魏 刘徽 注
唐朝议大夫行太史令上轻车都尉臣李淳风等奉敕注释
盈不足〔1〕以御隐杂互见
今有共买物，人出八，盈三；人出七，不足四。问：人数、物价各几何〔2〕？
荅曰：
七人，
物价五十三〔3〕。
今有共买鸡，人出九，盈一十一；人出六，不足十六。问：人数、鸡价各几何？
荅曰：
九人，
鸡价七十〔4〕。
今有共买琎〔5〕，人出半，盈四；人出少半，不足三。问：人数、琎价各几何？
荅曰：
四十二人，
琎价十七〔6〕。
注云〔7〕：“若两设有分者，齐其子，同其母。”此问两设俱见零分，故齐其子，同其母。又云〔8〕：“令下维乘上，讫，以同约之。”不可约，故以乘，同之〔9〕。
今有共买牛，七家共出一百九十，不足三百三十；九家共出二百七十，盈三十。问：家数、牛价各几何？
荅曰：
一百二十六家，
牛价三千七百五十〔10〕。
按此术并盈、不足者，为众家之差，故以为实。置所出率，各以家数除之，各得一家所出率；以少减多者，得一家之差。以除，即家数〔11〕。以多率乘之，减盈，故得牛价也〔12〕。
盈不足术曰：置所出率，盈、不足各居其下。按：盈者，谓之朓〔13〕，不足者，谓之朒〔14〕，所出率谓之假令。令维乘所出率〔15〕，并，以为实。并盈、不足为法。实如法而一〔16〕。盈、朒维乘两设者欲为同齐之意〔17〕。据“共买物，人出八，盈三；人出七，不足四”，齐其假令，同其盈、朒，盈、朒俱十二。通计齐则不盈不朒之正数，故可并之为实，并盈、不足为法〔18〕。齐之三十二者，是四假令，有盈十二。齐之二十一者，是三假令，亦朒十二。并七假令合为一实，故并三、四为法。有分者，通之〔19〕。若两设有分者，齐其子，同其母。令下维乘上，讫，以同约之。盈、不足相与同其买物者〔20〕，置所出率，以少减多，余，以约法、实〔21〕。实为物价，法为人数〔22〕。所出率以少减多者，余谓之设差，以为少设〔23〕。则并盈、朒，是为定实。故以少设约定实，则法，为人数，适足之实故为物价〔24〕。盈、朒当与少设相通。不可遍约，亦当分母乘，设差为约法、实。
其一术曰：并盈、不足为实。以所出率以少减多，余为法。实如法得一〔25〕。以所出率乘之，减盈、增不足即物价〔26〕。此术意谓盈不足为众人之差，以所出率以少减多，余为一人之差。以一人之差约众人之差，故得人数也。
【注释】
〔1〕盈不足：中国古典数学的重要科目，“九数”之一，现今称之为盈亏类问题。秦汉数学简牍及郑玄引郑众“九数”作“赢不足”。李籍云：“盈者，满也。不足者，虚也。满、虚相推，以求其适，故曰盈不足。”
〔2〕此问是设人出8，记为a1，盈3，记为b1；人出7，记为a2，不足4，记为b2；求人数、物价。这是盈不足问题的标准表述。连同以下3问，都是盈不足术的例题，我们合为一组。
〔3〕将题设代入盈不足术公式（7-3），得，代入（7-2），得。
〔4〕此问是设人出9，记为a1，盈11，记为b1；人出6，记为a2，不足16，记为b2；求人数、鸡价。将其代入公式（7-3），得，代入（7-2），得70（钱）。
〔5〕琎：美石。《说文解字》卷一：琎，“石之似玉者”。“琎”字下，杨辉本有小字：“一云准。”李籍云：“一本作准。”可见李籍、杨辉都看到不同的《九章算术》抄本。准，古代定律数之乐器，状如瑟。汉京房（前77—前37）作，事见《晋书·律历志上》。
〔7〕注云：此为刘徽引盈不足术自注。
〔8〕又云：此亦为刘徽引盈不足术自注。
〔9〕不可约，故以乘，同之：自“又云令下维乘上”至此，继续讨论两设俱见零分的情形。将有零分的两设齐同，并以盈、朒维乘后，可以以同（即两设齐同后的公分母）约之，化成整数的情形；也可能以同约之不尽，即不可约，则以同（即两设齐同后的公分母，注中省去）乘两设及盈、朒，化成整数的情形，这是又一“同”的运算，故称“同之”。
〔11〕此谓盈与不足相加b1+b2为各家之差，所以作为实。，为一家所出率，则为一家所出之差，作为法。实除以法，就得家数。
〔12〕此谓牛价=家数×a1-b1=126×30-30=3 750（钱）。这是用盈不足术之其一术的方法。
〔13〕朓（tiǎo）：本义是夏历月底月亮在西方出现。《说文解字》：“朓，晦而月见西方谓之朓。”引申为盈，有余。
〔14〕朒（nǜ）：本义是夏历月初月亮在东方出现。《说文解字》：“朒，朔而月见东方谓之缩朓。”引申为不足。李籍云：朒，“不足也。或作朏，非是”。朏（fěi），夏历月初未胜之明，也指夏历每月初三。《说文解字》：“朏，月未胜之明。”又引《周书》曰：“丙午朏。”徐灏笺：“月朔初生明，至初三乃可见，故曰三日曰朏。”引申为不足。李籍云朏“非是”，则不妥。朏、朒都可以引申为不足。杨辉本作“朏”，其母本当是李籍所见另一抄本。
〔15〕维乘：交叉相乘，即杨辉所说的“四维而乘”，亦即杨辉所说的“互乘”。维，连结。《周礼·夏官·大司马》：“建牧立监，以维邦国。”郑玄注：“维，犹连结也。”此谓以盈、不足与两所出率交叉连结即相乘。
〔16〕《九章算术》的方法是，设出a1，盈b1，出a2，不足b2，则
《九章算术》提出以a1b2+a2b1作为实，以b1+b2作为法，那么不盈不朒之正数就是
用盈不足术解决一般数学问题便需要用（7-1）式。
〔17〕盈、朒维乘两设者欲为同齐之意：将盈、朒与两设交叉相乘，是想做到齐同的意思，即以盈、朒分别乘对方的整行，使盈、朒相同，同时使所出分别与盈、朒相齐。即
〔18〕“通计齐则不盈不朒之正数”三句：谓既然盈、朒已经相同，那么齐之后的所出就是既不盈，也不朒，因此可以将齐之后的所出相加作为实，将盈、朒相加作为法。
〔19〕有分者，通之：如果有分数，就通分。
〔20〕盈、不足相与同其买物者：如果使盈、不足相与通同，共同买东西的问题。
〔21〕以少减多，余，以约法、实：此谓求｜a1-a2｜，然后以｜a1-a2｜除法与实。约，除。
〔22〕此是《九章算术》为共买物类问题而提出的术文，它表示
这一运算也体现出位值制。
〔23〕“所出率以少减多者”三句：此谓将｜a1-a2｜称为设差，也就是少设。
〔24〕“以少设约定实”四句：以少设的数量去除确定的实，即法，得到人数；去除适足之实，就得到物价。则，训“即”。此处以少设约定实与上“并盈、朒，是为定实”相应，定实即是法，以少设约定实即是约法。
