魏 刘徽 注
唐朝议大夫行太史令上轻车都尉臣李淳风等奉敕注释
商功〔1〕以御功程积实〔2〕
今有穿地〔3〕，积一万尺。问：为坚、壤各几何〔4〕？
荅曰：
为坚七千五百尺；
为壤一万二千五百尺。
术曰：穿地四为壤五，壤谓息土〔5〕。为坚三，坚谓筑土。为墟四〔6〕。墟谓穿坑。此皆其常率。以穿地求壤，五之；求坚，三之；皆四而一〔7〕。今有术也。以壤求穿，四之；求坚，三之；皆五而一〔8〕。以坚求穿，四之；求壤，五之；皆三而一〔9〕。臣淳风等谨按：此术并今有之义也。重张穿地积一万尺，为所有数，坚率三、壤率五各为所求率，穿率四为所有率，而今有之，即得。
【注释】
〔1〕商功：九数之一，其本义是商量土方工程量的分配。李籍云：“商，度也。以度其功佣，故曰商功。”要计算工程量，首先要计算土方的体积，因此提出了若干多面体和圆体的体积公式。今天人们更重视其中立体的体积公式的内容。由体积公式派生出来的委粟问题也成为本章的重要内容，后来归于《永乐大典》的委粟类。
〔2〕功程积实：指土建工程及体积问题。功，谓一个劳力一日的工作。《汉纪·文帝纪》：“冬则民既入，妇人同巷夜绩，女工一月得四十五功。”功程，谓需要投入较多人力物力营建的项目。积，体积。
〔3〕穿地：挖地。李籍云：“掘地也。”穿，开凿，挖掘。
〔4〕坚：坚土，夯实的泥土。李籍云：“坚为筑土。《诗》曰：‘筑之登登。’”穿:坚=4:3。 壤：松散的泥土，《书经·禹贡》：“厥土惟白壤。”孔传：“无块曰壤。”刘徽说是“息土”。穿:壤=4:5。
〔5〕息土：犹息壤，沃土，利于生长农作物的土，亦即松散的泥土。《孔子家语·执辔》“息土之人美”，卢辩注：“息土，谓衍沃之田。”息，本义是呼吸时进出的气，引申为滋生，生长。《周易·革》：“水火相息。”王弼注：“息者，生变之谓也。”孔颖达疏：“息，生也。”
〔6〕墟：废址，故刘徽说“墟谓穿坑”。穿:墟=4:4。
〔7〕此即壤=×穿，坚=×穿。刘徽谓这是应用今有术。
〔8〕此即穿=×壤，坚=×壤。
〔9〕此即穿=×坚，壤=×坚。
【译文】
商功为了处理工程的体积问题
假设挖出的泥土，其体积为10 000尺3。问：变成坚土、壤土各是多少？
答：
变成坚土7 500尺3；
变成壤土12 500尺3。
术：挖出的土是4，变成壤土是5。壤土是指肥沃的土。变成坚土是3。坚土是指夯土。变成墟土是4。墟土是指挖坑的土。这些都是它们的常率。由挖出的土求壤土，乘以5，求坚土，乘以3，都除以4。这是用今有术。由壤土求挖出的土，乘以4，求坚土，乘以3，都除以5。由坚土求挖出的土，乘以4，求壤土，乘以5，都除以3。淳风等按：这些方法都是今有术。重复布置挖出的土的体积10 000尺3，作为所有数。坚土率3、壤土率5各为所求率，挖出的土的率作为所有率，用今有术求之，就得到了。
城〔1〕、垣〔2〕、堤〔3〕、沟〔4〕、堑〔5〕、渠〔6〕皆同术〔7〕。
术曰：并上下广而半之，损广补狭〔8〕。以高若深乘之，又以袤乘之，即积尺〔9〕。按：此术“并上下广而半之”者，以盈补虚，得中平之广〔10〕。“以高若深乘之”，得一头之立幂〔11〕。“又以袤乘之”者，得立实之积〔12〕，故为积尺。
今有城，下广四丈，上广二丈，高五丈，袤一百二十六丈五尺。问：积几何？
荅曰：一百八十九万七千五百尺〔13〕。
今有垣，下广三尺，上广二尺，高一丈二尺，袤二十二丈五尺八寸。问：积几何？
荅曰：六千七百七十四尺〔14〕。
今有堤，下广二丈，上广八尺，高四尺，袤一十二丈七尺。问：积几何？
荅曰：七千一百一十二尺〔15〕。
冬程人功四百四十四尺〔16〕。问：用徒几何〔17〕？
荅曰：一十六人一百一十一分人之二。
术曰：以积尺为实，程功尺数为法。实如法而一，即用徒人数〔18〕。
今有沟，上广一丈五尺，下广一丈，深五尺，袤七丈。问：积几何？
荅曰：四千三百七十五尺〔19〕。
春程人功七百六十六尺〔20〕，并出土功五分之一，定功六百一十二尺五分尺之四〔21〕。问：用徒几何？
荅曰：七人三千六十四分人之四百二十七。
术曰：置本人功，去其五分之一，余为法。“去其五分之一”者，谓以四乘五除也〔22〕。以沟积尺为实。实如法而一，得用徒人数〔23〕。按：此术“置本人功，去其五分之一”者，谓以四乘之，五而一。除去出土之功，取其定功，乃通分内子以为法。以分母乘沟积尺为实者，法里有分，实里通之〔24〕，故实如法而一，即用徒人数。此以一人之积尺除其众尺，故用徒人数不尽者，等数约之而命分也。
今有堑，上广一丈六尺三寸，下广一丈，深六尺三寸，袤一十三丈二尺一寸。问：积几何？
荅曰：一万九百四十三尺八寸〔25〕。八寸者，谓穿地方尺，深八寸。此积余有方尺中二分四厘五毫，弃之〔26〕。贵欲从易，非其常定也。
夏程人功八百七十一尺〔27〕，并出土功五分之一，沙砾水石之功作太半〔28〕，定功二百三十二尺一十五分尺之四〔29〕。问：用徒几何？
荅曰：四十七人三千四百八十四分人之四百九。
术曰：置本人功，去其出土功五分之一，又去沙砾水石之功太半，余为法。以堑积尺为实。实如法而一，即用徒人数〔30〕。按：此术“置本人功，去其出土功五分之一”者，谓以四乘五除。“又去沙砾水石作太半”者，一乘三除，存其少半，取其定功，乃通分内子以为法。以分母乘积尺为实者，为法里有分，实里通之，故实如法而一，即用徒人数。不尽者，等数约之而命分也。
今有穿渠，上广一丈八尺，下广三尺六寸，深一丈八尺，袤五万一千八百二十四尺。问：积几何？
荅曰：一千七万四千五百八十五尺六寸〔31〕。
秋程人功三百尺〔32〕。问：用徒几何？
荅曰：三万三千五百八十二人，功内少一十四尺四寸〔33〕。
一千人先到，问：当受袤几何？
荅曰：一百五十四丈三尺二寸八十一分寸之八。
术曰：以一人功尺数乘先到人数为实。以一千人一日功为实〔34〕。并渠上、下广而半之，以深乘之为法〔35〕。以渠广、深之立实为法〔36〕。实如法得袤尺〔37〕。
【注释】
〔1〕城：此指都邑四周用以防守的墙垣。
〔2〕垣：墙，矮墙。《说文》：“垣，墙也。”李籍云：“墉也。”
〔3〕堤：堤防，沿江河湖海用土石修筑的挡水工程。《韩非子·喻老》：“千丈之堤，以蝼蚁之穴溃。”李籍云：堤，“防也”。
〔4〕沟：田间水道。《周礼·考工记·匠人》：“九夫为井。井间广四尺，深四尺谓之沟。”李籍引《释名》曰：“田间之水曰沟。沟，搆也，纵横相交搆。”
〔5〕堑：坑，壕沟，护城河。《说文》：“堑，坑也。”《墨子·备城门》：“堑中深丈五，广比肩。”李籍云：“长于沟也。水之绕城者。”
〔6〕渠：人工开挖的壕沟，水道。《说文》：“渠，水所居。”王筠句读：“河者，天生之；渠者，人凿之。”李籍云：“长于堑也。水之通运者。”
〔7〕城、垣、堤是地面上的土石工程，沟、堑、渠是地面下的水土工程，然而在数学上它们的形状完全相同：上、下两底是互相平行的长方形，它们的长相等而宽不等，两侧为相等的两长方形，两端为垂直于地面的全等的等腰梯形，如图5-1（1）。因而《九章算术》说它们“同术”，即有同一求积公式。以下以“堑”代表这种多面体。
图5-1 堑及其出入相补
（采自《古代世界数学泰斗刘徽》）
〔8〕损广补狭：减损长的，补益短的。因为堑的上下广不相等，故损广补狭，以求其平均值。如图5-1（2）。“损广补狭”，下条注称为“以盈补虚”，都是出入相补原理的不同表达方式。用语不同，反映了时代的差异，必有刘徽“采其所见”者。
〔9〕若：或。 袤：李籍云“长也”。记堑的上、下广分别是a1，a2，袤是b，高或深是h，则其体积
〔10〕中平之广：广的平均值。中平，中等，平均。
〔11〕立幂：这里指直立的面积，与少广章开立方术刘徽注的“立幂”指体积，是不同的。
〔12〕立实：这里指直立的面积的实。按：“立幂”、“立实”在少广章、商功章注文中凡数见，各有歧义。少广章开立方术刘徽注中，“立幂”与“平幂”相对应，前者指立方体体积，后者指平面面积。这里的“立实”与“立幂”相对应，深广相乘为立幂，又乘以袤，则为立实。下穿渠问注中有一“立实”，为深广之积。下穿地求广问术文分注中有两“立实”，皆为深、袤相乘之积。此两“立实”在下总注中皆作“立幂”。这种一实两名的情况很可能反映了时代的不同，即前者是刘徽前的名称，刘徽“采其所见”，写入注中，后者系刘徽使用的名称。
〔13〕由城体积公式（5-1），其体积
〔14〕由垣体积公式（5-1），其体积
〔15〕由堤体积公式（5-1），其体积
〔16〕冬程人功四百四十四尺：一人在冬季的标准工作量是444尺3。《晋书·律历志》：“暨于秦汉乃以孟冬为岁首。”说明秦汉时期以冬季第一个月十月为岁首，故将冬程人功作为第一个程功问题。冬程人功，就是一人在冬季的程功，即标准工作量。程功，标准的工作量。
〔17〕徒：服徭役者。《周礼·天官·冢宰》：“胥十有二人，徒百有二十人。”郑玄注：“此民给徭役者。”
〔18〕《九章算术》的方法是：用徒人数=堤积尺÷冬程人功。
〔19〕由沟体积公式（5-1），其体积
〔20〕春程人功七百六十六尺：一人在春季的标准工作量是766尺3。春程人功，就是一人在春季的标准工作量。
〔21〕并：合并，吞并，兼。这里是说兼有，其中合并了出土功。 定功：确定的工作量。春季每人的标准工作量是766尺3，但挖沟时需要自己出土，占工作量的，因此确定的工作量是。
〔22〕实际的工作量是春程人功的，因此定功为。
〔23〕《九章算术》的算法是：。
〔24〕法里有分，实里通之：当法有分数的时候，要用法的分母将实通分。设由法化成的假分数为，则用徒人数=。
〔25〕由堑体积公式（5-1），其体积
八寸，即8尺2寸=800寸3。“八寸”实际上是表示长、宽各1尺，高8寸的长方体的体积。
〔26〕方尺中二分四厘五毫，弃之：2尺2分4尺2厘5尺2毫，相当于长、宽各1尺，高2分4厘5毫的长方体的体积，即寸3。舍弃寸3，以10 943尺3800寸3作为堑的体积。
〔27〕夏程人功八百七十一尺：一人在夏季的标准工作量是871尺3。夏程人功，就是一人在夏季的标准工作量。
〔28〕此谓夏程人功中兼有出土功，沙砾水石功。砾：李籍引《释名》曰：“小石曰砾。”
〔29〕定功为。
〔30〕《九章算术》的算法是：用徒人数=堑积尺÷［夏程人功×。
〔31〕由穿渠体积公式（5-1），其体积
〔32〕秋程人功三百尺：一人在秋季的标准工作量是300尺3。秋程人功，就是一人在秋季的标准工作量。
〔33〕用徒为10 074 585尺3600寸÷300尺3/人，接近33 582人。若将穿渠的土方积加14尺3400寸3，则（10 074 585尺3600寸3+14尺3400寸3）÷300尺3/人=33 582人。故云功内少14尺3400寸3。
〔34〕此谓以300尺3×1 000=300 000尺3为实。
〔35〕此即以为法。
〔36〕立实：这里指宽、深形成的直立的面积。
〔37〕此是公式（5-1）的逆运算：。
【译文】
城、垣、堤、沟、堑、渠都使用同一术
术：将上、下宽相加，取其一半。这是减损宽广的，补益狭窄的。以高或深乘之，又以长乘之，就是体积的尺数。按：此术中“将上、下宽相加，取其一半”，这是以盈余的补益虚缺的，得到宽的平均值。“以高或深乘之”，就得到一头竖立的面积。“又以长乘之”，便得到立体的体积，所以就是体积的尺数。
假设有一堵城墙，下底宽是4丈，上顶宽是2丈，高是5丈，长是126丈5尺。问：它的体积是多少？
答：1 897 500尺3。
假设有一堵垣，下底宽是3尺，上顶宽是2尺，高是1丈2尺，长是22丈5尺8寸。问：它的体积是多少？
答：6 774尺3。
假设有一段堤，下底宽是2丈，上顶宽是8尺，高是4尺，长是12丈7尺。问：它的体积是多少？
答：7 112尺3。
假设冬季每人的标准工作量是444尺3，问：用工多少？
答：人。
术：以体积的尺数作为实，每人的标准工作量作为法。实除以法，就是用工人数。
假设有一条沟，上宽是1丈5尺，下底宽是1丈，深是5尺，长是7丈。问：它的容积是多少？
答：4 375尺3。
假设春季每人的标准工作量是766尺3，其中包括出土的工作量。确定的工作量是尺3。问：用工多少？
答：人。
术：布置一人本来的标准工作量，除去它的，余数作为法。“除去它的”，就是乘以4，除以5。以沟的容积尺数作为实。实除以法，就是用工人数。按：此术中，“布置一人本来的标准工作量，除去它的”，就是乘以4，除以5。除去出土的工作量，留取一人确定的工作量。于是通分，纳入分子，作为法。用法的分母乘沟的体积尺数作为实，是因为如果法中有分数，就在实中将其通分。所以，实除以法，就是用工人数。这里用一人完成的土方体积尺数除众人完成的土方体积尺数，所以如果求出用工人数后还有剩余，就用等数约简之而命名一个分数。
假设有一道堑，上宽是1丈6尺3寸，下底宽是1丈，深是6尺3寸，长是13丈2尺1寸。问：它的容积是多少？
答：10 943尺3800寸3。这里“八寸”，是说挖地1方尺而深8寸。这一容积中还有余数为方尺中2分4厘5毫，将其舍去。处理问题时，贵在遵从简易的原则，没有一成不变的规矩。
假设夏季每人的标准工作量是871尺3，其中包括出土的工作量，沙砾水石的工作量。确定的工作量是尺3。问：用工多少？
答：人。
