1. 在前文中，我已经花了大量时间力图证明，几何学原理不是实验的事实，尤其是欧几里得的公设不能用实验来证明。
不管已经给出的理由在我看来是多么具有决定性，我认为还应该强调这一点，因为在这里，虚假的观念在许多人的头脑中是根深蒂固的。
2. 如果我们用材料制作一个圆圈，测量它的半径和周长，并看到这两个长度之比等于π，那么我们想做什么呢？我们想做我们用来制造这个圆形东西的物质的特性的实验，以及用来制造量尺的物质的特性的实验。
3. 几何学和天文学。问题也可以以另一种方式提出。如果罗巴契夫斯基几何学是真实的，那么十分遥远的恒星的视差将是有限的；如果黎曼几何学是真实的，视差将是负的。这些似乎是在实验所及的范围内的结果，可以期望，天文观察能使我们在三种几何学之间做出抉择。
但是，在天文学中，直线只是意味着光线的路径。
因此，如果发现了负视差，或者证明了一切视差都大于某一极限，那么两条道路向我们敞开着；我们既可以放弃欧几里得几何学，也可以修正光学定律，假定光严格说来不是以直线传播的。
不用多说，所有的世界都会认为后一种解决办法比较有利。
因此，欧几里得几何学一点也不害怕新颖的实验。
4. 某些现象在欧几里得空间是可能的，而在非欧几里得空间则不可能，以致经验在确立这些现象时便与非欧几里得假设直接矛盾，这种见解站得住脚吗？就我的本分而言，我没有思索这样一个能够被提出的问题。按照我的意见，它正好等价于下述问题，其荒谬程度在所有的人看来都是一目了然的：存在着用米和厘米可以表示的长度，但却不能用、英尺和英寸来测量，以致当经验弄清这些长度存在时，它却直接与标度为六英尺的假设相矛盾吗？
比较仔细地考察一下这个问题吧。我假定，直线在欧几里得空间具有任何两种特性，我将称其为A和B；在非欧几里得空间，它还具有特性A，但不再具有特性B；最后，我假定，在欧几里得空间和非欧几里得空间中，直线只是具有特性A的线。
果真如此，经验就能够在欧几里得的假设和罗巴契夫斯基的假设之间做出裁决了。结果查明，能用实验检验的一个确定的具体的客体——例如一束光线——具有特性A；我们便可以断定，它是直线，接着我们再研究它是否具有特性B。
然而，情况并非如此；没有一种特性像特性A那样，能够作为一种绝对标准使我们辨认直线以及区分直线和其他每一种线。
例如，我们是否可以说：“这样的特性如下：直线是这样一种线，即就是使包含该线的图形能够运动，而该图形各点的相互距离不变，从而这个线上的所有点依然是固定的？”
事实上，这就是在欧几里得空间或非欧几里得空间中属于直线、且唯一属于直线的特性。但是，我们怎样用实验来弄清它是否属于这个或那个具体对象呢？这就必须测量距离，可是人们怎么会知道，我用材料做成的仪器所测量的任何具体大小实际上表示的是抽象的距离呢？
我们只不过是把困难向后推了一下而已。
其实，我刚才说过的特性不仅仅是直线的特性，它是直线和距离二者的特性。为了把它作为绝对标准，我们不仅必须能够确立，除直线和距离之外，它不属于任何线，而且还必须能够确立，它不属于直线之外的线以及不属于距离之外的数量。不过，这是不正确的。
因此，不可能设想一种能够在欧几里得体系加以诠释、而在罗巴契夫斯基体系不能加以诠释的具体实验，于是我可以得出结论：
经验在任何时候都不会与欧几里得公设矛盾；另一方面，任何经验永远也不会与罗巴契夫斯基公设矛盾。
5. 但是，欧几里得（或非欧几里得）几何学永远不能直接与实验矛盾，这还是不够的。它能够与经验一致，只是因为违背了充足理由律和空间相对性原理，这种状况不可能发生吗？
我愿自我说明一下：考虑任何一个物质系统；一方面，我必须注意这个系统各物体的“状态”（例如，它们的温度，它们的电势等等），另一方面，必须注意它们在空间的位置；而且，在能使我们规定这个位置的数据中，我们将把规定这些物体相对位置的相互距离与规定该系统绝对位置和它在空间的绝对取向的条件区别开来。
在这个系统中将要发生的现象的规律取决于这些物体的状态和它们的相互距离；但是，因为空间的相对性和无源性，它们将不依赖该系统的绝对位置和取向。
换句话说，物体在任何时刻的状态和它们的相互距离仅取决于这些同样的物体在初始时刻的状态和它们的相互距离，但是完全不依赖该系统的绝对初始位置和绝对初始取向。简而言之，这就是我所命名的相对性定律。