〔25〕此亦是《九章算术》为共买物类问题提出的方法。即（7-3）式。初版于“一”下衍“人”字，系误从石研斋抄杨辉本。今据《九章算术新校》校删。
〔26〕此即
【译文】
盈不足为了处理隐杂互见的问题
假设共同买东西，如果每人出8钱，盈余3钱；每人出7钱，不足4钱。问：人数、物价各多少？
答：
人数是7人，
物价是53钱。
假设共同买鸡，如果每人出9钱，盈余11钱；每人出6钱，不足16钱。问：人数、鸡价各多少？
答：
人数是9人，
鸡价是70钱。
假设共同买琎，如果每人出钱，盈余4钱；每人出钱，不足3钱。问：人数、琎价各多少？
答：
人数是42人，
琎价是17钱。
注云：“如果两个假设中有分数，则使它们的分子相齐，使它们的分母相同。”这个问题中两个假设都出现分数，所以要使它们的分子相齐，使它们的分母相同。注又云：“使下行与上行交叉相乘，完了，以同约简之。”如果不可约简，就反过来以分母乘，使盈、朒相同。
假设共同买牛，如果7家共出190钱，不足330钱；9家共出270钱，盈余30钱。问：家数、牛价各多少？
答：
126家，
牛价3 750钱。
按：此术中，盈与不足相加，是所有家所出钱之差，所以作为实。布置所出率，分别以家数除之，各得每一家的所出率。以少减多，得一家所出钱之差。以它除之，就是家数。以所出率之多者乘之，减去盈，就得到牛价。
盈不足术：布置所出率，将盈与不足分别布置在它们的下面。按：盈称之为朓，不足称之为朒，所出率称之为假令。使盈、不足与所出率交叉相乘，相加，作为实。将盈与不足相加，作为法。实除以法，即得。使盈、朒与两假令交叉相乘，是为了同齐的意思。根据“共同买东西，如果每人出8钱，盈余3钱；每人出7钱，不足4钱”，若使它们的假令相齐，使它们的盈、朒相同，则盈、朒都是12。通同之后计算齐，则就是既不盈也不朒的准确之数，所以可将它们相加，作为实；将盈、不足相加，作为法。将假令8通过齐变成32，是4次假令，有盈12。将假令7通过齐变成21，是3次假令，朒也是12。将7次假令合并成一个实，所以将3与4相加，作为法。如果有分数，就将它们通分。如果两个假令中有分数，应当使它们的分子相齐，使它们的分母相同。使下行的盈、不足与上行的假令交叉相乘。完了，以同约简它们。如果使盈、不足相与通同，共同买东西的问题，就布置所出率，以小减大，用余数除法与实。除实就得到物价，除法就得到人数。所出率中以小减大，其余数称为设差。将它看作少设的数量，那么将盈与朒相加，这就是确定的实。所以用少设的数量去除确定的实，即法，得到人数，去除适足之实，就得到物价。盈、朒应当与少设的数量相通。如果出现少设的数量不能都除尽的情形，也应当用分母乘，用设差去除法、实。
其一术：将盈与不足相加，作为实。所出率以小减大，以余数作为法。实除以法，得到人数。以所出率分别乘人数，或减去盈，或加上不足，就是物价。此术的思路是：盈与不足之和是众人所出钱数的差额，所出率以小减大，余数为一人所出钱数的差额。以一人的差额除众人的差额，所以得到人数。
今有共买金，人出四百，盈三千四百；人出三百，盈一百。问：人数、金价各几何？
荅曰：
三十三人，
金价九千八百〔1〕。
今有共买羊，人出五，不足四十五；人出七，不足三。问：人数、羊价各几何？
荅曰：
二十一人，
羊价一百五十〔2〕。
两盈、两不足术曰：置所出率，盈、不足各居其下。令维乘所出率，以少减多，余为实。两盈、两不足以少减多，余为法。实如法而一〔3〕。有分者，通之。两盈、两不足相与同其买物者，置所出率，以少减多，余，以约法、实，实为物价，法为人数〔4〕。按：此术两不足者，两设皆不足于正数。其所以变化，犹两盈。而或有势同而情违者。当其为实，俱令不足维乘相减，则遗其所不足焉。故其余所以为实者，无朒数以损焉。盖出而有余两盈，两设皆逾于正数。假令与共买物，人出八，盈三；人出九，盈十。齐其假令，同其两盈。两盈俱三十。举齐则兼去〔5〕。其余所以为实者，无盈数。两盈以少减多，余为法。齐之八十者，是十假令，而凡盈三十者，是十，以三之〔6〕；齐之二十七者，是三假令，而凡盈三十者，是三，以十之〔7〕。今假令两盈共十、三，以三减十，余七为一实〔8〕。故令以三减十，余七为法。所出率以少减多，余谓之设差。因设差为少设，则两盈之差是为定实。故以少设约法得人数，约实即得金数〔9〕。
其一术曰：置所出率，以少减多，余为法。两盈、两不足以少减多，余为实。实如法而一，得人数。以所出率乘之，减盈、增不足，即物价〔10〕。“置所出率，以少减多”，得一人之差。两盈、两不足相减，为众人之差。故以一人之差除之，得人数。以所出率乘之，减盈、增不足，即物价。
【注释】
〔3〕此亦为解决可以化为两盈、两不足的一般算术问题而设，但是《九章算术》没有这类问题。设出a1，盈（或不足）b1，出a2，盈（或不足）b2，《九章算术》提出以｜a1b2-a2b1｜作为实，以｜b1-b2｜作为法，那么不盈不朒之正数就是
〔4〕此是为共买物类问题而设的术文，即
〔5〕举齐则兼去：实现了齐，那么两盈都可以消去。
〔6〕是十，以三之：是10用3乘得到的。
〔7〕是三，以十之：是3用10乘得到的。
〔8〕“今假令两盈共十、三”三句：现在由假令得到的两盈是10与3，以3减10，余数7成为一份实。自“齐之八十者”至“余七为一实”系以例说明何以“两盈以少减多，余为法”。
〔9〕以少设约法得人数，约实即得金数：以假令所少的除法就得到人数，除实就得到金数。以上是刘徽以齐同原理，并将共买物问改成两盈的问题为例，阐释了《九章算术》解法的正确性。
〔10〕此亦为共买物类问题而设的方法，求人数的方法同上。求物价的方法：若是两盈的情形，则
若是两不足的情形，则
【译文】
假设共同买金，如果每人出400钱，盈余3 400钱；每人出300钱，盈余100钱。问：人数、金价各多少？
答：
33人，
金价9 800钱。
假设共同买羊，如果每人出5钱，不足45钱；每人出7钱，不足3钱。问：人数、羊价各多少？
答：
21人，
羊价150钱。
