魏 刘徽 注
唐朝议大夫行太史令上轻车都尉臣李淳风等奉敕注释
少广〔1〕以御积幂方圆
少广〔2〕臣淳风等谨按：一亩之田，广一步，长二百四十步。今欲截取其从少，以益其广，故曰少广。术曰：置全步及分母子，以最下分母遍乘诸分子及全步，臣淳风等谨按：以分母乘全者，通其分也；以母乘子者，齐其子也。各以其母除其子，置之于左；命通分者，又以分母遍乘诸分子及已通者〔3〕，皆通而同之〔4〕，并之为法〔5〕。臣淳风等谨按：诸子悉通，故可并之为法。亦宜用合分术，列数尤多。若用乘则算数至繁，故别制此术，从省约〔6〕。置所求步数，以全步积分乘之为实〔7〕。此以田广为法，一亩积步为实。法有分者，当同其母，齐其子，以同乘法实，而并齐于法〔8〕。今以分母乘全步及子，子如母而一〔9〕。并以并全法，则法、实俱长，意亦等也。故如法而一，得从步数。实如法而一，得从步。
今有田广一步半。求田一亩，问：从几何？
荅曰：一百六十步。
术曰：下有半，是二分之一。以一为二，半为一，并之得三，为法。置田二百四十步，亦以一为二乘之，为实。实如法得从步〔10〕。
今有田广一步半、三分步之一。求田一亩，问：从几何？
荅曰：一百三十步一十一分步之一十。
术曰：下有三分，以一为六，半为三，三分之一为二，并之得一十一，以为法。置田二百四十步，亦以一为六乘之，为实。实如法得从步〔11〕。
今有田广一步半、三分步之一、四分步之一。求田一亩，问：从几何？
荅曰：一百一十五步五分步之一。
术曰：下有四分，以一为一十二，半为六，三分之一为四，四分之一为三，并之得二十五，以为法。置田二百四十步，亦以一为一十二乘之，为实。实如法而一，得从步〔12〕。
今有田广一步半、三分步之一、四分步之一、五分步之一。求田一亩，问：从几何？
荅曰：一百五步一百三十七分步之一十五。
术曰：下有五分，以一为六十，半为三十，三分之一为二十，四分之一为一十五，五分之一为一十二，并之得一百三十七，以为法。置田二百四十步，亦以一为六十乘之，为实。实如法得从步〔13〕。
今有田广一步半、三分步之一、四分步之一、五分步之一、六分步之一。求田一亩，问：从几何？
荅曰：九十七步四十九分步之四十七。
术曰：下有六分，以一为一百二十，半为六十，三分之一为四十，四分之一为三十，五分之一为二十四，六分之一为二十，并之得二百九十四，以为法。置田二百四十步，亦以一为一百二十乘之，为实。实如法得从步〔14〕。
今有田广一步半、三分步之一、四分步之一、五分步之一、六分步之一、七分步之一。求田一亩，问：从几何？
荅曰：九十二步一百二十一分步之六十八。
术曰：下有七分，以一为四百二十，半为二百一十，三分之一为一百四十，四分之一为一百五，五分之一为八十四，六分之一为七十，七分之一为六十，并之得一千八十九，以为法。置田二百四十步，亦以一为四百二十乘之，为实。实如法得从步〔15〕。
今有田广一步半、三分步之一、四分步之一、五分步之一、六分步之一、七分步之一、八分步之一。求田一亩，问：从几何？
荅曰：八十八步七百六十一分步之二百三十二。
术曰：下有八分，以一为八百四十，半为四百二十，三分之一为二百八十，四分之一为二百一十，五分之一为一百六十八，六分之一为一百四十，七分之一为一百二十，八分之一为一百五，并之得二千二百八十三，以为法。置田二百四十步，亦以一为八百四十乘之，为实。实如法得从步〔16〕。
今有田广一步半、三分步之一、四分步之一、五分步之一、六分步之一、七分步之一、八分步之一、九分步之一。求田一亩，问：从几何？
荅曰：八十四步七千一百二十九分步之五千九百六十四。
术曰：下有九分，以一为二千五百二十，半为一千二百六十，三分之一为八百四十，四分之一为六百三十，五分之一为五百四，六分之一为四百二十，七分之一为三百六十，八分之一为三百一十五，九分之一为二百八十，并之得七千一百二十九，以为法。置田二百四十步，亦以一为二千五百二十乘之，为实。实如法得从步〔17〕。
今有田广一步半、三分步之一、四分步之一、五分步之一、六分步之一、七分步之一、八分步之一、九分步之一、十分步之一。求田一亩，问：从几何？
荅曰：八十一步七千三百八十一分步之六千九百三十九。
术曰：下有一十分，以一为二千五百二十，半为一千二百六十，三分之一为八百四十，四分之一为六百三十，五分之一为五百四，六分之一为四百二十，七分之一为三百六十，八分之一为三百一十五，九分之一为二百八十，十分之一为二百五十二，并之得七千三百八十一，以为法。置田二百四十步，亦以一为二千五百二十乘之，为实。实如法得从步〔18〕。
今有田广一步半、三分步之一、四分步之一、五分步之一、六分步之一、七分步之一、八分步之一、九分步之一、十分步之一、十一分步之一。求田一亩，问：从几何？
荅曰：七十九步八万三千七百一十一分步之三万九千六百三十一。
术曰：下有一十一分，以一为二万七千七百二十，半为一万三千八百六十，三分之一为九千二百四十，四分之一为六千九百三十，五分之一为五千五百四十四，六分之一为四千六百二十，七分之一为三千九百六十，八分之一为三千四百六十五，九分之一为三千八十，一十分之一为二千七百七十二，一十一分之一为二千五百二十，并之得八万三千七百一十一，以为法。置田二百四十步，亦以一为二万七千七百二十乘之，为实。实如法得从步〔19〕。
今有田广一步半、三分步之一、四分步之一、五分步之一、六分步之一、七分步之一、八分步之一、九分步之一、十分步之一、十一分步之一、十二分步之一。求田一亩，问：从几何？
荅曰：七十七步八万六千二十一分步之二万九千一百八十三。
术曰：下有一十二分，以一为八万三千一百六十，半为四万一千五百八十，三分之一为二万七千七百二十，四分之一为二万七百九十，五分之一为一万六千六百三十二，六分之一为一万三千八百六十，七分之一为一万一千八百八十，八分之一为一万三百九十五，九分之一为九千二百四十，一十分之一为八千三百一十六，十一分之一为七千五百六十，十二分之一为六千九百三十，并之得二十五万八千六十三，以为法。置田二百四十步，亦以一为八万三千一百六十乘之，为实。实如法得从步〔20〕。臣淳风等谨按：凡为术之意，约省为善。宜云：“下有一十二分，以一为二万七千七百二十，半为一万三千八百六十，三分之一为九千二百四十，四分之一为六千九百三十，五分之一为五千五百四十四，六分之一为四千六百二十，七分之一为三千九百六十，八分之一为三千四百六十五，九分之一为三千八十，十分之一为二千七百七十二，十一分之一为二千五百二十，十二分之一为二千三百一十，并之得八万六千二十一，以为法。置田二百四十步，亦以一为二万七千七百二十乘之，以为实。实如法得从步。”其术亦得知，不繁也〔21〕。
【注释】
〔1〕少广：九数之一。根据少广术的例题中都是田地的广远小于纵，我们推断“少广”的本义是小广。李籍云“广少从多”，符合其本义。李籍又云“截从之多，益广之少，故曰少广”，似与前说抵牾。此源于李淳风等的注释“截取其从少，以益其广”。李淳风等的理解未必符合其本义。这种理解大约源于商周时人们通过截长补短，将不规则的田地化成正方形衡量其大小，如《墨子·非命上》云“古者汤封于亳，绝长继短，方地百里”，“昔者文王封于岐周，绝长继短，方地百里”。春秋以后，人们还有这种习惯，《孟子·滕文公上》云“今滕绝长补短，将五十里也”。李淳风等的理解符合开方术。传统的“少广”含有少广术、开方术，是面积以及体积问题的逆运算，就是已知面积或体积求其广的问题。北京大学藏秦简《算书》之《陈起论数》篇载陈起答鲁久次曰：“郦首者，算之始也，少广者算之市也，所求者毋不有也。”郦首即隶首。这是说隶首是数学的始祖，而少广就像是数学的市场，学数学者所需要的一切没有不包括在其中的。为什么将少广提到这样的高度，个中原因有待探讨。
〔2〕秦简《数》、《算书》、汉简《算数书》中亦有少广术及其例题，唯少广术文字古朴，而例题则仅有9问，即到“下有十分”问为止。
〔3〕遍乘：普遍地乘。通常指以某数整个地乘一行的情形。方程章方程术“以右行上禾遍乘中行”，亦此义。
〔4〕通而同之：依次对各个分数通分，即“通”，再使分母相同，即“同”。数学史界，包括笔者在内，过去都认为“通而同之”是与“同而通之”等价的运算，实际上两者是有所不同的运算。“同而通之”在通分时必须使用，先通过诸分数的分母相乘使各分数的分母相同，然后使分母互乘子，使分数值不变，达到使各分数互相通达，这就是“通”。可以说是先同后通，故云“同而通之”。“通而同之”是先“通”再“同”。“同而通之”是先使各分数分母相同，然后进行一次通分；而“通而同之”则是要进行多次通分，才使得各分数分母相同。这里采纳了朱一文的意见。
〔5〕根据少广术的例题，都是已知田的面积为1亩，广为，n=2，3，…，12，求其纵。术文求其“法”的计算程序如下：将自上而下排列，如左第1列，以最下分母n乘第1列各数，成为第2列，再以最下分母n-1乘第2列各数，成为第3列，如此继续下去，直到某列所有的数都成为整数为止，即
因其中有“各以其母除其子”的程序，有时实际上用不到所有的分母乘，就可以将某行全部化成整数。将成为整数的这行所有的数相加，作为法。同时，该行最上这个数，就是第1列每个数所扩大的倍数，也就是1步的积分。将它作为同。由于没有“可约者约之”的规定，它还不能称为求最小公倍数的完整程序。实际上，当n=6，12时，《九章算术》没有求出最小公倍数。但是，没有规定“可约者约之”，并不是说不可以“约之”，实际上，在n=5，7，8，9，10，11时，都做了约简，求出了诸分母的最小公倍数。
〔6〕李淳风等认为求解这类问题，既可以用少广术，也可以用合分术。但用合分术太繁琐，所以制定少广术，以求省约。
〔7〕置所求步数，以全步积分乘之为实：这是以同，即1步的积分乘1亩的步数，作为实。“积分”就是分之积，“全步积分”是将1步化成分数后的积数。
〔8〕刘徽此处用合分术。
〔9〕以上三十五字，南宋本、《大典》本、杨辉本（典）均作大字，戴震辑录校勘本及四库本、聚珍版改作刘徽注，其后诸本从，是不妥的。今据南宋本、《大典》本、杨辉本（典）恢复大字。
〔10〕布置广的数值，以2遍乘，便可全部化为整数：
求出法：2+1=3。同是2。因此纵=240步×2÷3=160步。
〔11〕布置广的数值，先后以3，2遍乘，便可全部化为整数：
求出法：6+3+2=11。同是6。因此纵=240步×6÷11=步。