迄今，我是作为一个欧几里得几何学家讲话。正如我已经说过的，无论什么经验，都容许按照欧几里得假设进行诠释；但是，它同样容许按照非欧几里得假设进行诠释。好了，我们做了一系列实验；我们根据欧几里得假设诠释它们，而且我们认出，这些如此诠释的实验没有违背这个“相对性定律”。
我们现在根据非欧几里得假设诠释它们：这总是可能的；在这个新诠释中，只有不同物体的非欧几里得距离一般将不同于原来诠释中的欧几里得距离。
以这种新方式诠释的实验还会与我们的“相对性定律”一致吗？如果不存在这种一致，我们也没有权利说经验证明了非欧几里得几何学的谬误吗？
很容易看到，这是杞人忧天；事实上，为了十分严格地使用相对性定律，必须把它应用到整个宇宙。这是因为，如果仅仅考虑这个宇宙的一部分，如果这部分的绝对位置恰恰改变了，那么它与宇宙其他物体的距离同样也会改变，因而这些物体对所考虑的宇宙部分的影响便会增大或减小，这就要修正在那里发生的现象的定律。
可是，假如我们的系统是整个宇宙，那么经验便不能给出它在空间的绝对位置和取向的信息。不管我们的仪器多么完善，它们能够告诉我们的一切将是宇宙各部分的状态和它们的相互距离。
于是，我们的相对性定律可以阐述如下：
在任何时刻，我们根据我们的仪器能够得到的读数，将仅仅依赖于我们根据同一仪器在初始时刻能够得到的读数。
现在，这样一种阐述与实验事实的每一种诠释无关。如果定律在欧几里得诠释中为真，那么它在非欧几里得诠释中亦为真。
请容许我在这里插一点话。我在上面已说过规定系统各个物体的位置的数据；我同样要说规定它们的速度的数据；我接着必须把各个物体相互距离变化的速度区别开来；另一方面，必须区别系统的平动速度和转动速度，也就是它的绝对位置和取向变化的速度。
为了使心智十分满意，相对性定律可以这样表达：
物体在任何时刻的状态和它们的相互距离，以及这些距离在同一时刻变化的速度，将仅仅取决于这些物体在初始时刻的状态和它们的相互距离以及这些距离在初始时刻变化的速度，但是它们既不依赖于系统的绝对初始速度，也不依赖于它的绝对取向，还不依赖于绝对位置和取向在初始时刻变化的速度。
不幸的是，这样阐述的定律与实验不符，至少是在这些实验按通常那样诠释时。
设把一个人运送到总是阴霾密布的行星上，以致他永远也看不到其他恒星；他生活在这个行星上，仿佛行星在空间中是孤立的一样。不过，这个人既可以通过测量行星的扁率（通常借助于天文观察来完成，但也能够借助于纯粹的大地测量方法），也可以重做傅科（Foucault）摆实验，从而可以意识到行星转动。因此，这个行星的绝对转动便变得很明显。
这是一个使哲学家震惊的事实，但是物理学家却不得不接受它。
我们知道，牛顿从这一事实中推断出绝对空间的存在；我自己完全不能采纳这一观点。我将在第三编开始研讨其中的缘由。我暂且不打算说明这个难题。
因此，在阐述相对性定律时，我们必须听任把规定物体状态数据中的各种速度包括在内。
无论如何，这个困难对于欧几里得几何学与对于罗巴契夫斯基几何学也许都是一样的；因此，我不需要为此而烦恼，我只是顺便提到它。
重要的是这个结论：实验不能在欧几里得几何学和罗巴契夫斯基几何学之间做出裁决。
总而言之，无论我们从哪一方面进行考察，都不可能在几何学经验主义中发现合理的意义。
6. 实验只不过告诉我们物体相互之间的关系；至于物体与空间的关系，或者空间各部分的相互关系，没有一个实验影响或能够影响。
“是的，”你回答说：“单一的实验是不够的，因为它只能给我一个带有许多未知数的方程，可是当我作了足够的实验后，我就有了足以计算所有未知数的方程。”
知道船的主桅的高度还不足以计算船长的年龄。当你测量了船上每一块木头，你就会得到许多方程，可是你还不能更清楚地了解他的年龄。你所测量的一切仅仅与木块有关，它们只能向你揭示与这些木块有关的东西。正是这样，你的实验无论多么多，它们只是影响到物体相互之间的关系，而丝毫也不能向我们揭示空间各部分的相互关系。
7. 你又要说，如果实验与物体有关，那么它们至少与物体的几何学特性有关吗？可是，首先一个问题是，你是如何理解物体的几何学特性呢？我假定它就是物体与空间的关系问题；因此，这些特性是只涉及到物体相互之间关系的实验所无法达到的。仅仅这一点就足以表明，不可能存在这些特性的问题。