两盈、两不足术：布置所出率，将两盈或两不足分别布置在它们的下面。使两盈或两不足与所出率交叉相乘，以小减大，余数作为实。两盈或两不足以小减大，余数作为法。实除以法，即得。如果有分数，就将它们通分。如果使两盈或两不足相与通同，共同买东西的问题，布置所出率，以小减大，用其余数除法、实。除实得到物价，除法得到人数。按：此术中的两不足，就是两次假令的结果皆小于准确的数。对之进行变换的原因，如同两盈的情形。而有时会出现态势相同而情理相反的情形。如果要将两次假令变为实，那就使两不足与它们交叉相乘，然后相减，那么留下的是其不足的部分。所以它的余数成为实的原因，就是此处没有不足的数进行减损。原来所出的结果都有余，就是两盈，即两次假令皆大于准确的数。假令共同买东西，如果每人出8钱，盈余3钱；每人出9钱，盈余10钱。使两假令相齐，使两盈相同。两盈都变成30钱。实现了齐那么两盈都可以消去。将齐的余数用来作为实的原因，是没有盈余的数。两盈以小减大，余数作为法。将假令8通过齐变成80，是10次假令，而总共盈30，是10用3乘得到的；将假令9通过齐变成27，是3次假令，而总共盈30，是3用10乘得到的。现在由假令得到的两盈是10与3，以3减10，余数7成为一份实。所以以3减10，余数7作为法。所出率以小减大，其余数称之为设差。因为设差就是假令所少的，则两盈之差就是定实。故以假令所少的除法就得到人数，除实就得到金数。
其一术：布置所出率，以小减大，余数作为法。两盈或两不足以小减大，余数作为实。实除以法，得到人数。分别用所出率乘人数，减去盈余，或加上不足，就是物价。“布置所出率，以小减大”，就是一人所出之差。两盈或两不足相减，是众人所出之差。所以以一人所出之差除众人所出之差，便得到人数。以所出率乘人数，减去盈余，或加上不足，就是物价。
今有共买犬，人出五，不足九十；人出五十，适足〔1〕。问：人数、犬价各几何？
荅曰：
二人，
犬价一百〔2〕。
今有共买豕，人出一百，盈一百；人出九十，适足。问：人数、豕价各几何？
荅曰：
一十人，
豕价九百〔3〕。
盈适足、不足适足术曰：以盈及不足之数为实。置所出率，以少减多，余为法，实如法得一〔4〕。其求物价者，以适足乘人数，得物价〔5〕。此术意谓以所出率，“以少减多”者，余是一人不足之差。不足数为众人之差。以一人差约之，故得人之数也。“以盈及不足数为实”者，数单见，即众人差，故以为实。所出率以少减多，即一人差，故以为法。以除众人差得人数。以适足乘人数，即得物价也。
【注释】
〔1〕适足：李籍云：“恰也。”
〔4〕设所出a1，盈或不足b，出a2，适足，则《九章算术》求人数的方法是
〔5〕《九章算术》求物价的方法是
【译文】
假设共同买狗，每人出5钱，不足90钱；每人出50钱，适足。问：人数、狗价各多少？
答：
2人，
狗价100钱。
假设共同买猪，每人出100钱，盈余100钱；每人出90钱，适足。问：人数、猪价各多少？
答：
10人，
猪价900。
盈适足、不足适足术：以盈或不足之数作为实。布置所出率，以小减大，余数作为法，实除以法，得人数。如果求物价，便以对应于适足的所出率乘人数，就得到物价。此术的思路是说，所出率“以小减大”，那么余数就是一人的不足之差。而不足数是众人所出之差。以一人差除之，所以得到人数。“以盈或不足之数作为实”，是因为只出现这一个数，就是众人所出之差，所以以它作为实。所出率以小减大，是一人所出差，所以作为法。以它除众人所出之差，得人数。以对应于适足的所出率乘人数，即得到物价。
今有米在十斗桶中，不知其数。满中添粟而舂之，得米七斗。问：故米几何？
荅曰：二斗五升。
术曰：以盈不足术求之。假令故米二斗，不足二升；令之三斗，有余二升〔1〕。按：桶受一斛，若使故米二斗，须添粟八斗以满之。八斗得粝米四斗八升，课于七斗，是为不足二升。若使故米三斗，须添粟七斗以满之。七斗得粝米四斗二升，课于七斗，是为有余二升。以盈、不足维乘假令之数者，欲为齐同之意。为齐同者，齐其假令，同其盈、朒。通计齐即不盈不朒之正数，故可以并之为实，并盈、不足为法。实如法，即得故米斗数，乃不盈不朒之正数也。
今有垣高九尺。瓜生其上，蔓日长七寸〔2〕；瓠生其下〔3〕，蔓日长一尺。问：几何日相逢？瓜、瓠各长几何？
荅曰：
五日十七分日之五，
瓜长三尺七寸一十七分寸之一，
瓠长五尺二寸一十七分寸之一十六。
术曰：假令五日，不足五寸；令之六日，有余一尺二寸〔4〕。按：“假令五日，不足五寸”者，瓜生五日，下垂蔓三尺五寸；瓠生五日，上延蔓五尺。课于九尺之垣，是为不足五寸。“令之六日，有余一尺二寸”者，若使瓜生六日，下垂蔓四尺二寸；瓠生六日，上延蔓六尺。课于九尺之垣，是为有余一尺二寸。以盈、不足维乘假令之数者，欲为齐同之意。齐其假令，同其盈、朒。通计齐，即不盈不朒之正数，故可并以为实，并盈、不足为法。实如法而一，即设差不盈不朒之正数，即得日数。以瓜、瓠一日之长乘之，故各得其长之数也。
【注释】
〔1〕将假令故米2斗，不足2升，假令3斗，盈2升代入盈不足术求不盈不朒之正数的公式（7-1），得
〔2〕蔓（wàn）：细长而不能直立的茎，木本曰藤，草本曰蔓。李籍云：“瓜蔓也。”
〔3〕瓠（hù）：蔬菜名，一年生草本，茎蔓生。结实呈长条状者称为瓠瓜，可入菜；呈短颈大腹者就是葫芦。
〔4〕此谓将假令5日，不足5寸，假令6日，盈12寸代入盈不足术求不盈不朒之正数的公式（7-1），得
【译文】
假设有米在容积为10斗的桶中，不知道其数量。把桶中添满粟，然后舂成米，得到7斗米。问：原有的米是多少？
答：2斗5升。
术曰：以盈不足术求解之。假令原来的米是2斗，那么不足2升；假令是3斗，则盈余2升。按：此桶能容纳1斛米，如果假令原来的米是2斗，必须添8斗粟才能盛满它。8斗粟能得到4斗8升粝米，与7斗米相比较，是不足2升。如果使原来的米是3斗，必须添7斗粟才能盛满它。7斗粟能得到4斗2升粝米，与7斗米相比较，是有盈余2升。以盈、不足与假令之数交叉相乘，是想使其符合齐同的意义。所谓齐同，就是使假令相齐，使其盈、朒相同。整个地考虑齐，则就是既不盈也不朒之准确的数，所以可以将它们相加，作为实，将盈、不足相加作为法。实除以法，就得到原来的米的斗数，正是既不盈也不朒之准确的数。
