魏 刘徽 注
唐朝议大夫行太史令上轻车都尉臣李淳风等奉敕注释
方程〔1〕以御错糅正负〔2〕
今有上禾三秉〔3〕，中禾二秉，下禾一秉，实三十九斗；上禾二秉，中禾三秉，下禾一秉，实三十四斗；上禾一秉，中禾二秉，下禾三秉，实二十六斗。问：上、中、下禾实一秉各几何？
荅曰：
上禾一秉九斗四分斗之一，
中禾一秉四斗四分斗之一，
下禾一秉二斗四分斗之三。
方程程，课程也。群物总杂，各列有数，总言其实。令每行为率〔4〕，二物者再程，三物者三程，皆如物数程之，并列为行，故谓之方程〔5〕。行之左右无所同存，且为有所据而言耳〔6〕。此都术也，以空言难晓，故特系之禾以决之〔7〕。术曰：置上禾三秉，中禾二秉，下禾一秉，实三十九斗于右方。中、左禾列如右方〔8〕。又列中、左行如右行也〔9〕。右行上禾遍乘中行，而以直除〔10〕。为术之意，令少行减多行，返覆相减，则头位必先尽。上无一位，则此行亦阙一物矣。然而举率以相减，不害余数之课也〔11〕。若消去头位，则下去一物之实。如是叠令左右行相减〔12〕，审其正负，则可得而知。先令右行上禾乘中行，为齐同之意。为齐同者，谓中行直减右行也〔13〕。从简易虽不言齐同，以齐同之意观之，其义然矣〔14〕。又乘其次，亦以直除。复去左行首〔15〕。然以中行中禾不尽者遍乘左行，而以直除。亦令两行相去行之中禾也〔16〕。左方下禾不尽者，上为法，下为实。实即下禾之实〔17〕。上、中禾皆去，故余数是下禾实，非但一秉。欲约众秉之实，当以禾秉数为法。列此，以下禾之秉数乘两行，以直除，则下禾之位皆决矣〔18〕。各以其余一位之秉除其下实。即计数矣，用算繁而不省〔19〕。所以别为法，约也。然犹不如自用其旧，广异法也〔20〕。求中禾，以法乘中行下实，而除下禾之实〔21〕。此谓中两禾实〔22〕，下禾一秉实数先见，将中秉求中禾〔23〕，其列实以减下实〔24〕。而左方下禾虽去一秉，以法为母，于率不通〔25〕。故先以法乘，其通而同之〔26〕。俱令法为母，而除下禾实〔27〕。以下禾先见之实令乘下禾秉数，即得下禾一位之列实〔28〕。减于下实，则其数是中禾之实也〔29〕。余，如中禾秉数而一，即中禾之实〔30〕。余，中禾一位之实也。故以一位秉数约之，乃得一秉之实也。求上禾，亦以法乘右行下实，而除下禾、中禾之实〔31〕。此右行三禾共实，合三位之实，故以二位秉数约之，乃得一秉之实〔32〕。今中、下禾之实，其数并见，令乘右行之禾秉以减之，故亦如前，各求列实，以减下实也。余，如上禾秉数而一，即上禾之实〔33〕。实皆如法，各得一斗〔34〕。三实同用。不满法者，以法命之。母、实皆当约之。
【注释】
〔1〕方程：中国古典数学的重要科目，“九数”之一，即今之线性方程组解法，与今之“方程”的含义不同。今之方程古代称为开方。1859年李善兰（1811—1882）与传教士伟烈亚力（A.Wylie，1815—1887）合译棣么甘（De Morgen，1806—1871）的《代数学》时，将equation译作“方程”，1872年华蘅芳（1833—1902）与传教士傅兰雅（J.Fryer，1839—？）合译华里司（William Wallace，1768—1843）的《代数术》时将equation译作“方程式”。华蘅芳在《学算笔谈》（1896）等著作中“方程”与“方程式”并用，前者仍是《九章算术》本义，后者指equation。1934年数学名词委员会确定用“方程（式）”表示equation，用“线性方程组”表示中国古代的“方程”。1950年傅钟孙力主去掉“式”字，1956年科学出版社出版的《数学名词》去掉了“式”字，最终改变了“方程”的本义。
〔2〕错糅（róu）：就是交错混杂。糅，本义是杂饭，引申为混杂，混合。《仪礼·乡射礼》：“旌各以其物，无物，则以白羽与朱羽糅杠。”郑玄注：“糅，杂也。”
〔3〕禾：粟，今之小米。《说文解字》：“禾，嘉谷也。”又指庄稼的茎秆。《说文解字》：“稼，禾之秀实为稼，茎节为禾。”这里应该是带谷穗的谷秸。 秉：禾束，禾把。《诗经·小雅·大田》：“彼有遗秉，此有滞穗。”毛传：“秉，把也。”李籍云：“一禾为秉。”
〔4〕令每行为率：此谓每一个数量关系构成一个有顺序的整体，并投入运算，类似于今之线性方程组中之行向量的概念。行，古代竖置为行，横置为列，与今相反。因此古代方程的一行，仍是今之线性方程组的一行。只不过古代的行是自右向左排列。
〔5〕此为刘徽关于方程的定义。自宋以来，直到20世纪，关于方程的含义多有误解，比如将“方”理解成方形，方阵，正，比，比方等；将“程”理解成式、表达式等。这都是望文生义。方程：本义是并而程之。方，并也。《说文解字》：“方，并船也。像两舟，省总头形。”程，本义是度量名，引申为事务的标准。《荀子·致仕》：“程者，物之准也。”《九章算术》“冬（春、夏、秋）程人功”、“程功”、“程行”、“程粟”等皆指标准度量。因此，方程就是并而程之，即将诸物之间的几个数量关系并列起来，考察其度量标准。一个数量关系排成有顺序的一行，像一枝竹或木棍。将它们一行行并列起来，恰似一条竹筏或木筏，这正是方程的形状。显然，刘徽的定义完全符合《九章算术》方程的本义。李籍云：“方者，左右也。程者，课率也。左右课率，总统群物，故曰方程。”李籍的说法接近本义。《仪礼·大射礼》：“左右曰方。”郑玄注：“方，出旁也。”应该是由“并”引申出来的。
〔6〕行之左右无所同存，且为有所据而言耳：此谓方程中没有等价的行，同时，每一行都是有根据的。前者符合现代线性方程组有解的条件。
〔7〕刘徽认为，方程术是“都术”，即普遍方法。但是，由于方程术太复杂，只好借助于禾来阐释。 决：古多作“決”。本义是开凿壅塞，疏通水道，引申为解决问题。
〔8〕这是列出方程，如图8-1（1），设x，y，z分别表示上、中、下禾一秉之实，它相当于线性方程组
3x+2y+z=39
2x+3y+z=34
x+2y+3z=26。
图8-1
〔9〕又列中、左行如右行也：各本均窜于“术曰”之前，今校正。
〔10〕遍乘：整个地乘，普遍地乘。遍，普遍地。 直除：面对面相减，两行对减。直，当，临。《仪礼·士冠礼》：“直东序西面。”贾公彦疏：“直，当也。谓当堂上东序墙也。”除，减。此是以右行上禾系数3乘整个中行，如图8-1（2）。然后以右行与中行对减，两度减，中行上禾的系数变为0，如图8-1（3）。它相当于线性方程组
3x+2y+z=39
5y+z=24
x+2y+3z=26。
〔11〕举率以相减，不害余数之课也：方程整个的行互相减，不影响方程的解。刘徽在此提出了方程术消元的理论基础。刘徽对此没有证明，显然认为这是一条不证自明的公理。刘徽“令每行为率”，则举率就是整行。
〔12〕叠：重复，重叠。《玉篇》：“叠，重也，累也。”
〔13〕为齐同者，谓中行直减右行也：为了做到齐同，就是说应当从中行对减去右行。
〔14〕以齐同之意观之，其义然矣：不过以齐同的意图考察之，其意义确实是这样。刘徽以齐同原理阐释方程术的消元法。他“令每行为率”，因此便可以将率的三种等量变换“乘以散之，约以聚之，齐同以通之”施用于方程。以某数乘整行，如上述以右行的上禾系数3乘中行，就是乘以散之。同样，如果一行中诸系数和常数项有等数，可以约去，就是约以聚之。而消元的过程就是齐同以通之。也就是说，以右行首项系数乘整个中行，就是使中行其他项与其首项相齐；而从中行直减右行，直到使中行首项系数化为0，实际上减去的右行首项系数的总数量与中行首项相同，就是同。后来李淳风等在《张丘建算经注释》中称为“同齐者，谓同行首，齐诸下”。对其他行、其他项亦如此。
〔15〕此是以右行上禾系数3乘整个左行，以右行直减左行，使左行上禾系数也化为0，如图8-1（4）。它相当于线性方程组
3x+2y+z=39
5y+z=24
4y+8z=39。
〔16〕这是以中行中禾系数5乘左行整行，以中行直减左行，4度减，则左行中禾系数亦化为0。
〔17〕左行下禾系数为36，实为99。下禾系数与实有等数9，以其约简，下禾系数为4，作为法，实为11。实只是下禾的实。如图8-1（5），它相当于线性方程组
3x+2y+z=39
5y+z=24
4z=11。
〔18〕皆决：皆去。决，训“绝”。此处刘徽仍用直除法由左行下禾系数消去中、右行的下禾系数，如图8-1（6）所示。它相当于线性方程组
12x+8y=145
4y=17
4z=11。
同样，再用中行中禾的系数消去右行中禾的系数，如图8-1（7）。它相当于线性方程组
4x=37
4y=17
4z=11。
显然，这是一种将直除法进行到底的方法，与《九章算术》的方法（见下）有所不同。
〔19〕即计数矣，用算繁而不省：那么统计用算的次数，运算太繁琐而不简省。即，训“则”。数，用算的次数。
〔20〕然犹不如自用其旧，广异法也：然而这种方法还不如仍用其旧法，不过，这是为了扩充不同的方法。
〔21〕“求中禾”三句：《九章算术》为了求中禾，以左行的法（即下禾的系数）乘中行的下实，减去左行下禾的实。记直除后中行的实为B′，中禾系数为，下禾系数为，左行的法（即下禾系数）为，下实为C′，则得。在此问中即24×4-11×1=85。
〔22〕中两禾实：即中行的中、下两种禾之实。中，谓中行。此下是刘徽解释《九章算术》的方法。
〔23〕下禾一秉实数先见（xiàn），将中秉求中禾：1捆下等禾的实数已先显现出来了，那么就中等禾的捆数求中等禾的实。见，显现。中秉，指中禾秉数。
〔24〕其列实以减下实：就用它（下禾）的列实去减中行下方的实。此处“列实”指下禾的列实，即左行下禾的实乘中行的下禾秉数。此问中即是11×1。其，它的。
〔25〕“左方下禾虽去一秉”三句：虽可以减去左行1捆下等禾的实，可是以法作为分母，对于率不能通达。此谓由左行可以求出下禾一秉之实，减中行、右行，可是那样做会出现以法为分母的分数，于率不通。
〔26〕其通而同之：使其通达而做到同。“通而同之”系汉、魏关于齐同术的术语，它是通过“通”而做到“同”，与方田章等处的“同而通之”通过“同”做到“通”不同。
〔27〕俱令法为母，而除下禾实：都以左行的法作为分母，而减去下等禾的实。
〔28〕以下禾先见之实令乘下禾秉数，即得下禾一位之列实：以左行下等禾先显现的实乘中行下等禾的捆数，就得到下等禾一位的列实。