〔12〕布置广的数值，先后以4，3遍乘，便可全部化为整数：
求出法：12+6+4+3=25。同是12。因此纵=240步×12÷25=步。此问中的同12是分母2，3，4的最小公倍数。
〔13〕布置广的数值，先后以5，4，3遍乘，便可全部化为整数：
求出法：60+30+20+15+12=137。同是60。因此纵=240步×60÷137=步。此问中的同60是分母2，3，4，5的最小公倍数。
〔14〕布置广的数值，先后以6，5，4遍乘，便可全部化为整数：
求出法：120+60+40+30+24+20=294。同是120。因此纵=240步×120÷294=步。此问中的同120不是分母2，3，4，5，6的最小公倍数，因为没有将约简。
〔15〕布置广的数值，先后以7，6，5，2遍乘，便可全部化为整数：
求出法：420+210+140+105+84+70+60=1 089。同是420。因此纵=240步×420÷1 089=步。此问中的同420是分母2，3，4，5，6，7的最小公倍数。因为运算中将约简成。
〔16〕布置广的数值，先后以8，7，3，5遍乘，便可全部化为整数：
求出法：840+420+280+210+168+140+120+105=2 283。同是840。因此纵=240步×840÷2283=步。此问中的同840是分母2，3，4，5，6，7，8的最小公倍数。因为运算中将约简成。
〔17〕布置广的数值，先后以9，8，7，5遍乘，便可全部化为整数：
求出法：2 520+1 260+840+630+504+420+360+315+280=7 129。同是2520。因此纵=240步×2 520÷7 129=步。此问中的同2 520是分母2，3，4，5，6，7，8，9的最小公倍数。因为运算中将约简成。
〔18〕布置广的数值，先后以10，9，4，7遍乘，便可全部化为整数：
求出法：2 520+1 260+840+630+504+420+360+315+280+252=7 381。同是2 520。因此纵=240步×2 520÷7 381=步。此问中的同2 520是分母2，3，4，5，6，7，8，9，10的最小公倍数。因为运算中将分别约简成。
〔19〕布置广的数值，先后以11，10，9，4，7遍乘，便可全部化为整数：
求出法：27 720+13 860+9 240+6 930+5 544+4 620+3 960+3 465+3 080+2 772+2 520=83 711。同是27 720。因此纵=240步×27 720÷83 711=步。此问中的同27 720是分母2，3，4，5，6，7，8，9，10，11的最小公倍数。因为运算中将，分别约简成，。
〔20〕布置广的数值，先后以12，11，10，9，7遍乘，便可全部化为整数：
求出法：83 160+41 580+27 720+20 790+16632+13 860+11 880+10 395+9 240+8 316+7 560+6 930=258 063。同是83 160。因此纵=240步×83 160÷258 063=步。此问中的同83 160不是分母2，3，4，5，6，7，8，9，10，11，12的最小公倍数。因为运算中没有将，，约简。
〔21〕李淳风等认为，只要先后以12，11，10，3，7遍乘，便可全部化为整数：
求出法：27 720+13 860+9 240+6 930+5 544+4 620+3 960+3 465+3 080+2 772+2 520+2 310=86 021。同是27 720。因此纵=240步×27 720÷86 021=步。这里的同27 720是分母2，3，4，5，6，7，8，9，10，11，12的最小公倍数。因为运算中将，，约简成，，。
【译文】
少广为了处理积幂方圆问题
少广淳风等按：1亩的田地，如果宽是1步，那么长就是240步。现在想从它的长截取一少部分，增益到宽上，所以叫作少广。术：布置整步数及分母、分子，以最下面的分母普遍地乘各分子及整步数。淳风等按：以分母乘整步数，是为了将它通分；以分母乘分子，是为了使分子相齐。分别用分母除其分子，将它们布置在左边。使它们通分：又以分母普遍地乘各分子及已经通分的数，使它们统统通过通分而使分母相同。将它们相加作为法。淳风等按：各分子都互相通达，所以可将它们相加作为法。使用合分术也是适宜的，不过这布列的数字太多，如果使用乘法，则计算的数字太繁琐。所以另外制定此术，遵从省约的原则。布置所求的步数，以1整步的积分乘之，作为实。这里把田的宽作为法，1亩田的积步作为实。法中有分数者，应当使它们的分母相同，使它们的分子相齐，以同乘法与实，而将诸齐相加，作为法。现在依次用分母乘整步数及各分子，分子除以分母。皆加到整个法中，那么法与实同时增长，意思也是等同的。所以除以法，得到长的步数。实除以法，得到纵的步数。
假设田的宽是1步半。求1亩田，问：长是多少？
答：长是160步。
术：下方有半，是。将1化为2，半化为1。相加得到3，作为法。布置1亩田240步，也将1化为2，乘之，作为实。实除以法，得长的步数。
假设田的宽是1步半与步。求1亩田，问：长是多少？
答：长是步。
术：下方有3分，将1化为6，半化为3，化为2。相加得到11，作为法。布置1亩田240步，也将1化为6，乘之，作为实。实除以法，得长的步数。
假设田的宽是1步半与步、步。求1亩田，问：长是多少？
答：长是步。
今有积五万五千二百二十五步。问：为方几何〔1〕？
荅曰：二百三十五步。
又有积二万五千二百八十一步。问：为方几何？
荅曰：一百五十九步。
又有积七万一千八百二十四步。问：为方几何？
荅曰：二百六十八步。
又有积五十六万四千七百五十二步四分步之一。问：为方几何？
荅曰：七百五十一步半。
又有积三十九亿七千二百一十五万六百二十五步。问：为方几何？
荅曰：六万三千二十五步。
开方〔2〕求方幂之一面也〔3〕。术曰〔4〕：置积为实〔5〕。借一算〔6〕，步之，超一等〔7〕。言百之面十也，言万之面百也〔8〕。议所得〔9〕，以一乘所借一算为法〔10〕，而以除〔11〕。先得黄甲之面，上下相命，是自乘而除也〔12〕。除已，倍法为定法〔13〕。倍之者，豫张两面朱幂定袤，以待复除，故曰定法〔14〕。其复除，折法而下〔15〕。欲除朱幂者，本当副置所得成方〔16〕，倍之为定法，以折、议、乘，而以除。如是当复步之而止，乃得相命，故使就上折下〔17〕。复置借算，步之如初，以复议一乘之〔18〕，欲除朱幂之角黄乙之幂〔19〕，其意如初之所得也。所得副以加定法，以除〔20〕。以所得副从定法〔21〕。再以黄乙之面加定法者〔22〕，是则张两青幂之袤〔23〕。复除，折下如前〔24〕。若开之不尽者，为不可开〔25〕，当以面命之〔26〕。术或有以借算加定法而命分者〔27〕，虽粗相近，不可用也。凡开积为方，方之自乘当还复其积分。令不加借算而命分〔28〕，则常微少；其加借算而命分，则又微多〔29〕。其数不可得而定。故惟以面命之，为不失耳。譬犹以三除十，以其余为三分之一，而复其数可举。不以面命之，加定法如前，求其微数〔30〕。微数无名者以为分子〔31〕。其一退以十为母，其再退以百为母〔32〕。退之弥下，其分弥细〔33〕，则朱幂虽有所弃之数〔34〕，不足言之也〔35〕。若实有分者，通分内子为定实，乃开之〔36〕。讫，开其母，报除〔37〕。臣淳风等谨按：分母可开者，并通之积先合二母。既开之后，一母尚存，故开分母，求一母为法，以报除也。若母不可开者，又以母乘定实，乃开之。讫，令如母而一〔38〕。臣淳风等谨按：分母不可开者，本一母也。又以母乘之，乃合二母。既开之后，亦一母存焉。故令一母而一〔39〕，得全面也。 又按：此术“开方”者，求方幂之面也〔40〕。“借一算”者，假借一算，空有列位之名，而无除积之实。方隅得面，是故借算列之于下。“步之，超一等”者，方十自乘，其积有百，方百自乘，其积有万，故超位至百而言十，至万而言百。“议所得，以一乘所借算为法，而以除”者，先得黄甲之面，以方为积者两相乘。故开方除之，还令两面上下相命，是自乘而除之。“除已，倍法为定法”者，实积未尽，当复更除，故豫张两面朱幂袤，以待复除，故曰定法。“其复除，折法而下”者，欲除朱幂，本当副置所得成方，倍之为定法，以折、议、乘之，而以除。如是当复步之而止，乃得相命，故使就上折之而下。“复置借算，步之如初，以复议一乘之，所得副以加定法，以定法除”者，欲除朱幂之角黄乙之幂。“以所得副从定法”者，再以黄乙之面加定法，是则张两青幂之袤，故如前开之，即合所问。
【注释】
〔1〕方：一边，一面。《诗经·秦风·蒹葭》：“所谓伊人，在水一方。”此处指将给定的面积变成正方形后的边，即刘徽所说的“方幂之一面”。
〔2〕开方：《九章算术》中指求的正根，即今之开平方。与现今仅将求二项方程xn=A，n=2，3，…的根称为开方不同，在中国古代，凡是求解一元方程a1xn+a2xn-1+…+anx=A，n=1，2，3，…的根，都称为“开方”，只不过根据开方式的不同情况，赋予不同的名称。如果n=2，当a2=0时称为开方，当a2≠0时称为开带从方；如果n=3，称为开立方；如果n≥4，则称开n-1乘方。到宋元时代，还根据a2，a3，…，an的情况，又有具体的名称。甚至在元朱世杰《四元玉鉴》（1303）中n=1时也称为开方，叫作“开无隅方”。
〔3〕面：边长。这是说开方就是求正方形面积的一边长。
〔4〕开方术：开方程序。《周髀算经》陈子答荣方问中就使用开方，但只说“开方除之”而未给出开方程序，说明开方术已是当时数学界的共识。《九章算术》的开方术是世界上现存最早的多位数开方程序。它后来不断在改进，发展为中国古代最为发达的数学分支。魏晋刘徽、《孙子算经》，南朝祖冲之，北宋贾宪、刘益，南宋秦九韶、杨辉，金元李冶、朱世杰等都为开方法的改进做出贡献。贾宪总结刘徽、《孙子算经》等的改进，提出“立成释锁法”，借助于“开方作法本源”即贾宪三角（中学数学教科书误为杨辉三角），将开方术推广到开任意高次方。“立成”是唐宋历算学家将数学与历法计算中常用的一些常数列成的算表，而“释锁”是将开方比喻为打开一把锁，贾宪三角就是立成释锁法的立成。《隋书·律历志》云祖冲之“开差幂、开差立，兼以正负参之”（“负”原作“员”，据钱宝琮校正），说明祖冲之很可能讨论了负系数二次、三次方程，但是祖冲之的《缀术》因“学官莫能究其深奥，是故废而不理”而失传，隋唐至北宋初年的数学家只会解正系数方程。北宋数学家刘益撰《议古根源》，再次引入负系数方程，提出了减从术和益积术两种开方程序。贾宪创造增乘开方法，现今中学数学教科书中的综合除法的程序与之类似。秦九韶提出正负开方术，把以增乘开方法为主导的求一元高次方程正根的方法发展到十分完备的程度。14世纪阿拉伯地区的阿尔·卡西，19世纪欧洲的鲁菲尼和霍纳才创造同类的方法。