假设有一堵墙，高9尺。一株瓜生在墙顶，它的蔓每日向下长7寸；又有一株瓠生在墙根，它的蔓每日向上长1尺。问：它们多少日后相逢？瓜与瓠的蔓各长多少？
答：
术：假令5日相逢，不足5寸；假令6日相逢，盈余1尺2寸。按：“假令5日相逢，不足5寸”，是因为瓜生长5日，向下垂伸的蔓是3尺5寸；瓠生长5日，向上延伸的蔓是5尺。与9尺高的墙相比较，这就是不足5寸。“假令6日相逢，盈余1尺2寸”，是因为如果使瓜生长6日，向下垂伸的蔓是4尺2寸；瓠生长6日，向上延伸的蔓是6尺。与9尺高的墙相比较，这就是盈余1尺2寸。以盈、不足与假令之数交叉相乘，是想使其符合齐同的意义。就是使假令相齐，使其盈、朒相同。整个地考虑齐，则就是既不盈也不朒之准确的数，所以可以将它们相加，作为实，将盈、不足相加作为法。实除以法，就得到相逢日数。以瓜、瓠一日所长的尺寸乘日数，就分别得到它们所长的尺寸。
今有蒲生一日〔1〕，长三尺；莞生一日〔2〕，长一尺。蒲生日自半；莞生日自倍。问：几何日而长等？
荅曰：
二日十三分日之六，
各长四尺八寸一十三分寸之六。
术曰：假令二日，不足一尺五寸；令之三日，有余一尺七寸半〔3〕。按：“假令二日，不足一尺五寸”者，蒲生二日，长四尺五寸，莞生二日，长三尺，是为未相及一尺五寸，故曰不足。“令之三日，有余一尺七寸半”者，蒲增前七寸半，莞增前四尺，是为过一尺七寸半，故曰有余。以盈、不足乘除之，又以后一日所长各乘日分子，如日分母而一者，各得日分子之长也。故各增二日定长，即得其数〔4〕。
【注释】
〔1〕蒲：香蒲，又称蒲草，多年生水草，叶狭长，可以编制蒲席、蒲包、扇子。《说文解字》：“蒲，水艸也，可以作席。”
〔2〕莞（ɡuān）：蒲草类水生植物，俗名水葱。《说文解字》：“莞，艸也，可以作席。”也指莞草编的席子。
〔3〕将假令2日，不足15寸，假令3日，盈寸代入盈不足术求不盈不朒之正数的公式（7-1），得到
然而这个解是不准确的。由题设，蒲、莞皆以等比级数生长。设生长x日，则蒲长为，莞长（1-2x）÷（1- 2）。若要它们相等，x应满足方程
整理得
（2x）2-7×2x+6=0
分解得
（2x-1）（2x-6）=0。
于是
2x=1，
2x=6。
第一式的解x=0，不合题意，舍去。对第二式两端取对数，
lg2x=lg6，
得
然而《九章算术》和刘徽都未认识到盈不足术对非线性问题只能给出近似解，不能得出精确解。不过，由于盈不足术实际上是一种线性插值方法，它对求解一些复杂的不容易计算其实根的方程，仍不失为一种有效的求解根的近似值的方法。如图7-1，钱宝琮指出：在现在的高等数学教科书中，这种求方程实根的方法叫作“假借法”，也叫“弦位法”。我们不要数典忘祖，这个方法应该叫作“盈不足术”。
图7-1 盈不足术
（采自钱宝琮《中国数学史话》）
〔4〕以莞的生长为例，2日莞生长1+2=3（尺）。第三日全天应当生长4尺，那么日应当生长4尺×。故日生长。
【译文】
假设有一株蒲，第一日生长3尺；一株莞第一日生长1尺。蒲的生长，后一日是前一日的；莞的生长，后一日是前一日的2倍。问：过多少日而它们的长才能相等？
答：
过日其长相等，
各长4尺寸。
术：假令2日它们的长相等，则不足1尺5寸；假令3日，则有盈余1尺寸。按：“假令2日它们的长相等，则不足1尺5寸”，是因为蒲生长2日，长是4尺5寸，莞生长2日，长是3尺，这是莞与蒲相差1尺5寸，所以说“不足”。“假令3日，则有盈余1尺寸”，是因为蒲比前一日增长了寸，莞比前一日增长了4尺，这就是莞超过蒲1尺寸，所以说“有盈余”。以盈不足术对之做乘除运算，即得日数。又以第三日蒲、莞所长的长度分别乘日数的分子，除以日数的分母，就分别得到第三日的分子所长的长度。所以各增加前二日所长的长度，就得到它们的长度数。
今有醇酒一斗，直钱五十；行酒一斗〔1〕，直钱一十。今将钱三十，得酒二斗。问：醇、行酒各得几何？
荅曰：
醇酒二升半，
行酒一斗七升半。
术曰：假令醇酒五升，行酒一斗五升，有余一十；令之醇酒二升，行酒一斗八升，不足二〔2〕。据醇酒五升，直钱二十五；行酒一斗五升，直钱一十五。课于三十，是为有余十。据醇酒二升，直钱一十；行酒一斗八升，直钱一十八。课于三十，是为不足二。以盈不足术求之。此问已有重设及其齐同之意也〔3〕。
今有大器五、小器一，容三斛；大器一、小器五，容二斛。问：大、小器各容几何？
荅曰：
大器容二十四分斛之十三，
小器容二十四分斛之七。
术曰：假令大器五斗，小器亦五斗，盈一十斗；令之大器五斗五升，小器二斗五升，不足二斗〔4〕。按：大器容五斗，大器五容二斛五斗，以减三斛，余五斗，即小器一所容，故曰小器亦五斗。小器五容二斛五斗，大器一，合为三斛。课于两斛，乃多十斗。令之大器五斗五升，大器五合容二斛七斗五升，以减三斛，余二斗五升，即小器一所容，故曰小器二斗五升。大器一容五斗五升，小器五合容一斛二斗五升，合为一斛八斗。课于二斛，少二斗。故曰不足二斗。以盈、不足维乘除之。
【注释】
〔1〕醇酒：酒味醇厚的美酒。李籍云：“厚酒也。” 行（hánɡ）酒：指劣质酒。李籍云：“市酒也。”行，质量差。
〔2〕利用一种酒，比如醇酒进行假令，如果醇酒5升（则行酒1斗5升），盈余10钱，如果醇酒2升（则行酒1斗8升），不足2钱，代入盈不足术求不盈不朒之正数的公式（7-1），得
〔3〕重设：双重假设。
〔4〕利用一种器，比如大器进行假令，如果大器容5斗（则小器亦容5斗），盈余10斗，如果大器容5斗5升（则小器容2斗5升），不足2斗，代入盈不足术求不盈不朒之正数的公式（7-1），得
则。此亦有双重假设之意。
【译文】
假设1斗醇酒值50钱，1斗行酒值10钱。现在用30钱买得2斗酒。问：醇酒、行酒各得多少？
答：
醇酒升，
行酒1斗升。
术：假令买得醇酒5升，那么行酒就是1斗5升，则有盈余10钱；假令买得醇酒2升，那么行酒就是1斗8升，则不足2钱。根据醇酒5升，值25钱；行酒是1斗5升，值15钱。与30钱相比较，这就是有盈余10钱。根据醇酒2升，值10钱；行酒1斗8升，值18钱。与30钱相比较，这就是有不足2钱。以盈不足术求之。此问已经有双重假设及其齐同的思想。