术：布置一人本来的标准工作量，除去出土的工作量即它的，又除去沙砾水石的工作量即它的，余数作为法。以堑的容积尺数作为实。实除以法，就是用工人数。按：此术中，“布置一人本来的标准工作量，除去它的”，就是乘以4，除以5。“又除去沙砾水石的工作量”，就是乘以1，除以3，存下其。留取一人确定的工作量，于是通分，纳入分子，作为法。用法的分母乘体积尺数作为实，是因为如果法中有分数，就在实中将其通分。所以，实除以法，就是用工人数。除不尽的，就用等数约简之而命名一个分数。
假设挖一条水渠，上宽是1丈8尺，下底宽是3尺6寸，深是1丈8尺，长是51 824尺。问：挖出的土方体积是多少？
答：10 074 585尺3600寸3。
假设秋季每人的标准工作量是300尺3，问：用工多少？
答：33 582人，而总工作量中少了14尺3400寸3。
如果1 000人先到，问：应当领受多长的渠？
答：154丈3尺寸。
术：以一人标准工作量的体积尺数乘先到人数，作为实。以1 000人一天的工作量作为实。将水渠的上、下宽相加，取其一半，以深乘之，作为法。以水渠的宽与深形成的竖立的面积作为法。实除以法，就得到长度尺数。
今有方堢〔1〕堢者〔2〕，堢城也。，音丁老切，又音纛〔3〕，谓以土拥木也。方一丈六尺，高一丈五尺。问：积几何？
荅曰：三千八百四十尺。
术曰：方自乘，以高乘之，即积尺〔4〕。
今有圆堢〔5〕，周四丈八尺，高一丈一尺。问：积几何？
荅曰：二千一百一十二尺。于徽术，当积二千一十七尺一百五十七分尺之一百三十一。 臣淳风等谨按：依密率，积二千一十六尺。
术曰：周自相乘，以高乘之，十二而一〔6〕。此章诸术亦以周三径一为率，皆非也。于徽术，当以周自乘，以高乘之，又以二十五乘之，三百一十四而一〔7〕。此之圆幂亦如圆田之幂也。求幂亦如圆田，而以高乘幂也。 臣淳风等谨按：依密率，以七乘之，八十八而一〔8〕。
【注释】
〔1〕方堢：即今之正方柱体，如图5-2。，土堡。
图5-2 方堢
（采自《古代世界数学泰斗刘徽》）
〔2〕堢：李籍云：“小城也。”
〔3〕纛（dào）：古代用雉尾或牦牛尾做的舞具、帝王车上的饰物，亦作仪仗、军队中的大旗。
〔4〕设方堢每边长为a，高h，则其体积
V=a2h。（5-2）
将此例题的数值代入，得该方堢的体积为
V=a2h=162×15=3 840（尺3）。
〔5〕圆堢：即今之圆柱体，如图5-3。
图5-3 圆堢
（采自《古代世界数学泰斗刘徽》）
〔6〕设圆堢的底周长为L，高h，则其体积
〔7〕刘徽以徽术将（531）式修正为
〔8〕李淳风等将（531）式修正为
【译文】
假设有一方堢，堢是堢城，，音丁老切，又音纛，是说用土围裹着一根木桩。它的底是边长1丈6尺的正方形，高是1丈5尺。问：其体积是多少？
答：3 840尺3。
术：底面边长自乘，以高乘之，就是体积尺数。
假设有一圆堢，底面圆周长是4丈8尺，高是1丈1尺。问：其体积是多少？
答：2 112尺3。用我的徽术，体积应当是尺3。 淳风等按：依照密率，体积是2 016尺3。
术：底面圆周长自乘，以高乘之，除以12。此章中各术也都以周3径1作为率，都是错误的。用我的徽术，应当以底面圆周长自乘，以高乘之，又以25乘之，除以314。此处之圆面积也如同圆田之面积。因此求它的幂也如圆田，然后以高乘面积。 臣淳风等按：依照密率，以7乘之，除以88。
今有方亭〔1〕，下方五丈，上方四丈，高五丈。问：积几何？
荅曰：一十万一千六百六十六尺太半尺。
术曰：上、下方相乘，又各自乘，并之，以高乘之，三而一〔2〕。此章有堑堵、阳马，皆合而成立方，盖说算者乃立棋三品〔3〕，以效高深之积〔4〕。假令方亭，上方一尺，下方三尺，高一尺〔5〕。其用棋也，中央立方一，四面堑堵四，四角阳马四〔6〕。上、下方相乘为三尺，以高乘之，约积三尺〔7〕，是为得中央立方一，四面堑堵各一〔8〕。下方自乘为九，以高乘之，得积九尺〔9〕，是为中央立方一，四面堑堵各二，四角阳马各三也〔10〕。上方自乘，以高乘之，得积一尺，又为中央立方一〔11〕。凡三品棋皆一而为三〔12〕。故三而一，得积尺〔13〕。用棋之数：立方三，堑堵、阳马各十二，凡二十七，棋十三〔14〕。更差次之〔15〕，而成方亭者三，验矣〔16〕。 为术又可令方差自乘，以高乘之，三而一，即四阳马也〔17〕。上下方相乘，以高乘之，即中央立方及四面堑堵也〔18〕。并之，以为方亭积数也〔19〕。
今有圆亭〔20〕，下周三丈，上周二丈，高一丈。问：积几何？
荅曰：五百二十七尺九分尺之七。于徽术，当积五百四尺四百七十一分尺之一百一十六也。 按密率〔21〕，为积五百三尺三十三分尺之二十六。
术曰：上、下周相乘，又各自乘，并之，以高乘之，三十六而一〔22〕。此术周三径一之义，合以三除上、下周，各为上、下径，以相乘；又各自乘，并，以高乘之，三而一，为方亭之积〔23〕。假令三约上、下周，俱不尽，还通之，即各为上、下径。令上、下径相乘，又各自乘，并，以高乘之，为三方亭之积分〔24〕。此合分母三相乘得九，为法，除之〔25〕。又三而一，得方亭之积〔26〕。从方亭求圆亭之积，亦犹方幂中求圆幂〔27〕。乃令圆率三乘之，方率四而一，得圆亭之积〔28〕。前求方亭之积，乃以三而一，今求圆亭之积〔29〕，亦合三乘之〔30〕。二母既同，故相准折〔31〕。惟以方幂四乘分母九，得三十六，而连除之〔32〕。于徽术，当上、下周相乘，又各自乘，并，以高乘之，又二十五乘之，九百四十二而一〔33〕。此圆亭四角圆杀〔34〕，比于方亭，二百分之一百五十七〔35〕。为术之意，先作方亭，三而一，则此据上、下径为之者，当又以一百五十七乘之，六百而一也〔36〕。今据周为之，若于圆堢，又以二十五乘之，三百一十四而一，则先得三圆亭矣〔37〕。故以三百一十四为九百四十二而一，并除之。 臣淳风等谨按：依密率，以七乘之，二百六十四而一〔38〕。
【注释】
〔1〕方亭：即今之正四锥台，或方台，如图5-4。李籍云：“方亭者，其积之形如亭之方者。”亭，本是古代设在路旁供行人休息、食宿的处所。《说文解字》：“亭，民所安定也。”李籍引《释名》曰：“亭，停也。人所停集也。”
图5-4 方亭
（采自《古代世界数学泰斗刘徽》）
〔2〕设方亭的上底边长为a1，下底边长为a2，高h，则其体积公式为
〔3〕说算者：研究数学的学者。这里主要指刘徽之前的数学家。 棋三品：即三品棋，是指广、长、高均为1尺的正方体、堑堵、阳马，如图5-5，是为《九章算术》、秦汉数学简牍时代直到刘徽之前人们推导多面体体积公式所使用的三种基本立体模型。品，种类。
图5-5 三品棋
（采自译注本《九章算术》）
〔4〕以效高深之积：以三品棋推证由高、深形成的多面体体积。效，通校（jiào），考核，考查。《庄子·列御寇》：“彼将任我以事，而校我以功，吾是以惊。”又作验证，证明。《淮南子·脩务训》：“哭者，悲之效也。”高诱注：“效，验也。”
〔5〕“假令方亭”四句：假设方亭的上底边长1尺，下底边长3尺，高1尺，如图5-6（1）。这是一枚标准型方亭。此下是刘徽记述的《九章算术》时代利用三品棋以棋验法推导（5-4-1）式的方法。
图5-6 方亭之棋验法
（采自译注本《九章算术》）
〔6〕标准型方亭含有三品棋的个数是位于中央的1个立方体，位于四面的4个堑堵，位于四角的4个阳马。
〔7〕这里构造第一个长方体，宽是标准型方亭上底边长1尺，长是其下底边长3尺，高是其高1尺，如图5-6（2）。约积三尺：得到其体积是a1a2h=1×3×1=3（尺3）。约，求取，见少广章开立圆术李淳风等注释的注解〔33〕。
〔8〕第一个长方体含有中央正方体1个，四面堑堵各1个。
〔9〕再构造第二个长方体，实际上是一个方柱体，底的边长是标准型方亭下底边长3尺，高是其高1尺，如图5-6（3），其体积是=32×1=9（尺3）。
〔10〕第二个长方体含有中央正方体1个，四面堑堵各2个，四角阳马各3个。
〔11〕再构造第三个长方体，实际上是以标准方亭的上底边长1尺为边长的正方体，如图5-6（4），其体积是=12×1=1（尺3），它就是1个中央正方体。
〔12〕凡三品棋皆一而为三：所构造的三个长方体共有中央立方体3个，四面堑堵12个，四角阳马12个，与标准方亭所含中央立方1个、四面堑堵4个、四角阳马4个相比较，构成标准方亭的三品棋1个都变成了3个。三个长方体的体积总共是。
〔13〕故三而一，得积尺：所以除以3，就得（5-4-1）式，这就是一个标准方亭的体积。
〔14〕此谓三个长方体的三品棋分别是3个正方棋，12个堑堵棋，12个阳马棋，总数是27个，可以合成13个正方棋。此取法国林力娜（K. Chemla）的意见。
〔15〕更差（cī）次之：将这13个正方棋按照一定的类别和次序重新组合。差次，是指等级次序。《史记·商君列传》：“明尊卑爵秩等级，各以差次名田宅。”
〔16〕此13个立方棋重新构成3个标准型方亭，又验证了（5-4-1）式。这就是关于方亭的棋验法。显然，这种方法只适应于标准型方亭，因为对一般的方亭，尽管可以构造三个长方体，但其中所含的3个立方体、12个堑堵、12个阳马，因为都不是三品棋，其广、袤、高不相等，无法重新组合成三个方亭。
〔17〕这是刘徽在证明了阳马的体积公式（见下阳马术刘徽注）之后，以有限分割求和法推导方亭的体积公式。如图5-7，将方亭分解成中央1个长方体（实际上是一个方柱体），四面4个堑堵，四角4个阳马。每个阳马的底面是以为边长的正方形，由阳马体积公式，其体积是，4个阳马的体积是。
图5-7 方亭的有限分割求和法
（采自译注本《九章算术》）
〔18〕中央长方体的底面是以a1为边长的正方形，其体积是。每个堑堵的底面的长是a1，宽是，由堑堵体积公式（见下堑堵术），其体积是，4个堑堵的体积是a1（a2-a1）h。中央长方体与4个堑堵的体积之和是。
〔19〕将四角4阳马、中央长方体、四面4堑堵的体积相加，便得到方亭的体积
〔20〕圆亭：即今之圆台，如图5-8（1）。
图5-8 圆亭
（采自译注本《九章算术》）
〔21〕按密率：此注之作者难以定论，南宋本、杨辉本不具作者，戴震辑录本作淳风等注。参见开立圆术例题1注释〔2〕。
〔22〕设圆亭的上底边长为L1，下底边长为L2，高h，则其体积公式为
〔23〕这是以周3径1之率，作圆亭的外切方亭，此方亭的上、下底的边长分别为，由公式（541）便求出此方亭的体积。
〔24〕此谓在不可除尽的情况下，计算，它是3个以圆亭上周L1，下周L2分别为上、下底边长的大方亭的体积。
〔25〕计算大方亭时没有以3除周长，故计算3个外切方亭的体积时需以32=9除之。这种做法在后来的数学著作中称为“寄母”。
〔26〕圆亭的一个外切方亭的体积是。
〔27〕从方亭求圆亭之积，亦犹方幂中求圆幂：记圆幂为S圆，方幂为S方，圆亭体积为V圆亭，方亭体积为V方亭，此即
V方亭:V圆亭=S方:S圆。（5-6）
是为祖暅之原理发展过程中的一个应用。
〔29〕三而一：由于方亭体积公式（5-4-1）有系数，故以3除之。
〔30〕三：指相对于方率4之圆率3，即π=3。
〔31〕准折：恰好抵消。先“三而一”，后“三乘之”，故互相抵消。
〔32〕此谓只以32×4=36一并除即可，即由得到（5-5-1）式。
〔33〕刘徽以徽术将（5-5-1）修正为
〔34〕杀（shài）：差（cī），差等，见卷四开立圆术刘徽注第一段注解〔19〕。
〔35〕刘徽将（5-7-1）式修正为
〔36〕设圆亭的上、下底的直径分别为d1，d2，刘徽认为其外切方亭的体积为
〔37〕根据圆堢的体积公式（5-3-2），3个圆亭的体积应为。
〔38〕李淳风等将（5-5-1）修正为
【译文】
假设有一个方亭，下底面是边长为5丈的正方形，上底面是边长为4丈的正方形，高是5丈。问：其体积是多少？
答：尺3。
术：上、下底面的边长相乘，又各自乘，将它们相加，以高乘之，除以3。此章有堑堵、阳马等立体，都可以拼合成立方体。所以治算学的人就设立三品棋，为的是推证以高深形成的立体体积。假设一个方亭，上底是边长为1尺的正方形，下底是边长为3尺的正方形，高是1尺。它所使用的棋是：中央1个正方体，四面4个堑堵，四角4个阳马。上、下底的边长相乘，得到3尺2，以高乘之，求得体积3尺3。这就得到中央的1个正方体，四面各1个堑堵。下底边长自乘是9尺3，以高乘之，得到体积9尺3。这就是中央的1个正方体，四面各2个堑堵，四角各3个阳马。上底边长自乘，以高乘之，得到体积1尺3，又为中央的1个正方体。那么，凡是三品棋，1个都变成了3个。所以除以3，便得到方亭的体积尺数。用三品棋的数目：正方体3个，堑堵、阳马各12个，共27个，能合成13个正方棋。重新按一定顺序将它们组合，可成为3个方亭，这就推验了方亭的体积公式。 造术又可以使上、下两底边长的差自乘，以高乘之，除以3，就是四角四阳马的体积；上、下底边长相乘，以高乘之，就是中央一个长方体与四面四个堑堵的体积。两者相加，就是方亭的体积尺数。
假设有一个圆亭，下底周长是3丈，上底周长是2丈，高是1丈。问：其体积是多少？
答：尺3。用我的徽术，体积应当是尺3。 依照密率，体积是尺3