〔5〕实：被开方数。开方术是从除法转化而来的，除法中的“实”即被除数自然转化为被开方数。
〔6〕算：算筹。算筹是明初以前中国数学的主要计算工具，它是什么时候产生的已不可考。《老子》说“善数不用筹策”，说明最迟在春秋时期人们已经普遍使用算筹。算筹采用位值制记数，分纵横两式，如图4-1（1）。《孙子算经》云：“一从十横，百立千僵，千十相望，万百相当。”这是现存关于算筹记数法的最早记载。《夏侯阳算经》除上述文字外又补充道：“满六已上，五在上方。六不积算，五不单张。”则更为完整。算筹通常用竹，也有用木、骨、石、金属等制成的。图4-1（2）是20世纪70年代陕西旬阳县出土的西汉算筹，证实了《汉书·律历志》算筹“径一分（0.23 cm），长六寸（13.8 cm）”记载。为避免算筹滚动与布算面积过大，后来算筹逐渐变短，截面由圆变方。20世纪70年代末石家庄东汉墓出土的算筹截面已变为方形，长度缩短为8.9 cm左右。算筹是当时世界上最方便的计算工具。
图4-1 算筹
将算筹纵横交错，并用空位表示○，可以表示任何自然数，也可以表示分数、小数、负数，高次方程和线性方程组，甚至多元高次方程组。算筹加之最先进的十进位值制记数法，是为中国古典数学长于计算的重要原因。中国古典数学的主要成就大都是借助于算筹完成的。借一算：又称借算，即借一枚算筹，表示未知数二次项的系数1。既是“借”，完成运算后需要“还”。本来问题只给出面积，设为A，通过“借一算”，变成开方式：
它表示二项方程x2=A。设被开方数为A=10n-1bn+10n-2bn-1+…+10b2+b1，开方式为：
〔7〕步之，超一等：将借算由右向左隔一位移一步，直到不能再移为止。由此确定开方得数（即根）的位数。开方式变成（设n为奇数）：
这相当于作变换，方程变成。步，本义是行走，《说文解字》：“步，行也。”这里引申为移动。超，隔一位。等，位。
〔8〕言百之面十：面积为百位数，其边长即根就是十位数。 言万之面百：面积为万位数，其边长即根就是百位数。依此类推。
〔9〕议所得：商议得到根的第一位得数，记为a1。
〔10〕一乘：一次方。这是说以借算1乘a1，得10n-1a1作为法。此处的“法”的意义，与除法“实如法而一”中的法完全相同。
〔11〕以除：以法a1除实A。此处“除”指除法，不是“减”。这就是为什么古代称开方为“开方除之”。显然，a1的确定，须使10n-1a1除实，其商的整数部分恰好是a1。其余数。其算式为：
“借算”在乘a1后，自动消失。
〔12〕除：除去，减。刘徽注此处的“除”与《九章算术》开方术中“除”训“除法”不同。这是刘徽对开方术作几何解释：如图4-2，在以实即被开方数为面积的正方形中，求出第一位得数a1，就是从该正方形中除去以a1为边长的正方形黄甲，也就是说被开方数变成。
图4-2 开方术的几何解释
（采自《古代世界数学泰斗刘徽》）
〔13〕除已：做完了除法。 定法：确定的法。此谓将法a1加倍作为继续开方的法，故称为定法。开方式变成
〔14〕刘徽认为，将定法a1加倍，是为了预先显现黄甲两边外的两朱幂的长，以继续开方。朱幂的宽将是议得的第二位得数。 豫张：预先展开。豫，通“预”，预备，预先。 朱幂：红色的面积，位于黄甲的侧边。 袤：本指南北距离的长度。《说文解字》：“南北曰袤。”通常指长。李籍卷五音义云：“袤，长也。”
〔15〕复除：第二次除法。 折法：通过退位将法缩小。李籍云：“折法，即退位也。”折，减损。李籍云：“折者，屈而有降意。”
〔16〕成方：已得到的方边，即a1。
〔17〕折：将成方a1缩小。 议：商议第二位得数，记为a2。 乘：以议得的第二位得数乘。 复：复置借算。 步：将借算自右向左步之。 就上折下：指将借算自上而下退位，亦即得出第一位得数后，刘徽不再将借算还掉，而是保留，将其退位，以求第二位得数。即得到开方式：
〔18〕“复置借算”三句：《九章算术》的方法是又一次在“实”的个位下布置借算，仍自右向左隔一位步之。以借算乘第二位得数，亦即：
〔19〕黄乙：是以第二位得数a2为边长的正方形，位于两朱幂的角隅。
〔20〕所得副以加定法，以除：在旁边将第二位得数a2加定法2a1，得2a1+a2，作为法，以法除余实，其商的整数部分恰好是a2。
〔21〕以所得副从定法：在旁边再将第二位得数a2加到定法2a1+a2上，得到2a1+2a2=2（a1+a2）。
〔22〕以黄乙之面加定法：其几何解释就是以黄乙的边长的2倍加定法。
〔23〕青幂：是以2（a1+a2）为长，以黄乙的边长a2为宽的两长方形。
〔24〕复除，折下如前：如果实中还有余数，就要再作除法，那么就像前面那样缩小退位。
〔25〕不可开：即开方不尽。
〔26〕以面命之：以面命名一个数。这里有无理数概念的萌芽。面，即。有的学者认为“面”是明确的无理数概念，似有拔高之嫌。盖不管A是不是完全平方数，都称为“面”。如刘徽说，开方是“求方幂之一面也”。
〔27〕或：有人，有的。 以借算加定法而命分：以余实作分子，以借算加定法作分母命名一个分数，即设根的整数部分为a，。当时有人将根的近似值表示成。
〔28〕不加借算而命分：整数部分之外命名的分数为。也有人将根的近似值表示成。
〔29〕此即。可以证明，这个不等式是正确的。
〔30〕微数：细微的数。这是按照上述的开方程序继续开方，求既定的名数以下的部分。实际上是以十进分数逼近无理根，如图4-3。这是刘徽对开方术的重大贡献。比如原以寸为单位，那么求寸以下的以分、厘、毫等为单位的数就是求微数。
图4-3 开方不尽求微数
（采自《古代世界数学泰斗刘徽》）
〔31〕无名：无名数单位，即当时的度量衡制度下所没有的单位。此谓以无名时的开方得数作为分子。
〔32〕一退：退一位。 再退：退二位。无名时如果一退则求得的数以10为分母，再退则求得的数以100为分母。
〔33〕其分弥细：此谓开方时退得越多，分数就越细。
〔34〕所弃之数：所舍弃的数。
〔35〕不足言之：可以忽略不计。有的学者说求微数是取极限，似不妥当。刘徽明确指出有“所弃之数”，可见不是极限过程，只是极限思想在近似计算中的应用。
〔36〕“若实有分者”三句：如果被开方数有分数，设整数部分为A，分数部分为。求出定实：。
〔37〕开其母，报除：如果C是完全平方数，设，则
〔38〕如果C不是完全平方数，《九章算术》的方法是：
〔39〕令一母而一：“令如一母而一”的省称，即以分母除。
〔40〕此是系统复述刘徽注。
【译文】
假设有面积55 225步2。问：变成正方形，边长是多少？
答：235步。
假设又有面积25 281步2。问：变成正方形，边长是多少？
答：159步。
假设又有面积71 824步2。问：变成正方形，边长是多少？
答：268步。
假设又有面积步2。问：变成正方形，边长是多少？
答：步。
假设又有面积3 972 150 625步2。问：变成正方形，边长是多少？
答：63 025步。
开方这是求正方形面积的一边长。术：布置面积作为实。借1算，将它向左移动，每隔一位移一步。这意味着百位数的边长是十位数，万位数的边长是百位数……商议所得的数，用它的一次方乘所借1算，作为法，而用来作除法。这是先得出黄色正方形甲的一边长。上、下相乘，这相当于将边长自乘而减实。作完除法，将法加倍，作为定法。“将法加倍”，是为了预先展开两块红色面积已经确定的长，以便准备作第二次除法，所以叫作定法。若要作第二次除法，应当缩小法，因此将它退位。如果要减去红色面积，本来应当在旁边布置所得到的已经确定的正方形的边长，将它加倍，作为定法，通过缩小定法，商议得数，乘借算等运算而用来作除法。如果这样，应当重新布置借算，并自右向左移动，到无法移动时而止，才能相乘。这太繁琐。所以使借算就在上面缩小而将它退位。再布置所借1算，向左移动，像开头作的那样。用第二次商议的得数的一次方乘所借1算。这是想减去位于两块红色面积形成的角隅处的黄色正方形乙的面积。它的意义如同对第一步的得数所做的那样。将第二位得数在旁边加入定法，用来作除法。将第二位得数在旁边纳入定法。再将黄色正方形乙的边长加入定法，是为了展开两块青色面积的长。如果再作除法，就像前面那样缩小退位。如果是开方不尽的，称为不可开方，应当用“面”命名一个数。各种方法中有的是用所借1算加定法来命名一个分数的，虽然大略近似，然而是不可使用的。凡是将某一面积开方成为正方形一边者，将该边的数自乘，应当仍然恢复它的积分。使定法不加借算1而命名一个分数，则分母必定稍微小了一点；使定法加借算1而命名一个分数，则分母又稍微大了一点；那么它的准确的数值是不能确定的。所以，只有以“面”命名一个数，才是没有缺失的。这好像以3除10，其余数是。恢复它的本数是可以做到的。如果不以“面”命名一个数，像前面那样，继续加定法，求它的微数。微数中没有名数单位的，作为分子。如果退一位，就以10为分母，如果退二位，就以100为分母。越往下退位，它的分数单位就越细。那么，红色面积中虽然有被舍弃的数，是不值得考虑的。如果实中有分数，就通分，纳入分子，作为定实，才对之开方。开方完毕，再对它的分母开方，回报以除。淳风等按：如果分母是完全平方数，就是已通同的积，它含有二重分母。完成开方之后，仍存在一重分母。所以对分母开方，求出一重分母，作为法，以它回报以除法。如果分母不是完全平方数，就用分母乘定实，才对它开方。完了，除以分母。淳风等按：如果分母不是完全平方数，它本来是一重分母。又乘以分母，就合成了二重分母。完成开方之后，也是存在一重分母，所以除以一重分母，就得到整个边长。 又按：此术中“开方”就是求方幂的一边长。“借1算”是假借1枚算筹，徒然有列置数位的名义而没有用以除积的实际意义，只是从正方形的一个角隅得到边长，这就是为什么要借1算并布置到积的下方。“将它向左移动，每隔一位移一步”，是因为边长是十位数，自乘，它的面积中有百位数；边长是百位数，自乘，它的面积中有万位数……所以每隔一位移一步，到百位时就意味着边长是十位数，到万位时就意味着边长是百位数。“商议所得的数，用它的一次方乘所借1算，作为法，而用来作除法”，这是先得出黄色正方形甲的一边长。以边长求面积是两边长相乘，所以开方除之。回过头来使两边长上、下相乘，这是将边长自乘而减实。“作完除法，将法加倍，作为定法”，这是因为作为实的面积未除尽，应当再除，所以预先展开两块红色面积的长，以便准备作第二次除法，所以叫作定法。“若要作第二次乘法，应当缩小法，因此将它退位”，这是如果要减去红色面积，本来应当在旁边布置所得到的已经确定的正方形的边长，将它加倍，作为定法，通过缩小定法，商议得数，乘借算等运算而用来作除法。如果这样，应当重新布置借算，并自右向左移动，到无法移动时而止，才能相乘。这太繁琐。所以使借算就在上面缩小而将它退位。“再布置所借1算，向左移动，像开头作的那样。将第二位得数在旁边加入定法，用来作除法”，这是想减去位于两块红色面积形成的角隅处的黄色正方形乙的面积。“将第二位得数在旁边纳入定法”，这是再将黄色正方形乙的边长加入定法，是为了展开两块青色正方形的长，所以像前面那样开方，就符合所问的问题。