假设有5个大容器、1个小容器，容积共3斛；1个大容器、5个小容器，容积共2斛。问：大、小容器的容积各是多少？
答：
大容器的容积是斛，
小容器的容积是斛。
术：假令1个大容器的容积是5斗，那么1个小容器的容积也是5斗，则盈余10斗；假令1个大容器的容积是5斗5升，那么1个小容器的容积是2斗5升，则不足2斗。按：1个大容器的容积是5斗，5个大容器的容积就是2斛5斗，以减3斛，盈余5斗，这就是1个小容器的容积，所以说1个小容器的容积也是5斗。5个小容器的容积是2斛5斗，与1个大容器合起来是3斛。与2斛相比较，就是多10斗。假令1个大容器的容积是5斗5升，5个大容器的容积合起来就是2斛7斗5升，以减3斛，剩余2斗5升，这就是1个小容器的容积，所以说1个小容器的容积是2斗5升。1个大容器的容积是5斗5升，5个小容器的容积共是1斛2斗5升，合起来是1斛8斗。与2斛相比较，就是少2斗。所以说不足2斗。以盈、不足作交叉相乘，并作除法，即得容积。
今有漆三得油四，油四和漆五〔1〕。今有漆三斗，欲令分以易油，还自和余漆。问：出漆、得油、和漆各几何？
荅曰：
出漆一斗一升四分升之一，
得油一斗五升，
和漆一斗八升四分升之三。
术曰：假令出漆九升，不足六升；令之出漆一斗二升，有余二升〔2〕。按：此术三斗之漆，出九升，得油一斗二升，可和漆一斗五升〔3〕。余有二斗一升，则六升无油可和，故曰不足六升。令之出漆一斗二升，则易得油一斗六升，可和漆二斗〔4〕。于三斗之中已出一斗二升，余有一斗八升。见在油合和得漆二斗，则是有余二升。以盈、不足维乘之，为实，并盈、不足为法。实如法而一，得出漆升数。求油及和漆者，四、五各为所求率，四、三各为所有率，而今有之，即得也〔5〕。
【注释】
〔1〕油：指桐油，用油桐的果实榨出的油，与漆调和，成为油漆，家具的涂料。 和（hé）：调和。
〔2〕将假令出漆9升，不足6升，出漆1斗2升，有盈余2升，代入盈不足术求不盈不朒之正数的公式（7-1），得
〔3〕由今有术，9升漆易得油=9升×4÷3=12升。而再由今有术，12升油能和漆=12升×5÷4=15升。
〔4〕由今有术，1斗2升漆易得油=12升×4÷3=16升。而再由今有术，16升油能和漆=16升×5÷4=20升。
〔5〕应用今有术，由出漆升，求出易得的油：升×4÷3=15升。再由易得的油15升，应用今有术，求出所和的漆：15升×5÷4=升。
【译文】
假设3份漆可以换得4份油，4份油可以调和5份漆。现在有3斗漆，想从其中分出一部分换油，使换得的油恰好能调和剩余的漆。问：分出的漆、换得的油、调和的漆各多少？
答：
分出的漆1斗升，
换得的油1斗5升，
调和的漆1斗升。
术：假令分出的漆是9升，则不足6升；假令分出的漆是1斗2升，则有盈余2升。按：此术在3斗的漆中分出9升，换得的油是1斗2升，它可调和1斗5升漆。剩余的漆有2斗1升，就是说有6升漆没有油可以调和，所以说不足6升。假令分出的漆是1斗2升，则换得的油是1斗6升，它可以调和2斗漆。在3斗漆之中已分出1斗2升，还剩余1斗8升。现在的油能调和的漆是2斗，就是说剩余2升漆。以盈、不足与假令交叉相乘，作为实，将盈、不足相加作为法。实除以法，而得到分出的漆的升数。如果要求换得的油及所调和的漆，则以4，5分别作为所求率，4，3各为所有率，而应用今有术，即得到结果。
今有玉方一寸，重七两；石方一寸，重六两。今有石立方三寸，中有玉，并重十一斤。问：玉、石重各几何？
荅曰：
玉一十四寸，重六斤二两，
石一十三寸，重四斤一十四两。
术曰：假令皆玉，多十三两；令之皆石，不足一十四两。不足为玉，多为石。各以一寸之重乘之，得玉、石之积重〔1〕。立方三寸是一面之方，计积二十七寸〔2〕。玉方一寸重七两，石方一寸重六两，是为玉、石重差一两。假令皆玉，合有一百八十九两。课于一十一斤，有余一十三两。玉重而石轻，故有此多。即二十七寸之中有十三寸，寸损一两，则以为石重，故言多为石。言多之数出于石以为玉。假令皆石，合有一百六十二两。课于十一斤，少十四两。故曰不足。此不足即以重为轻，故令减少数于石重〔3〕，即二十七寸之中有十四寸，寸增一两也。
【注释】
〔1〕此问实际上没有用到盈不足术，将其编入此章，大约是编者的疏忽。
〔2〕立方三寸：是指以3寸为边长的正方体，其体积是27寸3。
〔3〕石重：指以玉为石后石之总重，亦即玉石并重。
【译文】
假设一块1寸见方的玉，重是7两；1寸见方的石头，重是6两。现在有一块3寸见方的石头，中间有玉，总重是11斤。问：其中玉和石头的重量各是多少？
答：
玉是14寸3，重6斤2两，
石是13寸3，重4斤14两。
术：假令这块石头都是玉，就多13两；假令都是石头，则不足14两。那么不足的数就是玉的体积，多的数就是石头的体积。各以它们1寸3的重量乘之，便分别得到玉和石头的重量。3寸见方的立方是说一边长3寸，计算其体积是27寸3。1寸见方的玉重7两，1寸见方的石头重6两，就是说1寸见方的玉与石头的重量之差是1两。假令这块石头都是玉，应该有189两重。与11斤相比较，有盈余13两。玉比较重而石头比较轻，所以才有此盈余。就是说27寸3之中有13寸3，如果每寸3减损1两，就成为石头的重量，所以说多的数就是石头的体积。所说的多的数出自把石头当作了玉。假令这块石头都是石头，应该有162两。与11斤相比较，少了14两。所以说不足。这个不足就是把重的作为轻的造成的，因而从石头的总重中减去少了的数，就是27寸3之中有14寸3，每寸3增加1两。
今有善田一亩，价三百；恶田七亩〔1〕，价五百。今并买一顷，价钱一万。问：善、恶田各几何？
荅曰：
善田一十二亩半，
恶田八十七亩半。
术曰：假令善田二十亩，恶田八十亩，多一千七百一十四钱七分钱之二；令之善田一十亩，恶田九十亩，不足五百七十一钱七分钱之三〔2〕。按：善田二十亩，直钱六千；恶田八十亩，直钱五千七百一十四、七分钱之二。课于一万，是多一千七百一十四、七分钱之二。令之善田十亩，直钱三千，恶田九十亩，直钱六千四百二十八、七分钱之四。课于一万，是为不足五百七十一、七分钱之三。以盈不足术求之也。
【注释】