还是让我们从理解物体的几何学特性这个词语的意义开始吧。当我说一个物体由若干部分组成时，我假定我在其中没有陈述几何学特性，即使我同意把我认为最小的部分不恰当地称之为点，这依然是对的。
当我说，某一物体的某一部分与另一物体的某一部分接触时，我阐述了关于这两个物体相互关系的命题，而没有阐述它们与空间关系的命题。
我假定你将承认我的观点，即这一切并不是几何学特性；我至少确信，你将承认我所说的，即这些特性与度量几何学的全部知识无关。
预先假定了这一点后，我设想我们有一个固体，它是由共同连接在一个端点O上的八根细铁棒OA，OB，OC，OD，OE，OF，OG，OH构成的。此外，设我们有第二个物体，例如一块用三个小墨点标记的木块，我称其为α，β，γ。我进一步假定，已弄清αβγ可以与AGO接触（我意指α与A，β与G，γ与O同时接触），然后我可以相继使αβγ与BGO，CGO，DGO，EGO，FGO，接触，其次与AHO，BHO，CHO，DHO，EHO，FHO接触，接着使αγ与AB，BC，CD，DE，EF，FA相继接触。
这些是我们在预先没有任何空间形式或空间度量特性概念的情况下就可以做出的决定。它们决不涉及“物体的几何学特性”。如果物体用与罗巴契夫斯基群相同结构的群（我意指按照与罗巴契夫斯基几何学中的固体相同的定律）的运动做实验，那么这些决定将是不可能的。因此，它们足以证明，这些物体按照欧几里得群运动，或者至少物体不按照罗巴契夫斯基群运动。
显而易见，这些决定与欧几里得群一致。这是因为，这些决定能够在下述条件下做出：如果物体αβγ是我们通常几何学的呈现为直角三角形形式的刚体，如果点ABCDEFGH是多面体的顶点，而多面体又是由我们通常几何学的两个正六棱锥形成的，且具有公共底面ABCDEF，其一顶点为G，另一顶点为H。
现在假定，在代替前面的决定时可以注意到，如上所述的αβγ能够依次用于AGO，BGO，CGO，DGO，EGO，AHO，BHO，CHO，DHO，EHO，FHO，然后αβ（而不再是αγ）能够依次用于AB，BC，CD，DE，EF和FA。
如果非欧几何学是真实的，如果物体αβγ和OABCDEFGH是刚体，如果第一个物体是直角三角形而第二个物体是适当维数的对顶正六棱锥，那么这些就是可以做出的决定。
因此，如果物体按照欧几里得群运动，那么这些新决定是不可能的；但是，如果假定物体按照罗巴契夫斯基群运动，那么它们就变得可能了。因此（如果人们做出了它们），它们就足以证明，上述物体不能按照欧几里得群运动。
就这样，即使不就空间的形式、空间的本性、物体和空间的关系做任何假设，即使不赋予物体以任何几何学特性，我也获得了观察资料，能够使我证明，在一种情况下物体用其结构是欧几里得群的运动，在另一种情况下物体用其结构是罗巴契夫斯基群的运动。
而且，人们不能说，决定的第一个集合构成了证明空间是欧几里得空间的实验，决定的第二个集合构成了证明空间是非欧几里得空间的实验。
事实上，人们能够想象（我说想象），如此运动的物体使第二组决定成为可能的。其证据在于，第一流的技工，只要他愿意卖力花钱，就能制造这样的物体。可是，你不要由此得出结论，说空间是非欧几里得空间。
不仅如此，虽然技工制造出我刚才所说的奇怪的物体，但是因为普通物体继续存在，所以有必要得出结论说，空间同时是欧几里得空间和非欧几里得空间。
例如，假定我们有一个半径为R的大球面，温度从这个球的中心到球表面按照我在描述非欧几里得世界时所讲过的规律减小。
我们可以有这样的物体，其膨胀可以忽略不计，其行为像通常的刚体一样；另一方面，我们也可以有膨胀率很大的物体，其行为像非欧几里得固体。我们可以有两个对顶棱锥OABCDEFGH和O'A'B'C'D'E'F'G'H'以及两个三角形αβγ和α'β'γ'。第一个对顶棱锥是直线的，而第二个是曲线的；三角形αβγ是用不会膨胀的物质做成的，而另一个则是用极易膨胀的物质做成的。
于是，用对顶棱锥OAH和三角形αβγ就可以获得第一批观察资料，用对顶棱锥O'A'H'和三角形α'β'γ'就可以获得第二批观察资料。这样一来，实验似乎先证明欧几里得几何学为真，接着又证明它为假。
因此，实验与空间无关，而与物体有关。
补遗