〔29〕减于下实，则其数是中禾之实也：以它去减中行下方的实，则其余数就是中等禾之实。
〔30〕余，如中禾秉数而一，即中禾之实：中禾之余实除以中行的中禾的秉数，即就是中禾之实（仍以左行之法为法）。记右行实为A1，右行之上、中、下禾系数为a1，a2，a3，即得。此问中即以（24×4-11×1）÷5=17为中禾之实，以4为法。
〔31〕“求上禾”三句：如果求上禾，《九章算术》亦以左行之法乘右行下实，减去左行下禾之实乘右行下禾秉数，再减去中行中禾之实乘右行中禾秉数。此问中即39×4-11×1-17×2。
〔32〕乃得一秉之实：就得到1秉一种禾的实。
〔33〕余，如上禾秉数而一，即上禾之实：其余数，除以上等禾的捆数，就是1捆上等禾之实。余，指以左行之法乘右行下实，减去左行下禾实乘右行下禾秉数，再减去中行中禾之实乘右行中禾秉数之余数。它除以右行上禾之秉数，即，就是上禾之实，仍以左行之法为法。在此问中就是（39×4-11×1-17×2）÷3=37，仍以4为法。亦得到形如图8-1（7）的方程。《九章算术》在消去中、左行的首项及左行的中项之后，没有再用直除法，而是采用类似于今之代入法的方法求解。刘徽认为这种方法比一直使用直除法简约。
〔34〕实皆如法，各得一斗：这就是实皆除以法，分别得1捆的斗数。亦即得到1秉上禾之实斗，1秉中禾之实斗，1秉下禾之实斗。
【译文】
方程处理交错混杂及正负问题
假设有3捆上等禾，2捆中等禾，1捆下等禾，共39斗实；2捆上等禾，3捆中等禾，1捆下等禾，共34斗实；1捆上等禾，2捆中等禾，3捆下等禾，共26斗实。问：1捆上等禾、1捆中等禾、1捆下等禾的实各是多少？
答：
1捆上等禾斗，
1捆中等禾斗，
1捆下等禾斗。
方程程，就是求解其标准。各种物品混杂在一起，各列都有不同的数，总的表示出它们的实。使每行作为率，两个物品有两程，三个物品有三程，程的多少都与物品的种数相等。把各列并列起来，就成为行，所以叫作方程。某行的左右不能有等价的行，而且都是有所根据而表示出来的。这是一种普遍方法，因为太抽象的表示难以使人通晓，所以特地将它与禾联系起来以解决之。
术：在右行布置3捆上等禾，2捆中等禾，1捆下等禾，共39斗实。中行、左行的禾也如右行那样列出。又像右行那样列出中行、左行。以右行的上等禾的捆数乘整个中行，而以右行与之对减。造术的意图是，数值小的行减数值大的行，反复相减，则头位必定首先减尽。上面没有了这一位，则此行就去掉了一种物品。然而用整个的行互相减，其余数不影响方程的解。若消去了这一行的头位，则下面也去掉一种物品的实。像这样，反复使左右行相减，考察它们的正负，就可以知道它们的结果。先使右行上等禾的捆数乘整个中行，意图是要让它们齐同。为了做到齐同，就是说应当从中行对减去右行。遵从简易的原则，虽然不叫作齐同，不过以齐同的意图考察之，其意义确实是这样。又以右行上禾的捆数乘下一行，亦以右行对减。再消去左行头一位。然后以中行的中等禾没有减尽的捆数乘整个左行，而以中行对减。又使中、左两行相消除去左行的中等禾。左行的下等禾没有减尽的，上方的作为法，下方的作为实。这里的实就是下等禾之实。左行的上等禾、中等禾皆消去了，所以余数就是下等禾之实，但不是1捆的。想约去众多的捆的实，应当以下等禾的捆数作为法。列出这一行，以下等禾的捆数乘另外两行，以左行对减，则这二行下等禾位置上的数就都被消去了。分别以各行余下的一种禾的捆数除下方的实。那么统计用算的次数，运算太繁琐而不简省。创造别的方法，是为了约简。然而这种方法还不如仍用其旧法，不过，这是为了扩充不同的方法。如果要求中等禾的实，就以左行的法乘中行下方的实，而减去下等禾之实。这是说中行有中等、下等两种禾的实，而1捆下等禾的实数已先显现出来了，那么就中等禾的捆数求中等禾的实，就用下禾的列实去减中行下方的实。——而虽可以减去左行1捆下等禾的实，可是以法作为分母，对于率不能通达。所以先以左行的法乘中行下方的实，使其通达而做到同。都以左行的法作为分母，而减去下等禾的实。以左行下等禾先显现的实乘中行下等禾的捆数，就得到下等禾一位的列实。以它去减中行下方的实，则其余数就是中等禾之实。它的余数，除以中等禾的捆数，就是1捆中等禾的实。余数是中等禾这一种物品的实。所以以它的捆数除之，就得到1捆中等禾的实。如果要求上等禾的实，也以左行的法乘右行下方的实，而减去下等禾、中等禾的实。这右行是三种禾共有的实，是三种物品的实之和，所以去掉二种物品的捆数，就得到一种的实。现在中等禾、下等禾的实，它们的数量都显现出来了，便以它们乘右行中相应的禾的捆数，以减下方的实，所以也像前面那样，分别求出中等禾、下等禾的列实，以它们减下方的实。其余数，除以上等禾的捆数，就是1捆上等禾之实。这就是实皆除以法，分别得1捆的斗数。三个实被同样地使用。如果实有不满法的部分，就以法命名一个分数。分母、分子都应当约简。
今有上禾七秉，损实一斗，益之下禾二秉，而实一十斗；下禾八秉，益实一斗，与上禾二秉，而实一十斗〔1〕。问：上、下禾实一秉各几何？
荅曰：
上禾一秉实一斗五十二分斗之一十八，
下禾一秉实五十二分斗之四十一。
术曰：如方程。损之曰益，益之曰损〔2〕。问者之辞虽〔3〕？今按：实云上禾七秉、下禾二秉，实一十一斗；上禾二秉、下禾八秉，实九斗也〔4〕。“损之曰益”，言损一斗，余当一十斗。今欲全其实，当加所损也。“益之曰损”，言益实以一斗，乃满一十斗。今欲知本实，当减所加，即得也。损实一斗者，其实过一十斗也；益实一斗者，其实不满一十斗也。重谕损益数者，各以损益之数损益之也。
【注释】
〔1〕设x，y分别表示上、下禾一秉之实，题设相当于给出关系
（7x-1）+2y=10
2x+（8y+1）=10。
〔2〕损之曰益，益之曰损：在此处减损某量，也就是说在彼处增益同一个量，在此处增益某量，也就是说在彼处减损同一个量。损益是建立方程的一种重要方法。损之曰益，是说关系式一端减损某量，相当于另一端增益同一量。益之曰损，是说关系式一端增益某量，相当于另一端减损同一量。虽然《九章算术》没有赋予其“损益术”之名，但从许多题目声明“损益之”来看，它与正负术等术文具有同等的功能。损益之说本是先秦哲学家的一种辩证思想。《周易·损》：“损下益上，其道上行。”《老子·四十二章》：“物或损之而益，或益之而损。”其他学者也经常用到“损益”。《九章算术》的编纂者借用“损益”这一术语，仍是增减的意思，与《老子》之说十分接近，当然其含义稍有不同。一般认为，代数“algebra”来自阿拉伯文al jabr，是因为花拉子米（Al-Khowârizmî，约783—约850）写了一部代数著作《算法与代数学》（al-Kitāb al-mukhta sarfi hisab al-jabr wa almuquābala，直译为《还原与对消计算概要》）。Al jabr在阿拉伯文中的意思是“还原”或“移项”，解方程时将负项由一端移到另一端，变成正项，就是“还原”；wa'l muquābalah是“对消”，即将两端相同的项消去或合并同类项。（D.E.Smith，History of Mathematics，vol.Ⅱ，Dover Publications，P.382，1925）显然，《九章算术》使用还原与合并同类项，要比花拉子米早一千年左右。
〔3〕问者之辞虽：提问者的话是什么意思呢？虽，古与“谁”通用，训为“何”。
〔4〕刘徽指出，通过损益，其线性方程组就是
7x+2y=11
2x+8y=9。
【译文】
假设有7捆上等禾，如果它的实减损1斗，又增益2捆下等禾，而实共是10斗；有8捆下等禾，如果它的实增益1斗，与2捆上等禾，而实也共是10斗。问：1捆上等禾、下等禾的实各是多少？
答：
1捆上等禾的实斗，
1捆下等禾的实斗。
术曰：如同方程术那样求解。在此处减损某量，也就是说在彼处增益同一个量，在此处增益某量，也就是说在彼处减损同一个量。提问者的话是什么意思呢？今按：这实际上是说，7捆上等禾、2捆下等禾，实是11斗；2捆上等禾、8捆下等禾，实是9斗。“在此处减损某量，也就是说在彼处增益同一个量”，是说实减损1斗，余数应当是10斗。今想求它的整个实，应当加所减损的数量。“在此处增益某量，也就是说在彼处减损同一个量”，是说实增益1斗，才满10斗。今想知道本来的实，应当减去所增加的数量，就得到了。“它的实减损1斗”，就是它的实超过10斗的部分；“它的实增益1斗”，就是它的实不满10斗的部分。再一次申明减损增益的数量，就是各以减损增益的数量对之减损增益。
今有上禾二秉，中禾三秉，下禾四秉，实皆不满斗。上取中、中取下、下取上各一秉而实满斗〔1〕。问：上、中、下禾实一秉各几何？
荅曰：
上禾一秉实二十五分斗之九，
中禾一秉实二十五分斗之七，
下禾一秉实二十五分斗之四。
术曰：如方程。各置所取。置上禾二秉为右行之上，中禾三秉为中行之中，下禾四秉为左行之下。所取一秉及实一斗各从其位。诸行相借取之物，皆依此例。以正负术入之〔2〕。
正负术曰〔3〕：今两算得失相反，要令正、负以名之〔4〕。正算赤，负算黑。否则以邪、正为异〔5〕。方程自有赤、黑相取，法、实数相推求之术，而其并、减之势不得广通，故使赤、黑相消夺之〔6〕。于算或减或益，同行异位殊为二品，各有并、减之差见于下焉〔7〕。著此二条〔8〕，特系之禾以成此二条之意。故赤、黑相杂足以定上下之程，减、益虽殊足以通左右之数，差、实虽分足以应同异之率〔9〕。然则其正无人以负之〔10〕，负无人以正之〔11〕，其率不妄也〔12〕。同名相除〔13〕，此谓以赤除赤，以黑除黑。行求相减者〔14〕，为去头位也〔15〕。然则头位同名者当用此条；头位异名者当用下条〔16〕。异名相益〔17〕，益行减行，当各以其类矣〔18〕。其异名者，非其类也。非其类者，犹无对也，非所得减也〔19〕。故赤用黑对则除，黑〔20〕，无对则除，黑〔21〕；黑用赤对则除，赤〔22〕，无对则除，赤〔23〕；赤、黑并于本数。此为相益之〔24〕，皆所以为消、夺。消、夺之与减、益成一实也〔25〕。术本取要，必除行首，至于他位，不嫌多少，故或令相减，或令相并，理无同异而一也〔26〕。正无人负之〔27〕，负无人正之〔28〕。无人，为无对也。无所得减，则使消夺者居位也。其当以列实或减下实〔29〕，而行中正、负杂者亦用此条〔30〕。此条者，同名减实、异名益实，正无人负之，负无人正之也。 其异名相除〔31〕，同名相益〔32〕，正无人正之〔33〕，负无人负之〔34〕。此条“异名相除”为例，故亦与上条互取。凡正负所以记其同异，使二品互相取而已矣〔35〕。言负者未必负于少，言正者未必正于多〔36〕。故每一行之中虽复赤、黑异算无伤。然则可得使头位常相与异名〔37〕。此条之实兼通矣，遂以二条返覆一率。观其每与上下互相取位，则随算而言耳，犹一术也〔38〕。又，本设诸行，欲因成数以相去耳〔39〕，故其多少无限，令上下相命而已。若以正、负相减，如数有旧增法者，每行可均之，不但数物左右之也〔40〕。