〔1〕善田：良田。 恶田：又称为“恶地”，贫瘠的田地。李籍云：恶，“不善也”。
〔2〕此亦有双重假设之意。将两假令，比如假令善田20亩（则恶田80亩），盈余钱，假令善田10亩（则恶田90亩），不足钱代入盈不足术求不盈不朒的正数的公式（7-1），得
因此恶田=100亩-亩=亩。
【译文】
假设1亩良田，价是300钱；7亩劣田，价是500钱。现在共买1顷田，价钱是10 000钱。问：良田、劣田各多少？
答：
良田是亩，
劣田是亩。
术：假令良田是20亩，那么劣田是80亩，则价钱多了钱；假令良田是10亩，那么劣田是90亩，则价钱不足钱。按：良田20亩，值钱6 000钱；劣田80亩，值钱钱。与10 000钱相比较，这就是多了钱。假令良田10亩，值钱3 000，劣田90亩，值钱钱。与10 000钱相比较，这就是不足钱。以盈不足术求解之。
今有黄金九枚，白银一十一枚，称之重，适等。交易其一，金轻十三两。问：金、银一枚各重几何？
荅曰：
金重二斤三两一十八铢，
银重一斤一十三两六铢。
术曰：假令黄金三斤，白银二斤一十一分斤之五，不足四十九，于右行。令之黄金二斤，白银一斤一十一分斤之七，多一十五，于左行。以分母各乘其行内之数，以盈、不足维乘所出率，并，以为实。并盈、不足为法。实如法，得黄金重〔1〕。分母乘法以除，得银重〔2〕。约之得分也。按：此术假令黄金九，白银一十一，俱重二十七斤。金，九约之，得三斤；银，一十一约之，得二斤一十一分斤之五，各为金、银一枚重数。就金重二十七斤之中减一金之重，以益银，银重二十七斤之中减一银之重，以益金，则金重二十六斤一十一分斤之五，银重二十七斤一十一分斤之六。以少减多，则金轻一十七两一十一分两之五。课于一十三两，多四两一十一分两之五。通分内子言之，是为不足四十九〔3〕。又令之黄金九，一枚重二斤，九枚重一十八斤，白银一十一，亦合重一十八斤也。乃以一十一除之，得一枚一斤一十一分斤之七，为银一枚之重数。今就金重一十八斤之中减一枚金，以益银，复减一枚银，以益金，则金重一十七斤一十一分斤之七，银重一十八斤一十一分斤之四。以少减多，即金轻一十一分斤之八。课于一十三两，少一两一十一分两之四。通分内子言之，是为多一十五〔4〕。以盈不足为之，如法，得金重〔5〕。“分母乘法以除”者，为银两分母故同之〔6〕。须通法而后乃除得银重。余皆约之者，术省故也。
【注释】
〔1〕《九章算术》的方法是
将黄金3斤，不足49，黄金2斤，盈余15代入盈不足术求不盈不朒之正数的公式（7-1），得
〔2〕将白银斤，不足49，白银斤，盈余15代入盈不足术求不盈不朒之正数的公式（7-1），得
〔3〕这是刘徽阐释《九章算术》术文“不足四十九”的来源。假令9枚金，或11枚白银，其重量都是27斤。换言之，1枚金重3斤，1枚银重斤。在9枚金重的27斤中减去1枚金重，加1枚银重，则；在11枚银重的27斤中减去1枚银重，加1枚金重，则。以小减大，，与题设中的金这边轻13两相比较，，通分内子，为，所以说不足为49。
〔4〕这是刘徽阐释《九章算术》术文“多一十五”的来源：假令9枚黄金，1枚重2斤，9枚重18斤。11枚白银，也重18斤，斤。在9枚金重的18斤中减去1枚金重，加1枚银重，则；在11枚银重的18斤中减去1枚银重，加1枚金重，则。以小减大，，与题设中的金这边轻13两相比较，，通分内子，为两，所以说多15。
〔5〕“以盈不足为之”三句：以盈不足术解决之，如法计算，便得到1枚黄金的重量。
〔6〕“分母乘法以除”者，为银两分母故同之：“以分母乘法，以除实”，是因为所出白银的两分母本来是相同的。
【译文】
假设有9枚黄金，11枚白银，称它们的重量，恰好相等。交换其一枚，黄金这边轻13两。问：1枚黄金、1枚白银各重多少？
答：
1枚黄金重2斤3两18铢，
1枚白银重1斤13两6铢。
术：假令1枚黄金重3斤，1枚白银重斤，不足是49，布置于右行。假令1枚黄金重2斤，1枚白银重斤，多是15，布置于左行。以分母分别乘各自行内之数，以盈、不足与所出率交叉相乘，相加，作为实。将盈、不足相加，作为法。实除以法，得1枚黄金的重量。以分母乘法，以除实，便得到1枚白银的重量。将它们约简，得到分数。按：此术中假令9枚黄金，11枚白银，重量都是27斤。黄金的重量，以9约之，得3斤；白银的重量，以11约之，得斤，分别是1枚黄金、白银的重量数。在黄金的重量27斤之中减去1枚黄金的重量，再加1枚白银的重量，在白银的重量27斤之中减去1枚白银的重量，再加1枚黄金的重量，就是黄金这边重斤，白银这边重斤。以小减大，那么黄金这边轻两。与13两相比较，多了两。通过通分纳入分子表示之，这就是不足49。又假令9枚黄金，1枚重2斤，9枚重18斤，11枚白银总重也应该是18斤。于是以11除之，得到1枚斤，为1枚白银的重量数。现在在黄金的重量18斤之中减去1枚黄金的重量，增加到白银的重量上，再从白银的重量中减去1枚白银的重量，增加到黄金的重量上，就是黄金这边重斤，白银这边重斤。以小减大，就是黄金这边轻斤。与13两相比较，少了两。通过通分纳入分子表示之，这就是多15。以盈不足术解决之，如法计算，便得到1枚黄金的重量。“以分母乘法，以除实”，是因为所出白银的两分母本来是相同的，必须使法相通之后才能除实，得到1枚白银的重量。其余的都要约简，是要方法简省的缘故。
今有良马与驽马发长安〔1〕，至齐。齐去长安三千里。良马初日行一百九十三里，日增一十三里，驽马初日行九十七里，日减半里。良马先至齐，复还迎驽马。问：几何日相逢及各行几何？
荅曰：
一十五日一百九十一分日之一百三十五而相逢，
良马行四千五百三十四里一百九十一分里之四十六，驽马行一千四百六十五里一百九十一分里之一百四十五。