今有积一千五百一十八步四分步之三。问：为圆周几何？
荅曰：一百三十五步。于徽术，当周一百三十八步一十分步之一〔1〕。 臣淳风等谨按：此依密率，为周一百三十八步五十分步之九〔2〕。
又有积三百步。问：为圆周几何？
荅曰：六十步。于徽术，当周六十一步五十分步之十九〔3〕。臣淳风等谨依密率，为周六十一步一百分步之四十一〔4〕。
开圆术曰：置积步数，以十二乘之，以开方除之，即得周〔5〕。此术以周三径一为率，与旧圆田术相返覆也〔6〕。于徽术，以三百一十四乘积，如二十五而一，所得，开方除之，即周也〔7〕。开方除之，即径〔8〕。是为据见幂以求周，犹失之于微少〔9〕。其以二百乘积，一百五十七而一，开方除之，即径，犹失之于微多〔10〕。 臣淳风等谨按：此注于徽术求周之法，其中不用“开方除之，即径”六字，今本有者，衍剩也。依密率，八十八乘之，七而一〔11〕。按周三径一之率，假令周六径二，半周半径相乘得幂三。周六自乘得三十六，俱以等数除，幂得一，周之数十二也。其积：本周自乘，合以一乘之，十二而一，得积三也。术为一乘不长，故以十二而一，得此积。今还元〔12〕，置此积三，以十二乘之者，复其本周自乘之数。凡物自乘，开方除之，复其本数。故开方除之，即周。
【注释】
〔5〕此即《九章算术》的开圆术：。
〔6〕此谓《九章算术》的开圆术是方田章圆田又术的逆运算。
〔7〕此即刘徽依徽率提出的开圆术：。
〔8〕李淳风等指出此六字系衍误。
〔9〕刘徽指出，它是方田章刘徽注公式的逆运算，并且。
〔10〕刘徽指出，它是方田章刘徽注公式的逆运算，并且。
〔11〕李淳风等依密率提出的开圆术：。
〔12〕元：通“原”。陈垣《校勘学释例》卷三：“原免之‘原’与元来之‘元’异。自明以来，始以‘原’为‘元’。言版本学者辄以此为明刻元刻之分，因明刻或仍用‘元’，而用‘原’者断非元刻也。”
【译文】
假设有面积步2。问：变成圆，其周长是多少？
答：圆周长135步。用我的方法，周长应当是步。 淳风等按：依照密率，这周长应为步。
假设又有面积300步2。问：变成圆，其周长是多少？
答：圆周长60步。用我的方法，周长应当是步。 淳风等按：依照密率，圆周长应为步。
开圆术：布置面积的步数，乘以12，对所得数作开方除法，就得到圆周长。此术以周三径一为率，与旧圆田术互为逆运算。用我的方法，以314乘面积，除以25，对所得数作开方除法，就是圆周长。对它作开方除法，就是直径长。这是由圆的面积求周长，失误仍然在于稍微小了一点。如果以200乘面积，除以157，对它作开方除法，就是直径长，失误在于稍微多了一点。 淳风等按：此注刘徽求周长的方法，其中用不到“对它作开方除法，就是直径长”诸字。现传本有这些字，是衍剩。依照密率，以88乘之，除以7。按周3径1之率，假设周长是6，那么直径就是2。半周半径相乘，得到面积是3。周长6自乘，得到面积是36，全都以等数除面积，得到与一周长相应的系数是12。它的积，本来的周长自乘，应当以1乘之，除以12，得到面积3。此术中因为用1乘不增加，所以除以12，就得到这一面积。现在还原：布置这一面积3，用12乘之，就恢复本来的周长自乘的数值。凡是一物的数量自乘，对它作开方除法，就恢复了它本来的数量。所以对它作开方除法，就是圆周长。
今有积一百八十六万八百六十七尺。此尺谓立方之尺也。凡物有高深而言积者，曰立方〔1〕。问：为立方几何？
荅曰：一百二十三尺。
又有积一千九百五十三尺八分尺之一。问：为立方几何？
荅曰：一十二尺半。
又有积六万三千四百一尺五百一十二分尺之四百四十七。问：为立方几何〔2〕？
荅曰：三十九尺八分尺之七。
又有积一百九十三万七千五百四十一尺二十七分尺之一十七。问：为立方几何？
荅曰：一百二十四尺太半尺。
开立方立方适等，求其一面也〔3〕。术曰：置积为实。借一算，步之，超二等〔4〕。言千之面十，言百万之面百〔5〕。议所得〔6〕，以再乘所借一算为法〔7〕，而除之〔8〕。再乘者，亦求为方幂。以上议命而除之，则立方等也〔9〕。除已，三之为定法〔10〕。为当复除，故豫张三面，以定方幂为定法也〔11〕。复除，折而下〔12〕。复除者，三面方幂以皆自乘之数，须得折、议定其厚薄尔〔13〕。开平幂者，方百之面十；开立幂者，方千之面十。据定法已有成方之幂〔14〕，故复除当以千为百，折下一等也〔15〕。以三乘所得数，置中行〔16〕。设三廉之定长〔17〕。复借一算，置下行〔18〕。欲以为隅方，立方等未有定数，且置一算定其位〔19〕。步之，中超一，下超二等〔20〕。上方法，长自乘，而一折〔21〕；中廉法，但有长，故降一等〔22〕；下隅法，无面长，故又降一等也〔23〕。复置议，以一乘中〔24〕，为三廉备幂也〔25〕。再乘下〔26〕，令隅自乘，为方幂也〔27〕。皆副以加定法〔28〕。以定除〔29〕。三面、三廉、一隅皆已有幂，以上议命之而除去三幂之厚也〔30〕。除已，倍下、并中，从定法〔31〕。凡再以中，三以下，加定法者，三廉各当以两面之幂连于两方之面，一隅连于三廉之端〔32〕，以待复除也。言不尽意〔33〕，解此要当以棋，乃得明耳〔34〕。复除，折下如前〔35〕。开之不尽者，亦为不可开。术亦有以定法命分者〔36〕，不如故幂开方，以微数为分也。若积有分者，通分内子为定实。定实乃开之〔37〕。讫，开其母以报除〔38〕。臣淳风等按：分母可开者，并通之积先合三母。既开之后一母尚存，故开分母，求一母为法，以报除也。若母不可开者，又以母再乘定实，乃开之。讫，令如母而一〔39〕。臣淳风等谨按：分母不可开者，本一母也。又以母再乘之，令合三母。既开之后，一母犹存，故令一母而一，得全面也。 按〔40〕：开立方知〔41〕，立方适等，求其一面之数。“借一算，步之，超二等”者，但立方求积〔42〕，方再自乘〔43〕，就积开之，故超二等，言千之面十，言百万之面百。“议所得，以再乘所借算为法，而以除”知，求为方幂，以议命之而除，则立方等也。“除已，三之为定法”，为积未尽，当复更除，故豫张三面已定方幂为定法。“复除，折而下”知，三面方幂皆已有自乘之数，须得折、议定其厚薄。据开平方，百之面十，其开立方，即千之面十；而定法已有成方之幂，故复除之者，当以千为百，折下一等。“以三乘所得数，置中行”者，设三廉之定长。“复借一算，置下行”者，欲以为隅方，立方等未有数，且置一算定其位也。“步之，中超一，下超二”者，上方法长自乘而一折，中廉法但有长，故降一等，下隅法无面长，故又降一等。“复置议，以一乘中”者，为三廉备幂。“再乘下”，当令隅自乘为方幂。“皆副以加定法，以定法除”者，三面、三廉、一隅皆已有幂，以上议命之而除去三幂之厚。“除已，倍下、并中，从定法”者，三廉各当以两面之幂连于两方之面，一隅连于三廉之端，以待复除。其开之不尽者，折下如前。开方，即合所问。“有分者，通分内子”开之，“讫，开其母以报除”，可开者，以通之积，先合三母，既开之后，一母尚存。故开分母者，求一母为法，以报除。“若母不可开者，又以母再乘定实，乃开之。讫，令如母而一”，分母不可开者，本一母，又以母再乘，令合三母，既开之后，亦一母尚存。故令如母而一，得全面也。
【注释】
〔1〕刘徽给出了“立方”的定义。此处物有广、袤，是不言自明的，因此刘徽是说凡是某物有广、袤、高（或深），就叫作立方。
〔2〕此即求的根。下面的注释即以其分子为例。
〔3〕立方适等，求其一面：立方体的三边恰好相等，开立方就是求其一边长。
〔4〕借一算：借一枚算筹，表示未知数三次项的系数1。本来问题只给出一个体积，设体积为A，通过借一算，就将其变成一个开方式x3=A。如图4-4。以为例，就是求三次方程x3=32461 759的根。其开方式为：
图4-4 开立方的几何解释
（采自《古代世界数学泰斗刘徽》）
步之，超二等：就是将借算自右向左隔二位移一步，到不能移而止。开方式变成：
移三步，说明根是三位数。这个开方式表示方程（102x1）3=32 461 759。
〔5〕言千之面十，言百万之面百：体积为千位数，其边长即根就是十位数；体积为百万位数，其边长即根就是百位数。依此类推。
〔6〕议所得：也是商议根的第一位得数。记议得即根的第一位得数为a1。
〔7〕以再乘所借一算为法：即以×1作为法。这里的“法”也是除法中的法。再乘，乘二次，相当于二次方。这里即以根的第一位得数的平方乘，所以刘徽说“求为方幂”。
〔8〕除之：与开方术一样，此处的“除”也是指除法。a1的确定，须使其平方乘以借算1，以其作为法，除实，其商的整数部分恰好是a1。在这个例题中，议得根的第一位得数3，置于“议得”的百位数上，使之以借算1乘32=9，为法。以法除实，整数部分恰好亦得3。余数是5 461 759。借算同时消失。其算式为：
〔9〕以上议命而除之，则立方等：以议得a1乘以a1为边长的面积，得。这样就得到一个每边恰好相等其体积为的正方体。命，就是乘。除，是减。以减原体积A，得余实。在这个例子中就是32 461 759-3003=5 461 759。在刘徽的几何解释中，原体积A相当于正方体，如图4-4（1），除去的相当于以a1为边长的正方体，如图4-4（2）。