【注释】
〔1〕设x，y，z分别表示上、中、下禾一秉之实，它相当于线性方程组
2x+y=1
3y+z=1
x+4z=1。
其筹式如图8-2（1）。
图8-2
〔2〕以正负术入之：将正负术纳入其解法。入，纳入。此问的方程在消去左行上禾的系数时，其中会出现0-1=-1的运算，从而变成
2x+y=1
3y+z=1
-y+8z=1。
其筹式如图8-2（2），所以要将正负术纳入此术的解法。
〔3〕正负术：即正负数加减法则。《九章算术》中负数的引入及正负数加减法则的提出，都是世界上最早的，超前其他文化传统几百年甚至上千年。
〔4〕这是刘徽的正负数定义。它表示，正数与负数是互相依存的，相对的。正数相对于负数而言为正数，负数相对于正数而言为负数。因此，正数与负数可以互相转化，已经摆脱了以盈为正，以欠为负的素朴观念。
〔5〕正算赤，负算黑：这是正负数的算筹表示法。不过学术界在理解上尚有不同意见。有的学者认为是整个算筹涂成红色或黑色，有的学者认为只是在算筹上有红色或黑色的标记。“以邪正为异”，有的学者认为是指邪置、正置，有的学者认为指正算的截面为正三角形（有三廉），负算的截面为正方形（有四廉）。宋元时期常在算筹上置一邪筹表示负数。本书亦以这种方式表示负数，如图8-2（2）左行的，就表示-1。
〔6〕消夺：指相消与夺位两种运算。相消是以某数消减另一个数。如果将该数相消化为0，则就是夺，即夺其位。
〔7〕“于算或减或益”三句：对于算数有的减损，有的增益，它们在同一行的不同位置上完全表示两种不同的物品，它们各有加，有减，其和差显现于下方。益，增益，加。见，显现。刘徽在此说明为什么必须建立正负术，即赤、黑相消夺之术。
〔8〕二条：指正负数加法法则与正负数减法法则。
〔9〕赤、黑相杂：指方程的一行中正负数相杂。 减、益虽殊：指方程中左右行相对的正负数相加减。 差、实虽分：指各行中诸未知数的系数与实的关系。刘徽在此说明正负术在这三种情况中的应用。这里的“率”指计算方法。“率”的本义是标准，引申为按标准计算，计算方法。《隋书·律历志》在谈到数学方法时说：“夫所谓率者，有九流焉。”
〔10〕正无人以负之：正的算数如果无偶，就变成负的。无人，就是“无偶”。人，偶，伴侣。《庄子·大宗师》：“彼方且与造物者为人，而游乎天地之一气。”王先谦集解引王引之云：“为人，犹言为偶。”“无人”系《大典》本、杨辉本之原文，不误。杨辉本“卖牛羊”问在“一法”之“无入”下注：“古本误刻‘无人’者，非。”所谓“古本”即北宋贾宪的《黄帝九章算经细草》，它是杨辉本的底本。宋景昌据此认为“杨氏亦从‘入’”。戴震辑录校勘本改“人”作“入”。钱宝琮认定戴震此处参考过《永乐大典》中所引杨辉本。此后诸本均改作“入”。汪莱、李潢不同意戴震的意见。汪莱云：“‘无人’，‘人’不误。‘无人’谓有空位也。”李潢云：“‘入’字原本作‘人’，孔刻改为‘入’，非是。”李潢本“于经、注作‘入’，仍微波榭本也。‘说’中作‘人’，遵原本也”。然此后各本均从戴校。今恢复《大典》本、杨辉本原文。下“无人”均同，恕不再注。以，训“则”。
〔11〕负无人以正之：负的算数如果无偶，就变成正的。
〔12〕率：这里亦指计算方法。
〔13〕同名相除：相减的两个数如果符号相同，则它们的数值相减。这是《九章算术》提出的正负数减法法则。名，名分，指称，此处即今之正负号。同名，同号。除，这里是减的意思。此谓符号相同的数相减，即刘徽所说的“以赤除赤”，“以黑除黑”，则它们的数值（这里是绝对值）相减。即
（±a）-（±b）=±（a-b），a＞b，
（±a）-（±b）=∓（b-a），a＜b。
〔14〕相减：这里指相加减，偏词复义。
〔15〕为去头位：为的是消去头位。《九章算术》的直除法只是消去某行的头位。
〔16〕此条：指正负数减法法则中的“同名相除”。 下条：指下文正负数减法法则中的“异名相益”。
〔17〕异名相益：相减的两个数如果符号不同，则它们的数值相加。异名，即不同号。这里是说，符号不同的数相减，即以赤除黑，或以黑除赤，则它们的数值（这里是绝对值）相加。即
（±a）-（∓b）=±（a+b）。
〔18〕益行减行，当各以其类矣：两行相加或相减，都应当分别依据它们的类别。其类，它们的类别。这里指同号、异号。
〔19〕“非其类者”三句：不是它那一类的，就好像是没有对减的数，则就不可以相减了。无对，没有相对的数。这是说在建立正负数加减法则之前正负数是无法相加减的。
〔20〕故赤用黑对则除，黑：红算数如果用黑算数作对减的数，则得黑算数。此即
（-a）-（+b）=-（a+b）。
〔21〕无对则除，黑：如果红算数没有与之对减的数，也得黑算数，即
0-（+a）=-a。
〔22〕黑用赤对则除，赤：黑算数如果用红算数对减，则得红算数，即
（+a）-（-b）=+（a+b）。
〔23〕无对则除，赤：如果黑算数没有与之对减的数，也得红算数，即
0-（-a）=a。
〔24〕之：语气词。
〔25〕消夺之与减益成一实：此谓通过消夺减益化成一种物品的实。
〔26〕刘徽在此又一次强调，《九章算术》的直除法是消去某行有效数字的头位，而其他位或者相减，或者相加，都是同一个道理。而：训“乃”。王引之《经传释词》卷七：“‘而’，犹‘乃’也。”
〔27〕正无人负之：《九章算术》的术文是说，正数没有与之对减的数，则为负数。即
0-（+a）=-a，a＞0。
〔28〕负无人正之：《九章算术》的术文是说，负数没有与之对减的数，则为正数。即
0-（-a）=+a，a＞0。
以上两种情形都是刘徽所说的“消夺者居位”。
〔29〕或：与“有”通，训“而”，见裴学海《古书虚字集释》卷二。
〔30〕此条：指正负数减法法则。
〔31〕其异名相除：如果两者是异号的，则它们的数值（这里是绝对值）相减。即
（±a）+（∓b）=±（a-b），a＞b。
自此起是《九章算术》提出的正负数加法法则。
〔32〕同名相益：如果相加的两者是同号的，则它们的数值（这里是绝对值）相加。即
（±a）+（±b）=±（a+b）。
〔33〕正无人正之：如果正数没有与之相加的，则为正数。即
0+（+a）=+a，a＞0。
〔34〕负无人负之：如果负数没有与之相加的，则为负数。即
0+（-a）=-a，a＞0。
〔35〕使二品互相取而已：只是使二种物品互取而已。
〔36〕刘徽在此再一次阐明正数与负数是相对的，就其绝对值而言，正的未必就大，负的未必就小。
〔37〕刘徽指出，在一行中，赤算统统变成黑算，黑算统统变成赤算，其数量关系不变。因此，可以将用来消元的两行的头位变成互相异号，以使它们相加。
〔38〕刘徽认为，由于正数与负数是相对而言的，并且减一正数相当于加一负数，减一负数相当于加一正数，那么，正负数的加减法则可合为一术。即
（±a）-（±b）=（±a）+（∓b）=±（a-b）。
〔39〕成数：指每行都有确定之数，故可相减。成，训“定”，犹如开方术“成方”之“成”。
〔40〕“如数有旧增（cénɡ）法者”三句：如一行诸数中有原来的法的重叠，那么这一行可以自行调节，不只是对各物品的数量利用左右行相消。换言之，如果某行的诸数中有公因子，可以用它约简，不只是左右行相消。增，训“层”。刘向《说苑·反质》：“宫室台阁，连属增累。”增法，重叠的法。均，调和，调节。《诗经·小雅·皇皇者华》：“我马维骃，六辔既均。”毛传：“均，调也。”
【译文】
假设有2捆上等禾，3捆中等禾，4捆下等禾，它们各自的实都不满1斗。如果上等禾借取中等禾、中等禾借取下等禾、下等禾借取上等禾各1捆，则它们的实恰好都满1斗。问：1捆上等禾、中等禾、下等禾的实各是多少？
答：
1捆上等禾的实是斗，
1捆中等禾的实是斗，
1捆下等禾的实是斗。
术：如同方程术那样求解。分别布置所借取的数量。布置上等禾的捆数2为右行的上位，中等禾的捆数3为中行的中位，下等禾的捆数4为左行的下位。每行所借取的1捆及实1斗都遵从自己的位置。凡是各行之间有互相借取物品的问题，皆依照此例。将正负术纳入之。
正负术：如果两个算数所表示的得与失是相反的，必须引入正负数以命名之。正的算数用红筹，负的算数用黑筹。否则就用邪筹与正筹区别它们。方程术自有红算数与黑算数互相借取，法与实的数值互相推求的方法，然而它们相加、相减的态势不能广泛通达，所以使红算数与黑算数互相消减、夺位。对于算数，有的减损，有的增益，它们在同一行的不同位置上，完全表示两种不同的物品，它们各有加、有减，其和、差显现于下方的位置上。于是，撰著这二条法则，并且特地将它们与禾联系起来，为的是阐明此二条的意义。因此红算数与黑算数虽然互相错杂，却足以确定上下的程式，相减、相加虽然不同却足以使左右行之数互相通达，差与实虽然有区别，却足以适应于同号异号的计算。那么在减法运算中正的算数如果无偶，就变成负的，负的算数如果无偶，就变成正的，其计算方法并不是虚妄的。相减的两个数如果符号相同，则它们的数值相减，这是说以红算数减红算数，以黑算数减黑算数。诸行中要求相加减，为的是消去它的头位。那么两行的头位如果是同号的，应当用此条；头位如果是异号的，应当用下条。相减的两个数如果符号不相同，则它们的数值相加，不管是两行相加，还是相减，都应当分别依据它们的类别。如果是与它符号不同的，就不是它那一类的。不是它那一类的，就好像是没有对减的数，则就不可以相减了。红算数如果用黑算数作对减的数，则得黑算数，如果没有对减的数，也得黑算数；黑算数如果用红算数对减，则得红算数，如果没有对减的数，也得红算数；红算数与黑算数都是原本的数相加。这里是两者相增益，都是用来消减、夺位。消减、夺位与减损、增益使之成为一种物品的实。一种术最根本的是要抓住其关键。方程术中必定要消去某一行的首位，至于其他位，不管是多少，所以有时是它们相减，有时是它们相加，不论符号是相同还是不同，原理都是一样的。正数如果无偶，就变成负的，负数如果无偶，就变成正的。无偶，就是没有与之对减的数。没有能够被减的，则就使用来消减的数居于这个位置。那些应当以列实去减下方的实的，以及一行中正负数相错杂的，也应当应用这一条。这一条就是，同符号的就减实、不同符号的就加实，正数如果无偶就变成负数，负数如果无偶就变成正数。相加的两个数如果符号不相同，则它们的数值相减，相加的两个数如果符号相同，则它们的数值相加，正数如果无偶就是正数，负数如果无偶就是负数。这一条以“相加的两个数如果符号不相同，则它们的数值相减”为例，所以也与上一条互取。凡是正负数所以记出它们的同号异号，只是使二种物品互取而已。表示成负的，负的其数值未必就小，表示成正的，正的其数值未必就大。所以每一行之中即使将红算与黑算互易其符号，也没有什么障碍。那么可以使两行的头位取成互相不同的符号。这些条文的实质全都是相通的，于是以上二条翻来覆去都是同一种运算。考察它们在一行中上下互相选取的符号，则总是根据运算的需要而表示出来的，仍然是同一种方法。又，设置诸行，本意是想凭借已有的数互相消减，所以不管行数是多少，使上下相命就可以了。若用正负数相减，如一行诸数中有原来的法的重叠，那么这一行可以自行调节，不只是对各物品的数量利用左右行相消。
