面，我们身体由于有许多关节和肌肉，因而可以做出各种不同的动作；但是，所有动作都不能“矫正”外部客体的变动；只有我们的整个身体，或者至少我们起作用的感官作为一个整体移动时，即它们的相对位置不变或以固体那样移动时，这样的动作才能矫正外部客体的变动。
让我们概括一下：
1°首先我们可以区分两种现象范畴：
一些是不受主观意志控制的、不伴随肌肉感觉的，我们把它们归诸于外部客体；这些是外部变化；
另一些在性质上恰恰相反，我们把它们归诸于我们自己身体的动作，这些是内部变化。
2°我们注意到，这些范畴每一个的某些变化可以受到另一范畴相关变化的矫正。
3°在外部变化中，我们区分出与另一范畴相关的变化；我们称这些变化为位移；同样，在内部变化中，我们区分出与第一个范畴相关的变化。
由于这种相关性，我们称之为位移的现象的特殊类别就被这样定义了。
这些现象的规律构成几何学的对象。
均匀性定律。在这些规律中，第一个就是均匀性定律。
设由于外部变化α，我们从印象总和A到印象总和B，接着这一变化α受到相关的、由主观意志控制的动作β的矫正，于是我们恢复到总和A。
现在，设另一个外部变化α'使我们重新从总和A到总和B。
经验告诉我们，这个变化α'像α一样，也易受相关的、由主观意志控制的动作β'的矫正，这个动作β'与矫正α的动作β相应于同样的肌肉感觉。
这个事实通常被说成是：空间是均匀的和各向同性的。
也可以说，一个动作一旦产生之后，它可以第二次、第三次地重复，如此等等，而它的特性却保持不变。
在第一章，我们讨论了数学推理的本性，我们看到必须赋予无限地重复同一操作的可能性以重要意义。
数学推理正是从这种重复中获得它的威力的；因此，正是由于均匀性定律，它才把支撑点放在几何学事实上。
为完备起见，除均匀性定律外，还应当添加许多其他类似的定律，我不愿讨论其中的细节，但是数学家用一句话把它们概括为下述说法：位移形成“一个群”。
非欧几里得世界。如果几何学空间是强加在我们每一个单独考虑的表象上的框架，那么就不可能拆除这个框架来想象映像，而且我们也丝毫不能改变我们的几何学。
然而，情况并非如此；几何学只不过是这些映像前后相继的规律的概要。于是，没有什么东西妨碍我们想象一系列表象，这些表象在各方面与我们通常的表象类似，但前后相继的规律不同于我们习惯的规律。
其次，我们能够设想在这些定律遭到倾覆的环境中接受教育的生物，它们必定具有与我们截然不同的几何学。
例如，假定有一个用大球面包围起来的世界，它服从下述定律：
温度不是均匀的；在中心温度最高，随着距中心距离的增大，温度成比例地减小，当接近包围这个世界的球面时，温度降至绝对零度。
让我再把这个温度变化的规律更精确地说明一下：设R是有限球面的半径；设r是所考虑的点到这个球面中心的距离。绝对温度将与R2-r2成比例。
我将进而假定，在这个世界上，一切物体都具有同一膨胀系数，从而任何量尺的长度都与它的绝对温度成比例。
最后，我将假定，一物体从一点转移到温度不同的另一点后，它能立即与新环境处于热平衡。
在这些假设中，丝毫没有什么是矛盾的或不可想象的。
于是，一个可动客体越接近有限球面，它会成比例地愈变愈小。
首先要注意，从我们通常的几何学的观点来看，尽管这个世界是有限的，但是对于这个世界的居民来说，它似乎是无限的。
事实上，当这些居民试图接近有限球面时，它们逐渐变冷，而且变得愈来愈小。因此，它们迈出的步子也愈来愈小，结果它们永远也不能到达有限球面。
对于我们来说，如果几何学只是研究刚体运动的规律的话，那么对这些假想的生物而言，几何学将研究我刚刚说过的因温度差而变形的固体的运动规律。
毫无疑问，在我们的世界上，由于或热或冷，天然固体同样经受形状和体积的变化。但是，在奠定几何学的基础时，我们忽略了这些变化，因为除了这些变化微乎其微外，它们也不规则，从而在我们看来似乎是偶然的。
在我们假设的世界上，情况不再是这样，这些变化遵循规则的、十分简单的定律。
而且，组成这个世界的居民的身体之各固体部分会经受同样的形状变化和体积变化。
我还要作另外的假设；我将假定，光通过各种折射媒质传播，而且折射率与R2-r2成反比。很容易看到，在这些条件下，光线不可能是直线的，而是圆形的。
为了证明前面所说的是正当的，在我看来依然是要表明，外部客体位置的某些变化能够被居住在这个想象世界上的有知觉生物的相关动作矫正，用这种方式来恢复这些有知觉生物体验过的原始印象的集合。
事实上，假定一客体被移动，同样经受了形变，它不像刚体，而像与上面假定的温度定律严格一致的固体那样经受了不相等的膨胀。为简洁起见，请容许我把这样的运动叫做非欧几里得位移。