〔10〕除已，三之为定法：做完除法，以3乘法，得作为定法。《九章算术》这里的“除”仍是“除法”。
〔11〕豫张三面，以定方幂为定法：刘徽认为，《九章算术》的方法是预先展开将要除去的三个扁平长方体（位于以为体积的正方体的三面之旁）的面，如图4-4（3），所以以为定法。
〔12〕折而下：将定法缩小，下降一位。开方式成为：
〔13〕“三面方幂”二句：因为三个扁平长方体的面已经是a1的自乘，所以通过折、议确定这三个扁平的长方体的厚薄。议，议第二位得数，记为a2。
〔14〕成方：确定的方。方，方幂的简称。它就是“法”，或“法”的一部分，又称为“方法”。此后“方”或“方法”成为开方术中表示一次项系数的专用名词。在刘徽的几何解释中，三方就是以为面，以第二位得数为厚的扁平长方体，如图4-4（3）。
〔15〕复除当以千为百，折下一等：刘徽认为，因为定法中已有，故在作第二次除法时将千作为百，这通过退一位实现。
〔16〕以三乘所得数，置中行：《九章算术》是将3a1布置于中行。这个例子中是将3×3=9布置在中行。
〔17〕三廉之定长：刘徽认为以3乘得数a1，称为三廉。这是将第一位得数a1预设为三廉的长。廉，本义是边，侧边。《仪礼·乡饮酒礼》：“设席于堂廉东上。”郑玄注：“侧边曰廉。”引申为棱。廉在继续开方中成为“法”的一部分，又称为“廉法”。在刘徽的几何解释中，三廉就是位于除去的以a1为边长的正方体与三方之间的棱上，故名，如图4-4（4）。此后“廉”或“廉法”成为开方术中表示二次或二次以上直至次高次项系数的专用名词。
〔18〕复借一算，置下行：《九章算术》在下行又布置借算。可见在得出第一位得数后“借算”自动消失，即被还掉。开方式变成：
〔19〕“欲以为隅方”三句：刘徽认为，借一算的目的是为了求位于隅角的小正方体的边长。该小正方体边长相等，但数值还没有确定，所以借一算，形成一个开方式。此后“隅”成为开方术中表示最高次项的系数的专门术语。
〔20〕“步之”三句：《九章算术》是自右向左，中行隔一位移一步，下行是隔二位移一步。在这个例题中，开方式变成：
此即减根方程：
（102x2）3+3×300×（10x2）2+3×3002×10x2=5 461 759。
〔21〕“上方法”三句：“方法”中有长的自乘，即，故“一折”，即退一位。
〔22〕“中廉法”三句：“廉法”中只有长a1，故降一等，即退二位。但，表示范围，只，仅。《史记·刘敬叔孙通列传》：“匈奴匿其壮士、肥牛马，但见老弱及羸畜。”
〔23〕“下隅法”三句：“隅法”没有长，故又降一等，即退四位。可见与开方术一样，刘徽不再还掉借算，中行自然与借算相应。其筹式原来应是：
通过法、廉、隅分别退位，得到
与注〔20〕同一开方式。
〔24〕复置议，以一乘中：《九章算术》议得根的第二位得数a2，以其一次方乘中行，得3a1a2。
〔25〕为三廉备幂：刘徽认为这是为三个廉预先准备面积。在这个例子中a2=10，3a1a2=9 000。
〔26〕再乘下：《九章算术》以第二位得数的平方乘下行，仍为。
〔27〕令隅自乘，为方幂：刘徽认为这是使隅法自乘，成为一个小正方形的面积。在这个例子中，。
〔28〕皆副以加定法：《九章算术》将乘得的中行3a1a2、下行都加到定法上，得。仍称为定法，这也体现出位值制。
〔29〕以定除：《九章算术》以定法除余实，其商的整数部分恰好为a2。在这个例子中。算式是：
〔30〕“三面”二句：刘徽认为，三个面、三个廉、一个隅都已具备了面积，以第二位得数乘之，从余实中除去，就相当于除去三个面积的厚薄。刘徽注此处的“除”是减的意思。
〔31〕“除已”三句：完成除法之后，将下行加倍即，加到中行，得，都加到定法上，得。
〔32〕“凡再以中”五句：《九章算术》的做法相当于中行的2倍，下行的3倍，刘徽认为三廉中每个廉都以两个面与两个方相连，一隅位于三廉的端上。
〔33〕言不尽意：语言不可能穷尽其中的意思。语出《周易·系辞上》：“子曰：‘书不尽言，言不尽意。’然则圣人之意，其不可见乎？”“言不尽意”与“言尽意”是魏晋时期玄学家的争论的论题之一。
〔34〕解此要（yào）当以棋，乃得明耳：解决这个问题关键是应当使用棋，才能明白。要，关键，纲要。《韩非子·扬权》：“圣人执要，四方来效。”棋，中国古代的多面体模型。
〔35〕复除，折下如前：《九章算术》认为，如果继续作开方除法，应当如同前面那样将法退一位（刘徽则是法退一位，中行退二位，下行退三位）。在这个例子中，算式变为
〔36〕术亦有以定法命分者：各种方法中也有以定法命名一个分数的。设根的整数部分为a，刘徽之前也有将根的近似值表示成的。
〔37〕“若积有分者”三句：如果被开方数有分数，则将整数部分通分，纳入分子，作为定实，对定实开方。设被开方数的整数部分为A，分数部分为。则以为定实。
〔38〕开其母以报除：如果C是完全立方数，设，《九章算术》的方法是：。
〔39〕“若母不可开者”五句：如果C不是完全立方数，《九章算术》的方法是：
〔40〕此是系统复述刘徽注和李淳风等注释。
〔41〕开立方知：与下文“议所得，以再乘所借算为法，而以除知”、“‘复除，折而下’知”，此三“知”字训“者”，见刘徽序“故枝条虽分而同本干知”之注释。
〔42〕但：凡，凡是。
〔43〕方再自乘：指边长自乘2次，即其立方。方，边长。
【译文】
假设有体积1 860 867尺3。这里尺3是说立方之尺。凡是物体有高或深而讨论其体积，就叫作立方。问：变成正方体，它的边长是多少？
答：123尺3。
假设又有体积尺3。问：变成正方体，它的边长是多少？
答：尺3。
假设又有体积尺3。问：变成正方体，它的边长是多少？
答：尺3。
假设又有体积1 937 541 17 27尺3。问：变成正方体，它的边长是多少？
答：尺3。
开立方正方体的各边恰好相等，求它的一边长。术：布置体积，作为实。借1算，将它向左移动，每隔二位移一步。这意味着千位数的边长是十位数，百万位数的边长是百位数。商议所得的数，以它的二次方乘所借1算，作为法，而以法除实。以二次方乘，只是正方形的面积。以位于上方的商议的数乘它而成为实，那么立方的边长就相等。作完除法，以3乘法，作为定法。为了能继续作除法，所以预先展开三面，以已经确定的正方形的面积作为定法。若要继续作除法，就将法缩小而退位。如果继续作除法，因为三面正方形的面积都是自乘之数，所以必须通过缩小法、商议所得的数来确定它们的厚薄。如果开正方形的面积，百位数的正方形的边长是十位数，如果开正方体的体积，千位数的正方体的边长是十位数。根据定法已有了确定的正方形的面积，所以继续作除法时应当把10 000变成100，就是说将它退一位而缩小。以3乘商议所得到的数，布置在中行。列出三廉确定的长。又借1算，布置于下行。想以它建立位于隅角的正方体。该正方体的边长相等，但尚没有确定的数，姑且布置1算，以确定它的地位。将它们向左移动，中行隔一位移一步，下行隔二位移一步。位于上行的方法，是长的自乘，所以退一位；位于中行的廉法，只有长，所以再退一位；位于下行的隅法，没有面，也没有长，所以又退一位。布置第二次商议所得的数，以它的一次方乘中行，为三个廉法准备面积。以它的二次方乘下行，使隅的边长自乘，变成正方形的面积。都在旁边将它们加定法。以定法除余实。三个方面、三个廉、一个隅都已具备了面积。以在上方议得的数乘它们，减余实，这就除去了三种面积的厚。完成除法后，将下行加倍，加中行，都加入定法。凡是以中行的2倍、下行的3倍加定法，是因为三个廉应当分别以两个侧面的面积连接于两个方的侧面，一个隅的三个面连接于三个廉的顶端，为的是准备继续作除法。用语言无法表达全部的意思，解决这个问题关键是应当使用棋，才能把这个问题解释明白。如果继续作除法，就像前面那样缩小、退位。如果是开方不尽的，也称为不可开。各种方法中也有以定法命名一个分数的，不如用原来的体积继续开方，以微数作为分数。如果已给的体积中有分数，就通分，纳入分子，作为定实，对定实开立方。完了，对它的分母开立方，再以它作除法。淳风等按：如果分母是完全立方数，通分后的积已经对应于三重分母，完成开立方之后，仍存在一重分母。所以对分母开立方，求出一重分母作为法，用它作除法。如果分母不是完全立方数，就以分母的二次方乘定实，才对它开立方。完了，以分母除。淳风等按：分母不可开的数，本来是一重分母。又以分母的二次方乘之，使它合成三重分母。完成开方之后，一重分母仍然存在，所以除以一重分母，就得到整个边长。 按：开立方就是当立方的各边恰好相等，求它的一边长。“借1算，将它向左移动，每隔二位移一步”的原因是，凡求正方体的体积，都是边长自乘2次，然后就这个积开立方，所以要隔二位移一步，这意味着千位数的边长是十位数，百万位数的边长是百位数。“商议所得的数，以它的二次方乘所借1算，作为法，而以法除实”的原因是，求成为正方形的面积，以位于上方的商议所得的数乘它而减实，那么立方的长就相等。“作完除法，以3乘法，作为定法”是因为体积未除尽，应当继续作除法，所以预先展开三面，以已经确定的正方形的面积作为定法。“若要继续作除法，就将法缩小而退位”的原因是，三面正方形的面积都是自乘之数，所以必须通过缩小法、商议所得的数来确定它们的厚薄。根据开平方，百位数的边长是十位数，如果开立方，千位数的边长是十位数；而定法已有了确定的正方形的面积，所以继续作除法时应当把千位数变为百位数，就是将其退一位而缩小。“以3乘商议所得到的数，布置在中行”是列出三廉确定的长。“又借1算，布置于下行”，是想以它建立位于隅角的正方体，其边长相等，但尚没有确定的数，姑且布置1算以确定它的地位。“将它们向左移动，中行隔一位移一步，下行隔二位移一步”的原因是，位于上行的方形的法是长的自乘，所以退一位，位于中行的廉形的法只有长，所以再退一位，位于下行的隅形的法既没有面，也没有长，所以又退一位。“布置第二次商议所得的数，以它的一次方乘中行”，这是为三个廉形的法准备面积。“以它的二次方乘下行”，相当于使隅的边长自乘，变成正方形的面积。“都在旁边将它们加定法。以定法除余实”的原因是，三个面、三个廉、一个隅都已具备了面积，以在上方商议所得的数乘它们，减余实，这就除去了三种面积的厚。“完成除法后，将下行加倍，加中行，都加入定法”，是因为三个廉应当分别以两个侧面的面积连接于两个方的侧面，一个隅的三个面连接于三个廉的顶端，为的是准备继续作除法。如果是开方不尽的，就像前面那样缩小、退位。再开方，就符合问题的答案。“如果已给的体积中有分数，就通分，纳入分子”，对之开立方，“完了，对它的分母开立方，再以它作除法”，这是因为，如果分母是完全立方数，通分后的体积已经对应于三重分母。完成开立方之后，仍存在一重分母。所以对分母开立方，求出一重分母，作为法，再用它作除法。“如果分母不是完全立方数，就以分母的二次方乘定实，才对它开立方。完了，以分母除”，这是因为，分母不是完全立方数，本来是一重分母。又用分母的二次方乘之，使它合成了三重分母。完成开方之后，一重分母仍然存在，所以除以一重分母，就得到整个边长。