术曰：假令十五日，不足三百三十七里半。令之十六日，多一百四十里。以盈、不足维乘假令之数，并而为实。并盈、不足为法。实如法而一，得日数。不尽者，以等数除之而命分〔2〕。 求良马行者：十四乘益疾里数而半之，加良马初日之行里数，以乘十五日，得良马十五日之凡行〔3〕。又以十五乘益疾里数，加良马初日之行〔4〕。以乘日分子，如日分母而一。所得，加前良马凡行里数，即得〔5〕。其不尽而命分。 求驽马行者：以十四乘半里，又半之，以减驽马初日之行里数，以乘十五日，得驽马十五日之凡行〔6〕。又以十五日乘半里，以减驽马初日之行〔7〕。余，以乘日分子，如日分母而一。所得，加前里，即驽马定行里数〔8〕。其奇半里者，为半法，以半法增残分，即得。其不尽者而命分〔9〕。按：令十五日，不足三百三十七里半者，据良马十五日凡行四千二百六十里，除先去齐三千里，定还迎驽马一千二百六十里。驽马十五日凡行一千四百二里半。并良、驽二马所行，得二千六百六十二里半。课于三千里，少三百三十七里半，故曰不足。令之十六日，多一百四十里者，据良马十六日凡行四千六百四十八里，除先去齐三千里，定还迎驽马一千六百四十八里。驽马十六日凡行一千四百九十二里。并良、驽二马所行，得三千一百四十里。课于三千里，余有一百四十里，故谓之多也。以盈不足之。“实如法而一，得日数”者，即设差不盈不朒之正数。以二马初日所行里乘十五日，为一十五日平行数〔10〕。求初末益疾减迟之数者，并一与十四，以十四乘而半之，为中平之积〔11〕；又令益疾减迟里数乘之，各为减益之中平里，故各减益平行数，得一十五日定行里〔12〕。若求后一日，以十六日之定行里数乘日分子，如日分母而一，各得日分子之定行里数。故各并十五日定行里，即得。其驽马奇半里者，法为全里之分，故破半里为半法，以增残分，即合所问也。
【注释】
〔1〕驽马：能力低下的马。驽，李籍引《字林》曰：“骀也。”骀（tái），劣马。
〔2〕假令16日相逢，盈140里，假令15日，不足里，将其代入盈不足术之不盈不朒之正数公式（7-1），得
然而，此问亦非线性问题，答案也是近似的。由下文所给出的等差数列求和公式（7-7），设良、驽二马n日相逢，则良马所行为
驽马所行为
依题设
整理得
5n2+227n=4 800，
为相逢日。
〔3〕设良马日疾里数为d，第n日所行为an，《九章算术》计算良马15日所行里数为
《九章算术》实际上使用了等差数列求和公式：
这是中国数学史上第一次有记载的等差数列求和公式。
〔4〕又以十五乘益疾里数，加良马初日之行：此给出了良马在第16日所行里数，则
a16=a1+15×d=193+15×13=388（里）。
这里实际上使用了等差数列的通项公式
an=a1+nd。
这是中国数学史上第一次有记载的等差数列通项公式。
〔5〕《九章算术》先计算出良马在第16日的中所行为。良马在日中共行。
〔6〕设驽马日减里数为e，第n日所行为bn，《九章算术》计算驽马15日所行里数为
〔7〕此得驽马第16日所行里数
〔8〕驽马在第16日的中所行为，那么驽马在日中共行。
〔9〕其不尽者而命分：如果除不尽，就以法作分母命名一个分数。
〔10〕平行：匀速行进。平，齐一，均等。《诗经·小雅·伐木》：“神之听之，终和且平。”郑玄笺：“平，齐等也。”
〔11〕求初末益疾减迟之数：就是求从第1日到最后1日增加的或减少的里数。疾，急速。 中平之积：各项平均值之和，即，实际上是自然数列1，2，3，……n-1之和。这是中国数学史上第一次出现此公式，即后来宋元时期的茭草形垛的求积公式。中平，平均。见卷一圭田术注释〔8〕。
〔12〕刘徽给出了等差数列前n项之和公式的另一形式
【译文】
假设有良马与劣马自长安出发到齐。齐距长安有3 000里。良马第1日走193里，每日增加13里，劣马第1日走97里，每日减少里。良马先到达齐，又回头迎接劣马。问：它们几日相逢及各走多少？
答：
日相逢，
良马走里，
劣马走里。
术：假令它们15日相逢，不足里。假令16日相逢，多了140里。以盈、不足与假令之数交叉相乘，相加而作为实。将盈、不足相加作为法。实除以法，而得到相逢日数。如果除不尽，就以等数约简之而命名一个分数。 求良马走的里数：以14乘每日增加的里数而除以2，加良马第1日所走的里数，以15日乘之，便得到良马15日走的总里数。又以15乘每日增加的里数，加良马第1日所走的里数。以此乘第16日的分子，除以第16日的分母。所得的结果，加良马前面走的总里数，就得到良马所走的确定里数。如果除不尽就命名一个分数。 求劣马走的里数：以14乘里，又除以2，以减劣马第1日所走的里数，以此乘15日，便得到劣马15日走的总里数。又以15日乘里，以此减劣马第1日所走的里数。以其余数乘第16日的分子，除以第16日的分母。所得的结果，加劣马前面走的总里数，就是劣马所走的确定里数。其奇零是里的，就以2作为法，将以2为法的分数加到剩余的分数上，即得到结果。如果除不尽，就命名一个分数。按，“假令它们15日相逢，不足里”，这是因为，根据良马15日所总共走4 260里，减去它先到齐的3 000里，那么回头迎接劣马一定是1 260里。劣马15日总共走里。良、劣二马所走的里数相加，得到里。与3 000里相比较，少了里，所以说不足。“假令16日相逢，多了140里”，这是因为，根据良马16日总共走4 648里，减去它先到齐的3 000里，那么回头迎接劣马一定是1 648里。劣马16日总共走1 492里。将良、劣二马所走的里数相加，得到3 140里。与3 000里相比较，有盈余140里，所以叫作多。以盈不足术求解之。“实除以法，而得到相逢日数”，就是把本来有设差的数变成了不盈不朒的准确的数。以良、劣二马第1日所走的里数乘15日，就是15日按匀速所走的里数。如果求从第1日到最后1日增加的或减少的里数，就将1与14相加，以14乘之而除以2，就是各项平均值之和。又以每日增加或减少的里数乘之，各为增加或减少的中平里数，所以，将它分别与按匀速所走的里数相加或相减，就得到15日所走的确定的里数。如果求最后一日到某时刻所走的里数，则以第16日所走的确定的里数乘第16日的分子，除以该日的分母，就分别得到在该日分子内所走的确定的里数。故分别与15日所走的确定的里数相加，即得到良、劣二马所走的里数。当劣马所走里数有里的奇零时，法是由1整里的分数产生的，所以以2破开1里，以2作为法，增加到剩余产生的分数上，即符合所问的问题。
今有人持钱之蜀贾〔1〕，利：十，三〔2〕。初返，归一万四千；次返，归一万三千；次返，归一万二千；次返，归一万一千；后返，归一万。凡五返归钱，本利俱尽。问：本持钱及利各几何？