8. 为使内容完备起见，我应当谈一个十分棘手的问题，这也许需要太长的篇幅；在这里，我只想概括地介绍一下我在《形而上学和道德评论》和《一元论》杂志中详述过的东西。当我说，空间有三维，我们意味着什么呢？
我们已经看到我们的肌肉感觉向我们揭示的那些“内部变化”的重要性。它们可以用来表征我们身体的各种姿势的特征。任取这些姿势中的一个A作为起点，当我们从这个初始姿势到任何一个其他的姿势B时，我们感觉到一个肌肉感觉系列，这个系列S将确定B。不管怎样，让我们注意一下，我们常常会把两个系列S和S'视为确定了同一姿势B（由于初始姿势A和最终姿势B依然相同，中间姿势和相关感觉可以不同）。可是，我们将如何辨认这两个系列等价呢？因为它们可以用来补偿同一外部变化，或者更一般地说，因为当这是一个补偿外部变化的问题时，一个系列能够被另一个代替。在这些系列中，我们区分出仅有它们自己就能够补偿外部变化的系列，我们称其为“位移”。因为我们不能在两个十分接近的位移之间做出区分，所以这些位移的总和就呈现出物理连续统的特征；经验告诉我们，它们是六维物理连续统的特征；但是，我们还不知道空间本身有多少维，我们首先必须解决另一个问题。
空间的点是什么？每一个人都认为他了解这个问题，可是那是幻觉。当我们试图想象空间的点时，我们看到的只是白纸上的黑点、黑板上的白斑，这总是一个东西。因此，该问题应当如下理解：
当我说，客体B处于客体A刚才所占据的同一点时，我意指什么呢？或者更进一步，是什么标准将使我领悟这一点呢？
我意味着，虽然我没有移动（这是我的肌肉感觉告诉我的），可是我的第一个手指刚才接触了客体A，现在却接触着客体B。我可以用其他标准；例如另一个手指或视觉。但是，第一个标准是充分的；我知道，如果它回答是，那么所有其他标准将给出同一回答。我是通过经验知道它的，我不能先验地知道它。由于同一理由，我说触觉不能超距地进行；这是阐述同一实验事实的另一种方式。相反地，若我说视觉可以超距地起作用，则其意指当其他标准回答否时，视觉提供的标准可以回答是。
事实上，客体虽然离开了，可是它可以在视网膜的同一点形成它的映像。视觉回答是，因为客体依然停留在同一点，触觉回答否，是因为我刚才接触客体的手指现在不再接触它了。如果经验向我们表明，当另一个手指说否时，一个手指可以回答是，那么我们同样应该说，触觉超距地起作用。
简而言之，对于我的身体的每一个姿势，我的第一个手指确定一点，正是此而且唯有此，才规定了空间的一点。
这样一来，一个点对应于各自的姿势；但是，常常也出现这种情况，同一点却有若干不同的姿势相对应（在这种情况下，我们说我们的手指没有移动，但身体的其余部分却运动了）。因此，我们在姿势变化中区分出手指没有在那里移动的姿势变化。我们是怎样被引导到这儿的？是因为我们常常注意到，在这些变化中，与手指接触的客体依然与手指接触着。
因此，借助于我们这样区分的变化之一，让我们把所有能够从每一个其他姿势得到的所有姿势归入同一类。空间的同一点将对应于该类的所有资料。所以，一点将对应于各自的类，而一类将对应于各自的点。可是，人们可以说，经验达到的不是点，而是这个变化类，或者更恰当地讲，是肌肉感觉的对应类。
而且，当我们说空间有三维，我们仅仅意味着，这些类的总和在我们看来似乎具有三维物理连续统的特征。
人们可能被诱导得出结论说，正是经验告诉我们空间有多少维。但是，实际上，在这里我们的经验也与空间无关，而与我们的身体以及我们的身体和邻近的客体的关系有关。而且，我们的经验是极其粗糙的。
在我们的心智中，预先存在着一定数目的群的潜在观念——李已经提出了群论。我们将选择哪一个群，以便用它作为一种比较自然现象的标准呢？而且，这个群选定之后，我们将采用它的哪一个子群来表征空间点的特征呢？经验通过向我们表明哪一种选择本身最适合于我们身体的特性来指导我们。但是，它的作用仅限于此。
祖传的经验
常常有人说，如果个人的经验不能够创造几何学，那么对于祖传的经验而言情况则不然。但是，这意味着什么呢？这意味着我们不能用实验证明欧几里得公设，而我们的祖先却能做到这一点吗？一点也不。这意味着，通过自然选择，我们的心智本身适应了外部世界的条件，它采用了对于人种来说最有利的几何学，或者换句话说，最方便的几何学。这与我们的结论完全相符；几何学不是真实的，它是有利的。