今有积四千五百尺。亦谓立方之尺也。问：为立圆径几何〔1〕？
荅曰：二十尺。依密率〔2〕，立圆径二十尺，计积四千一百九十尺二十一分尺之一十〔3〕。
又有积一万六千四百四十八亿六千六百四十三万七千五百尺。问：为立圆径几何？
荅曰：一万四千三百尺。依密率，为径一万四千六百四十三尺四分尺之三〔4〕。
开立圆术曰：置积尺数，以十六乘之，九而一，所得，开立方除之，即立圆径〔5〕。立圆，即丸也〔6〕。为术者盖依周三径一之率。令圆幂居方幂四分之三。圆囷居立方亦四分之三〔7〕。更令圆囷为方率十二，为丸率九，丸居圆囷又四分之三也〔8〕。置四分自乘得十六，三分自乘得九，故丸居立方十六分之九也〔9〕。故以十六乘积，九而一，得立方之积。丸径与立方等，故开立方而除，得径也〔10〕。然此意非也。何以验之？取立方棋八枚，皆令立方一寸，积之为立方二寸〔11〕。规之为圆囷，径二寸，高二寸〔12〕。又复横因之〔13〕，则其形有似牟合方盖矣〔14〕。八棋皆似阳马，圆然也〔15〕。按：合盖者，方率也，丸居其中，即圆率也〔16〕。推此言之，谓夫圆囷为方率，岂不阙哉〔17〕？以周三径一为圆率，则圆幂伤少〔18〕，令圆囷为方率，则丸积伤多，互相通补，是以九与十六之率偶与实相近，而丸犹伤多耳。观立方之内，合盖之外，虽衰杀有渐〔19〕，而多少不掩〔20〕。判合总结〔21〕，方圆相缠，浓纤诡互〔22〕，不可等正〔23〕。欲陋形措意〔24〕，惧失正理。敢不阙疑〔25〕，以俟能言者〔26〕。 黄金方寸，重十六两；金丸径寸，重九两，率生于此，未曾验也〔27〕。《周官·考工记》〔28〕：“㮚氏为量〔29〕，改煎金锡则不耗。不耗然后权之〔30〕，权之然后准之〔31〕，准之然后量之〔32〕。”言炼金使极精，而后分之则可以为率也。令丸径自乘，三而一，开方除之，即丸中之立方也〔33〕。假令丸中立方五尺〔34〕，五尺为句，句自乘幂二十五尺。倍之得五十尺，以为弦幂，谓平面方五尺之弦也〔35〕。以此弦为股，亦以五尺为句，并句股幂得七十五尺，是为大弦幂。开方除之，则大弦可知也〔36〕。大弦则中立方之长邪〔37〕，邪即丸径也〔38〕。故中立方自乘之幂于丸径自乘之幂三分之一也〔39〕。令大弦还乘其幂，即丸外立方之积也〔40〕。大弦幂开之不尽，令其幂七十五再自乘之〔41〕。为面，命得外立方积〔42〕，四十二万一千八百七十五尺之面〔43〕。又令中立方五尺自乘，又以方乘之，得积一百二十五尺〔44〕。一百二十五尺自乘，为面，命得积，一万五千六百二十五尺之面〔45〕。皆以六百二十五约之，外立方积六百七十五尺之面，中立方积二十五尺之面也〔46〕。张衡算又谓立方为质，立圆为浑〔47〕。衡言质之与中外之浑〔48〕。六百七十五尺之面，开方除之，不足一，谓外浑积二十六也〔49〕。内浑二十五之面，谓积五尺也〔50〕。今徽令质言中浑，浑又言质，则二质相与之率犹衡二浑相与之率也〔51〕。衡盖亦先二质之率推以言浑之率也〔52〕。衡又言质六十四之面，浑二十五之面〔53〕。质复言浑，谓居质八分之五也〔54〕。又云：方八之面，圆五之面〔55〕，圆浑相推，知其复以圆囷为方率，浑为圆率也〔56〕，失之远矣。衡说之自然欲协其阴阳奇耦之说而不顾疏密矣〔57〕。虽有文辞，斯乱道破义，病也〔58〕。置外质积二十六，以九乘之，十六而一，得积十四尺八分尺之五，即质中之浑也〔59〕。以分母乘全内子，得一百一十七〔60〕；又置内质积五，以分母乘之，得四十〔61〕；是为质居浑一百一十七分之四十〔62〕，而浑率犹为伤多也。假令方二尺，方四面，并得八尺也，谓之方周。其中令圆径与方等，亦二尺也。圆半径以乘圆周之半，即圆幂也。半方以乘方周之半，即方幂也。然则方周知〔63〕，方幂之率也；圆周知，圆幂之率也。按：如衡术，方周率八之面，圆周率五之面也〔64〕。令方周六十四尺之面，即圆周四十尺之面也〔65〕。又令径二尺自乘，得径四尺之面〔66〕，是为圆周率十之面，而径率一之面也〔67〕。衡亦以周三径一之率为非，是故更著此法。然增周太多，过其实矣〔68〕。
【注释】
〔1〕立圆：球。《九章算术》时代将今之球称为“立圆”。
〔2〕密率：指。此处没有他处之“臣淳风等”诸字，盖李淳风等使用过此率，但不能说凡使用此率的都是李淳风等。因此依密率计算球体积，未必是李淳风等所为。
〔3〕根据得出的球体积公式（见下），以及直径d=20尺，此球体积为：。
〔4〕根据得出的球直径为尺。当时地面上不存在这么大的球，再一次表明《九章算术》的题目并不全是实际应用题，而只是算法的例题。
〔5〕设球的直径、体积分别为d，V，此即《九章算术》求球直径的公式
刘徽证明这个公式是错误的。
〔6〕丸：球，小而圆的物体。《说文解字》：“丸，圜，倾侧而转者。”
〔7〕圆囷（qūn）：圆柱体，《九章算术》称为圆堢，卷五有圆堢问。囷，古代圆形的谷仓。《说文解字》：“囷，廪之圜者。”圆囷居立方亦四分之三：设正方体体积为V方，其内切圆囷的体积为V囷，《九章算术》时代认为V方:V囷=4:3。这是由V方:V囷=4:π，取π=3得到的。如图4-5（1）。
图4-5 球与外切圆柱体
（采自《古代世界数学泰斗刘徽》）
〔8〕为丸率九：日本三上义夫改为“丸为圆率九”。 丸居圆囷又四分之三：《九章算术》时代认为圆囷与内切球的关系为：V囷:V=4:3。
〔9〕“四分自乘得十六”三句：4分自乘得16，3分自乘得9，因此球体积是其外切正方体体积的，亦即
以上是刘徽记载的《九章算术》时代推导球体积的方法。
〔10〕“丸径与立方等”三句：由于球直径等于其外切正方体的边长，故开立方除之，得到球直径，即《九章算术》的公式（4-1）。
〔11〕立方一寸：边长为1寸的正方体。 立方二寸：边长为2寸的正方体。
〔12〕规之为圆囷：用规在正方体内作圆囷，即正方体之内切圆柱体。其底直径与高都是2寸。规，本义是画圆的工具，这里指用规切割。
〔13〕横因之：横着用规切割，即与切割出圆囷的方向垂直。因，因袭，沿袭。《论语·为政》：“殷因于夏礼，所损益，可知也。”
〔14〕牟合方盖：两个相合的方盖。牟，加倍。《楚辞·招魂》：“成枭而牟。”王逸注：“倍胜为牟。”刘徽将两个全等的圆柱体正交，取其公共部分而得到牟合方盖，如图4-6。
图4-6 牟合方盖
（采自《古代世界数学泰斗刘徽》）
〔15〕圆然：像圆弧形的样子。
〔16〕设牟合方盖的体积为V盖，则：
V盖:V=4:π。（4-3）
〔17〕阙（quē）：过失，弊病。《诗经·大雅·烝民》：“衮职有阙，维仲山甫补之。”郑玄笺：“善补过也。”此谓V囷:V=4:π不可能成立。
〔18〕伤：嫌，失之于。《汉语大词典》的例句是《北史·苏威传》：“所修格令章程，并行于当世，颇伤烦碎，论者以为非简久之法。”比刘徽晚多矣。
〔19〕衰杀（shài）：衰减。杀，差（cī），差等。《礼记·文王世子》：“其族食世降一等，亲亲之杀也。”郑玄注：“杀，差也。”
〔20〕多少不掩：大小无法知道。掩，取，捕取，覆取。《方言》卷六：“掩，取也。自关而东曰掩。”
〔21〕判合总结：分割并合汇聚。判，分割，分离。《左传·庄公三年》：“纪季以酅入于齐，纪于是乎始判。”杜预注：“判，分也。”总，汇聚。结，聚合，凝聚。
〔22〕浓纤诡互：浓密纤细互相错杂。浓，密，厚，多。诡互，奇异错杂。沈约《佛记序》：“神涂诡互，难以臆辨。”此例句亦晚于刘徽矣。
〔23〕等正：齐等规范。等，本义是整齐的竹简。引申为同，等同，齐等。正，合规范，合标准。《论语·乡党》：“割不正不食。”
〔24〕陋形：刘徽自谦之辞。陋，粗俗，鄙野。 措意：留意，在意，用心。《孔子家语·致思》：“丈夫不以措意，遂渡而出。”
〔25〕敢不阙疑：岂敢不把疑惑搁置起来。阙疑，对疑难未解的问题不妄加评论。《论语·为政》：“多闻阙疑，慎言其余，则寡尤。”刘宝楠正义：“其义有未明，未安于心者，阙空之也。”
〔26〕俟：等待。《诗经·邶风·静女》：“静女其姝，俟我于城隅。”郑玄笺：“俟，待也。” 能言者：能解决这个问题的人。这位“能言者”就是约200年后的祖冲之父子，见下李淳风等注释。
〔27〕这是说，《九章算术》所使用的V方:V=16:9是从边长为1寸的正方体的金块重16两，直径为1寸的金球重9两的测试中得到的。刘徽自己没有试验过。
〔28〕周官：即《周礼》，有春、夏、秋、冬四官。汉以后，冬官亡佚，人们遂以《考工记》充冬官，故云《周官·考工记》。《考工记》，是先秦的一部关于技术规范与手工业管理的重要著作，学术界多认为其成书于战国的齐国。
〔29〕㮚氏：《考工记》记载的管理冶铸的官员。李籍云：“㮚氏，铸量之官也。”一作栗氏。
〔30〕权：本是秤锤，或秤。这里指称量。《孟子·梁惠王上》：“权，然后知轻重。”
〔31〕准：本义是平，引申为测平的工具。《管子·水地》：“准也者，五量之宗也。”进而引申为标准。《荀子·致使》：“程者，物之准也。”这里是标准的意思。
〔32〕量：度量。以上文字引自《周礼·考工记》。
〔33〕这是由球的直径求其内接正方体的边长。如图4-7，设内接正方体的边长为a，考虑以球的内接正方体的一面的两边为勾、股，以对角线为弦构成的勾股形，正方体底面的对角线c，根据勾股术，则c2=a2+a2=2a2。再考虑以内接正方体的一边a为勾，以一面的对角线c为股，以球直径d为弦的勾股形，则弦为，故。此弦下文称为大弦。
图4-7 球内接正方体
（采自《古代世界数学泰斗刘徽》）
〔34〕中立方：球的内接正方体。其边长为5尺。
〔35〕假设球的内接正方体的一边a为5尺，则c2=2×（5尺）2=50尺2，则弦尺。
〔36〕此谓，大弦尺。
〔37〕长邪：又称为“大弦”。即圆内接正方体的对角线，上述勾股形的大弦。