今有上禾五秉，损实一斗一升，当下禾七秉；上禾七秉，损实二斗五升，当下禾五秉〔1〕。问：上、下禾实一秉各几何？
荅曰：
上禾一秉五升，
下禾一秉二升。
术曰：如方程。置上禾五秉正，下禾七秉负，损实一斗一升正〔2〕。言上禾五秉之实多，减其一斗一升，余，是与下禾七秉相当数也。故互其算，令相折除，以一斗一升为差〔3〕。为差者，上禾之余实也。次置上禾七秉正，下禾五秉负，损实二斗五升正〔4〕。以正负术入之。按：正负之术本设列行，物程之数不限多少，必令与实上、下相次，而以每行各自为率。然而或减或益，同行异位殊为二品，各自并、减之差见于下也〔5〕。
今有上禾六秉，损实一斗八升，当下禾一十秉；下禾一十五秉，损实五升，当上禾五秉〔6〕。问：上、下禾实一秉各几何？
荅曰：
上禾一秉实八升，
下禾一秉实三升。
术曰：如方程。置上禾六秉正，下禾一十秉负，损实一斗八升正。次〔7〕，上禾五秉负，下禾一十五秉正，损实五升正〔8〕。以正负术入之。言上禾六秉之实多，减损其一斗八升，余，是与下禾十秉相当之数。故亦互其算，而以一斗八升为差实。差实者，上禾之余实。
今有上禾三秉，益实六斗，当下禾一十秉；下禾五秉，益实一斗，当上禾二秉〔9〕。问：上、下禾实一秉各几何？
荅曰：
上禾一秉实八斗，
下禾一秉实三斗。
术曰：如方程。置上禾三秉正，下禾一十秉负，益实六斗负。次置上禾二秉负，下禾五秉正，益实一斗负〔10〕。以正负术入之。言上禾三秉之实少，益其六斗，然后于下禾十秉相当也〔11〕。故亦互其算，而以六斗为差实。差实者，下禾之余实。
【注释】
〔1〕设x，y分别表示上、下禾一秉之实，《九章算术》的题设相当于给出关系
5x-11=7y
7x-25=5y。
此下3问都是常数项和未知数项的损益问题，合为一组。
〔2〕《九章算术》列出方程的右行，相当于
5x-7y=11。
未知数的系数有负数。
〔3〕互其算：交换算数，即损益。
〔4〕《九章算术》列出方程的左行，相当于
7x-5y=25。
〔5〕各自并、减之差见（xiàn）于下也：各自有加有减，其和差显现于下方。见，显现。
〔6〕设x，y分别表示上、下禾一秉之实，《九章算术》的题设相当于给出关系
6x-18=10y
15y-5=5x。
〔7〕次：即“次置”。
〔8〕《九章算术》得出方程，相当于
6x-10y=18
-5x+15y=5。
两个未知数的系数都有负数。
〔9〕设x，y分别表示上、下禾一秉之实，《九章算术》的题设相当于给出关系
3x+6=10y
5y+1=2x。
〔10〕《九章算术》得出方程，相当于
3x-10y=-6
-2x+5y=-1。
此不仅两个未知数都有负系数，而且实亦为负数。
〔11〕于下禾十秉相当：与10秉下禾相当。于，训“与”。裴学海《古书虚字集释》卷一：“‘于’，犹‘与’也。”
【译文】
假设有5捆上等禾，将它的实减损1斗1升，等于7捆下等禾；7捆上等禾，将它的实减损2斗5升，等于5捆下等禾。问：1捆上等禾、下等禾的实各是多少？
答：
1捆上等禾的实是5升，
1捆下等禾的实是2升。
术：如同方程术那样求解。布置上等禾的捆数5，是正的，下等禾的捆数7，是负的，减损的实1斗1升，是正的。这是说5捆上等禾的实多，减损它1斗1升，余数就与7捆下等禾的实相等。所以互相置换算数，使它们互相折消，以1斗1升作为差。成为这个差的，就是上等禾余下的实。其次布置7捆上等禾，是正的，5捆下等禾，是负的，减损的实2斗5升，是正的。将正负术纳入之。按：应用正负术，本来设置各列各行，需要求解的物品个数不管多少，必须使它们与实上下一一排列，而以每行各自作为率。然而有的减损，有的增益，它们在同一行不同位置完全表示二种不同的物品，各自有加有减，其和差显现于下方。
假设有6捆上等禾，将它的实减损1斗8升，与10捆下等禾的实相等；15捆下等禾，将它的实减损5升，与5捆上等禾的实相等。问：1捆上等禾、下等禾的实各是多少？
答：
1捆上等禾的实是8升，
1捆下等禾的实是3升。
术曰：如同方程术那样求解。布置上等禾的捆数6，是正的，下等禾的捆数10，是负的，所减损的实1斗8升，是正的。接着，布置上等禾的捆数5，是负的，下等禾的捆数15，是正的，所减损的实5升，是正的。将正负术纳入之。这是说6捆上等禾的实多，减损它1斗8升，余数与10捆下等禾的实相等。所以也互相置换算数，而以1斗8升作为差实。差实就是上等禾余下的实。
假设有3捆上等禾，将它的实增益6斗，与10捆下等禾的实相等；5捆下等禾，将它的实增益1斗，与2捆上等禾的实相等。问：1捆上等禾、下等禾的实各是多少？
答：
1捆上等禾的实是8斗，
1捆下等禾的实是3斗。
术：如同方程术那样求解。布置上等禾的捆数3，是正的，下等禾的捆数10，是负的，增益的实6斗，是负的。接着布置上等禾的捆数2，是负的，下等禾的捆数5，是正的，增益的实1斗，是负的。将正负术纳入之。这是说3捆上等禾的实少，给它增益6斗，然后与10捆下等禾的实相等。所以也互相置换算数，而以6斗作为差实。差实就是下等禾余下的实。
今有牛五、羊二，直金十两；牛二、羊五，直金八两〔1〕。问：牛、羊各直金几何？
荅曰：
牛一直金一两二十一分两之一十三，
羊一直金二十一分两之二十。
术曰：如方程。假令为同齐，头位为牛，当相乘。右行定〔2〕，更置牛十、羊四，直金二十两；左行牛十、羊二十五，直金四十两〔3〕。牛数等同，金多二十两者，羊差二十一使之然也。以少行减多行，则牛数尽，惟羊与直金之数见，可得而知也〔4〕。以小推大，虽四、五行不异也〔5〕。
【注释】
〔1〕设x，y分别表示牛、羊直金，题设给出的方程图8-3（1），相当于线性方程组
5x+2y=10
2x+5y=8。
图8-3
〔2〕相乘：指头位互相乘，以做到齐同。这是刘徽创造的解线性方程组的互乘相消法。
〔3〕“更置牛十、羊四”四句：此谓通过齐同运算，右行由“牛五、羊二，直金十两”变换成“牛十、羊四，直金二十两”，左行由“牛二、羊五，直金八两”变成“牛十、羊二十五，直金四十两”，得到如图8-3（2）的方程，它相当于
10x+4y=20
10x+25y=40。
〔4〕以少行减多行，即以右行减左行，得方程如图8-3（3），它相当于
10x+4y=20
21y=20。
因此1只羊直金两。
〔5〕刘徽认为，这一方法可以推广到任意多行的方程。可惜，刘徽的这一创造长期未引起数学家的重视。直到北宋贾宪《黄帝九章算经细草》才大量使用互乘相消法，同时也使用直除法。南宋秦九韶《数书九章》才废止直除法，完全使用互乘相消法。
【译文】
假设有5头牛、2只羊，值10两金；2头牛、5只羊，值8两金。问：1头牛、1只羊各值多少金？
答：
1头牛值两金，
1只羊值两金。
术：如同方程术那样求解。假令作齐同变换，两行的头位是牛，应当互相乘。右行就确定了，重新布置牛的头数10，羊的只数4，值金数20两；左行牛的头数10，羊的只数25，值金数40两。两行牛的头数相等，那么金多20两，是羊多了21只造成的。以数值少的行减多的行，则牛的头数减尽，只有羊的只数与所值的金数显现出来，因此可以知道一只羊所值的金的两数。以小推大，即使是四、五行的方程也没有什么不同。
今有卖牛二、羊五，以买一十三豕，有余钱一千；卖牛三、豕三，以买九羊，钱适足；卖六羊、八豕，以买五牛，钱不足六百〔1〕。问：牛、羊、豕价各几何？
荅曰：
牛价一千二百，
羊价五百，
豕价三百。
术曰：如方程。置牛二、羊五正，豕一十三负，余钱数正；次，牛三正，羊九负，豕三正；次，五牛负，六羊正，八豕正，不足钱负〔2〕。以正负术入之。此中行买、卖相折，钱适足，故但互买、卖算而已〔3〕。故下无钱直也。设欲以此行如方程法，先令二牛遍乘中行，而以右行直除之。是故终于下实虚缺矣，故注曰“正无实负，负无实正”，方为类也〔4〕。方将以别实加适足之数与实物作实。
盈不足章“黄金白银”与此相当。“假令黄金九、白银一十一，称之重适等。交易其一，金轻十三两。问：金、银一枚各重几何？”与此同。
【注释】
〔1〕设牛、羊、豕价分别是x，y，z，《九章算术》的题设相当于关系式
2x+5y=13z+1 000
3x+3z=9y
6y+8z=5x-600。
〔2〕《九章算术》列出方程，如图8-4（1），它相当于线性方程组
2x+5y-13z=1 000
3x-9y+3z=0
-5x+6y+8z=-600。
图8-4
〔3〕故但互买、卖算而已：所以只是互相置换买卖的算数即可。故但，所以只是。
〔4〕故注：旧注。刘徽此处所引，当然是前人的旧注。
【译文】
假设卖了2头牛、5只羊，用来买13头猪，还剩余1 000钱；卖了3头牛、3头猪，用来买9只羊，钱恰好足够；卖了6只羊、8头猪，用来买5头牛，不足600钱。问：1头牛、1只羊、1头猪的价格各是多少？