荅曰：
本三万四百六十八钱三十七万一千二百九十三分钱之八万四千八百七十六，利二万九千五百三十一钱三十七万一千二百九十三分钱之二十八万六千四百一十七。
术曰：假令本钱三万，不足一千七百三十八钱半；令之四万，多三万五千三百九十钱八分〔3〕。按：假令本钱三万，并利为三万九千，除初返归留，余，加利为三万二千五百；除二返归留，余，又加利为二万五千三百五十；除第三返归留，余，又加利为一万七千三百五十五；除第四返归留，余，又加利为八千二百六十一钱半；除第五返归留，合一万钱，不足一千七百三十八钱半〔4〕。若使本钱四万，并利为五万二千，除初返归留，余，加利为四万九千四百；除第二返归留，余，又加为利四万七千三百二十，除第三返归留，余，又加利为四万五千九百一十六；除第四返归留，余，又加利为四万五千三百九十钱八分；除第五返归留，合一万，余三万五千三百九十钱八分，故曰多〔5〕。 又术：置后返归一万，以十乘之，十三而一，即后所持之本。加一万一千，又以十乘之，十三而一，即第四返之本。加一万二千，又以十乘之，十三而一，即第三返之本。加一万三千，又以十乘之，十三而一，即第二返之本。加一万四千，又以十乘之，十三而一，即初持之本〔6〕。并五返之钱以减之，即利也〔7〕。
【注释】
〔1〕之蜀贾（ɡǔ）：到蜀地做买卖。贾，做买卖。《说文解字》：“贾，市也。”《韩非子·五蠹》：“长袖善舞，多钱善贾。”李籍云：“贾，一本作‘价’。”知李籍时代还有一将“贾”讹作“价”的抄本。
〔2〕利：十，三：即的利息，本利之和=本钱×。
〔3〕将假令本钱为30 000钱，不足钱，假令本钱为40 000钱，盈余钱代入盈不足术求不盈不朒的正数的公式（7-1），则
〔4〕假令本钱是30 000钱，初返本利为钱。归留14000钱，余25 000钱。二返本利为钱。归留13 000钱，余19 500钱。三返本利为钱。归留12 000钱，余13 350钱。四返本利为钱。归留11 000钱，余6 355钱。五返本利为钱。除去第五返归留10 000钱，，所以说不足钱。
〔5〕假令本钱是40 000钱，初返本利为钱。归留14000钱，余38 000钱。二返本利为钱。归留13 000钱，余36400钱。三返本利为钱。归留12 000钱，余35 320钱。四返本利为钱。归留11 000钱，余34 916钱。五返本利为。除去第五返归留10 000钱，，所以说盈余钱。
〔7〕刘徽提出的求利息的方法是
【译文】
假设有人带着钱到蜀地做买卖，利润是：每10，可得3。第一次返回留下14 000钱，第二次返回留下13 000钱，第三次返回留下12 000钱，第四次返回留下11 000钱，最后一次返回留下10 000钱。第五次返回留下钱之后，本、利俱尽。问：原本带的钱及利润各多少？
答：
本钱是钱，
利润是钱。
术：假令本钱是30 000钱，则不足是钱；假令本钱是40 000钱，则多了钱。按：假令本钱是30 000钱，加利润为39 000钱，减去第一次返回留下的钱，余数加利润为32 500钱；减去第二次返回留下的钱，余数又加利润为25 350钱；减去第三次返回留下的钱，余数又加利润为17 355钱；减去第四次返回留下的钱，余数又加利润为钱；减去第五次返回留下的钱，应当为10 000钱，则不足钱。若本钱为40 000钱，加利润为52 000钱，减去第一次返回留下的钱，余数加利润为49 400钱；减去第二次返回留下的钱，余数又加利润为47 320钱；减去第三次返回留下的钱，余数又加利润为45 916钱；减去第四次返回留下的钱，余数又加利润为钱；减去第五次返回留下的钱，应当为10 000钱，盈余是钱，所以叫作多。
又术：布置最后一次返回留下的10 000钱，乘以10，除以13，就是最后一次所带的本钱。加11 000钱，又乘以10，除以13，就是第四次所带的本钱。加12 000钱，又乘以10，除以13，就是第三次所带的本钱。加13 000钱，又乘以10，除以13，就是第二次所带的本钱。加14 000钱，又乘以10，除以13，就是初次所带的本钱。将五次返回所留下的钱相加，以此减之，就是利润。
今有垣厚五尺，两鼠对穿。大鼠日一尺，小鼠亦日一尺。大鼠日自倍〔1〕，小鼠日自半〔2〕。问：几何日相逢？各穿几何？
荅曰：
二日一十七分日之二。
大鼠穿三尺四寸十七分寸之一十二，
小鼠穿一尺五寸十七分寸之五。
术曰：假令二日，不足五寸；令之三日，有余三尺七寸半〔3〕。大鼠日倍，二日合穿三尺；小鼠日自半，合穿一尺五寸，并大鼠所穿，合四尺五寸。课于垣厚五尺，是为不足五寸。令之三日，大鼠穿得七尺，小鼠穿得一尺七寸半，并之，以减垣厚五尺，有余三尺七寸半。以盈不足术求之，即得。以后一日所穿乘日分子，如日分母而一，即各得日分子之中所穿。故各增二日定穿，即合所问也。
【注释】
〔1〕日自倍：后一日所穿是前一日的2倍，则各日所穿是以2为公比的递升等比数列。
〔2〕日自半：后一日所穿是前一日的倍，则各日所穿是以为公比的递减等比数列。
〔3〕将假令2日，不足5寸，假令3日，盈余寸代入盈不足术求不盈不朒的正数的公式（7-1），则
然此亦为近似解。求其准确解的方法是：设二鼠n日相逢，则大小鼠所穿分别为
由题设
整理得
22n-4×2n-2=0，
于是
【译文】
假设有一堵墙，5尺厚，两只老鼠相对穿洞。大老鼠第一日穿1尺，小老鼠第一日也穿1尺。大老鼠每日比前一日加倍，小老鼠每日比前一日减半。问：它们几日相逢？各穿多长？
答：
日相逢，
大老鼠穿3尺寸，
小老鼠穿1尺寸。
术：假令两只老鼠2日相逢，不足5寸；假令3日相逢，有盈余3尺寸。大老鼠每日比前一日加倍，2日应当穿3尺；小老鼠每日比前一日减半，那么2日应当穿1尺5寸。加上大老鼠所穿的，总共应当是4尺5寸。与墙厚5尺相比较，这就是不足5寸。假令3日相逢，大老鼠穿得7尺，小老鼠穿得1尺寸。两者相加，以减墙厚5尺，有盈余3尺寸。以盈不足术求解之，即得相逢日数。以最后一日两只老鼠所穿的长度分别乘该日的分子，除以该日的分母，各得两只老鼠该日的分子之中所穿的长度。所以，以它们分别加2日所穿的长度，就符合所问的问题。