术：上、下底周长相乘，又各自乘，将它们相加，以高乘之，除以36。此术依照周3径1之义，应当以3除上、下底的周长，分别作为上、下底的直径。将它们相乘，又各自乘，相加，以高乘之，除以3，就成为圆亭的外切方亭的体积。如果以3约上、下底的周长，都约不尽，就回头将它们通分，将它们分别作为上、下底的直径。使上、下底的直径相乘，又各自乘，相加，以高乘之，就是3个方亭体积的积分。这里还应当以分母3相乘得9，作为法，除之。再除以3，就得到一个方亭的体积。从方亭求圆亭的体积，也如同从正方形的面积中求其内切圆的面积。于是乘以圆率3，除以方率4，就得到圆亭的体积。前面求方亭的体积是除以3。现在求圆亭的体积，又应当乘以3。二数既然相同，所以恰好互相抵消，只以正方形的面积4乘分母9，得36而合起来除之。用我的徽术，应当将上、下底的周长相乘，又各自乘，相加，以高乘之，又乘以25，除以942。这里的圆亭的四个角收缩成圆，它与方亭相比，是。造术的意思是：先作一个方亭，除以3。如果这是根据上、下底的周长作的方亭，应当又乘以157，除以600。现在是根据圆亭上、下底的周长作的方亭，如同对圆堢那样，乘以25，除以314。那么就先得到了3个圆亭。所以将除以314变为除以942，就是用3与314一并除。淳风等按：依照密率，乘以7，除以264。
今有方锥〔1〕，下方二丈七尺，高二丈九尺。问：积几何？
荅曰：七千四十七尺。
术曰：下方自乘，以高乘之，三而一〔2〕。按：此术假令方锥下方二尺，高一尺，即四阳马〔3〕。如术为之，用十二阳马，成三方锥〔4〕，故三而一，得方锥也。
今有圆锥〔5〕，下周三丈五尺，高五丈一尺。问：积几何？
荅曰：一千七百三十五尺一十二分尺之五。于徽术，当积一千六百五十八尺三百一十四分尺之十三。 依密率〔6〕，为积一千六百五十六尺八十八分尺之四十七。
术曰：下周自乘，以高乘之，三十六而一〔7〕。按：此术圆锥下周以为方锥下方。方锥下方今自乘，以高乘之，令三而一，得大方锥之积〔8〕。大锥方之积合十二圆矣〔9〕。今求一圆，复合十二除之，故令三乘十二得三十六，而连除〔10〕。于徽术，当下周自乘，以高乘之，又以二十五乘之，九百四十二而一〔11〕。圆锥比于方锥，亦二百分之一百五十七〔12〕。命径自乘者，亦当以一百五十七乘之，六百而一。其说如圆亭也〔13〕。 臣淳风等谨按：依密率，以七乘之，二百六十四而一〔14〕。
【注释】
〔1〕方锥：如图5-9。李籍云：“方锥者，其积之形如锥之方者。”
图5-9 方锥
（采自《古代世界数学泰斗刘徽》）
〔2〕设方锥的下方为a，高为h，则其体积为
〔3〕这是刘徽记述的《九章算术》时代以棋验法推导（5-8）式的方法。取一个标准型方锥：下底边长2尺，高1尺。它可以分解为4个阳马棋，如图5-10（1）。
图5-10 方锥之棋验法
（采自译注本《九章算术》）
〔4〕取12个阳马棋，可以合成4个正方棋，它可以重新拼合成3个标准方锥。如图5-10（2）。
〔5〕圆锥：如图5-11。
图5-11 圆锥
（采自《古代世界数学泰斗刘徽》）
〔6〕依密率：此注作者亦难定论，参见圆亭问注释。
〔7〕设圆锥的下底周长为L，高为h，则其体积为
〔8〕这是取圆锥下周长L为下底边长，作一大方锥，如图5-12。其体积为
图5-12 圆锥与大方锥
（采自译注本《九章算术》）
〔9〕此谓以周3径1为率，大方锥下底的面积L2恰为12个圆锥底面的圆，见图5-12。 大锥：大方锥之省称。 方：下方。
〔10〕这里实际上是通过比较圆锥与大方锥的底面积由后者的体积推导前者的体积，亦为祖暅之原理发展过程中的一个应用。设L2=S大圆，圆锥的底面积为S圆，由于S大圆:S圆=12:1，故圆锥体积为，此即（591）式。
〔11〕刘徽以徽术将（5-9-1）修正为
〔12〕设圆锥体积为V圆锥，外切方锥体积为V方锥，如图5-13，刘徽认为
图5-13 圆锥与外切方锥
（采自译注本《九章算术》）
〔13〕设圆锥下底的直径为d，刘徽认为其外切方锥的体积为
〔14〕李淳风等将（5-9-1）修正为
【译文】
假设有一个方锥，下底是边长为2丈7尺的正方形，高是2丈9尺。问：其体积是多少？
答：7 047尺3。
术：下底边长自乘，以高乘之，除以3。按：此术中假设方锥下底的边长是2尺，高是1尺，即可分解成4个阳马。如方亭术那样处理这个问题：用12个阳马可以合成3个方锥，所以除以3，便得到方锥的体积。
假设有一个圆锥，下底周长3丈5尺，高是5丈1尺。问：其体积是多少？
答：尺3。用我的徽术，体积应当是尺3。依照密率，体积是尺3。
术：下底周长自乘，以高乘之，除以36。按：此术中以圆锥的下底周长作为方锥下底的边长。现方锥下底的边长自乘，以高乘之，除以3，得到大方锥的体积。大方锥的底面积折合12个圆锥的底圆。现在求一个圆，又应当除以12。所以使3乘以12，得36而合起来除。用我的徽术，应当将下底的周长自乘，以高乘之，又乘以25，除以942。圆锥与方锥的体积相比，也是。如果使圆锥下底的直径自乘，也应当乘以157，除以600，其原理如同圆亭术。 淳风等按：依照密率，乘以7，除以264。
今有堑堵〔1〕，下广二丈，袤一十八丈六尺，高二丈五尺。问：积几何？
荅曰：四万六千五百尺。
术曰：广、袤相乘，以高乘之，二而一〔2〕。邪解立方得两堑堵〔3〕。虽复随方〔4〕，亦为堑堵，故二而一〔5〕。此则合所规棋〔6〕。推其物体，盖为堑上叠也〔7〕。其形如城，而无上广〔8〕，与所规棋形异而同实〔9〕。未闻所以名之为堑堵之说也〔10〕。
【注释】
〔1〕堑堵：如图5-14所示。
图5-14 堑堵
（采自译注本《九章算术》）
〔2〕设堑堵的广、袤、高分别为a，b，h，则其体积为
〔3〕此谓沿正方体相对两棱将其斜剖开，便得到两堑堵。
〔4〕随（tuǒ）方：即椭方，长方体。随，音义同“椭”，古此二字相通。《淮南子·齐俗训》：“窥面于盘水则员，于杯则随。面形不变，其故有所员、有所随者，所自窥之异也。”吕大临曰：“‘随’当读‘椭’，圜而长也。”《群书治要》引作“于杯，水即椭”。
〔5〕此谓将随方斜剖，也得到两堑堵，如图5-15，因此容易得出（5-12）式。
图5-15 邪解随方为二堑堵
〔6〕所规棋：所规定的棋，即《九章算术》中的堑堵。
〔7〕叠：堆积。此谓推究其形状，大体像叠在堑上的物体，如图5-16。刘徽提出了另一种形状的堑堵。
图5-16 堑上之叠
（采自译注本《九章算术》）
〔8〕叠在堑上的堑堵就是城的上广为零的情形。
〔9〕这种多面体与所规定的棋，形状稍有不同，而其体积公式是相同的。
〔10〕此谓没有听说过将其称作堑堵的原因。这再次表明刘徽具有知之为知之，不知为不知的高贵品质。
【译文】
假设有一道堑堵，下宽是2丈，长是18丈6尺，高是2丈5尺。问：其体积是多少？
答：46 500尺3。
术：宽与长相乘，以高乘之，除以2。将一个正方体斜着剖开，就得到2个堑堵。更进一步，即使是一个长方体被剖开，也得到2个堑堵。所以除以2。这与所规定的棋吻合。推断它的形状，大体是叠在堑上的那块物体。它的形状像城，但是没有上宽。与所规定的棋形状稍异而体积公式相同，没有听说将其叫作堑堵的原因。
今有阳马〔1〕，广五尺，袤七尺，高八尺。问：积几何？
荅曰：九十三尺少半尺。
术曰：广、袤相乘，以高乘之，三而一〔2〕。按：此术阳马之形，方锥一隅也〔3〕。今谓四柱屋隅为阳马〔4〕。假令广、袤各一尺，高一尺，相乘之，得立方积一尺。邪解立方得两堑堵，邪解堑堵，其一为阳马，一为鳖腝〔5〕，阳马居二，鳖腝居一，不易之率也〔6〕。合两鳖腝成一阳马〔7〕，合三阳马而成一立方，故三而一〔8〕。验之以棋，其形露矣〔9〕。悉割阳马，凡为六鳖腝〔10〕。观其割分，则体势互通，盖易了也〔11〕。 其棋或脩短，或广狭，立方不等者〔12〕，亦割分以为六鳖腝〔13〕。其形不悉相似，然见数同，积实均也〔14〕。鳖腝殊形，阳马异体〔15〕。然阳马异体，则不可纯合〔16〕。不纯合，则难为之矣〔17〕。何则？按：邪解方棋以为堑堵者〔18〕，必当以半为分，邪解堑堵以为阳马者，亦必当以半为分，一从一横耳〔19〕。设为阳马为分内，鳖腝为分外〔20〕。棋虽或随脩短广狭，犹有此分常率知，殊形异体，亦同也者，以此而已〔21〕。其使鳖腝广、袤、高各二尺〔22〕，用堑堵、鳖腝之棋各二，皆用赤棋〔23〕。又使阳马之广、袤、高各二尺〔24〕，用立方之棋一，堑堵、阳马之棋各二，皆用黑棋〔25〕。棋之赤、黑，接为堑堵，广、袤、高各二尺〔26〕。于是中攽其广、袤，又中分其高〔27〕。令赤、黑堑堵各自适当一方〔28〕，高一尺、方一尺，每二分鳖腝，则一阳马也〔29〕。其余两端各积本体，合成一方焉〔30〕。是为别种而方者率居三，通其体而方者率居一〔31〕。虽方随棋改，而固有常然之势也〔32〕。按：余数具而可知者有一、二分之别，即一、二之为率定矣〔33〕。其于理也岂虚矣〔34〕？若为数而穷之，置余广、袤、高之数各半之，则四分之三又可知也〔35〕。半之弥少，其余弥细〔36〕。至细曰微，微则无形〔37〕。由是言之，安取余哉〔38〕？数而求穷之者，谓以情推，不用筹算〔39〕。鳖腝之物，不同器用〔40〕，阳马之形，或随脩短广狭。然不有鳖腝，无以审阳马之数，不有阳马，无以知锥亭之类〔41〕，功实之主也〔42〕。
今有鳖腝，下广五尺，无袤；上袤四尺，无广；高七尺。问：积几何？
荅曰：二十三尺少半尺。
术曰：广、袤相乘，以高乘之，六而一〔43〕。按：此术腝者，臂骨也。或曰半阳马，其形有似鳖肘，故以名云。中破阳马得两鳖腝，之见数即阳马之半数。数同而实据半，故云六而一，即得。
【注释】
〔1〕阳马：本是房屋四角承短椽的长桁条，其顶端刻有马形，故名。何晏《景福殿赋》：“承以阳马，接以员方。”李善注云：“阳马，四阿长桁也。马融《梁将军西第赋》曰：‘腾极受檐，阳马承阿。’”椽（chuán），放在檩上架着屋顶的木条。桁（hénɡ），檩。阿（ē），屋栋。张协《七命》：“阴虬负檐，阳马承阿。”吕向注：“马为阳物，谓刻作其象负荷檐梁之势，承接木石之曲。”它实际上是一棱垂直于底面，且垂足在底面一角的直角四棱锥，如图5-17所示。
图5-17 阳马
（采自译注本《九章算术》）
〔2〕设阳马的广、袤、高分别为a，b，h，则其体积为
〔3〕此谓4个阳马合成一个方锥，所以阳马的形状居于方锥的一角，如图5-18。
图5-18 四阳马合为一方锥
（采自译注本《九章算术》）
〔4〕四柱屋隅为阳马：四柱屋屋角的部件为阳马。沈康身认为“柱”通“注”。四注屋隅是阳马，见图5-19。
图5-19 四注屋隅
（采自沈康身《九章算术导读》）
〔5〕“邪解堑堵”三句：斜解一个堑堵，得到一个阳马与一个鳖腝，如图5-20。鳖腝，有下广无下袤，有上袤无上广，有高的四面体，实际上它的四面都是勾股形，其形状如图5-21（1）。腝，通臑。李籍云：“‘臑’，或作‘腝’，非是。”似不妥。《玉篇》：“‘腝’，那到切，臂节也。”《唐韵》、《广韵》同。
图5-20 邪解堑堵得一阳马一鳖腝
（采自译注本《九章算术》）
图5-21 鳖腝、阳马与立方
（采自《古代世界数学泰斗刘徽》）
〔6〕这是著名的刘徽原理：在一个堑堵中，阳马与鳖腝的体积之比恒为2:1。此原理尽管是在广、长、高相等的堑堵、阳马、鳖腝的情况下提出的，但刘徽在下面说：“棋虽或随脩短广狭，犹有此分常率知，殊形异体，亦同也者。”可见它对任意情况都是适应的。记阳马体积为V阳马，鳖腝体积为V鳖腝，此即：
V阳马:V鳖腝=2:1（5-14）
是为刘徽多面体理论的基础。
〔7〕此谓两个鳖腝合成一个阳马，如图5-21（2）。
〔8〕此谓三个阳马合成一个正方体，如图5-21（3），因此正方体体积除以3就是一个阳马的体积。
〔9〕此谓使用棋验法，（5-14）很明显是成立的。 形：形势，态势。《孙子兵法·虚实》：“夫兵形象水。”孟氏注：“兵之形势如水流，迟速之势无常也。” 露：显露。
〔10〕此谓每个阳马都分解成两个鳖腝，则一个正方体分解成六个鳖腝，如图5-21（3）。 悉：全，都。《书经·汤誓》：“格尔众庶，悉听朕言。”
〔11〕体势互通：指两立体的全等或对称，其体积当然相等。因此一个阳马的体积是正方体的，即（5-13）式；一个鳖腝的体积是正方体的，即下一问的（5-15）式。以上这是棋验法。
〔12〕刘徽由此开始在阳马或脩短或广狭，广、长、高不相等即a≠b≠h的情形下讨论刘徽原理。
〔13〕记广、长、高不相等的长方体为ABCDEFGH，当然，它可以分解为三个阳马AHEFG，ABGFC，ADCFE，如图5-22（1），或六个鳖腝AHEF，AHGF，ABGF，ABCF，ADCF，ADEF，如图5-22（2）。
图5-22 长方体分解为阳马和鳖腝
（采自译注本《九章算术》）
〔14〕“其形不悉相似”三句：这三个阳马既不全等，也不对称，六个鳖腝两两对称，却三三不全等。然而只要它们三度的数组相同，则其体积分别相等。相似，相类，相像。《周易·系辞上》：“与天地相似，故不违。”见（xiàn）数，显现的数。这里指广、袤、高这三度显现的数值。均，等，同。《玉篇》：“均，等也。”《国语·楚语下》：“君王均之，群臣惧矣。”韦昭注：“均，同也。”
〔15〕刘徽进一步说明阳马、鳖腝的形状分别不同。
〔16〕然阳马异体，则不可纯合：然而这样分割出的阳马有不同的形态，那就不可能完全重合。