答：
1头牛的价格是1 200钱，
1只羊的价格是500钱，
1头猪的价格是300钱。
术：如同方程术那样求解。布置牛的头数2、羊的只数5，都是正的，猪的头数13，是负的，余钱数是正的；接着布置牛的头数3，是正的，羊的只数9，是负的，猪的头数3，是正的；再布置牛的头数5，是负的，羊的只数6，是正的，猪的头数8，是正的，不足的钱是负的。将正负术纳入之。这里中行的买卖互相折算，钱数恰好足够，所以只是互相置换买卖的算数即可。因而下方没有值的钱数。如果想把方程的解法用于这一行，须先使牛的头数2整个地乘中行，而用右行与之对减。中行下方的实既然虚缺，那么旧注说“正的没有实被减，就是负的，负的没有实被减，就是正的”，就是为了这一类问题。将用别的实加适足的数，以实物作为实。盈不足章的黄金白银问题与此相似。“假设有9枚黄金，11枚白银，称它们的重量，恰好相等。交换其一枚，黄金这边轻13两。问：1枚黄金、1枚白银各重多少？”与此相同。
今有五雀六燕〔1〕，集称之衡〔2〕，雀俱重，燕俱轻。一雀一燕交而处，衡适平〔3〕。并雀、燕重一斤。问：雀、燕一枚各重几何？
荅曰：
雀重一两一十九分两之一十三，
燕重一两一十九分两之五。
术曰：如方程。交易质之〔4〕，各重八两〔5〕。此四雀一燕与一雀五燕衡适平。并重一斤，故各八两。列两行程数。左行头位其数有一者，令右行遍除〔6〕。亦可令于左行，而取其法、实于左。左行数多，以右行取其数。左头位减尽，中、下位算当燕与实。右行不动，左上空。中法，下实，即每枚当重宜可知也〔7〕。按：此四雀一燕与一雀五燕其重等，是三雀四燕重相当，雀率重四，燕率重三也。诸再程之率皆可异术求也〔8〕，即其数也。
【注释】
〔1〕成语“五雀六燕”即由此衍化而成，喻双方分量相等，如五雀六燕，铢两悉称。亦省作“五雀”。清赵翼《哭汪文端师》诗：“乙鸿精鉴别，五雀定衡铨。”
〔2〕称（chēnɡ）：称量。李籍云：“正斤两也。” 衡：衡器，秤。李籍云：“权衡也。”
〔3〕《艺文类聚》卷九十二鸟部下于“燕”字云：“《九章算术》曰：‘五雀六燕，飞集衡，衡适平。’”文字与此稍异。
〔4〕质：称，衡量。《汉语大字典》、《汉语大词典》此释义均以《九章算术》此问为例句。疑“称量”之义由“质”训评断、评量引申而来。《周礼·夏官·马质》：“马质掌质马。”贾公彦疏：“质，平也。”笔者故乡山东胶州至今说称量某物为“质质”，当是古语。
〔5〕《九章算术》实际上给出形如图8-5（1）的方程。设1只雀、燕的重量分别为x，y，它相当于线性方程组
4x+y=8
x+5y=8。
图8-5
〔6〕由于左行头位为1，令从右行四度减去左行，右行头位化为0，下位为-19，实为-24。整行乘以-1，如图8-5（2）所示，即得1只燕的重量。
〔7〕此是消去方程左行头位的程序。因为左行燕的只数多，所以求燕的重量可以用此行，在此行求燕的法与实。以右行的头位4乘左行整行，减去右行，左行头位为0，法为19，实为24。如图8-5（3）所示。
〔8〕异术：实际上就是刘徽在麻麦问提出的方程新术。由原方程即图8-5（1）中的两行相减，下方的实变为0，雀的系数为3，燕的系数为-4，也就是3雀相当于4燕，于是
雀:燕=4:3， 或 x:y=4:3。
任取一行，比如右行，用今有术将雀化为燕，即
于是
【译文】
假设有5只麻雀、6只燕子，分别在衡上称量之，麻雀重，燕子轻。将1只麻雀、1只燕子交换，衡恰好平衡。麻雀与燕子合起来共重1斤。问：1只麻雀、1只燕子各重多少？
答：
1只麻雀重两，
1只燕子重两。
术：如同方程术那样求解。将1只麻雀与1只燕子交换，再称量它们，各重8两。这里4只麻雀、1只燕子与1只麻雀、5只燕子恰好使衡平衡。它们合起来重1斤，所以各重为8两。列出两行用以求解的数。左行头位的数为1，使左行整个地去减右行。也可使右行与左行对减，而在左行取得法与实。左行的下位与实的数值大，以右行消减它的数。左行的头位减尽，中位与下位应当是燕与实的算数。右行不动，左行上位空。中位是法，下位是实，那么每1只燕子的重量应当是可以知道的。按：此4只麻雀、1只燕子与1只麻雀、5只燕子，它们的重量相等，这就是3只麻雀与4只燕子的重量相当，所以麻雀重的率是4，燕子重的率是3。各种求若干率的问题都可以用特殊的方法解决，就得到其数值。
今有甲、乙二人持钱不知其数。甲得乙半而钱五十，乙得甲太半而亦钱五十〔1〕。问：甲、乙持钱各几何？
荅曰：
甲持三十七钱半，
乙持二十五钱。
术曰：如方程。损益之〔2〕。此问者言一甲、半乙而五十，太半甲、一乙亦五十也。各以分母乘其全，内子，行定：二甲、一乙而钱一百；二甲、三乙而钱一百五十〔3〕。于是乃如方程。诸物有分者放此〔4〕。
今有二马、一牛价过一万，如半马之价；一马、二牛价不满一万，如半牛之价〔5〕。问：牛、马价各几何？
荅曰：
马价五千四百五十四钱一十一分钱之六，
牛价一千八百一十八钱一十一分钱之二。
术曰：如方程。损益之。此一马半与一牛价直一万也，二牛半与一马亦直一万也〔6〕。“一马半与一牛直钱一万”，通分内子，右行为三马、二牛，直钱二万。“二牛半与一马直钱一万”，通分内子，左行为二马、五牛，直钱二万也〔7〕。
【注释】
〔1〕设甲、乙持钱分别是x，y，《九章算术》的题设相当于给出关系式
此问与下问都是通过损益得到分数系数方程组，合为一组。
〔2〕损益之：此处的“损益”与第2问的意义及其他有关问题的用法有所不同，是指将分数系数通过通分损益成整数系数。
〔3〕刘徽指出其方程相当于线性方程组
2x+y=100
2x+3y=150。
〔4〕放：训“仿”。此问是《九章算术》第一个分数系数方程，故刘徽指出其他有关分数系数的方程，仿此处理。
〔5〕设马、牛之价分别是x，y，《九章算术》的题设相当于给出关系式
〔6〕损益之，得出
这里既有未知数和常数项的互其算，又有未知数的合并同类项。
〔7〕刘徽说，通过通分纳子，将方程化成
3x+2y=20 000
2x+5y=20 000。
【译文】
假设甲、乙二人带着钱，不知是多少。如果甲得到乙的钱数的，就有50钱，乙得到甲的钱数的，也就有50钱。问：甲、乙各带了多少钱？
答：
甲带了钱，
乙带了25钱。
术：如同方程术那样求解。先对之减损增益。这一问题是说，1份甲带的钱与份乙带的钱而共有50钱，份甲带的钱与1份乙带的钱也共有50钱。各以分母乘其整数部分，纳入分子，确定两行为：甲的份数2、乙的份数1而共有100钱，甲的份数2、乙的份数3而共有150钱。于是就如同方程术那样求解。各种物品有分数的都仿照此问。
假设有2匹马、1头牛，它们的价钱超过10 000钱的部分，如同1匹马的价钱的；1匹马、2头牛，它们的价钱不满10 000钱的部分，如同1头牛的价钱的。问：1头牛、1匹马的价钱各是多少？
答：
1匹马的价钱是钱，
1头牛的价钱是钱。
术：如同方程术那样求解。先对之减损增益。这里匹马与1头牛的价钱值10 000钱，头牛与1匹马的价钱也是10 000钱。“匹马与1头牛的价钱值10 000钱”，通分纳子，右行为：马的匹数3、牛的头数2，值钱20 000钱。“头牛与1匹马的价钱也是10 000钱”，通分纳子，左行为：马的匹数2、牛的头数5，值钱20 000钱。
今有武马一匹〔1〕，中马二匹，下马三匹，皆载四十石至坂〔2〕，皆不能上。武马借中马一匹，中马借下马一匹，下马借武马一匹，乃皆上〔3〕。问：武、中、下马一匹各力引几何〔4〕？
荅曰：
武马一匹力引二十二石七分石之六，
中马一匹力引一十七石七分石之一，
下马一匹力引五石七分石之五。
术曰：如方程。各置所借。以正负术入之〔5〕。
【注释】
〔1〕武马：上等马。李籍云：“武马，戎马也。戎马言武马者，犹《曲礼》谓戎车为武车也。取其健猛而善行也。”
〔2〕坂（bǎn）：斜坡。《说文解字》：“坂，坡者曰坂。”李籍云：“不平也。”
〔3〕借：李籍云：“从人假物也。”设1匹武马、中马、下马之力引分别是x，y，z，《九章算术》给出的方程相当于线性方程组
x+y=40
2y+z=40
x+3z=40。
〔4〕力引：拉力，牵引力。引，本义是拉弓，开弓。引申为牵引，拉。李籍云：“引，重也。《易》曰：‘引重致远。’”
〔5〕此问的方程是已经讨论过的类型，刘徽没有注。
【译文】
假设有1匹上等马，2匹中等马，3匹下等马，分别载40石的物品至一陡坡，都上不去。这匹上等马借1匹中等马，这些中等马借1匹下等马，这些下等马借1匹上等马，于是都能上去。问：1匹上等马、中等马、下等马的拉力各是多少？
答：
1匹上等马的拉力石，
1匹中等马的拉力石，
1匹下等马的拉力石。
术：如同方程术那样求解。分别布置所借的1匹马。将正负术纳入之。
今有五家共井，甲二绠不足〔1〕，如乙一绠；乙三绠不足，以丙一绠；丙四绠不足，以丁一绠；丁五绠不足，以戊一绠；戊六绠不足，以甲一绠。如各得所不足一绠，皆逮〔2〕。问：井深、绠长各几何？
荅曰：
井深七丈二尺一寸，
甲绠长二丈六尺五寸，
乙绠长一丈九尺一寸，
丙绠长一丈四尺八寸，
丁绠长一丈二尺九寸，
戊绠长七尺六寸。
术曰：如方程〔3〕。以正负术入之。此率初如方程为之，名各一逮井。其后，法得七百二十一，实七十六，是为七百二十一绠而七十六逮井，并用逮之数。以法除实者，而戊一绠逮井之数定，逮七百二十一分之七十六〔4〕。是故七百二十一为井深，七十六为戊绠之长，举率以言之〔5〕。
【注释】
〔1〕绠：汲水用的绳索。《说文解字》：“绠，汲井缏也。”李籍云：绠，“汲水索”。
〔2〕逮（dài）：及，及至。《说文解字》：“逮，及也。”设甲、乙、丙、丁、戊绠长与井深分别是x，y，z，u，v，w，《九章算术》的题设相当于给出线性方程组
2x+y=w
3y+z=w
4z+u=w
5u+v=w
6v+x=w。
〔3〕《九章算术》依方程术求解。然而此方程6个未知数，只能列出5行，实际上是一个不定问题，有无穷多组解。《九章算术》的编纂者未认识到这一点。
〔4〕刘徽求出戊1绠逮井之数是井深的。
〔5〕刘徽指出，以721为井深，76为戊绠长，129为丁绠长……是“举率以言之”。这是在中国数学史上第一次明确指出不定方程问题。事实上，上述方程经过消元，可以化成：
721x=265w
721y=191w