假如一个有知觉的生物恰恰在附近，它的印象将被该客体的位移所改变，但是它能够通过以合适的方式运动而重建这些印象。只要最后该对象和被视为单一个体的有知觉的生物之集合经受了一种特殊位移就足够了，我刚才把这种位移叫做非欧几里得位移。倘若假定这些生物的四肢与它们居住的世界的其他物体按照同一规律膨胀，那么这就是可能的。
从我们通常的几何学的观点来看，尽管物体在这种位移中发生了形变，而且它们的各部分不再处于同一相对位置，不过我们将看到，有知觉的生物的印象再次变成相同的了。
事实上，虽然各部分的相互距离可以改变，但是原来接触的部分又处于接触。因此，触觉印象没有变化。
另一方面，考虑到上面关于光线的折射和曲率所作的假设，则视觉印象也依然相同。
因此，这些假想的生物像我们一样，可以把它们目睹的现象进行分类，也可以在这些现象中区分出易于通过相关的、由主观意志支配的动作而矫正“位置变化”。
假使它们构造几何学，将不会像我们那样研究刚体的运动；它们的几何学将研究它们将如此区分的位置变化，这种变化无非是“非欧几里得位移”；它们的几何学将是非欧几何学。
这样一来，像我们自己一样的生物，由于在这样一个世界受教育，它们不会有与我们相同的几何学。
四维世界。正如我们能够想象非欧几里得世界一样，我们也能够想象四维世界。
视觉——即使用一只眼睛——和与眼球运动有关的肌肉感觉一起，便足以告诉我们三维空间。
外部客体的映像描绘在作为二维画布的视网膜上；它们是透视图。
但是，因为眼睛和客体是可动的，所以我们依次看到从不同的视点得到的同一物体的各种透视图。
同时，我们发现，从一个透视图到另一个透视图的转换常常伴随着肌肉感觉。
如果从透视图A到透视图B的转换以及从透视图A'到透视图B'的转换，伴随着同样的肌肉感觉，我们把它们相互比拟为同一性质的操作。
其次，研究一下这些操作结合在一起的规律，我们认识到，它们形成一个群，这个群的结构与刚体运动的结构相同。
现在，我们看到，正是从这个群的特性，我们引出了几何学空间的概念和三维的概念。
这样一来，我们明白了三维空间的观念如何能够从这些透视图的展演中产生出来，尽管它们中的每一个仅仅是两维的，这是由于它们按照某些规律相互跟随。
好了，正如三维图形的透视图能够做在平面上一样，我们也能够把四维图形的透视图做在三维（或二维）的图画上。对于几何学家来说，这只不过是儿戏而已。
我们甚至能够从许多不同的视点对同一图形做出许多透视图。
我们能够想象这些透视图，由于它们只有三维。
试设想一下同一客体的各个透视图依次相继出现，从一个到另一个的转换伴随着肌肉感觉。
当这些转换中的两个与相同的肌肉感觉联系时，我们当然要把二者看做是两个相同性质的操作。
其次，没有什么东西妨碍我们设想，这些操作按照我们选择的任何定律结合，例如为了形成一个与四维刚体运动具有同一结构的群。
在这里，没有什么是不可图示的，但是，这些感觉恰恰是那些具有二维视网膜又能在四维空间里运动的生物所感受到的感觉。在这种意义上，我们可以说，第四维是可以想象的。
按这样的方式，不可能表示我们在前一章讲过的希尔伯特空间，因为这个空间已不是二维连续统。所以，它与我们平常的空间大相径庭。
结论。我们看到，在几何学的起源中，经验起着必不可少的作用；但是，如果由此得出几何学是——即使部分的是——实验科学的结论，那可就错了。
假如几何学是实验科学，那它只能是近似的和暂定的。多么粗糙的近似啊！
几何学只可能是研究固体的运动；但是实际上，它并不是用来从事天然固体的研究，它把某些绝对刚性的理想固体作为对象，这些理想固体只不过是天然固体的一种简化的和相差很远的图像。
这些理想固体的概念来自我们心智的所有构成要素，经验只不过是导致我们从这些构成要素中产生这一概念的诱因。
几何学的对象是研究特殊的“群”；不过，一般的群概念在我们的心智预先存在着，至少是潜在地存在着。它不是作为我们感性（sense）的形式，而是作为我们知性（understanding）的形式强加给我们。
在所有可能的群中，必须选择出的可以说只是标准的群，我们将把自然现象提交给它。
在这一选择中，经验指导我们，而没有把它强加给我们；经验没有告诉我们哪一个是最真实的几何学，而是告诉我们哪一个是最方便的几何学。
要注意，我没有放弃使用通常几何学的语言，也能描述上面设想的奇异的世界。
事实上，即使我们迁移到那个世界，我们也不必改变语言。
在那里受教育的生物无疑会发现，创造一种不同于我们的、更好地适应它们印象的几何学是比较方便的。至于我们，面对同一印象，可以肯定地说，我们会发现不改变我们的习惯是比较方便的。