〔17〕不纯合，则难为之矣：不完全重合，那么使用上述方法是困难的。换言之，在广、长、高不相等的情况下，用棋验法难以解决这个问题。
〔18〕方棋：指“随方棋”，即“椭方棋”。将随方棋分割成两个堑堵。
〔19〕一从一横耳：此时分割出来的阳马，一个是横的，则另一个就是纵的。将三个阳马的底面放置于一个平面，使其高在同一直线上，垂足重合，如图5-23。显然，若将阳马ABGFC看成纵的，则AHEFC或ADCFE就是横的。既然一纵一横，就不可能全等或对称。
图5-23 阳马一纵一横
（采自《古代世界数学泰斗刘徽》）
〔20〕设为阳马为分内，鳖腝为分外：此谓将堑堵分割成一个阳马，一个鳖腝。以阳马为分内，鳖腝为分外。为，训“以”。王引之《经传释词》卷二：“‘为’，犹‘以’也。”
〔21〕此谓在棋是由随方产生，出现脩短广狭的情况下，堑堵中的阳马与鳖腝仍然满足（5-14）式。换言之，在阳马、鳖腝殊形异体的情况下，它们的体积公式与非殊形异体的情况完全相同。随，通椭（tuǒ）。参见堑堵问注释。知，训“者”，其说见刘徽序“故枝条虽分而同本干知”之注释。
〔22〕刘徽取一个广、袤、高各2尺的鳖腝。刘徽从这里开始了刘徽原理的证明。他仍使用广、长、高相等的棋，这可能受他手头棋的限制。下面将看到，这并不影响论述的一般性。因此，以下的图均按一般情形绘制。
〔23〕用堑堵、鳖腝之棋各二，皆用赤棋：将鳖腝分割成广、袤、高各1尺的2个堑堵棋Ⅱ′，Ⅲ′，2个鳖腝棋Ⅳ′，Ⅴ′，都用赤色，如图5-24（1）。赤：浅红色。《礼记·月令》：天子“乘朱路，驾赤骝”。孔颖达疏：“色浅曰赤，色深曰朱。”亦泛指红色。
图5-24 堑堵、阳马、鳖腝的分割
（采自译注本《九章算术》）
〔24〕又使阳马之广、袤、高各二尺：又取一个广、袤、高各2尺的阳马。
〔25〕“用立方之棋一”三句：将阳马分割成广、袤、高各1尺的1个立方棋Ⅰ，2个堑堵棋Ⅱ，Ⅲ，2个阳马棋Ⅳ，Ⅴ，都用黑色，如图5-24（2）。
〔26〕“棋之赤、黑”三句：将赤鳖腝与黑阳马拼接成广、长、高各2尺的堑堵。
〔27〕中攽（bān）其广、袤，又中分其高：从中间分割堑堵的广和袤，又从中间分割堑堵的高。这相当于用三个互相垂直的平面平分堑堵的广、袤、高，如图5-24（3）。堑堵总共分割成1个立方棋Ⅰ，4个堑堵棋Ⅱ，Ⅲ，Ⅱ′，Ⅲ′，2个阳马棋Ⅳ，Ⅴ，2个鳖腝棋Ⅳ′，Ⅴ′。攽，又音bīn，分。《说文解字》：“攽，分也。”
〔28〕令赤、黑堑堵各自适当一方：将赤堑堵与黑堑堵恰好分别合成一个立方体。此谓将赤堑堵Ⅱ′与黑堑堵Ⅱ恰好合成立方体Ⅱ-Ⅱ′，如图5-24（4），赤堑堵Ⅲ′与黑堑堵Ⅲ恰好合成立方体Ⅲ-Ⅲ′，如图5-24（5），共2个立方体。刘徽所用的棋是正方体，但实际上是长方体。就字面而言，“令赤黑堑堵各自适当一方”还有另一种解释，即两个赤堑堵Ⅱ′，Ⅲ′拼在一起，两个黑堑堵Ⅱ，Ⅲ拼在一起。这在广、袤、高相等的情况下可以拼接成正方体。然而在a≠b≠h时，两个赤堑堵Ⅱ′，Ⅲ′与两个黑堑堵Ⅱ，Ⅲ都无法分别拼接成立方，如图5-25。日本三上义夫提出了以上两种可能性，但是他倾向于后者，见三上義夫《關孝和の業績と京阪の算家並に支那の演算法との關係及ぴ比較》，《東洋學報》，第20—22卷（1932—1935）。丹麦华道安则主张后者，见D.B. Wagner: An Early Chinese Derivation of the Volume of a Pyramid:Liu Hui，Third Century A.D., Historia Mathematica，6（1979）。
图5-25 赤赤堑堵黑黑堑堵无法拼合
（采自《古代世界数学泰斗刘徽》）
〔29〕每二分鳖腝，则一阳马：赤、黑堑堵合成的立方Ⅱ-Ⅱ′，Ⅲ-Ⅲ′与阳马中的立方Ⅰ共三个立方，其中在赤鳖腝的每2份，相当于在黑阳马的1份。换言之，在这3个立方中，在黑阳马中与在赤鳖腝中的体积之比为2:1。
〔30〕其余两端各积本体，合成一方焉：余下的两端，先各自拼合，再合成一个立方体（实际上仍是长方体）。此谓原堑堵中除去立方和4个堑堵后所剩余的2个堑堵，分别由阳马Ⅳ和鳖腝Ⅳ′，阳马Ⅴ和鳖腝Ⅴ′构成，即Ⅳ-Ⅳ′，Ⅴ-Ⅴ′，如图5-24-（6）。而这两个堑堵Ⅳ-Ⅳ′，Ⅴ-Ⅴ′又可以合成第四个立方体（Ⅳ-Ⅳ′）-（Ⅴ-Ⅴ′），如图5-24（6）。
〔31〕是为别种而方者率居三，通其体而方者率居一：这就是说，与原堑堵不同类型的立方体所占的率是3，而与原堑堵结构相似的立方体所占的率是1。别种，与原堑堵不同类型即结构不同的部分，即立方棋Ⅰ，和立方Ⅱ-Ⅱ′，Ⅲ-Ⅲ′，共3个立方体。通其体：是说与原堑堵通体，即与原堑堵相似的部分，即立方体（Ⅳ-Ⅳ′）-（Ⅴ-Ⅴ′）。因此，与原堑堵结构不同的部分拼合成的立方的率是3，与原堑堵相似的部分拼合成的立方的率是1。
〔32〕虽方随棋改，而固有常然之势：虽然正方体变成随方，即长方体，棋也改变了，仍然有恒定的态势，即仍然是“别种而方者率居三，通其体而方者率居一”。随，通椭。常然，常态。《庄子·骈拇》：“天下有常然。常然者，曲者不以钩，直者不以绳，圆者不以规，方者不以矩。”
〔33〕余数具而可知者有一、二分之别，即一、二之为率定矣：如果能证明在第四个立方中能完全知道阳马与鳖腝的体积之比的部分为2:1，则在整个堑堵中阳马与鳖腝的体积之比为2:1就是确定无疑的了。这显然是数学归纳法的雏形。余数，指第四个立方体。具，完全，尽。《史记·项羽本纪》：“良乃入，具告沛公。”
〔34〕其于理也岂虚矣：这在数理上难道是虚假的吗？虚，虚假，不真实。
〔35〕“若为数而穷之”三句：若要从数学上穷尽它，就取堑堵剩余部分的广、长、高，平分之，那么又可以知道其中的以1，2作为率。换言之，在第四个立方（Ⅳ-Ⅳ′）-（Ⅴ-Ⅴ′）中，由于两个堑堵Ⅳ-Ⅳ′和Ⅴ-Ⅴ′与原堑堵完全相似，所以可以重复刚才的分割，从而证明在其中即原堑堵的中，属于阳马的和属于鳖腝的体积之比为2:1。
〔36〕半之弥少，其余弥细：平分的部分越小，剩余的部分就越细。
〔37〕至细曰微，微则无形：非常细就叫作微，微就不再有形体。《庄子·秋水》中河伯曰“至精无形”，北海若曰“夫精粗者，期于有形者也；无形者，数之所不能分也；不可围者，数之所不能穷也”。《淮南子·要略》：“至微之论无形也。”刘徽的“微则无形”的思想似受到《庄子》、《淮南子》的影响。另外，刘徽这里“微则无形”的思想与割圆术（卷一圆田术注）“不可割”是一致的。无形则数不能分，当然不可割。
〔38〕由是言之，安取余哉：由此说来，哪里还有剩余呢？上述这个过程可以无限地继续下去，不知道其体积之比的部分越来越小，最后达到无形，没有任何剩余的地步。换言之，在整个堑堵中证明了（5-14）式，从而用无穷小分割方法和极限思想完成了刘徽原理的证明。
〔39〕“数而求穷之者”三句：对于数学中无穷的问题，就要按数理进行推断，不能用筹算。在当时的数学水平下，尚没有无穷分割的数学表达式，故云“不用筹算”。
〔40〕鳖腝之物，不同器用：鳖腝这种物体，不同于器皿用具。《九章算术》中的诸立体，都是各种器用或土方工程的抽象，惟有鳖腝这种多面体，现实中没有任何原型。它是多面体分割的产物，是多面体理论的需要。
〔41〕锥亭之类：即方锥、方亭、刍甍、刍童、羡除等多面体。刘徽在严格证明了鳖腝、阳马的体积公式之后，将锥亭之类分割成若干个长方体、堑堵、阳马、鳖腝，求其体积之和，从而解决它们的体积问题。
〔42〕功实之主：解决程功积实问题的根本。主，事物的根本。刘徽将鳖腝看成多面体体积的“功实之主”的结论与现今数学将四面体看作多面体分割的最小单元的思想完全一致。刘徽在此总结了鳖腝在多面体体积理论中的核心作用。像在前面方亭、方锥等术中已经看到的及后面羡除、刍甍、刍童等锥亭之类中将要看到的那样，刘徽是将多面体分割成长方体、堑堵、阳马、鳖腝，求它们的体积之和以解决它们的求积问题的，而阳马、鳖腝的体积公式的证明必须使用无穷小分割方法，这就把多面体体积理论建立在无穷小分割基础之上。近代数学大师高斯（Gauss，1777—1855）曾提出一个猜想：多面体体积的解决不借助于无穷小分割是不是不可能的？这一猜想构成了希尔伯特（Hilbert，1861—1943）《数学问题》（1900）第三问题的基础。他的学生德恩作了肯定的回答。这与刘徽的思想不谋而合。
〔43〕记下广、上袤、高分别为a，b，h，则鳖腝的体积公式是
【译文】
假设有一个阳马，底宽是5尺，长是7尺，高是8尺。问：其体积是多少？
答：尺3。
术：宽与长相乘，以高乘之，除以3。按：此术中阳马的形状是方锥的一个角隅。今天把四注屋的一个角隅称作阳马。假设阳马底的宽、长都是1尺，高是1尺。将它们相乘，得到正方体的体积1尺3。将一个正方体斜着剖开，得到2个堑堵；将一个堑堵斜着剖开，其中一个是阳马，一个是鳖腝。阳马占2份，鳖腝占1份，这是永远不变的率。两个鳖腝合成一个阳马，三个阳马合成一个正方体，所以阳马的体积是正方体的。用棋来验证，其态势很明显。剖开上述所有的阳马，总共为六个鳖腝。考察分割的各个部分，其形体态势都是互相通达的，因此其体积公式是容易得到的。 如果这里的棋或长或短，或宽或窄，是宽、长、高不等的长方体，也分割成6个鳖腝，它们的形状就不完全相同。然而只要它们所显现的宽、长、高的数组是相同的，则它们的体积就是相等的。这些鳖腝有不同的形状，这些阳马也有不同的体态。然而这样阳马有不同的体态，那就不可能完全重合；不能完全重合，那么使用上述的方法是困难的。为什么呢？将长方体棋斜着剖开，成为堑堵，一定分成两份；将堑堵棋斜着剖开，也必定分成两份。这些阳马一个是纵的，另一个就会是横的。假设将阳马看作分割的内部，将鳖腝看作分割的外部，即使是棋有时是长方体，或长或短，或宽或窄，仍然有这种分割的不变的率的话，那么不同形状的鳖腝，不同体态的阳马，其体积公式仍然分别相同，如此罢了。如果使鳖腝的宽、长、高各2尺，那么用堑堵棋、鳖腝棋各2个，都用红棋。又使阳马的宽、长、高各2尺，那么用立方棋1个，堑堵棋、阳马棋各2个，都用黑棋。红鳖腝与黑阳马拼合成一个堑堵，它的宽、长、高各是2尺。于是就相当于从中间平分了堑堵的宽与长，又平分了它的高。使红堑堵与黑堑堵恰好分别拼合成立方体，高是1尺，底方也是1尺。那么这些立方体中，在原鳖腝中的2份，相当于原阳马中的1份。余下的两端，先各自拼合，再拼合成一个立方体。这就是说，与原堑堵结构不同的立方体所占的率是3，而与原堑堵结构相似的立方体所占的率是1。即使是立方体变成了长方体，棋的形状发生了改变，这个结论必定具有恒定不变的态势。按：如果余下的立体中，能列举出来并且可以知道其体积的部分属于鳖腝的与属于阳马的有1，2的分别，那么在整个堑堵中，1与2作为鳖腝与阳马的率就是完全确定了，这在数理上难道是虚假的吗？若要从数学上穷尽它，那就取堑堵剩余部分的宽、长、高平分之，那么又可以知道其中的以1，2作为率。平分的部分越小，剩余的部分就越细。非常细就叫作微，微就不再有形体。由此说来，哪里还会有剩余呢？对于数学中无限的问题，就要按数理进行推断，不能用筹算。鳖腝这种物体，不同于一般的器皿用具；阳马的形状，有时底是长方形，或长或短，或宽或窄。然而，如果没有鳖腝，就没有办法考察阳马的体积，如果没有阳马，就没有办法知道锥亭之类的体积，这是解决程功积实问题的根本。
假设有一个鳖腝，下宽是5尺，没有长，上长是4尺，没有宽，高是7尺。问：其体积是多少？
答：尺3。
术：下宽与上长相乘，以高乘之，除以6。按：此术中，腝就是臂骨。有人说，半个阳马，其形状有点像鳖肘，所以叫这个名字。从中间平分阳马，得到两个鳖腝，它的体积是阳马的半数。宽、长、高都与阳马相同而其体积是其一半，所以除以6，即得。
今有羡除〔1〕，下广六尺，上广一丈，深三尺；末广八尺，无深；袤七尺。问：积几何？
荅曰：八十四尺。
术曰：并三广，以深乘之，又以袤乘之，六而一〔2〕。按：此术羡除，实隧道也。其所穿地，上平下邪，似两鳖腝夹一堑堵，即羡除之形〔3〕。假令用此棋：上广三尺，深一尺，下广一尺；末广一尺，无深；袤一尺〔4〕。下广、末广皆堑堵〔5〕；上广者，两鳖腝与一堑堵相连之广也〔6〕。以深、袤乘，得积五尺。鳖腝居二，堑堵居三，其于本棋，皆一为六〔7〕，故六而一〔8〕。合四阳马以为方锥〔9〕。邪画方锥之底，亦令为中方〔10〕。就中方削而上合，全为中方锥之半〔11〕。于是阳马之棋悉中解矣〔12〕。中锥离而为四鳖腝焉〔13〕。故外锥之半亦为四鳖腝〔14〕。虽背正异形，与常所谓鳖腝参不相似，实则同也〔15〕。所云夹堑堵者，中锥之鳖腝也〔16〕。凡堑堵上袤短者，连阳马也〔17〕。下袤短者，与鳖腝连也〔18〕。上、下两袤相等知，亦与鳖腝连也〔19〕。并三广，以高、袤乘，六而一，皆其积也〔20〕。今此羡除之广，即堑堵之袤也〔21〕。按：此本是三广不等，即与鳖腝连者〔22〕。别而言之〔23〕：中央堑堵广六尺，高三尺，袤七尺〔24〕。末广之两旁，各一小鳖腝，皆与堑堵等〔25〕。令小鳖腝居里，大鳖腝居表〔26〕，则大鳖腝皆出随方锥〔27〕，下广二尺，袤六尺，高七尺〔28〕。分取其半，则为袤三尺〔29〕。以高、广乘之，三而一，即半锥之积也〔30〕。邪解半锥得此两大鳖腝〔31〕。求其积，亦当六而一，合于常率矣〔32〕。按：阳马之棋两邪，棋底方，当其方也，不问旁、角而割之，相半可知也〔33〕。推此上连无成不方，故方锥与阳马同实〔34〕。角而割之者，相半之势〔35〕。此大、小鳖腝可知更相表里，但体有背正也〔36〕。