721z=148w
721u=129w
721v=76w。
这实际上给出了
x:y:z:u:v:w=265:191:148:129:76:721。
显然，只要令w=721n，n=1，2，3，…，都会给出满足题设的x，y，z，u，v，w的值。《九章算术》只是把其中的最小一组正整数解作为定解。
【译文】
假设有五家共同使用一口井，甲家的2根井绳不如井的深度，如同乙家的1根井绳；乙家的3根井绳不如井的深度，如同丙家的1根井绳；丙家的4根井绳不如井的深度，如同丁家的1根井绳；丁家的5根井绳不如井的深度，如同戊家的1根井绳；戊家的6根井绳不如井的深度，如同甲家的1根井绳。如果各家分别得到所不足的那一根井绳，都恰好及至井底。问：井深及各家的井绳长度是多少？
答：
井深是7丈2尺1寸，
甲家的井绳长是2丈6尺5寸，
乙家的井绳长是1丈9尺1寸，
丙家的井绳长是1丈4尺8寸，
丁家的井绳长是1丈2尺9寸，
戊家的井绳长是7尺6寸。
术：如同方程术那样求解。将正负术纳入之。这些率最初是如方程术那样求解出来的，指的是各达到一次井深。其后，得到法是721，实是76。这就是721根戊家的井绳而能76次达到井底，这是合并了达到井底的次数。如果以法除实，那么就确定了戊家1根井绳达到井底的数，达到井深的。所以把721作为井深，76作为戊家1根井绳之长，这只是用率将它们表示出来。
今有白禾二步、青禾三步、黄禾四步、黑禾五步，实各不满斗。白取青、黄，青取黄、黑，黄取黑、白，黑取白、青各一步，而实满斗〔1〕。问：白、青、黄、黑禾实一步各几何？
荅曰：
白禾一步实一百一十一分斗之三十三，
青禾一步实一百一十一分斗之二十八，
黄禾一步实一百一十一分斗之一十七，
黑禾一步实一百一十一分斗之一十。
术曰：如方程。各置所取。以正负术入之。
今有甲禾二秉、乙禾三秉、丙禾四秉，重皆过于石：甲二重如乙一，乙三重如丙一，丙四重如甲一〔2〕。问：甲、乙、丙禾一秉各重几何？
荅曰：
甲禾一秉重二十三分石之一十七，
乙禾一秉重二十三分石之一十一，
丙禾一秉重二十三分石之一十。
术曰：如方程。置重过于石之物为负〔3〕。此问者言甲禾二秉之重过于一石也。其过者何云〔4〕？如乙一秉重矣。互言其算〔5〕，令相折除，而一以石为之差实〔6〕。差实者，如甲禾余实，故置算相与同也。以正负术入之。此入，头位异名相除者，正无人正之，负无人负之也。
今有令一人〔7〕、吏五人〔8〕、从者一十人〔9〕，食鸡一十；令一十人、吏一人、从者五人，食鸡八；令五人、吏一十人、从者一人，食鸡六〔10〕。问：令、吏、从者食鸡各几何？
荅曰：
令一人食一百二十二分鸡之四十五，
吏一人食一百二十二分鸡之四十一，
从者一人食一百二十二分鸡之九十七。
术曰：如方程。以正负术入之。
今有五羊、四犬、三鸡、二兔直钱一千四百九十六；四羊、二犬、六鸡、三兔直钱一千一百七十五；三羊、一犬、七鸡、五兔直钱九百五十八；二羊、三犬、五鸡、一兔直钱八百六十一〔11〕。问：羊、犬、鸡、兔价各几何？
荅曰：
羊价一百七十七，
犬价一百二十一，
鸡价二十三，
兔价二十九。
术曰：如方程。以正负术入之。
【注释】
〔1〕设1步白禾、青禾、黄禾、黑禾之实分别是x，y，z，u，《九章算术》的题设相当于给出线性方程组
2x+y+z=1
3y+z+u=1
x+4z+u=1
x+y+5u=1。
消元中会产生负数，所以纳入正负术。这也是已经讨论过的情形，刘徽未出注。此问及以下三问都比较简单，合为一组。
〔2〕甲二重如乙一：是说2秉甲禾超过1石的重量与1秉乙禾的重量相等。《九章算术》给出关系式
2x-1=y
3y-1=z
4z-1=x。
〔3〕重过于石之物：指与某种禾的重量超过1石的部分相当的那种物品。《九章算术》列出方程，相当于线性方程组
2x-y=1
3y-z=1
-x+4z=1。
〔4〕其过者何云：那超过的部分是什么呢？
〔5〕互言其算：互相置换它们的算数。
〔6〕而一以石为之差实：谓二甲减一乙，三乙减一丙，四丙减一甲，差实都是一石也。一，都，一概。《诗·邶风·北门》：“王事适我，政事一埤益我。”朱熹注：“一，犹皆也。”
〔7〕令：官名，古代政府某机构的长官，如尚书令、大司农令等。也专指县级行政长官。
〔8〕吏：古代官员的通称。《说文解字》：“吏，治人者也。”汉以后特指官府中的小官和差役。
〔9〕从：随从。李籍云：“随也。”
〔10〕设令、吏、从者1人食鸡分别是x，y，z，《九章算术》给出的方程相当于线性方程组
x+5y+10z=10
10x+y+5z=8
5x+10y+z=6。
此亦为已经讨论过的类型，刘徽未出注。
〔11〕设羊、犬、鸡、兔1只的价钱分别是x，y，z，u，《九章算术》给出的方程相当于线性方程组
5x+4y+3z+2u=1 496
4x+2y+6z+3u=1 175
3x+y+7z+5u=958
2x+3y+5z+u=861。
此亦为已经讨论过的类型，刘徽未出注。
【译文】
假设有2步白禾、3步青禾、4步黄禾、5步黑禾，各种禾的实都不满1斗。2步白禾取青禾、黄禾各1步，3步青禾取黄禾、黑禾各1步，4步黄禾取黑禾、白禾各1步，5步黑禾取白禾、青禾各1步，而它们的实都满1斗。问：1步白禾、青禾、黄禾、黑禾的实各是多少？
答：
1步白禾的实是斗，
1步青禾的实是斗，
1步黄禾的实是斗，
1步黑禾的实是斗。
术：如同方程术那样求解。分别布置所取的数量。将正负术纳入之。
假设有2捆甲等禾，3捆乙等禾，4捆丙等禾，它们的重量都超过1石：2捆甲等禾超过1石的恰好是1捆乙等禾的重量，3捆乙等禾超过1石的恰好是1捆丙等禾的重量，4捆丙等禾超过1石的恰好是1捆甲等禾的重量。问：1捆甲等禾、乙等禾、丙等禾各重多少？
答：
1捆甲等禾重石，
1捆乙等禾重石，
1捆丙等禾重石。
术：如同方程术那样求解。布置与重量超过1石的部分相当的那种物品，为负的。这个问题是说，2捆甲等禾的重量超过1石。那超过的部分是什么呢？就如同1捆乙等禾的重量。互相置换它们的算数，使其互相折算，那么都以1石作为差实。差实，如同甲等禾余下的实，所以布置的算数都是相同的。将正负术纳入之。这里的“纳入”就是，头位的两个数如果符号不相同，则它们的数值相减，正数如果无偶就是正数，负数如果无偶就是负数。
假设有1位县令、5位官吏、10位随从，吃了10只鸡；10位县令、1位官吏、5位随从，吃了8只鸡；5位县令、10位官吏、1位随从，吃了6只鸡。问：1位县令、1位官吏、1位随从，各吃多少只鸡？
答：
1位县令吃了只鸡，
1位官吏吃了只鸡，
1位随从吃了只鸡。
术：如同方程术那样求解。将正负术纳入之。
假设有5只羊、4条狗、3只鸡、2只兔子值钱1 496钱；4只羊、2条狗、6只鸡、3只兔子值钱1 175钱；3只羊、1条狗、7只鸡、5只兔子值钱958钱；2只羊、3条狗、5只鸡、1只兔子值钱861钱。问：1只羊、1条狗、1只鸡、1只兔子价钱各是多少？
答：
1只羊的价钱是177钱，
1条狗的价钱是121钱，
1只鸡的价钱是23钱，
1只兔子的价钱是29钱。
术曰：如同方程术那样求解。将正负术纳入之。
今有麻九斗、麦七斗、菽三斗、荅二斗、黍五斗，直钱一百四十；麻七斗、麦六斗、菽四斗、荅五斗、黍三斗，直钱一百二十八；麻三斗、麦五斗、菽七斗、荅六斗、黍四斗，直钱一百一十六；麻二斗、麦五斗、菽三斗、荅九斗、黍四斗，直钱一百一十二；麻一斗、麦三斗、菽二斗、荅八斗、黍五斗，直钱九十五〔1〕。问：一斗直几何？
荅曰：
麻一斗七钱，
麦一斗四钱，
菽一斗三钱，
荅一斗五钱，
黍一斗六钱。
术曰：如方程。以正负术入之。此麻麦与均输、少广之章重衰、积分皆为大事〔2〕。其拙于精理徒按本术者，或用算而布毡，方好烦而喜误，曾不知其非，反欲以多为贵。故其算也，莫不暗于设通而专于一端〔3〕。至于此类，苟务其成，然或失之，不可谓要约〔4〕。更有异术者，庖丁解牛〔5〕，游刃理间，故能历久其刃如新。夫数，犹刃也，易简用之则动中庖丁之理。故能和神爱刃，速而寡尤。凡《九章》为大事，按法皆不尽一百算也〔6〕。虽布算不多，然足以算多。世人多以方程为难，或尽布算之象在缀正负而已，未暇以论其设动无方。斯胶柱调瑟之类〔7〕。聊复恢演，为作新术〔8〕，著之于此，将亦启导疑意。网罗道精〔9〕，岂传之空言？记其施用之例，著策之数，每举一隅焉〔10〕。方程新术曰：以正负术入之。令左、右相减，先去下实，又转去物位，则其求一行二物正、负相借者，是其相当之率〔11〕。又令二物与他行互相去取，转其二物相借之数，即皆相当之率也。各据二物相当之率，对易其数，即各当之率也〔12〕。更置成行及其下实〔13〕，各以其物本率今有之，求其所同，并以为法。其当相并而行中正负杂者，同名相从，异名相消，余以为法。以下置为实〔14〕。实如法，即合所问也〔15〕。一物各以本率今有之，即皆合所问也〔16〕。率不通者，齐之〔17〕。其一术曰〔18〕：置群物通率为列衰〔19〕。更置成行群物之数，各以其率乘之，并以为法。其当相并而行中正负杂者，同名相从，异名相消，余为法。以成行下实乘列衰，各自为实。实如法而一，即得〔20〕。以旧术为之〔21〕，凡应置五行〔22〕。今欲要约。先置第三行，减以第四行〔23〕，又减第五行〔24〕；次置第二行，以第二行减第一行〔25〕，又减第四行〔26〕，去其头位；余，可半〔27〕；次置右行及第二行，去其头位〔28〕；次以右行去第四行头位〔29〕；次以左行去第二行头位〔30〕；次以第五行去第一行头位〔31〕；次以第二行去第四行头位；余，可半〔32〕；以右行去第二行头位〔33〕；以第二行去第四行头位〔34〕。余，约之为法、实，实如法而一，得六，即有黍价〔35〕。以法治第二行，得荅价〔36〕，右行得菽价〔37〕，左行得麦价〔38〕，第三行麻价〔39〕。如此凡用七十七算〔40〕。以新术为此〔41〕：先以第四行减第三行〔42〕。次以第三行去右行及第二行、第四行下位〔43〕。又以减左行下位，不足减乃止〔44〕。次以左行减第三行下位〔45〕。次以第三行去左行下位。讫，废去第三行〔46〕。次以第四行去左行下位，又以减右行下位〔47〕。次以右行去第二行及第四行下位〔48〕。次以第二行减第四行及左行头位〔49〕。次以第四行减左行菽位，不足减乃止〔50〕。