〔38〕邪即丸径：长邪就是球的直径。
〔39〕中立方自乘之幂于丸径自乘之幂三分之一：。
〔40〕丸外立方：球的外切正方体，下常称为外立方。它的边长是大弦d。以d乘其幂d2，就得到以大弦即球直径为边长的正方体的体积，也就是球的外切正方体的体积：V外=d3。
〔41〕大弦幂开之不尽，令其幂七十五再自乘之：大弦之幂为d2=3a2=75尺2，开方不尽。再自乘之，即d2d2d2=d6=（75尺2）3。
〔42〕为面，命得外立方积：建立大弦幂再自乘的面，就是球的外切正方体的体积。换言之，d6的面就是，因此，球的外切立方体的体积d3就是d6的面。
〔43〕四十二万一千八百七十五尺之面：球的外切正方体体积是（75尺2）3=421 875尺6之面。此面显然以尺3为单位。
〔44〕“令中立方五尺自乘”三句：球的内接正方体的体积V内=a3=（5尺）3=125尺3。
〔45〕“一百二十五尺自乘”四句：将125尺3自乘，建立它的面，就得到球的内接正方体的体积，它就是（125尺3）2=15 625尺6之面。此面显然以尺3为单位。
〔46〕将421 875尺6与15 625尺6皆以等数625约之，则外切正方体的体积d3是675尺6之面，内接正方体的体积a3就是25尺6之面。
〔47〕张衡算：是指张衡的一部数学著作，或就是《算网论》，还是泛指张衡的数学知识，不详。张衡（78—139），字平子，南阳（属河南省）人。东汉著名天文学家、数学家、文学家。崔瑗《河间相张平子碑》云他“天资睿哲，敏而好学”。公元115年、126年两度为太史令，掌天时，星历。撰天文著作《灵宪》、《浑天仪注》和数学著作《算网论》，后者已佚。制造世界上第一台地震观测仪器候风地动仪。还撰《西京赋》、《东京赋》、《归田赋》、《四愁诗》等中国文学史上的名篇。 又谓立方为质，立圆为浑（hùn）：张衡又将正方体称为质，将球称为浑。
〔48〕衡言质之与中外之浑：张衡讨论了正方体（即质）与其外接球（即外浑）、内切球（中浑）体积的相与关系。外浑就是所讨论的球，中浑下称内浑。
〔49〕由于，张衡认为，675尺6的面不足1就是26尺3，这是外浑即球的体积。
〔50〕内浑的体积V内浑是25尺6的面，也就是5尺3。
〔51〕“今徽令质言中浑”三句：现在我就正方体讨论它的内切球，就球又讨论它的内接正方体，那么两个正方体的相与之率等于两个球的相与之率，亦即
V外:V内=V:V内浑。（4-4）
〔52〕衡盖亦先二质之率推以言浑之率：刘徽认为张衡是由二正方体的体积之率推出二球的体积之率的。
〔53〕质六十四之面，浑二十五之面：张衡认为，质（正方体）的体积V质是64尺6之面，即8尺3，则浑（正方体的内切球）的体积V浑是25尺6之面，即5尺3。V质即V外，V浑即V。
〔54〕质复言浑，谓居质八分之五：于是:。
〔55〕方八之面，圆五之面：张衡认为
〔56〕以圆囷为方率，浑为圆率：张衡仍认为V圆柱:V球=4:π，重复了《九章算术》时代的错误。
〔57〕自然：当然。刘徽将“自然”作副词用。《北史·裴叔业传》：“咱应送家还都以安慰之，自然无患。”用作副词，却在刘徽之后矣。阴阳：见刘徽序注释。 奇耦：指奇数、偶数，即单数、双数。人们常将其与阴阳八卦联系起来。《周易·系辞下》：“阳卦奇，阴卦耦。”《孔子家语·执辔》：“子夏问于孔子曰：‘商问《易》之生人及万物鸟兽昆虫，各有奇耦，气分不同。’”认为人间万物皆有奇耦，陷入神秘主义。张衡未能免俗，因而受到刘徽的批评。
〔58〕乱道：败坏道术。乱，败坏，扰乱。《论语·卫灵公》：“巧言乱德，小不忍则乱大谋。” 破义：破坏义理。《淮南子·泰族训》：“孔子曰：‘小辨破言，小利破义，小艺破道。’”病：缺点，毛病。《庄子·让王》：“学而不能行谓之病。”刘徽批评张衡败坏道术、破坏义理的错误，应该包括得出“方八之面，圆五之面”，及“复以圆囷为方率，浑为圆率”等几点。
〔59〕此谓球的外切正方体（外质）体积是26尺3，则由，得出球（内浑）的体积。由此可见张衡仍用《九章算术》错误的球体积公式。
〔60〕此谓将球的体积的整数部分以分母8乘，纳入分子：。
〔61〕由（4-4）式，球的内接正方体（内质）的体积是5尺3。此谓以分母8乘5尺3，则。
〔62〕张衡得出V:V内=117:40。
〔63〕方周知：与下文“圆周知”，此二“知”，训“者”，见刘徽序“故枝条虽分而同本干知”之注释。
〔64〕“如衡术”三句：张衡认为，如果圆外切正方形周长的率是8的面，则圆周长的率是5的面。此即
其中L方是圆外切正方形的周长，L是圆周长。由（4-5）式，这是显然的。
〔65〕令方周六十四尺之面，即圆周四十尺之面：假设正方形周长的率是64尺2的面，则圆周长的率就是40尺2的面。这是显然的：由（4-6）式，若。
〔66〕令径二尺自乘，得径四尺之面：此谓若圆直径为2尺，将其自乘，直径是4尺2之面，即。
〔67〕圆周率十之面，而径率一之面：如果圆周的率是10的面，则直径的率是1的面。此即，换言之，张衡求得圆周率为。
〔68〕刘徽指出，批评张衡的圆周率不准确。
【译文】
假设有体积4 500尺3，也是说立方尺。问：变成球，它的直径是多少？
答：20尺。依照密率，球的直径是20尺，计算出体积是尺3。
假设又有体积1 644 866 437 500尺3，问：变成球，它的直径是多少？
答：14 300尺。依照密率，球的直径成为尺。
开立圆术：布置体积的尺数，乘以16，除以9，对所得的数作开立方除法，就是球的直径。立圆，就是球，设立此术的人原来是依照周3径1之率。使圆面积占据正方形面积的，那么圆柱亦占据正方体的。再使圆柱变为方率12，那么球的率就是9，球占据圆柱又是。布置4分，自乘得16，3分自乘得9，所以球占据正方体的。所以用16乘体积，除以9，便得到正方体的体积。球的直径与外切正方体的边长相等，所以作开立方除法，就得到球的直径。然而这种思路是错误的。为什么呢？取8枚正方体棋，使每个正方体的边长都是1寸，将它们拼积起来，成为边长为2寸的正方体。竖着用圆规分割它，变成圆柱体：直径是2寸，高也是2寸。又再横着使用上述方法分割，那么分割出来的形状就像一个牟合方盖。而8个棋都像阳马，只是呈圆弧形的样子。按：合盖的率是方率，那么球内切于其中，就是圆率。由此推论，说这圆柱体为方率，难道不是错误的吗？以周3径1作为圆率，那圆面积少了一点；使圆柱体为方率，那球的体积多了一点。互相补偿，所以9与16之率恰与实际情况接近，而球的体积仍多了一点。考察正方体之内，合盖之外的部分，虽然是有规律地渐渐削割下来，然而它的大小无法搞清楚。它们分割成的几块互相聚合，方圆互相纠缠，彼此的厚薄互有差异，不是齐等规范的形状。想以我的浅陋解决这个问题，又担心背离正确的数理。我岂敢不把疑惑搁置起来，等待有能力阐明这个问题的人呢？ 1寸见方的黄金，重16两；直径1寸的金球，重9两。术文中的率来源于此，未曾被检验过。《周官·考工记》说：“㮚氏制造量器的时候，熔炼改铸金、锡而没有损耗；没有损耗，那么就称量之；称量之，那么就把它作为标准；把它作为标准，那么就度量之。”就是说，熔炼黄金使之极精，而后分别改铸成正方体与球，就可以确定它们的率。使球的直径自乘，除以3，再对之作开方除法，就是球中内接正方体的边长。假设球中内接正方体每边长是5尺，5尺作为勾。勾自乘得面积25尺2。将之加倍，得50尺2，作为弦方的面积，是说平面上正方形的边长5尺所对应的弦。把这个弦作为股，再把5尺作为勾。把勾方的面积与股方的面积相加，得到75尺2，这就是大弦方的面积。对之作开方除法，就可以知道大弦的长。大弦就是球内接正方体的对角线。这条对角线就是球的直径。所以球内接正方体的边长自乘的面积，对于球直径自乘的面积是。使大弦又乘它自己的面积，就是球外切正方体的体积。对大弦方的面积开方不尽，于是使它的面积75再自乘，求它的面，便得到外切正方体体积即421 875尺6之面。又使内接正方体的边长5尺自乘，再以边长乘之，得到积125尺3。使125尺3自乘，求它的面，便得到内接正方体的体积，即15 625尺6的面。都用625约简，外切正方体体积是675尺6的面，内接正方体的体积是25尺6的面。《张衡算》却把正方体称为质，把球称为浑。张衡论述了质与其内切、外接浑的关系。675尺6的面，对之作开方除法，只差1，外接浑的体积就是26尺3；内切浑是25尺6的面，是说其体积5尺3。现在我就质讨论它的内切浑，就浑又讨论它的内接质，那么，两个质的相与之率，等于两个浑的相与之率。大约张衡也是先有二质的相与之率，由此推论出二浑的相与之率。张衡又说，质是64之面，浑是25之面。由质再说到浑，它占据质的。他又说，如果正方形是8的面，那么圆是5的面。圆与浑互相推求，知道他又把圆柱作为方率，把浑作为圆率，失误太大。张衡的说法当然是想协调阴阳、奇耦的学说而不顾及它是粗疏还是精密了。虽然他的言辞很有文采，这却是败坏了道术，破坏了义理，是错误的。布置外切质的体积26尺3，乘以9，除以16，得到尺3，就是质中内切浑的体积。以分母乘整数部分，纳入分子，得117。又布置内切质体积5尺3，以分母乘之，得40。这意味着质占据浑的，而浑的率的失误仍在于稍微多了一点。假设正方形每边长2尺，正方形有4边，加起来得8尺，称为正方形的周长。使其中内切圆的直径与正方形边长相等，也是2尺。以圆半径乘圆周长的一半，就是圆面积。以正方形边长的一半乘其周长的一半，就是正方形的面积。那么，正方形的周长就是正方形面积的率，圆周长就是圆面积的率。按：如果按照张衡的方法，正方形周长之率是8的面，圆周长之率是5的面。如果使正方形的周长是64的面，那么圆周长是40尺的面；又使直径2尺自乘，得到直径是4尺的面。这就是圆周率是10的面，而直径率是1的面。张衡也认为周3径1之率是错误的。正因为此，他重新撰述这种方法。然而周长增加太多，超过了它的准确值。