【注释】
〔1〕羡（yán）除：一种楔形体，有五个面，其中三个面是等腰梯形，两个侧面是三角形，其长所在的平面与高所在的平面垂直，如图5-26所示。这是三广不相等的情形。也有两广相等的情形，此时只有两个面是等腰梯形，另一个面是长方形。羡，通延，墓道。《史记·卫康叔世家》：“共伯入厘侯羡自杀。”司马贞索隐：“羡，音延。延，墓道。”李籍云：“羡，延也；除，道也。羡除乃隧道也。”
图5-26 羡除
（采自译注本《九章算术》）
〔2〕记羡除的上广、下广、末广、袤、深分别为a1，a2，a3，b，h，则其体积为
〔3〕自此，刘徽注先讨论有两广相等的羡除。首先是下、末两广相等的羡除，如图5-27（1），是两个鳖腝夹着一个堑堵。这里堑堵就是《九章算术》给出者，而鳖腝却不同于《九章算术》给出者，而是三棱垂直于一点的四面体，如图5-27（2）。
图5-27 下末两广相等的羡除
（采自译注本《九章算术》）
〔4〕这是刘徽记述的以棋验法推导下、末两广相等的羡除的体积公式的方法。先构造一个标准型下、末两广相等的羡除，上广3尺，下、末两广及袤、深均为1尺。它可以分解为中间一个广、长、高皆为1尺的堑堵，及其两侧的广、长、高皆为1尺的鳖腝，如图5-28（1）。
图5-28 下末两广相等的标准型羡除
（采自译注本《九章算术》）
〔5〕在这种羡除中，下广、末广都是堑堵的广。
〔6〕这里羡除的上广是堑堵与夹堑堵的两鳖腝相连的广。
〔7〕这里构造3个立方体：一个是广3尺，深1尺，长1尺的长方体，其体积是3尺3，含有2个堑堵，12个鳖腝；另外2个都是广、深、长皆为1尺的正方体，体积为1尺3，各含有2个堑堵，共为2尺3，4个堑堵，如图5-28（2）。这3个立方体合起来共5尺3，6个堑堵，12个鳖腝，所以说标准型羡除中的堑堵、鳖腝“皆一为六”。
〔8〕构造的3个立体的体积就是（上广+下广+末广）×长×深，所以除以6就是（5-16）式。
〔9〕合四阳马以为方锥：将4个阳马拼合在一起就成为方锥。盖在上述推导下、末两广相等的羡除体积的棋验法中，一个正方体是无法分割成夹堑堵的6个鳖腝的。说2鳖腝，“一为六”变成12个鳖腝，大约是人们的猜想。刘徽认为，必须求出形如图5-27（2）的鳖腝的体积。因此，他取4个阳马ABCDE，ABEFG，ABGHI，ABIJC，每一个皆为底广a，长b，高h，合成一个方锥ADFHJ，底广2a，长2b，高h，如图5-29。依据方锥体积公式（5-12），此方锥的体积为。
图5-29 合四阳马为方锥
（采自译注本《九章算术》）
〔10〕邪画方锥之底，亦令为中方：斜着分割方锥的底，就形成一个中间的正方形。这相当于连接方锥底面每边的中点C，E，G，I，就得到中方CEGI。
〔11〕就中方削而上合，全为中方锥之半（piàn）：从这个中间正方形CEGI向上削至方锥ADFHJ的顶点A，得到的鳖腝全都是中方锥的一片。半，片也。《汉书·李陵传》：“令军士持二升糒，一半冰。”如淳曰：“‘半’读曰‘片’。”中锥ACEGI的体积显然是。
〔12〕阳马之棋悉中解矣：合成方锥的四个阳马都从中间被剖分。
〔13〕中锥离而为四鳖腝焉：中锥ACEGI被分割为全等的4个鳖腝ABCE，ABEG，ABGI，ABIC。因此每一个的体积当然是中方锥的，即，与《九章算术》的鳖腝体积公式（5-15）相同。
〔14〕外锥之半（piàn）亦为四鳖腝：外锥的片也成为4个鳖腝。方锥ADFHJ分割出中锥ACEGI后剩余的部分，称为外锥，它的每一片也都是鳖腝，也是4个，即ACDE，AEFG，AGHI，AIJC。
〔15〕“背正异形”三句：中锥的4个鳖腝与外锥的4个鳖腝背正相对，形状不同，与通常的鳖腝的广、袤、高三度不相等，它们的体积公式却相同。盖外锥的体积也是，每一个鳖腝的体积当然也是。
〔16〕夹堑堵者，中锥之鳖腝：夹堑堵的鳖腝就是从中锥分离出来的鳖腝。求堑堵和两鳖腝的体积之和，就得到下、末两广相等的羡除的体积公式，即（5-16）式。
〔17〕凡堑堵上袤短者，连阳马：凡是堑堵的上长比羡除的上广短的羡除，由一个堑堵及两侧的阳马组成，如图5-30（1）（2）。显然，这两种羡除在数学上没有什么不同。自此刘徽讨论两广相等的另外几种羡除。
图5-30 两广相等的其他羡除
（采自译注本《九章算术》）
〔18〕下袤短者，与鳖腝连：凡是堑堵的下长短于羡除下广的羡除，由一堑堵及两侧的两鳖腝组成，如图5-30（3）。
〔19〕上、下两袤相等知，亦与鳖腝连：凡是堑堵的上、下两长与羡除的上、下广相等的羡除，由一个堑堵及两侧的鳖腝组成，如图5-30（4）。知，训“者”，其说见刘徽序“故枝条虽分而同本干知”之注释。
〔20〕这几种羡除的体积公式都是（5-16）式。
〔21〕在上述讨论中，羡除的广与堑堵的长在同一直线上。
〔22〕此谓三广不等的羡除，其分割出的堑堵与鳖腝相连，如图5-31所示。实际上羡除ABCDEF由于是按《九章算术》例题所绘，上广10尺，末广8尺，下广6尺，三广之尺数呈等差，仍是一个特殊的羡除。不过刘徽的处理方法具有一般性。
图5-31 三广不等的羡除
（采自《古代世界数学泰斗刘徽》）
〔23〕别而言之：将羡除分割开分别表述之。别，分解，分剖。《说文解字》：“别，分解也。”这是将羡除分解为中央堑堵GHCDIJ，末广两旁的两小鳖腝GDEI，HCFJ，外侧两大鳖腝GDAE，HCBF。
〔24〕中央堑堵GHCDIJ的广GH为6尺，高GD为3尺，长GI为7尺。
〔25〕“末广之两旁”三句：堑堵末广两旁的两小鳖腝与堑堵的高与袤分别相等。两小鳖腝GDEI，HCFJ的广是IE，为1尺，高GD为3尺，长GI为7尺，与堑堵相同。两小鳖腝的形状与《九章算术》的相同，无疑可以用（5-15）式求其体积。
〔26〕此谓两小鳖腝GDEI，HCFJ居于内侧，两大鳖腝GDAE，HCBF居于外侧。
〔27〕大鳖腝皆出随方锥：两大鳖腝皆从椭方锥中分离出来。随方锥，即椭方锥，是底面为长方形的方锥。然而这种大鳖腝是没有讨论过的形状，是不是用（5-15）求积，尚未知。刘徽认为，需要将大鳖腝从随方锥中分割出来，以考察它的体积。以下就是分割的方法。
〔28〕刘徽构造一个椭方锥，如图5-32，记作EMNCD，下广DM为3尺，长CD为6尺，高EO为7尺。
图5-32 大鳖腝之分解
（采自《古代世界数学泰斗刘徽》）
〔29〕分取其半，则为袤三尺：此谓用平面EAG平分椭方锥，得到两个半椭方锥EAGCN，EAGDM，此半椭方锥的长CG=DG为3尺。
〔30〕记半椭方锥的广CN为a，长CG为b，高EO为h，则其体积为。
〔31〕邪解半锥得此两大鳖腝：用平面EAC，EAD分别分割半椭方锥EAGCN和EAGDM，得到鳖腝GCAE和GDAE，就是上述的两大鳖腝。
〔32〕“求其积”三句：求大鳖腝的体积，也应当除以6，符合通常的率。大鳖腝GCAE或GDAE的体积应该是半随方锥EAGCN或EAGDM体积的一半，即，也是（5-15）式，所以说“合于常率”。大鳖腝的体积为什么是半椭方锥的一半呢？下面就是刘徽的证明方法。
〔33〕不问旁、角而割之，相半可知：这是刘徽提出一个命题：对一个长方形，不管是用对角线还是用对边中点的连线分割之，都将其面积平分，如图5-33。
图5-33 不问旁、角而割之
（采自《古代世界数学泰斗刘徽》）
〔34〕推此上连无成不方，故方锥与阳马同实：将这一结论由底向上推广，所连接出的方锥与阳马的各层没有一层不是相等的方形，所以它们的体积相等。成，训“重（chónɡ）”，层。《周礼·秋官·司寇》：“将合诸侯，则令为坛三成。”郑玄注：“三成，三重也。”刘徽在这里提出了一个重要原理：如果同底等高的方锥与阳马没有一层不是相等的方形，则它们的体积相等，如图5-34。可见刘徽已经掌握了祖暅之原理的本质。这里还有一个不言自明的推论：一个立体，如果每一层都被同一平面所平分，则整个立体被该平面所平分。
图5-34 方锥与阳马同实
（采自《古代世界数学泰斗刘徽》）
〔35〕角而割之者，相半之势：对一长方形从对角分割，是将其平分的态势。用平面EAC，EAD分别分割半椭方锥EAGCN和EAGDM，就是对每一层“角而割之”。因此，两半椭方锥的体积分别被平面EAC，EAD所平分。所以大鳖腝的体积是半椭方锥的。
〔36〕此大、小鳖腝可知更相表里，但体有背正也：这里的大鳖腝、小鳖腝互为表里，但形状有反有正。半椭方锥除去大鳖腝，其剩余部分分别是NCAE和MDAE，是另一种形状的大鳖腝，其求积公式也是。所以大、小鳖腝互为表里。在这个注中，刘徽讨论了几种特殊情形的鳖腝，证明它们都用（5-15）式求积，接近于提出任何四面体都可以用（5-15）式求积。6尺，高是7尺。分取它的一半，那么长变成3尺。以高、宽乘之，除以3，就是半长方锥的体积。斜着剖开两个半长方锥，就得到两大鳖腝。求它的体积，也应该除以6，符合鳖腝通常的率。按：阳马棋有两个斜面，棋的底是长方形。对长方形，不管是从两旁分割它，还是从对角分割它，都将其平分成二等分。将这一结论由底向上推广，所连接出的方锥与阳马的各层没有一层不是相等的方形，所以它们的体积相等。从对角分割，是平分的态势。所以大鳖腝的体积是半长方锥的，是正确的。这里的大鳖腝、小鳖腝互为表里，但形状有反有正。
【译文】
假设有一条羡除，一端下宽是6尺，上宽是1丈，深是3尺；末端宽是8尺，没有深；长是7尺。问：其体积是多少？
答：84尺3。
术：将三个宽相加，以深乘之，又以长乘之，除以6。按：此术中羡除实际上是一条隧道。如果所挖的地上面是平的，下面是斜面，好像两个鳖腝夹着一个堑堵，就是羡除的形状。假设使用这样的棋：一端上宽是3尺，深是1尺，下宽是1尺，末端宽是1尺，没有深，长是1尺。一端的下宽与末端的宽都是堑堵的宽；一端的上宽是两个鳖腝与一个堑堵相连的宽。以深、长乘三个宽之和，得到体积5尺3，鳖腝占据2份，堑堵占据3份。对原来的棋，它们都由1个变成了6个，所以要除以6。将4个阳马拼合成1个方锥。斜着分割方锥的底，就形成一个中间正方形。从这个中间正方形向上到方锥的顶点剖开，得到的全都是中方锥的一片。于是阳马之棋全被从中间剖开了，中间方锥分离成4个鳖腝。那么外锥的一片片也是4个鳖腝。虽然这些鳖腝一反一正，形状不同，与通常说的鳖腝的三度都不相等，它们的求积公式却是相同的。所说的夹堑堵的，就是从中间方锥分离出来的鳖腝。凡是堑堵的长比羡除的上宽短的，两侧就与阳马相连；堑堵的长比羡除的下宽短的，两侧就与鳖腝相连；堑堵的长与羡除的上、下宽相等的，两侧也与鳖腝相连。使三个宽相加，以高、长乘之，除以6，都得到羡除的体积。这里所说的羡除的宽，在堑堵的长的位置上。 按：这一问题中本来是三宽不相等的即与鳖腝相连的羡除。将其分解进行讨论：位于中央的堑堵，宽是6尺，高是3尺，长是7尺。羡除末端宽的两旁，各有一小鳖腝。它的宽、长皆与堑堵的相等。使小鳖腝居于里面，大鳖腝居于表面。大鳖腝都可以从长方锥中分离出来。长方锥的下底宽是2尺，长是
今有刍甍〔1〕，下广三丈，袤四丈；上袤二丈，无广；高一丈。问：积几何？
荅曰：五千尺。
术曰：倍下袤，上袤从之，以广乘之，又以高乘之，六而一〔2〕。推明义理者〔3〕：旧说云〔4〕，凡积刍有上下广曰童〔5〕，甍谓其屋盖之茨也〔6〕。是故甍之下广、袤与童之上广、袤等〔7〕。正斩方亭两边，合之即刍甍之形也〔8〕。假令下广二尺，袤三尺；上袤一尺，无广；高一尺〔9〕。其用棋也，中央堑堵二，两端阳马各二〔10〕。倍下袤，上袤从之，为七尺，以广乘之，得幂十四尺〔11〕，阳马之幂各居二，堑堵之幂各居三〔12〕。以高乘之，得积十四尺〔13〕。其于本棋也，皆一而为六〔14〕，故六而一，即得〔15〕。亦可令上、下袤差乘广，以高乘之，三而一，即四阳马也〔16〕；下广乘之上袤而半之，高乘之，即二堑堵〔17〕；并之，以为甍积也〔18〕。
【注释】
〔1〕刍甍：其本义是形如屋脊的草垛，是一种底面为长方形而上方只有长，无广，上长短于下长的楔形体，如图5-35。刍，指喂牲口的草。甍，屋脊。《说文解字》：“甍，屋栋也。”
图5-35 刍甍
（采自《古代世界数学泰斗刘徽》）
〔2〕记刍甍的下广为a，上长b1，下长b2，高h，则其体积公式为
〔3〕推明义理：阐明其涵义。推明，阐明。《新唐书·柳冕传》：“乃上表乞代，且推明朝觐之意。”义理，经义名理，涵义。《汉书·刘歆传》：“初《左氏传》古字古言，学者传训故而已，及歆治《左氏》，引传文以解经，转相发明，由是章句义理备矣。”
〔4〕旧说：指前代数学家的说法。
〔5〕凡积刍有上下广曰童：垛成的草垛上不仅有长，而且有广，叫作童。童，山无草木，牛羊无角，人秃顶，皆曰童。《管子·侈靡》：“山不童而用赡。”
〔6〕茨：是用茅草、芦苇搭盖的屋顶。李籍云：“刍甍之形似屋盖上苫也。” 苫：用茅草编成的覆盖物。