次以左行减第二行头位，余，可再半〔51〕。次以第四行去左行及第二行头位〔52〕。次以第二行去左行头位。余，约之，上得五，下得三，是菽五当荅三〔53〕。次以左行去第二行菽位，又以减第四行及右行菽位，不足减乃止〔54〕。次以右行减第二行头位，不足减乃止〔55〕。次以第二行去右行头位〔56〕。次以左行去右行头位。余，上得六，下得五。是为荅六当黍五〔57〕。次以左行去右行荅位。余，约之，上为二，下为一〔58〕。次以右行去第二行下位〔59〕，以第二行去第四行下位，又以减左行下位〔60〕。次，左行去第二行下位。余，上得三，下得四。是为麦三当菽四〔61〕。次以第二行减第四行下位。次以第四行去第二行下位。余，上得四，下得七，是为麻四当麦七〔62〕。是为相当之率举矣〔63〕。据麻四当麦七，即麻价率七而麦价率四〔64〕；又麦三当菽四，即为麦价率四而菽价率三〔65〕；又菽五当荅三，即为菽价率三而荅价率五〔66〕；又荅六当黍五，即为荅价率五而黍价率六〔67〕；而率通矣〔68〕。更置第三行，以第四行减之，余有麻一斗、菽四斗正，荅三斗负，下实四正〔69〕。求其同为麻之数，以菽率三、荅率五各乘其斗数，如麻率七而一，菽得一斗七分斗之五正，荅得二斗七分斗之一负。则菽、荅化为麻〔70〕，以并之，令同名相从，异名相消，余得定麻七分斗之四，以为法。置四为实，而分母乘之，实得二十八，而分子化为法矣。以法除得七，即麻一斗之价〔71〕。置麦率四、菽率三、荅率五、黍率六，皆以麻乘之，各自为实。以麻率七为法，所得即各为价〔72〕。亦可使置本行实与物同通之，各以本率今有之，求其本率所得〔73〕，并，以为法〔74〕。如此，即无正负之异矣〔75〕，择异同而已〔76〕。 又可以一术为之〔77〕：置五行通率，为麻七、麦四、菽三、荅五、黍六以为列衰〔78〕。成行麻一斗、菽四斗正，荅三斗负〔79〕，各以其率乘之，讫，令同名相从，异名相消，余为法。又置下实乘列衰，所得各为实〔80〕。此可以置约法，则不复乘列衰，各以列衰为价〔81〕。如此则凡用一百二十四算也〔82〕。
【注释】
〔1〕设1斗麻、麦、菽、荅、黍的实分别是x，y，z，u，v，《九章算术》给出的方程相当于线性方程组
9x+7y+3z+2u+5v=140
7x+6y+4z+5u+3v=128
3x+5y+7z+6u+4v=116
2x+5y+3z+9u+4v=112
x+3y+2z+8u+5v=95。
〔2〕重衰：指均输章用连锁比例求解的各个问题的方法。 积分：指少广章开方及开立方问题。
〔3〕暗于设通：不通晓全面而通达。暗，不通晓，不明白，不了解。
〔4〕约（yào）：要领，关键。《孟子·公孙丑上》：“然而孟施舍守约也。”焦循正义曰：“约之训为要，于众道之中得其大，是得其要也。”
〔5〕庖（páo）丁解牛：是《庄子·养生主》中的一则寓言，云“庖丁为文惠君解牛，手之所触，肩之所倚，足之所履，膝之所踦，砉然向然，奏刀然，莫不中音”。文惠君曰：“善哉！技盖至此乎？”庖丁对曰：“臣之所好者，道也，进乎技矣。……方今之时，臣以神遇而不以目视，官知止而神欲行。……今臣之刀十九年矣，所解数千牛矣，而刀刃若新发于硎。彼节者有间，而刀刃者无厚。以无厚入有间，恢恢乎其于游刃必有余地矣，是以十九年而刀刃若新发于硎。”庖，厨房。又作厨师，如越俎代庖。
〔6〕不尽：不能穷尽。尽，完，竭。
〔7〕胶柱调瑟：如果用胶黏住瑟的弦柱，就无法调节音调，以比喻拘泥不知变通。又作“胶柱鼓瑟”。瑟，古代的拨弦乐器，如图8-6，春秋时已流行。形似古琴，但无徽位，通常25弦，每弦一柱，鼓瑟者转动弦柱，以调节乐音。
图8-6 瑟
（采自明王圻《三才图会》）
〔8〕聊复恢演，为作新术：姑且展开演算，为之创造新的方法。聊，姑且，暂且，勉强。《诗经·桧风·素冠》：“我心伤悲兮，聊与子同归兮。”郑玄笺：“聊，犹且也。”复，助词。聊复，姑且。南朝刘义庆《世说新语》有“未能免俗，聊复尔耳”之语，在刘徽之后矣。恢，张布，展开。不过李籍云：恢，“大也”。演，演算。不过李籍云：演，“广也”。刘徽提出的方程新术包括两种程序，一种是以今有术求解，即方程新术本术。一种以衰分术求解。
〔9〕网罗：搜罗。 道精：道理的精髓。
〔10〕每举一隅：举一反三。此实际上是方程新术的序，阐发了刘徽关于数学方法的精辟见解。
〔11〕其求一行二物正、负相借者，是其相当之率：由此求出一行中两种物品以正、负表示的互相借取的数，就是它们的相当之率。其，训“以”。相当之率，与相与之率相反的率关系。对易相当之率的两数，就变成相与之率。比如某行消成
bx-ay=0 a＞0，b＞0
那么b，a分别是x，y的相当之率，则
x:y=a:b
a，b就是x，y的相与之率。各行的相与之率，通过通而同之，就求出了所有未知数的相与之率。
〔12〕各当之率：即相与之率。自“令左右行相减”至此，是方程新术的第一步，即求诸未知数的相与之率。其方法就是将方程的每一行都消去下实，再消去某些未知数，使每一行只剩两个未知数，所谓“一行二物正、负相借者”，得出诸未知数的相当之率。根据相当之率，对易其数，成为相与之率。
〔13〕更置成行及其下实：重新布置所确定的一行及其下方的实。成，训“定”。成行，指所确定的一行。
〔14〕以下置为实：以下方所布置的数作为实。
〔15〕这是方程新术的第二步：求一个未知数的值。选定成行，即上述确定的一行，利用诸未知数的相与之率，借助今有术，将各未知数化成同一个未知数。各项系数相加，作为法。以成行之下实作为实。实除以法，即得该未知数之值。设诸未知数为x1，x2，…，xn，已求出诸未知数的相与之率
x1:x2:…:xn=m1:m2:…:mn，
成行为
a1x1+a2x2+…+anxn=A。
若先求xj，则由今有术，，i=1，2，…，n，i≠j。由此，成行化为
或
于是A作为实，作为法，则
成行是相消过程中确定的一行，亦可使用相消前方程的任意一行。当然，使用成行会简单一点。
〔16〕这是方程新术的第三步，即求其他未知数的值，i=1，2，…，n，i≠j。
〔17〕率不通者，齐之：第一步所求出的诸未知数的两两相与之率不一定互相通达，便使用齐同术，使诸率悉通。
〔18〕其一术：是方程新术的另一种方法。即在求出诸未知数的相与之率后，以其为列衰，用衰分术求解。
〔19〕通率：诸未知数的相与之率。通率在应用衰分术时作为列衰。
〔20〕刘徽的其一术是：在成行中，以诸未知数之率乘各自的系数，相加，得，作为法。以未知数之率乘下实，得Amj，j=1，2，…，n，作为实。则
〔21〕旧术：这里的“旧术”不是《九章算术》的方程术，而是刘徽将直除法进行到底的那种方法。参见方程术刘徽注。
〔22〕行、列仍按古代的意义，而以阿拉伯数字记算筹数字，则此5行方程如图8-7（1）。此为1算。
图8-7
〔23〕先置第三行，减以第四行：以第4行减第3行。
〔24〕又减第五行：又去减第5行。由于位值制，这里是以第3行减去第4行后新的第3行去减第5行，第5行头位变为0，其方程如图8-7（2）。此共3算。
〔25〕次置第二行，以第二行减第一行：再布置第2行，以第2行减第1行。
〔26〕又减第四行：这里仍然是以第2行减第1行之后新的第1行减第4行。
〔27〕去其头位；余，可半：消去第4行的头位；剩余的整行，可以被2整除，便除以2。如图8-7（3）。以上共4算。
〔28〕次置右行及第二行，去其头位：此谓布置右行及第2行，分别以第3行二度减、七度减，其头位均变为0，如图8-7（4）。此共11算。
〔29〕次以右行去第四行头位：此谓布置第4行，以右行二度减第4行，第4行头位变为0（头位均就有效数字而言），如图8-7（5）。此共3算。
〔30〕次以左行去第二行头位：此谓布置第2行，以左行二度减第2行，第2行头位变为0，如图8-7（6）。此共3算。
〔31〕次以第五行去第一行头位：此谓布置第1行，以第5行头位3遍乘第1行，减去第5行，第1行头位变为0，如图8-7（7）所示。此共3算。
〔32〕次以第二行去第四行头位；余，可半：此谓布置第4行，将第2行加于第4行，并整行除以2。第4行头位变为0。如图8-7（8）。此共3算。
〔33〕以右行去第二行头位：此谓布置第2行，以右行头位25遍乘第2行，二十度减右行，第2行头位变为0。如图8-7（9）所示。此共21算。
〔34〕以第二行去第四行头位：此谓布置第4行，以第2行头位遍乘第4行，二度减第2行，则第4行头位变为0。第4行仅有黍的系数及下实。如图8-7（10）。此共4算。
〔35〕此谓以等数62约间第4行，作为法、实。实除以法，得1斗黍为6钱。此共2算。
〔36〕将黍价1斗6钱代入第2行，减实，约简，得1斗荅为5钱。此共3算。
〔37〕这里将黍、荅价代入右行，从实中减去，约简，得1斗菽为3钱。此共5算。
〔38〕这里将黍、荅、菽价代入左行，从实中减去，约简，得1斗麦为4钱。此共7算。
〔39〕将菽、荅价代入第3行，从实中减去，得1斗麻为7钱。此共4算。
〔40〕一算即一次运算，如布算，以某数乘或除某一整行，行与行的一度减，实除以法，等等，都是一次运算。以上共77次运算。
〔41〕这是刘徽用方程新术解麻麦问的细草。
〔42〕在图8-7（1）中，使第4行减第3行，其结果如图8-8（1）所示。
图8-8
〔43〕以第3行减右行、第2行、第4行，直到它们的下位（实）变为0，如图8-8（2）所示。
〔44〕又以第3行减左行，以消减左行下位（实），直到不足减为止，其方程如图8-8（3）所示。
〔45〕以左行减第3行，以消减其下位，如图8-8（4）所示。
〔46〕以第3行减左行，直到其下位变为0。然后废去第3行，其余四行的下位变为0，如图8-8（5）所示。以下的程序是消去物位。
〔47〕以第4行（仍是原来的序号）减左行，直到其下位变为0；又以第4行减右行，消减其下位；如图8-8（6）。
〔48〕以右行减第2行、第4行，直到其下位变为0，如图8-8（7）。
〔49〕以第2行减第4行、左行，以消减其头位，如图8-8（8）。
〔50〕以第4行减左行，以消减其菽位（第3位），直到不足减为止，如图8-8（9）所示。
〔51〕以左行加第2行，以消减其头位（绝对值）。剩余的第2行整行，除以4。如图8-8（10）所示。