臣淳风等谨按：祖暅之谓刘徽〔1〕、张衡二人皆以圆囷为方率，丸为圆率〔2〕，乃设新法。祖暅之开立圆术曰：“以二乘积，开立方除之，即立圆径〔3〕。其意何也？取立方棋一枚，令立枢于左后之下隅〔4〕，从规去其右上之廉〔5〕；又合而横规之，去其前上之廉〔6〕。于是立方之棋分而为四：规内棋一，谓之内棋〔7〕。规外棋三，谓之外棋〔8〕。规更合四棋〔9〕，复横断之〔10〕。以句股言之，令余高为句，内棋断上方为股，本方之数，其弦也〔11〕。句股之法：以句幂减弦幂，则余为股幂〔12〕。若令余高自乘，减本方之幂，余即内棋断上方之幂也〔13〕。本方之幂即此四棋之断上幂〔14〕。然则余高自乘，即外三棋之断上幂矣〔15〕。不问高卑，势皆然也〔16〕。然固有所归同而涂殊者尔〔17〕，而乃控远以演类，借况以析微〔18〕。按：阳马方高数参等者，倒而立之〔19〕，横截去上，则高自乘与断上幂数亦等焉〔20〕。夫叠棋成立积，缘幂势既同，则积不容异〔21〕。由此观之，规之外三棋旁蹙为一，即一阳马也〔22〕。三分立方，则阳马居一，内棋居二可知矣〔23〕。合八小方成一大方，合八内棋成一合盖〔24〕。内棋居小方三分之二，则合盖居立方亦三分之二，较然验矣〔25〕。置三分之二，以圆幂率三乘之，如方幂率四而一，约而定之，以为丸率〔26〕。故曰丸居立方二分之一也〔27〕。”等数既密〔28〕，心亦昭晣〔29〕。张衡放旧，贻哂于后〔30〕；刘徽循故，未暇校新〔31〕。夫岂难哉？抑未之思也〔32〕。依密率，此立圆积，本以圆径再自乘，十一乘之，二十一而一，约此积〔33〕。今欲求其本积，故以二十一乘之，十一而一〔34〕。凡物再自乘，开立方除之，复其本数。故立方除之，即丸径也。
【注释】
〔1〕祖暅之：一作祖暅，字景烁，生卒年不详，南朝齐、梁数学家、天文学家，祖冲之之子。“究极精微，亦有巧思。入神之妙，般、倕无以过也。”聚精会神之时，雷霆不能入。有一次他走路思考问题，撞到仆射徐勉身上。徐勉唤他，方才醒悟。传为佳话。梁天监六年（507）治漏，撰《漏经》。又修乃父《大明历》，九年（510）得以颁行。尝作《浑天论》，造铜圭影表，撰《天文录》三十卷。位至大舟卿。《北史·信都芳传》云，南朝梁普通六年（525）祖暅之被北魏俘虏，在王子元延明家，“不为王所待。芳谏王礼遇之。暅后还，留诸法授芳，由是弥复精密”。又应元延明之约，撰《欹器》、《漏刻铭》。还朝后任南康太守。
〔2〕李淳风等无视刘徽纠正了前人“圆囷为方率，丸为圆率”的错误，首创牟合方盖，为祖暅之最后解决球体积问题指出了正确方向的巨大功绩，而将刘徽与张衡同等指责，又一次说明李淳风等数学水平之低下。
〔3〕“以二乘积”三句：此处取π=3，则祖暅之给出
〔4〕立枢于左后之下隅：如图4-8（1），这是说以立方棋ABCDEFGO的左后下角O作为中心，引出两条转轴：纵轴OE和横轴OG，分割出牟合方盖的。枢，户枢，门的转轴或门臼。
图4-8 牟合方盖求积
（采自《古代世界数学泰斗刘徽》）
〔5〕从规去其右上之廉：用规纵着切割，除去右上的廉。此指用以纵轴OE为中心轴的圆柱面AGFD从纵的方向对立方棋ABCDEFGO进行分割，切除其右上廉ABCDFG。规，本是圆规，引申为圆形，这里是动词。从规，是从纵的方向用规进行切割。
〔6〕又合而横规之，去其前上之廉：将被纵规切割的正方体拼合起来，用规横着切割，除去前上的廉。此指用以横轴OG为中心轴的圆柱面ABFE从横的方向对正方棋ABCDEFGO进行分割，切除其前上廉ABCDEF。横规，是从横的方向进行分割。
〔7〕“于是立方之棋分而为四”三句：正方体ABCDEFGO通过纵规、横规，分割成4个棋。位于规内的，是1个，称为内棋。此即牟合方盖的：AEFGO，如图4-8（2）。
〔8〕规外棋三，谓之外棋：规外面有3个棋，称为外棋。即牟合方盖之外的3部分：ABFG，ADEF，ABCDF，如图4-8（3），（4），（5）。
〔9〕规更合四棋：沿着规将4个棋重新拼合在一起。规，指4个棋沿“规”处相合。
〔10〕横断之：用一平面横着截断正方棋。即在内棋的高OA上任一点N处用一平面NIJK横截正方棋ABCDEFGO。
〔11〕余高：剩余的高，即ON。 内棋断上方：内棋截面正方形的边长，即NM。 本方之数：本来的正方棋的边长，即球半径OA。显然OM=OA。考虑以余高ON为勾（记为a），内棋断上方NM为股（记为b），以球半径即本方之数OM为弦（记为r）的勾股形ONM。
〔12〕此复述勾股术即勾股定理。
〔13〕“令余高自乘”三句：由勾股定理，b2=r2-a2。
〔14〕本方之幂即此四棋之断上幂：本方的幂是四棋横截面处的面积之和。此即正方体ABCDEFGO在N处之横截面等于N处牟合方盖的横截面积NMHL和外三棋在N处的横截面积MIPH，HPJQ，HQKL之和。
〔15〕然则余高自乘，即外三棋之断上幂：那么，余高自乘等于外三棋横截面积之和。此即a2等于外三棋在N处的横截面积MIPH，HPJQ，HQKL之和。
〔16〕不问高卑，势皆然也：不论高低，其态势都是这样的。此谓以上的论述不论N点的高低都是如此。
〔17〕固有：本来就有。《周易·益》：“益用凶事，固有之也。” 所归同而涂殊：殊涂同归，又作殊途同归。涂，通途。
〔18〕控远以演类：驾驭远的，以阐发同类的。控，本义是引弓，开弓。引申为驾驭，控制。《诗经·郑风·大叔于田》：“抑磬控忌，抑纵送忌。”毛传：“骋马曰磬，止马曰控。”演，推演，阐发。 借况以析微：借宏大的以分析细微的。况，通“皇”。《荀子·非十二子》：“成名况乎诸侯，莫不愿以为臣。”孙诒让《札迻》卷六：“况与‘皇’通。”皇，大。《诗经·大雅·皇矣》：“皇矣上帝，临下有赫。”毛传：“皇，大。”由“析微”可知，此“况”应指宏观的、大的情形。
〔19〕阳马方高数：阳马的正方形底的边长与高的数值实际上是其广、长、高的数值。 参（sān）等：广、长、高三者相等。参，同三。《左传·隐公元年》：“先王之制，大都不过参国之一。”杜预注：“三分国城之一。”此谓取广、长、高相等的阳马，将其倒置。如图4-8（6）。
〔20〕横截去上，则高自乘与断上幂数亦等焉：用一正方形横截此倒立的阳马，除去上部，则余高自乘等于其上方截断处的面积。设截断处距顶点为a，截断处的正方形的边长也是a，其面积为a2，则余高自乘a2与其相等。
〔21〕缘幂势既同，则积不容异：因为幂的态势都相同，所以它们的体积不能不同。这就是著名的祖暅之原理：诸立体凡等高处截面积相等，则其体积必相等。它在西方称为卡瓦列利（B.Cavalieri，1598—1647）原理。缘，因为。班固《白虎通·丧服》：“天子崩，赴告诸侯者何？缘臣子丧君，哀痛愤懑，无能不告语人者也。”既，副词，全，都。《左传·僖公二十二年》：“楚人未既济。”
〔22〕规之外三棋旁蹙（cù）为一，即一阳马：规之外三棋在旁边聚合为一个立体，就是一个阳马。蹙，聚拢，皱缩。《孟子·梁惠王》：“举疾首蹙而相告。”
〔23〕“三分立方”三句：将一个正方体分割成三等份，则阳马是1份，那么可以知道内棋占据2份。换言之，外三棋的体积之和与广、长、高为球半径r的阳马的体积相等，即，于是内棋AEFGO的体积是。
〔24〕合八小方成一大方，合八内棋成一合盖：将8个小正方体合成一个大正方体，将8个内棋合成一个牟合方盖。上面讨论了球的外切牟合方盖与外切正方体的，现在回到整个的牟合方盖和正方体。
〔25〕“内棋居小方三分之二”三句：由于内棋占据小正方体的，那么牟合方盖占据整个正方体也是，明显地被证明了。换言之，。较然，明显貌。《史记·刺客列传》：“自曹沫至荆轲五人，此其义或成或不成，然其立意较然，不欺其志，名垂后世，其妄也哉！”
〔26〕约而定之，以为丸率：约简而确定之，将其作为球体积的率。此谓取π=3，由V合盖:V=4:3，得到。
〔27〕此谓。
〔28〕等数既密：等到数值已经精确了。
〔29〕昭晣：明了，清楚，明显。何晏《景福殿赋》：“虽离朱之至精，犹眩曜而不能昭晣也。”《说文解字》：“‘昭晣’，明也。”《广雅·释诂四上》：晣，“明也”。
〔30〕放（fǎnɡ）旧：模袭旧的方法。放，仿效，模袭。《书·尧典》：“曰若稽古，帝尧放重力。”孔颖达疏：“能放效上世之功。” 贻哂（shěn）：贻笑，见笑。贻，遗留。哂，微笑。李籍《音义》引作“咍哂”，并云：“上呼开切，下式忍切，笑也。”咍（hāi），嘲笑，嗤笑。按：“贻”与“咍”不知孰是。
〔31〕校新：考察新的方法。校，考察，考核。李淳风等无视刘徽对《九章算术》开立圆术的批评，设计牟合方盖，指出解决球体积的正确方向的重大贡献，再次对刘徽无端指责。
〔32〕抑：只是。
〔33〕约此积：求得这个体积。约，求取，得。《商君书·修权》：“夫废法度而好私议，则奸臣鬻权以约禄。”
〔34〕李淳风等依圆周率提出的球体积公式。
【译文】
淳风等按：祖暅之因为刘徽、张衡两人都把圆柱作为正方形的率，把球作为圆率，于是创立新的方法。祖暅之开立圆术：“以2乘体积，对之作开立方除法，就是球的直径。为什么是这样呢？取一枚正方体，将其左后下角取作枢纽，纵向沿着圆柱面切割去它的前上之廉，又把它们合起来，横向沿着圆柱面切割去它的右上之廉。于是正方棋分割成4个棋：圆柱体内1个棋，称为内棋；圆柱体外3个棋，称为外棋。沿着圆柱面重新把4个棋拼合起来，又横着切割它。用勾股定理考察这个横截面，将剩余的高作为勾，内棋的横截面的边长作为股，那么，原来正方形的边长就是弦。勾股法：以勾方的面积减弦方的面积，那么剩余的就是内棋的横截面之面积。原来正方形的面积就是此4棋之横截面积。那么，剩余的高自乘，就是外3棋的横截面积。不管横截之处是高还是低，其态势都是这样。而事情本来就有殊途同归的。于是引证远处的以推演同类的，借助大的以分析细微的。按：一个宽、长、高三度相等的阳马，将它倒立，横截去上部，那么它的高自乘与外3棋的横截面积的总和总是相等的。将棋积叠成不同的立体，循着每层的面积，审视其态势，如果每层的面积都相同，则其体积不能不相等。由此看来，圆柱外的3棋在旁边聚合成一个棋，就是一个阳马。将正方体分成3等份，那么由于阳马占据1份，便可知道内棋占据2份。将8个小正方体合成一个大正方体，将8个内棋合成一个合盖。由于内棋占据小正方体的，那么合盖占据大正方体也是，很明显地被证实了。布置，乘以圆幂率3，除以正方形幂的率4，约简而确定之，将其作为球体积的率。所以说，球占据正方形的。”等到数值已经精密了，思想就豁然开朗。张衡模袭旧的方法，给后人留下笑料。刘徽因循过去的思路，没有创造新的方法。这难道是困难的吗？只是没有深入思考罢了。依照密率，这球的体积，本来应当以球直径两次自乘，乘以11，除以21，便求得这个体积。今想求它本来的体积，所以乘以21，除以11。凡是一物的数量两次自乘，对之作开立方除法，就恢复其本来的数量。所以对之作开立方除法，就是球的直径。