〔7〕此谓用一个平行于刍甍底面的平面切割刍甍，下为刍童，上仍为刍甍，所以说，刍甍的下广、长与刍童的上广、长相等。
〔8〕此谓以垂直于底面的两个平面从方亭上底的两对边切割方亭，切割下的两侧合起来就是刍甍，如图5-36。以上从各种角度界定刍甍。
图5-36 方亭两边合为刍甍
（采自沈康身《九章算术导读》）
〔9〕以下是刘徽记述的《九章算术》时代推导刍甍体积公式（5-17-1）的棋验法。先构造一个标准型刍甍：下广2尺，长3尺，上长1尺，高1尺。
〔10〕将标准型刍甍分解为三品棋，可以分解为2个中央堑堵，两端各2个阳马，共4个阳马，如图5-37（1）。
图5-37 刍甍之棋验法
（采自译注本《九章算术》）
〔11〕“倍下袤”五句：此谓构造一个长方形：长为标准型刍甍下长3尺的2倍加上长1尺，即7尺，广是刍甍的广2尺，如图5-37（2）。得到面积14尺2。
〔12〕阳马之幂各居二，堑堵之幂各居三：此谓在这个长方形中，1个阳马占据2尺2，1个堑堵占据3尺2。换言之，4个阳马共占据8尺2，2个堑堵共占据6尺2，共14尺2。
〔13〕此谓以高1尺乘14尺2，得14尺3，就形成了长7尺，广2尺，高1尺的长方体，如图5-37（3）。
〔14〕其于本棋也，皆一而为六：这个长方体中的堑堵、阳马对于标准型刍甍，1个都变成了6个。这是因为一个正方体可以分解为2个堑堵，如图5-37（4），或3个阳马，如图5-37（5），那么2个堑堵占据的6尺3，共分解为12个堑堵；4个阳马占据的8尺3，共分解为24个阳马；标准型刍甍中的堑堵、阳马都是1个变成了6个。实际上图5-37（3）的长方体可以重新拼合成6个标准型刍甍。
〔15〕故六而一，即得：所以除以6，就得到标准型刍甍的体积，即（5-17-1）式。同样，这种棋验法对一般刍甍并不适用。
〔16〕刘徽在这里提出了将刍甍分解为中央2个堑堵、四角4个阳马求其体积之和解决其体积问题的方法，如图5-38。一个阳马的广是，长是，高是h，则根据公式（5-13），一个阳马的体积是，四角4个阳马的体积是。
图5-38 刍甍之有限分割求和法
（采自译注本《九章算术》）
〔17〕一个堑堵的广为，长b1，高h，根据公式（5-12），其体积是，两个中央堑堵的体积是。之，训“以”，裴学海《古书虚字集释》卷九：“‘之’，犹‘以’也。”
〔18〕所以刘徽给出刍甍新的体积公式
【译文】
假设有一座刍甍，下底宽是3丈，长是4丈；上长是2丈，没有宽；高是1丈。问：其体积是多少？
答：5 000尺3。
术：将下长加倍，加上长，以宽乘之，又以高乘之，除以6。先把它的涵义推究明白：旧的说法是，凡是堆积刍草，有上顶宽与下底宽，就叫作童。甍是指用茅草做成的屋脊。所以刍甍下底的宽、长与刍童上顶的宽、长相等。从正面切割下方亭的两边，合起来，就是刍甍的形状。假设一个刍甍，下底宽是2尺，长是3尺，上长是1尺，没有宽，高是1尺。它所使用的棋：中央有2个堑堵，两端各有2个阳马。将上长加倍，加上长，得7尺。以下底宽乘之，得到面积14尺2。每个阳马的面积占据2尺2，每个堑堵的面积占据3尺2。再以高乘之，得体积14尺3。它们对于本来的棋，1个都变成了6个。所以除以6，就得到刍甍的体积。也可以使刍甍的下长与上长之差乘下底宽，再以高乘之，除以3，就是4个阳马的体积；下底的宽乘上顶的长，取其一半，再以高乘之，就是2个堑堵的体积。两者相加，就得刍甍的体积。
刍童〔1〕、曲池〔2〕、盘池〔3〕、冥谷〔4〕皆同术。
术曰：倍上袤，下袤从之；亦倍下袤，上袤从之；各以其广乘之；并，以高若深乘之，皆六而一〔5〕。按：此术假令刍童上广一尺，袤二尺；下广三尺，袤四尺；高一尺〔6〕。其用棋也，中央立方二，四面堑堵六，四角阳马四〔7〕。倍下袤为八，上袤从之，为十。以高、广乘之，得积三十尺〔8〕。是为得中央立方各三，两端堑堵各四，两旁堑堵各六，四角阳马亦各六〔9〕。后倍上袤，下袤从之，为八。以高、广乘之，得积八尺〔10〕。是为得中央立方亦各三，两端堑堵各二〔11〕。并两旁，三品棋皆一而为六〔12〕，故六而一，即得〔13〕。 为术又可令上、下广、袤差相乘，以高乘之，三而一，亦四阳马〔14〕；上、下广、袤互相乘，并而半之，以高乘之，即四面六堑堵与二立方〔15〕；并之，为刍童积〔16〕。 又可令上、下广、袤互相乘而半之，上、下广、袤又各自乘，并，以高乘之，三而一，即得也〔17〕。其曲池者，并上中、外周而半之，以为上袤；亦并下中、外周而半之，以为下袤〔18〕。此池环而不通匝，形如盘蛇而曲之。亦云周者，谓如委谷依垣之周耳〔19〕。引而伸之，周为袤。求袤之意，环田也〔20〕。
今有刍童，下广二丈，袤三丈；上广三丈，袤四丈；高三丈。问：积几何？
荅曰：二万六千五百尺。
今有曲池，上中周二丈，外周四丈，广一丈；下中周一丈四尺，外周二丈四尺，广五尺；深一丈。问：积几何？
荅曰：一千八百八十三尺三寸少半寸。
今有盘池，上广六丈，袤八丈；下广四丈，袤六丈；深二丈。问：积几何？
荅曰：七万六百六十六尺太半尺。
负土往来七十步〔21〕；其二十步上下棚、除〔22〕，棚、除二当平道五〔23〕，踟蹰之间十加一〔24〕，载输之间三十步〔25〕，定一返一百四十步〔26〕。土笼积一尺六寸〔27〕。秋程人功行五十九里半〔28〕。问：人到积尺及用徒各几何〔29〕？
荅曰：
人到二百四尺。
用徒三百四十六人一百五十三分人之六十二。
术曰：以一笼积尺乘程行步数，为实。往来上下棚、除二当平道五。棚，阁，除，邪道，有上下之难，故使二当五也。置定往来步数，十加一，及载输之间三十步以为法。除之，所得即一人所到尺〔30〕。按：此术棚，阁，除，邪道，有上下之难，故使二当五。置定往来步数，十加一，及载输之间三十步，是为往来一返凡用一百四十步。于今有术为所有行率，笼积一尺六寸为所求到土率，程行五十九里半为所有数，而今有之，即人到尺数。“以所到约积尺，即用徒人数”者，此一人之积除其众积尺，故得用徒人数〔31〕。为术又可令往来一返所用之步约程行为返数，乘笼积为一人所到〔32〕。以此术与今有术相返覆，则乘除之或先后，意各有所在而同归耳〔33〕。以所到约积尺，即用徒人数〔34〕。
今有冥谷，上广二丈，袤七丈；下广八尺，袤四丈；深六丈五尺。问：积几何？
荅曰：五万二千尺。
载土往来二百步〔35〕，载输之间一里，程行五十八里。六人共车，车载三十四尺七寸〔36〕。问：人到积尺及用徒各几何？
荅曰：
人到二百一尺五十分尺之十三。
用徒二百五十八人一万六十三分人之三千七百四十六。
术曰：以一车积尺乘程行步数，为实。置今往来步数，加载输之间一里，以车六人乘之，为法。除之，所得即一人所到尺〔37〕。按：此术今有之义。以载输及往来并得五百步〔38〕，为所有行率，车载三十四尺七寸为所求到土率，程行五十八里，通之为步〔39〕，为所有数。而今有之，所得则一车所到〔40〕。欲得人到者，当以六人除之，即得〔41〕。术有分，故亦更令乘法而并除者，亦用以车尺数以为一人到土率，六人乘五百步为行率也〔42〕。 又亦可五百步为行率〔43〕，令六人约车积尺数为一人到土率，以负土术入之〔44〕。入之者〔45〕，亦可求返数也〔46〕。要取其会通而已。术恐有分，故令乘法而并除〔47〕。“以所到约积尺，即用徒人数”者，以一人所到积尺除其众积，故得用徒人数也。以所到约积尺，即用徒人数〔48〕。
【注释】
〔1〕刍童：本义是平顶草垛，如图5-39。也是地面上的土方工程，西汉帝王陵皆为刍童形。然而《九章算术》和秦汉数学简牍关于刍童的例题皆是上大下小。李籍云：“如倒置砑石。”
图5-39 刍童、盘池、冥谷
（采自《古代世界数学泰斗刘徽》）
〔2〕曲池：是曲折回绕的水池。实际上是曲面体，此处曲池的上下底皆为圆环，如图5-40，显然是规范的曲池。
图5-40 曲池
（采自《古代世界数学泰斗刘徽》）
〔3〕盘池：是盘状的水池，地下的水土工程，在数学上与刍童相同，如图5-39。
〔4〕冥谷：是墓穴，地下的土方工程。李籍云：“如正置砑石。”在数学上亦与刍童相同，如图5-39。
〔5〕若：或。记刍童的上广、长分别为a1，b1，下广、长分别为a2，b2，高h，则其体积公式为
〔6〕以下是刘徽记述的《九章算术》时代以棋验法推导刍童的体积公式（5-18-1）的方法。首先构造一个标准型刍童：上广1尺，长2尺，下广3尺，长4尺，高1尺。如图5-41（1）。
图5-41 刍童之棋验法
（采自译注本《九章算术》）
〔7〕将标准型刍童分解为三品棋：2个中央正方体，6个四面堑堵，4个四角阳马。
〔8〕构造第一个长方体：其长为标准型刍童下长4尺的2倍加上长2尺，即10尺；广为其下广3尺，高为其高1尺。其体积为30尺3。如图5-41（2）。
〔9〕标准型刍童中的2个中央正方体每1个在第一个长方体中变成了3个，共6个，即图5-41（2）中标Ⅰ者；刍童中的4个两旁堑堵1个变成了6个，共24个，即标Ⅱ者；刍童中的2个两端堑堵1个变成了4个，共8个，即标Ⅲ者；刍童中的4个四角阳马1个变成了6个，共24个，即标Ⅳ者。正方体Ⅱ，Ⅲ，Ⅳ分解成堑堵、阳马的方法分别如图5-41（4），（5），（6）所示。
〔10〕再构造第二个长方体：长为标准型刍童上长2尺的2倍加下长4尺，即8尺；广为刍童的上广1尺，高为刍童的高1尺，如图5-41（3）。其体积为8尺3。
〔11〕标准型刍童中的2个中央正方体1个在第二个长方体中变成了3个，共6个；刍童中的2个两端堑堵1个变成了2个，共4个。
〔12〕并两旁，三品棋皆一而为六：将两个长方体相加，三品棋1个都变成了6个。旁，通方。《庄子·人间世》：“其可以为舟者旁十数。”俞樾平议：“旁读为方，古字通用。”两个长方体所含正方棋、堑堵棋、阳马棋这三品棋的数目如下
标准型刍童中的三品棋1个都变成了6个。
〔13〕此谓除以6，就得到标准型刍童的体积，即（5-18-1）式。同样，这种棋验法对一般刍童并不适用。
〔14〕刘徽在这里使用了有限分割求和法，即将刍童分解为中央2个立方体、四面6个堑堵、四角4个阳马，求其体积之和以解决其体积问题，如图5-42。一个阳马的广是，长是，高是h，则根据公式（5-13），一个阳马的体积是，四角4个阳马的体积是。
图5-42 刍童之有限分割求和法
（采自译注本《九章算术》）
〔15〕一个端堑堵的广是a1，长是，高是h，则根据公式（5- 12），一个端堑堵的体积是。2个端堑堵的体积是。一个旁堑堵的广是，长是，高是h，则根据公式（5-12），一个旁堑堵的体积是。4个旁堑堵的体积是。中央2立方的体积是a1b1h。那么四面6堑堵和中央2立方的体积是
〔16〕刘徽求中央2立方、四面6堑堵和四角4阳马的体积之和，便得到刍童的体积公式
显然，其中分割成2个中央立方和4个旁堑堵是没有必要的，只要分割成1个中央长方体和2个旁堑堵就够了。之所以如此分割，大约是受到手头棋的限制，如同刘徽原理的证明中使用广、长、高均为1尺棋那样。
〔17〕刘徽给出刍童的另一体积公式
〔18〕记曲池的上中、外周分别为l1，L1，下中、外周为l2，L2，则令，利用（5-18-1）求其体积。
〔19〕此谓曲池之周像委谷依垣那样不通匝。
〔20〕像环田那样引而伸之，展为梯形，如图1-21。
〔21〕以下是附属于盘池问的题目。这是说挖一盘池，负土距离70步。 负土：背土。《淮南子·齐俗训》：“故伊尹之兴土功也，脩胫者使之跖钁，强脊者使之负土。”高诱注：“脊强者负重。”
〔22〕棚：下文刘徽注曰：“棚，阁。”阁就是楼阁，也作栈道。 除：台阶，阶梯。下文刘徽注曰：“除，邪道。”
〔23〕上下棚、除二当平道五：在棚、除行进2，相当于在平道行进5。那么20步就相当于。行进的路程相当于（70步-20步）+。
〔24〕踟蹰：徘徊。李籍云：“行不进也。” 十加一：行进10步加1步，则行进的路程相当于。
〔25〕载输：装卸。装卸之间相当于30步。
〔26〕此谓定一返为：110步+30步=140步。
〔27〕笼：盛土器，土筐。《说文解字》：“笼，举土器也。” 积一尺六寸：其体积是1尺3600寸3。
〔28〕秋程人功行五十九里半：秋季1个劳动力的标准工作量为一天背负容积为1尺3600寸3的土笼行里。
〔29〕人到积尺：即每人每天运到的土方尺数。
〔30〕《九章算术》的方法是
〔31〕以1人所运到的积尺数除众人共同运到的积尺数，就得用徒人数。刘徽将其归结为今有术，140步为所有率，土笼容积1尺3600寸3为所求率，程行里为所有数。
〔32〕刘徽提出的又一方法
其中程行步数÷定往返步数是一人每天往返次数。
〔33〕刘徽的方法是先除后乘，与《九章算术》的先乘后除不同，意在提供不同的思路。一般说来，刘徽是主张先乘后除的。
〔34〕《九章算术》给出
〔35〕载土：用车辆运输土石。
〔36〕一辆车运载的土方是34尺3700寸3。
〔37〕《九章算术》的方法是
〔38〕载输之间1里=300步，往来200步，故为500步。
〔39〕1里为300步，58里为17 400步。
〔40〕刘徽认为《九章算术》的方法是利用今有术先求出一天的一车到积尺
车到积尺=（一车积尺×程行步数）÷（往来步数+1里）
=（34尺3700寸3×58里）÷（200步+300步）
其中往来步数及载输共500步为所有率，车载即一车积尺34尺3700寸3为所求率，一天标准输送路程58里为所有数。