〔52〕以第4行加左行，减第2行，直到其头位变为0，如图8-8（11）。
〔53〕以第2行加左行，直到其头位变为0。左行之剩余，上为-310，下为186，以等数62约简，上为-5，下为3。这表示菽5相当于荅3。如图8-8（12）所示。
〔54〕以左行减第2行，直到其菽位变为0。又以左行加第4行，减右行，直到菽位不足减为止，如图8-8（13）所示。
〔55〕以右行减第2行，直到头位不足减为止，如图8-8（14）所示。
〔56〕以第2行减右行，直到头位变为0，如图8-8（15）所示。
〔57〕以左行减右行，直到头位变为0。上为-6，下为5。这表示荅6相当于黍5，如图8-8（16）所示。
〔58〕以左行加右行，直到荅位变为0。右行上为-10，下为5，以等数5约简，上为-2，下为1，如图8-8（17）所示。
〔59〕以右行加第2行，直到其下位变为0，如图8-8（18）所示。
〔60〕以第2行加第4行，其下位变为0。又以第2行加左行，消减其下位，如图8-8（19）所示。
〔61〕以左行加第2行，直到其下位变为0。上得-3，下得4。这表示麦3相当于菽4，如图8-8（20）所示。
〔62〕以第2行减第4行，消减其下位。以第4行减第2行，直到其下位变为0。第2行上为4，下为-7。这表示麻4相当于麦7。如图8-8（21）所示。
〔63〕诸物的相当之率：麻4相当于麦7，麦3相当于菽4，菽5相当于荅3，荅6相当于黍5。
〔64〕此由麻4相当于麦7得出：麻:麦=7:4。
〔65〕此由麦3相当于菽4得出：麦:菽=4:3。
〔66〕此由菽5相当于荅3得出：菽:荅=3:5。
〔67〕此由荅6相当于黍5得出：荅:黍=5:6。
〔68〕由于麻与麦，麦与菽，菽与荅，荅与黍的四组率中，麦、菽、荅的率已分别相等，故不必再进行齐同，直接得出
麻:麦:菽:荅:黍=7:4:3:5:6，
或
x:y:z:u:v=7:4:3:5:6。
〔69〕此谓重新布置第3行，以第4行减第3行，得到图8-7（11）中的第3行，它相当于
x+4z-3u=4。
〔70〕欲先求1斗麻（x）之价，需根据菽（z）、荅（u）与麻的相与之率，求菽、荅同为麻之数，即将z，u化为x，得
〔71〕由上条注释得到
所以1斗麻之价x=7。
〔72〕这是说根据已得到的麻价，利用已求出的麻、麦、菽、荅、黍各价的相与率，援引今有术，求出麦、菽、荅、黍诸价
〔73〕此谓也可以布置本来的行，将诸物与实同而通之，求其本率所对应的结果。这里“本行”不是用两行对减所得到的行，而是指原方程的任一行，比如左行，它相当于
x+3y+2z+8u+5v=95。
由诸未知数的相与之率，利用今有术，将其化成同一未知数，比如x，则
〔74〕于是
以作为法，求出x，即麻价7。
〔75〕无正负之异：没有正负数的加减问题。
〔76〕择异同而已：只是选择所同于的谷物罢了。
〔77〕此是以上述“其一术”解麻麦问的细草，它归结到衰分术。
〔78〕以麻、麦、菽、荅、黍的相与之率作为列衰。即
m1:m2:m3:m4:m5=7:4:3:5:6。
〔79〕这里以第4行减第3行，得到图8-7（11）中的第3行为成行，它相当于
x+4z-3u=4。
〔80〕这里法为；诸未知数的实为
麻的实Am1=4×7，
麦的实Am2=4×4，
菽的实Am3=4×3，
荅的实Am4=4×5，
麻的实Am5=4×6。
〔81〕各以列衰为价：分别以列衰作为价格。此术用衰分术求解。一般情况下，以下实乘列衰各为实，成行中的系数分别以列衰乘之，并为法，实如法，各得所求。然此问恰巧“下实”与“法”相等，可以约法，故不必以下实乘列衰，径以列衰作为所求数即可。
〔82〕刘徽认为，以方程新术计算，需124算，比使用方程旧术的77算多。刘徽提出方程新术的意图在于说明同一类数学问题，可以用不同的方法解决。
【译文】
假设有9斗麻、7斗小麦、3斗菽、2斗荅、5斗黍，值140钱；7斗麻、6斗小麦、4斗菽、5斗荅、3斗黍，值128钱；3斗麻、5斗小麦、7斗菽、6斗荅、4斗黍，值116钱；2斗麻、5斗小麦、3斗菽、9斗荅、4斗黍，值112钱；1斗麻、3斗小麦、2斗菽、8斗荅、5斗黍，值95钱。问：1斗麻、小麦、菽、荅、黍各值多少钱？
答：
1斗麻值7钱，
1斗小麦值4钱，
1斗菽值3钱，
1斗荅值5钱，
1斗黍值6钱。
术：如同方程术那样求解。将正负术纳入之。此麻麦问与均输章的重衰、少广章的积分等都是重要问题。那些对数理的精髓认识肤浅，只知道按本来方法做的人，有时为了布置算数而铺下毡毯，正是喜好烦琐而导致错误，竟然不知道这样做不好，反而想以布算多为贵。所以他们都不通晓全面而通达的知识而拘泥于一孔之见。至于此类做法，即使努力使其成功，然而有时会产生失误，不能说是抓住了关键。更有一种新异的方法，就像是庖丁解牛，使刀刃在牛的肌理间游动，所以能历经很久其刀刃却像新的一样。数学方法，就好像是刀刃，遵从易简的原则使用之，就常常正合于庖丁解牛的道理。所以只要能和谐精神，爱护刀刃，就会做得迅速而错误极少。凡是《九章算术》中成为大的问题，按方法都不足100步计算。虽然布算不多，然足以计算很复杂的问题。世间的人大都把方程术看得很难，或者认为布算之象只不过在点缀正负数而已，没有花时间讨论它们的无穷变换。这是胶柱调瑟那样的事情。我姑且展示演算，为之创作新术，撰著于此，只不过是想启发开导疑惑之处。搜罗数理的精髓，岂能只说空话？我记述其施用的例子，运算的方法，在这里只举其一隅而已。
方程新术：将正负术纳入之。使左、右相减，先消去下方的实，又转而消去某些位置上的物品，则由此求出某一行中二种物品以正、负表示的互相借取的数，就是它们的相当之率。又使此二种物品的系数与其他行互相去取，转而求出那些行的二种物品的互相借取之数，则全都是相当之率。分别根据二种物品的相当之率，对易其数，那么就是它们分别对应的率。重新布置那确定的一行及其下方的实，分别以各种物品的本率应用今有术，求出各物同为某物的数，相加，作为法。如果其中应当相加而行中正负数相混杂的，那么同一符号的就相加，不同符号的就相消，余数作为法。以下方布置的数作为实。实除以法，便应该是所问的那种物品的数量。每一种物品各以其本率应用今有术，便都应该是所问的物品的数量。其中如果有互相不通达的率，就使它们相齐。
其一术曰：布置所有物品的通率，作为列衰。重新布置那确定的一行各个物品之数，各以其率乘之，相加，作为法。如果其中有应当相加而行中正负数相混杂的，那么同一符号的就相加，不同符号的就相消，余数作为法。以确定的这行下方的实乘列衰，各自作为实。实除以法，即得到答案。
用旧的方程术求解之，共应该布置五行。现在想抓住问题的关键，并使之简约。先布置第三行，减去第四行，又减第五行；再布置第二行，以第二行减第一行，又减第四行，消去它的头位；剩余的整行，可以被2整除；再布置右行及第二行，消去它们的头位；再以右行消去第四行的头位；再以左行消去第二行的头位；再以第五行去第一行的头位；再以第二行消去第四行的头位；剩余的整行，可以被2整除；以右行消去第二行的头位；以第二行消去第四行的头位。剩余的整行，约简，作为法、实，实除以法，得6，就是1斗黍的价钱。分别以法处理，第二行得到1斗荅的价钱，右行得到1斗菽的价钱，左行得到1斗麦的价钱，第三行得到1斗麻的价钱。这样做，共用了77步运算。
以方程新术解决这个问题：先以第四行减第三行。再以第三行消去右行及第二行、第四行的下位。又以第三行消减左行，直到其下位不足减才停止。再以左行减第三行，消减其下位。再以第三行消去左行的下位。完了，废去第三行。再以第四行消去左行的下位，又以第四行减右行，消减其下位。再以右行消去第二行及第四行的下位。再以第二行减第四行及左行，消减它们的头位。再以第四行减左行，直到其菽位不足减才停止。再以左行减第二行，消减其头位，其剩余的行，可以两次被2整除。再以第四行加左行，减第二行，消去它们的头位。再以第二行加左行，消去其头位。余数，约简之，上方得到5，下方得到3，这就是菽5相当于荅3。再以左行减第二行，消去其菽位，又以左行加第四行，减右行，消减其菽位，直到不足减才停止。再以右行减第二行，直到其头位不足减才停止。再以第二行消去右行的头位。再以左行消去右行的头位。余数，上方得到6，下方得到5。这就是荅6相当于黍5。再以左行加右行，消去其荅位。余数，约简之，上方为2，下方为1。再以右行加第二行，消去其下位，再第二行加第四行，消去其下位，又以第二行加左行，消减其下位。再以左行加第二行，消去其下位。余数，上方得到3，下方得到4。这就是麦3相当于菽4。再以第二行减第四行，消减其下位。再以第四行减第二行，消去其下位。余数，上方得到4，下方得到7。这就是麻4相当于麦7。这样，各种谷物的相当之率都列举出来了。根据麻4相当于麦7，就是麻价率是7而麦价率是4；又根据麦3相当于菽4，就是麦价率是4而菽价率是3；又根据菽5相当于荅3，就是菽价率是3而荅价率是5；又根据荅6相当于黍5，就是荅价率是5而黍价率是6；因而诸率都互相通达了。重新布置第三行，以第四行减之，余有1斗麻、4斗菽，都是正的，3斗荅，是负的，下方的实4，是正的。求出它们同为麻的数，就以菽率3、荅率5各乘菽、荅的斗数，除以麻率7，得到菽为斗，是正的，得到荅为斗，是负的。那么菽、荅都化成了麻，将它们相加，使同一符号的相加，不同符号的相消，那么确定麻的余数是斗，作为法。布置4作为实，而以分母乘之，得到实为28，而分子化为法。以法除，得到7，就是1斗麻的价钱。布置麦率4、菽率3、荅率5、黍率6，皆以1斗麻的价钱乘之，各自作为实。以麻率7作为法，实除以法，所得就是各种谷物的价钱。也可以布置原来某一行的实与诸谷物的斗数，将它们同而通之，分别以其本率，应用今有术，求其本率所相应的某谷物的数，相加，作为法。这样做，就没有正负数的差异了，只是选择它们所同于的谷物罢了。 又可以用另一术求解它：布置五行的通率，就是麻7、麦4、菽3、荅5、黍6，作为列衰。取确定的一行：1斗麻、4斗菽，是正的，3斗荅，是负的，分别以它们各自的率乘之。完了，使它们符号相同的就相加，符号不同的就相消，余数作为法。又布置下方的实乘列衰，所得分别作为实。而在这一问题中，下方布置的实可以与法互约，则不再乘列衰，分别以列衰作为1斗的价钱。这样做，共用了124步运算。