〔41〕6人共一车，车到积尺除以6，就是人到积尺。
〔42〕一般说来，先求出车到积尺会有分数，再除以6，更繁琐。于是以一车积尺数作为一人到土率，以6乘500步作为行率，变成了以6乘法而一并除。
〔43〕亦可：这是刘徽提出的第二种思路。
〔44〕负土：南宋本、《大典》本讹作“载土”，李潢校正，钱校本、译注本、《传世藏书》本、《算经十书》本从。汇校本及其增补版恢复原文。今按：载土术与负土术的区别是前者以“一车所到”入算，后者以“一人所到”入算。刘徽在注解了载土术之后提出另外一种思路，即以6人约“车积尺数”为一人到土率，应该采纳负土术。
〔45〕入之者：假设采纳负土术。者，假设之辞，见裴学海《古书虚字集释》卷九。
〔46〕亦可先求返数：即由“程行步数÷（往来步数+1里）”求出每辆车一天往返的次数。这是刘徽提出的又一方法
〔47〕术恐有分，故令乘法而并除：先求出每辆车一天的往返次数，方法虽然亦正确，但先做除法，难免有分数，所以《九章算术》采取乘法而并除的方式。
〔48〕《九章算术》给出
【译文】
刍童、曲池、盘池、冥谷都用同一术。
术：将上长加倍，加下长，又将下长加倍，加上长，分别以各自的宽乘之。将它们相加，以高或深乘之，除以6。按：此术中，假设刍童的上顶宽是1尺，长是2尺；下底宽是3尺，长是4尺，高是1尺。它所使用的棋：中央有2个正方体，四面有6个堑堵，四角有4个阳马。将下长加倍，得8，加上长，得10，以高、下底宽乘之，得体积30尺3。这就成为：中央的正方体1个变成了3个，两端的堑堵1个变成了4个，两旁的堑堵1个变成了6个，四角的阳马1个变成了6个。然后将上长加倍，加下长，得8。以高、上宽乘之，得体积8尺3。这就成为：中央的正方体1个也变成了3个，两端堑堵1个变成了2个。将两个长方体相加，三品棋1个都变成了6个。所以除以6，就得到刍童的体积。 造术又可以使刍童的上、下宽的差与上、下长的差相乘，以高乘之，除以3，就是4个阳马的体积；下宽乘上长与上宽乘下长相加，取其一半，以高乘之，就是四面6个堑堵与中央2个立方的体积；两者相加，就得刍童的体积。 又可以使上宽乘下长，下宽乘上长，均取其一半；上宽、长相乘，下宽、长相乘；将它们相加，以高乘之，除以3，就得到刍童的体积。如果是曲池，就将上中、外周相加，取其一半，作为上长；又将下中、外周相加，取其一半，作为下长。这种曲池是圆环形的但不连通，形状像盘起来的蛇那样弯曲。也称为周，是说像把谷物堆放在墙边那样的周。将它伸直，周就成为长。求长的意思如同环田。
假设有一刍童，下宽是2丈，长是3丈；上宽是3丈，长是4丈；高是3丈。问：其体积是多少？
答：26 500尺3。
假设有一曲池，上中周是2丈，外周是4丈，宽是1丈；下中周是1丈4尺，外周是2丈4尺，宽是5尺；深是1丈。问：其体积是多少？
答：1 883尺3寸3。
假设有一盘池，上宽是6丈，长是8丈；下宽是4丈，长是6丈；深是2丈。问：其体积是多少？
答：尺3。
如果背负土筐一个往返是70步。其中有20步是上下的棚、除。在棚、除上行走2相当于平地5，徘徊的时间10加1，装卸的时间相当于30步。因此，一个往返确定走140步。土笼的容积是1尺3600寸3。秋天一人每天标准运送里。问：一人一天运到的土方尺数及用工人数各多少？
答：
一人运到土方204尺3；
用工人。
术：以一土筐容积尺数乘一人每天的标准运送步数，作为实。往来上下要走棚、除，2相当于平地5。棚是栈道，除是台阶，有上下的困难，所以2相当于5。布置运送一个往返确定走的步数，每10加1，再加装卸时间的30步，作为法。实除以法，所得就是1人每天所运到的土方尺数。按：此术中棚是栈道，除是台阶，有上下的困难，所以2相当于5。布置运送一个往返确定走的步数，每10加1，再加装卸的时间30步，这是说往来运送一次共走140步。对今有术来说，它是所有率即行率，土筐容积1尺3600寸3是所求率即到土率，一人每天标准运送的里是所有数。应用今有术，就得到一人每天所运到的土方尺数。“以一人每天所运到的土方尺数除盘池容积尺数，就是用工人数”，这是因为以一人运到的土方尺数，去除众人应该运送的土方尺数，就得到用工人数。 造术又可以：以往来一次所用的步数除一人标准运送的步数，作为往返次数。以它乘土筐容积，为一人所运送到的土方尺数。以此术与今有术相比较，一个是先乘后除，一个是先除后乘，各自有不同的思路，却有同一个结果。以一人每天所运到的土方尺数除盘池容积尺数，就是用工人数。
假设有一冥谷，上宽是2丈，长是7丈；下宽是8尺，长是4丈；深是6丈5尺。问：其体积是多少？
答：52 000尺3。
如果装运土石一个往返是200步，装卸的时间相当于1里。一辆车每天标准运送58里。6个人共一辆车，每辆车装载34尺3700寸3。问：一人一天运到的土方尺数及用工人数各多少？
答：
术：以一辆车装载尺数乘一辆车每天标准运送里数，作为实。布置运送一个往返的步数，加装卸时间所相当的1里，以每辆车的6人乘之，作为法。实除以法，所得就是1人每天所运到的土方尺数。按：此术有今有术的意义。以装卸及往返的步数相加，得500步，作为所有率即行率，每辆车所装载34尺3700寸3作为所求率，一辆车每天标准运送的58里，换算成步数，作为所有数。应用今有术，所得到的就是一车每天所运到的土方尺数。如果想得到一人运送的土方尺数，应当用6除之，即得。此术中会有分数，所以也可以变换成乘法而一并除的方法：以一辆车的装载尺数作为一人运到的土方率，6人乘500步作为所有率，即行率。 又可以：以500步作为所有率，即行率，用6人除一辆车的装载尺数作为一人运到的土方率，采用负土术。假设采用负土术，也可以求出往返的次数。关键在于要融会通达。此术中因恐先除会出现分数，所以采取乘法而一并除。“以一人每天所运到的土方尺数除冥谷的容积尺数，就是用工人数”，这是因为以一人运到的土方尺数，去除众人应该运送的土方尺数，就得到用工人数。以一人每天所运到的土方尺数除冥谷容积尺数，就是用工人数。
今有委粟平地〔1〕，下周一十二丈，高二丈。问：积及为粟几何？
荅曰：
积八千尺。于徽术，当积七千六百四十三尺一百五十七分尺之四十九。 臣淳风等谨依密率，为积七千六百三十六尺十一分尺之四。
为粟二千九百六十二斛二十七分斛之二十六。于徽术，当粟二千八百三十斛一千四百一十三分斛之一千二百一十。 臣淳风等谨依密率，为粟二千八百二十八斛九十九分斛之二十八。
今有委菽依垣〔2〕，下周三丈，高七尺。问：积及为菽各几何？
荅曰：
积三百五十尺。依徽术，当积三百三十四尺四百七十一分尺之一百八十六也。 臣淳风等谨依密率，为积三百三十四尺十一分尺之一。
为菽一百四十四斛二百四十三分斛之八。依徽术，当菽一百三十七斛一万二千七百一十七分斛之七千七百七十一。 臣淳风等谨依密率，为菽一百三十七斛八百九十一分斛之四百三十三。
今有委米依垣内角〔3〕，下周八尺，高五尺。问：积及为米各几何？
荅曰：
积三十五尺九分尺之五。于徽术，当积三十三尺四百七十一分尺之四百五十七。 臣淳风等谨依密率，当积三十三尺三十三分尺之三十一。
为米二十一斛七百二十九分斛之六百九十一。于徽术，当米二十斛三万八千一百五十一分斛之三万六千九百八十。臣淳风等谨依密率，为米二十斛二千六百七十三分斛之二千五百四十。
委粟术曰：下周自乘，以高乘之，三十六而一〔4〕。此犹圆锥也。于徽术，亦当下周自乘，以高乘之，又以二十五乘之，九百四十二而一也〔5〕。其依垣者，居圆锥之半也。十八而一〔6〕。于徽术，当令此下周自乘，以高乘之，又以二十五乘之，四百七十一而一〔7〕。依垣之周，半于全周。其自乘之幂居全周自乘之幂四分之一，故半全周之法以为法也。其依垣内角者，角，隅也，居圆锥四分之一也。九而一〔8〕。于徽术，当令此下周自乘而倍之，以高乘之，又以二十五乘之，四百七十一而一〔9〕。依隅之周半于依垣。其自乘之幂居依垣自乘之幂四分之一，当半依垣之法以为法。法不可半，故倍其实。又此术亦用周三径一之率〔10〕。假令以三除周，得径。若不尽，通分内子，即为径之积分。令自乘，以高乘之，为三方锥之积分。母自相乘，得九，为法，又当三而一，约方锥之积〔11〕。从方锥中求圆锥之积，亦犹方幂求圆幂。乃当三乘之，四而一，得圆锥之积。前求方锥积，乃合三而一，今求圆锥之积，复合三乘之。二母既同，故相准折。惟以四乘分母九，得三十六而连除，圆锥之积〔12〕。其圆锥之积与平地聚粟同，故三十六而一。 臣淳风等谨依密率，以七乘之，其平地者，二百六十四而一；依垣者，一百三十二而一；依隅者，六十六而一也〔13〕。
【注释】
〔1〕委粟：堆放谷物。委，累积，堆积。《公羊传·桓公十四年》：“御廪者何？粢盛委之所藏也。”何休注：“委，积也。”委粟平地，得圆锥形，如图5-11。
〔2〕委菽依垣：得半圆锥形，如图5-43。
图5-43 委粟依垣
（采自译注本《九章算术》）
〔3〕委米依垣内角：得圆锥的，如图5-44。
图5-44 委粟依垣内角
（采自译注本《九章算术》）
〔4〕委粟平地的体积公式同5-9-1式。
〔5〕刘徽的修正公式同5-9-2式。
〔6〕半圆锥的体积公式为，其中L是圆周的。
〔7〕刘徽以徽术修正的半圆锥的体积公式为，其中L是圆周的。
〔8〕四分之一圆锥的体积公式为，其中L是圆周的。
〔9〕刘徽以徽术修正的四分之一圆锥的体积公式为，其中L是圆周的。
〔10〕对“又此术”以下的理解请参阅圆亭术注相应的部分。
〔11〕约方锥之积：得方锥之积。约，求取。见卷四开立圆术李淳风等注释注解。
〔12〕圆锥之积：得圆锥的体积。前省“得”字。
〔13〕李淳风等以密率将《九章算术》的公式分别修正为。
【译文】
假设在平地上堆积粟，下周长是12丈，高是2丈。问：其体积及粟的数量各是多少？
答：
体积是8 000尺3。依据我的徽术，体积应当是尺3。 淳风等按：依照密率，体积是尺3。
粟是斛。依据我的徽术，粟应当是斛。 淳风等按：依照密率，粟是斛。
假设靠墙一侧堆积菽，下周长是3丈，高是7尺。问：其体积及菽的数量各是多少？
答：
体积是350尺3。依据我的徽术，体积应当是尺3。 淳风等按：依照密率，体积是尺3。
菽是斛。依据我的徽术，菽应当是斛。 淳风等按：依照密率，菽是斛。
假设靠墙内角堆积米，下周长是8尺；高是5尺。问：其体积及米的数量各是多少？
答：
体积是尺3。依据我的徽术，体积应当是尺3。 淳风等按：依照密率，体积是尺3。
米是斛。依据我的徽术，米应当是斛。 淳风等按：依照密率，米是斛。
委粟术：下周长自乘，以高乘之，除以36。此如同圆锥术。依据我的徽术，应当以下周长自乘，以高乘之，又以25乘之，除以942。如果是靠墙一侧，占据圆锥的。除以18。依据我的徽术，应当以下周长自乘，以高乘之，又以25乘之，除以471。靠墙一侧的周长是整个周长的。它的周长自乘之面积占据整个周长自乘之面积的，所以以整个周长的情形中的法的作为法。如果是靠墙的内角，角是隅角，占据圆锥的。除以9。依据我的徽术，应当以下周长自乘，加倍，以高乘之，又以25乘之，除以471。靠墙内角是靠墙一侧的。它的周长自乘之面积占据靠墙一侧周长自乘之面积的，应当以靠墙一侧情形中的法的作为法。前者的法无法取，所以将实加倍。又，此术也是用周3径1之率。假设以3除下周长，得到直径。如果除不尽，就通分，纳入分子，便是直径的积分。将直径自乘，以高乘之，是三个外切方锥的积分。分母相乘，得9，作为法，又应当除以3，求得一个方锥的体积积分。从方锥求内切圆锥的体积，也如同从正方形之面积求内切圆之面积。于是应当用3乘之，除以4，得到内切圆锥的体积。前面求方锥的体积，应当除以3；现在求圆锥的体积，又应当以3乘；两个数既然相同，所以恰好互相抵消，只以4乘分母9，得36而合起来除，就是内切圆锥的体积。圆锥的体积与平地堆积粟的形状相同，所以除以36。 淳风等按：依照密率，以7乘之，如果堆积于平地，除以264；如果堆积于靠墙一侧，除以132；如果堆积于靠墙的内角，除以66。
程粟一斛积二尺七寸〔1〕；二尺七寸者，谓方一尺，深二尺七寸，凡积二千七百寸。其米一斛积一尺六寸五分寸之一〔2〕；谓积一千六百二十寸〔3〕。其菽、荅、麻、麦一斛皆二尺四寸十分寸之三〔4〕。谓积二千四百三十寸。此为以精粗为率，而不等其概也〔5〕。粟率五，米率三，故米一斛于粟一斛，五分之三〔6〕；菽、荅、麻、麦亦如本率云〔7〕。故谓此三量器为概，而皆不合于今斛〔8〕。当今大司农斛圆径一尺三寸五分五厘，正深一尺〔9〕。于徽术，为积一千四百四十一寸，排成余分，又有十分寸之三〔10〕。王莽铜斛于今尺为深九寸五分五厘，径一尺三寸六分八厘七毫。以徽术计之，于今斛为容九斗七升四合有奇〔11〕。《周官·考工记》：“㮚氏为量，深一尺，内方一尺，而圆外，其实一鬴〔12〕。”于徽术，此圆积一千五百七十寸〔13〕。《左氏传》曰：“齐旧四量：豆、区、釜、钟。四升曰豆，各自其四，以登于釜。釜十则钟〔14〕。”钟六斛四斗；釜六斗四升，方一尺，深一尺，其积一千寸〔15〕。若此方积容六斗四升〔16〕，则通外圆积成旁，容十斗四合一龠五分龠之三也〔17〕。以数相乘之〔18〕，则斛之制：方一尺而圆其外，庣旁一厘七毫，幂一百五十六寸四分寸之一，深一尺，积一千五百六十二寸半，容十斗〔19〕。王莽铜斛与《汉书·律历志》所论斛同。
【注释】
〔1〕程粟一斛积二尺七寸：1标准粟斛的容积是2尺37尺2寸，即2尺3700寸3，或2 700寸3。
〔2〕米一斛积一尺六寸五分寸之一：1标准米斛的容积是1尺3尺2寸。
〔3〕积一千六百二十寸：1标准米斛的容积也是1 620寸3。
〔4〕菽、荅、麻、麦一斛皆二尺四寸十分寸之三：1标准菽、荅、麻、麦斛的容积都是2尺3尺2寸，或2 430寸3。
〔5〕概：古代称量谷物时用以刮平斗斛的器具。《礼记·月令》：“正权概。”郑玄注：“概，平斗斛者。”此处引申为标准量器的容积。一标准粟斛，一标准米斛，一标准菽、荅、麻、麦斛，尽管都是1斛，其容积却不相等。
〔6〕米一斛于粟一斛，五分之三：是说由粟率5，米率3，所以一标准米斛1尺3尺2寸是一标准粟斛2尺3700寸3的。
〔7〕此谓一标准菽、荅、麻、麦斛的容积2尺3尺2寸与一标准粟斛2尺3700寸3亦如其本来的率，即粟率10，而菽、荅、麻、麦率9。
〔8〕三量器：指粟斛，米斛，和菽、荅、麻、麦斛，与现今之斛制当然不同。
〔9〕当今大司农斛：即魏大司农斛，呈圆柱形，底径d=1尺3寸5分5厘，深1尺。
〔12〕㮚氏为量：㮚氏制造量器。㮚氏量是底为边长1尺的正方形的外接圆，深1尺的圆柱形，如图5-45。
图5-45 㮚氏量示意图
（采自译注本《九章算术》）
〔14〕此谓齐国的四种量器的进位制：4升叫作豆，4豆叫作区（ōu），4区叫作釜。釜即鬴。10鬴就是钟。
〔15〕釜的形制是：底方1尺，深1尺，容积是1 000寸3。
〔16〕六斗四升：釜的容积是6斗4升。
〔17〕以釜的外接圆柱体作为量器，以徽术计算，其容积是1 570寸3，则容10斗4合龠。
〔18〕乘：计算。《周官·天官·宰夫》：“乘其财用之出入。”
〔19〕庣旁：量器的截面中假设的边长1尺的正方形的对角线超过外圆周的部分，如图5-46。若要上述量器变成容积是10斗的斛，则此斛的容积应为，。因此，底的直径。它与边长1尺的正方形的对角线尺相差尺-d=1尺4寸1分4厘2毫-1尺4寸1分8毫=3厘4毫。故庣旁1厘7毫。这里的庣旁与王莽铜斛之庣旁相反，在那里是正方形的对角线不满圆周的部分。参见卷一圆田术刘徽注相关注释。汇校本云：此段所列数值，以徽率周一百五十七、径五十入算，皆合。然《隋书·律历志》云：“祖冲之以算术考之，积凡一千五百六十二寸半。方尺而圆其外，减旁一厘八毫，其径一尺四寸一分四毫七秒有奇，而深尺，即古斛之制也。”以徽率周三千九百二十七、径一千二百五十入算，相合；然以祖率周三百五十五、径一百一十三入算，则不合，知《隋书·律历志》此“祖冲之”三字系衍文。《晋书·律历志》与此同样文字中则无“祖冲之”三字，可为佐证。《九章算术注》与《隋书·律历志》、《晋书·律历志》实际上是记载了刘徽用他求得的两个圆周率对王莽铜斛的两次校验。
图5-46 庣旁
（采自《古代世界数学泰斗刘徽》）
【译文】
一标准粟斛的容积是2尺3700寸3；2尺3700寸3，是说1尺见方，深2尺7寸，容积总共是2 700寸3。一标准米斛的容积是1尺3尺2寸；是说容积1 620寸3。一标准菽、荅、麻、麦斛的容积是2尺3尺2寸，是说容积2 430寸3。这里是以精粗建立率，而每斛的容积不相等。粟率是5，米率是3。所以1斛米相对于1斛粟而言，容积是其。菽、荅、麻、麦也遵从自己的率。所以说以此三种量器作为标准，但都不符合现在的斛。现今大司农斛的圆径是1尺3寸5分5厘，垂直深1尺。根据我的徽术，容积是1 441寸3。列出剩余的分数，还有尺2寸。依据现在的尺度，王莽铜斛的深是9寸5分5厘，直径是1尺3寸6分8厘7毫。用我的徽术计算，容积合今天的斛是9斗7升4合，还有奇零。《周官·考工记》说：“㮚氏制作量器，它的深是1尺，底面是一个边长为1尺的正方形的外接圆，其容积是1鬴。”依据我的徽术，这里的圆面积是1 570寸2。《左氏传》说：“齐国旧有四种量器：豆、区、釜、钟。4升是1豆，豆、区各以4进，便得到釜，10釜就是1钟。”1钟是6斛4斗。1釜是6斗4升，它的底面是1尺见方，深是1尺，容积是1 000寸3。如果这一方斛的容积是6斗4升，那么，作其底的外接圆，成为一个量器，容积便是10斗4合龠。用这些数值计算，则斛的形制：底面是与边长1尺的正方形相切割的圆，庣旁是1厘7毫。圆面积是寸2，深是1尺，容积是寸3，容量是10斗。王莽铜斛与《汉书·律历志》所论述的斛相同。
今有穿地，袤一丈六尺，深一丈，上广六尺，为垣积五百七十六尺。问：穿地下广几何？
荅曰：三尺五分尺之三。
术曰：置垣积尺，四之为实。穿地四为坚三。垣，坚也。以坚求穿地，当四之，三而一也。以深、袤相乘，为深袤之立实也。又以三之，为法〔1〕。以深、袤乘之立实除垣积，则坑广〔2〕。又“三之”者，与坚率并除之。所得，倍之。坑有两广，先并而半之，即为广狭之中平。令先得其中平，故又倍之知〔3〕，两广全也。减上广，余即下广〔4〕。按：此术穿地四，为坚三。垣，即坚也。今以坚求穿地，当四乘之，三而一。“深、袤相乘”者，为深袤立幂。以深袤立幂除积，即坑广。又“三之，为法”，与坚率并除。“所得倍之”者，为坑有两广，先并而半之，为中平之广。今此得中平之广，故倍之还为两广并。故“减上广，余即下广”也。
【注释】
〔1〕“四之为实”，“又以三之，为法”：是穿地为垣是由穿土变坚土，其比率为穿4为坚3。
〔2〕此即，其中a即穿坑的中平之广，或先假定挖的坑是长方体。
〔3〕知：训“者”，见刘徽序“故板条虽分而同本干知”之注释。
〔4〕如不考虑穿地4变坚土3的因素，此问实际上是（5-1）式的逆运算，即已知穿地的上广a1，袤b，深h，体积V，求下广a2
【译文】
假设挖一个坑，长是1丈6尺，深1丈，上宽6尺，筑成垣，其体积是576尺3。问：所挖坑的下宽是多少？
答：尺3。
术：布置垣的体积尺数，乘以4，作为实。挖出的土是4，成为坚土是3。垣，是坚土。由坚土求挖出的土，应当乘以4，除以3。以挖的坑的深、长相乘，成为深与长形成的直立的面积。又乘以3，作为法。以深、长形成的直立的面积除垣的体积，就是坑的宽。“又乘以3”的原因，是与坚土的率一并除。将所得的结果加倍。挖的坑有上、下两宽，先将它们相加，取其一半，就是宽窄的平均值。使首先得出其平均值，而又加倍的原因，是得到上下两宽的全部。减去上宽，余数就是下宽。按：此术中挖出的土4，成为坚土是3。垣，是坚土。今由坚土求挖出的土，应当乘以4，除以3。“以挖的坑的深、长相乘”，是成为深与长形成的直立的面积。以深与长形成的直立的面积除垣的体积，就是挖的坑的宽。“又乘以3，作为法”的原因，是与坚土的率一并除。“将所得的结果加倍”，是因为挖的坑有上、下两宽，先将它们相加，取其一半，就是其平均值。现在得到其平均值，所以将其加倍，还原为上、下两宽之和。所以“减去上宽，余数就是下宽”。
今有仓，广三丈，袤四丈五尺，容粟一万斛。问：高几何？
荅曰：二丈。
术曰：置粟一万斛积尺为实〔1〕。广、袤相乘为法。实如法而一，得高尺〔2〕。以广、袤之幂除积，故得高。按：此术本以广、袤相乘，以高乘之，得此积〔3〕。今还元〔4〕，置此广、袤相乘为法，除之，故得高也。
【注释】
〔1〕一万斛积尺：由委粟术，“程粟一斛积二尺七寸”，即一斛标准粟的容积是2 700寸3，1万斛的积尺为27 000尺3。
〔2〕这是已知长方体体积V，广a，长b，求高h:。显然它是长方体体积公式（5-19）
V=abh
的逆运算。方堢体积公式（5-2）是（5-19）式b=a的情形。
〔3〕此即（5-19）式。
〔4〕元：通“原”。参见卷四开圆术注释〔12〕。
【译文】
假设有一座粮仓，宽是3丈，长是4丈5尺，容积是10 000斛粟。问：其高是多少？
答：2丈。
术曰：布置10 000斛粟的积尺数作为实。粮仓的宽长相乘作为法。实除以法，便得到高的尺数。以宽与长形成的面积除体积，就得到高。按：此术中本来以宽、长相乘，又以高乘之，就得到这个体积。现在还原，就布置此宽、长相乘，作为法，除体积，所以得到高。
今有圆囷，圆囷，廪也〔1〕，亦云圆囤也。高一丈三尺三寸少半寸，容米二千斛〔2〕。问：周几何？
荅曰：五丈四尺。于徽术，当周五丈五尺二寸二十分寸之九。臣淳风等谨按：密率，为周五丈五尺一百分尺之二十七。
术曰：置米积尺，此积犹圆堢之积。以十二乘之，令高而一，所得，开方除之，即周〔3〕。于徽术，当置米积尺，以三百一十四乘之，为实。二十五乘囷高，为法。所得，开方除之，即周也〔4〕。此亦据见幂以求周，失之于微少也〔5〕。 晋武库中有汉时王莽所作铜斛。其篆书字题斛旁云：律嘉量斛，方一尺而圆其外，庣旁九厘五毫，幂一百六十二寸，深一尺，积一千六百二十寸，容十斗〔6〕。及斛底云：律嘉量斗，方尺而圜其外，庣旁九厘五毫，幂一尺六寸二分，深一寸，积一百六十二寸，容一斗〔7〕。合、龠皆有文字。升居斛旁，合、龠在斛耳上。后有赞文，与今《律历志》同，亦魏晋所常用〔8〕。今粗疏王莽铜斛文字尺寸分数〔9〕，然不尽得升、合、勺之文字。 按：此术本周自相乘，以高乘之，十二而一，得此积〔10〕。今还元，置此积，以十二乘之，令高而一，即复本周自乘之数〔11〕。凡物自乘，开方除之，复其本数。故开方除之，即得也。 臣淳风等谨依密率，以八十八乘之，为实，七乘囷高为法，实如法而一。开方除之，即周也〔12〕。
【注释】
〔1〕圆囷：即圆柱体，亦即《九章算术》的圆堢，其体积公式为（5-3-1）。见卷四开立圆术刘徽注之注解〔7〕。 廪：粮仓，仓库。《说文解字》：“廪，廨也。”邢昺疏：“廪，廨，皆囷仓之别名。”李籍云：“仓圆曰囷。”
〔2〕容米二千斛：由委粟术，“米一斛积一尺六寸五分寸之一”，即一标准米斛的容积是1 620寸3，2 000斛米的积尺为3 240尺3。
〔3〕此即已知圆囷的体积V，高h，求底周L
它显然是（5-3-1）式的逆运算。
〔4〕刘徽将开方式（5-20-1）修正为
〔5〕由于徽术是不足近似值，故由（5-20-2）求出的周长略嫌微小。
〔6〕刘徽所引与传世王莽铜斛斛铭略有出入。原器斛铭为：“律嘉量斛，方尺而圜其外，庣旁九厘五豪，冥百六十二寸，深尺，积千六百二十寸，容十斗。”（见文物出版社：《中国古代度量衡图集》）《隋书·律历志》所引斛铭，“圜”作“圆”，“豪”作“毫”，“冥”作“幂”，“千”作“一千”。
〔7〕刘徽所引与传世王莽铜斛斗铭略有出入。原器斛铭为：“律嘉量斗，方尺而圜其外，庣旁九厘五豪，冥百六十二寸，深寸，积百六十二寸，容一斗。”
〔8〕赞文：指王莽铜斛正面之总铭，凡八十一字，如下：“黄帝初祖，德币于虞，虞帝始祖，德币于新。岁在大梁，龙集戊辰。戊辰直定，天命有民。据土德受，正号即真。改正建丑，长寿隆崇。同律度量衡，稽当前人。龙在己巳，岁次实沈。初班天下，万国永遵。子子孙孙，享传亿年。”正史“律历志”记载此总铭的只有《隋书》。其《律历志》为李淳风等人所撰。故注文“与今律历志同，亦魏晋所常用”两句断非唐初以前所为，或此两句为唐人旁注“赞文”以上文字，阑入正文，或自“晋武库中”以下一百三十一字，为唐人所作，疑即李淳风等注释，阑入刘注。
〔9〕今粗疏：现在粗略地疏解。“粗疏”是南宋本、《大典》本、杨辉本原文，戴震整理的微波榭本讹作“祖疏”，李潢据此说刘注中涉及王莽铜斛的几段文字是祖冲之撰，刘徽所求出的第二个圆周率近似值是祖冲之所创。20世纪50年代中国数学史界还就此展开了一次大辩论。
〔10〕此即圆柱体体积公式（5-3-1）。
〔11〕此即。
〔12〕此为李淳风等以对《九章算术》方法的修正
【译文】
假设有一座圆囷，圆囷，就是仓廪，也称为圆囤。高是1丈3尺寸，容积是2 000斛米。问：其圆周长是多少？
答：5丈4尺。对于我的徽术，圆周应当是5丈5尺寸。淳风等按：依照密率，周长是5丈尺。
术：布置米的容积尺数，这一容积如同圆堢的体积。乘以12，除以高，对所得到的结果作开平方除法，就是圆囷的周长。依据我的徽术，应当布置米的容积尺数，乘以314，作为实。以25乘圆囷的高，作为法。对所得到的结果作开平方除法，就是其周长。这也是根据已有的面积求圆周长，误差稍微小了一点。 晋武库中有汉朝王莽所作的铜斛。斛的侧面有篆体字说：律嘉量斛，里面相当于有方1尺的正方形而外面是圆形，其庣旁为9厘5毫，其面积是162寸2，深是1尺，容积是1 620寸3，容量是10斗。而斛底说：律嘉量斗，里面相当于有方1尺的正方形而外面是圆形，其庣旁为9厘5毫，其面积是162寸2，深是1寸，容积是162寸3，容量是1斗。合、龠旁边都有文字。升量位于斛的旁边，合量和龠量位于斛的耳朵上。斛的后面有赞文，与今天的《律历志》相同，也是魏晋时期所常用的。现在粗略地叙述了王莽铜斛的文字、尺、寸、分数，然没有完全得到升、合、勺的文字。 按：此术中本来是圆周自相乘，以高乘之，除以12，就得到圆囷的体积。现在还原，布置此圆囷的体积，乘以12，除以高，就恢复了本来的圆周自乘之数。——凡是一物的数量自乘，对之作开方除法，就恢复了其本数。所以对其作开方除法，即得到周长。 淳风等按：依照密率，乘以88，作为实。以七乘囷的高作为法。实除以法，对其结果作开方除法，即周长。